페리 수열(Farey sequence)

페리 수열(farey sequence) 특징을 알아보고 관련된 project euler 문제 71, 72, 73을 풀어본다.

풀이 소스 코드를 제거하고 올림. (project euler에서 풀이를 공유하는 건 권장하지 않기 때문)

Transcript

1. 페리 수열 / farey sequence 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 = 0 1 , 1 2 , … , 페리 farey , 수열 sequence , … , ohye ohyecloudy , cloudy .com , … , 0 + 1 1 + 2 ohyecloudy / ohyecloudy.com 2013-06-08
2. 어쩌다가 이런 주제로… • Project Euler 삽질이 이끌었다. • 힘으로 푼 뒤 알아 보니 페리 수열
3. 페리 수열 특징을 알아본다. • + 관련된 Project Euler 문제 풀이 • 물론 Clojure로
4. 페리 수열?
5. 페리 수열 𝐹𝑛 은 0 ≤ ℎ ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 , gcd ℎ, 𝑘 = 1을 만족하는 ℎ 𝑘 를 오름차순으로 나열한 수열
6. 페리 수열 𝐹𝑛 은 0 ≤ ℎ ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 , gcd ℎ, 𝑘 = 1을 만족하는 ℎ 𝑘 를 오름차순으로 나열한 수열 기약분수 irreducible fraction 진분수 proper fraction
7. 𝐹1 = 0 1 , 1 1 𝐹2 = 0 1 , 1 2 , 1 1 𝐹3 = 0 1 , 1 3 , 1 2 , 2 3 , 1 1 𝐹4 = 0 1 , 1 4 , 1 3 , 1 2 , 2 3 , 3 4 , 1 1 ⋯
8. 어떤 특징을 가진 수열일까? • 기본적인 3가지 특징만 소개 • 문제 풀면서 추가로~
9. 𝐹𝑞 에서 𝑎 𝑏 < 𝑝 𝑞 < 𝑐 𝑑 인 𝑝 𝑞 는 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 로 구할 수 있다 1
10. 𝐹𝑞 에서 𝑎 𝑏 < 𝑝 𝑞 < 𝑐 𝑑 인 𝑝 𝑞 는 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 로 구할 수 있다 1 알고 있는 항 member
11. 𝐹𝑞 에서 𝑎 𝑏 < 𝑝 𝑞 < 𝑐 𝑑 인 𝑝 𝑞 는 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 로 구할 수 있다 1 새롭게 추가되는 항 이상하게 더하고 있어.
12. 1 3 + 1 2 = 2 5 • 패기 넘치는 분수 더하기 • 바보 셈 freshman sum • mediant
13. 𝐹1 = 0 1 , 1 1 𝐹2 = 0 1 , 1 2 , 1 1 𝐹3 = 0 1 , 1 3 , 1 2 , 2 3 , 1 1 ⋯ 0 + 1 1 + 1 = 1 2 0 + 1 1 + 2 = 1 3 1 + 1 2 + 1 = 2 3
14. 𝐹𝑛 은 𝐹𝑛−1 을 포함한다. 2
15. 𝐹1 = 0 1 , 1 1 𝐹2 = 0 1 , 1 2 , 1 1 𝐹3 = 0 1 , 1 3 , 1 2 , 2 3 , 1 1 𝐹4 = 0 1 , 1 4 , 1 3 , 1 2 , 2 3 , 3 4 , 1 1 ⋯
16. 𝐹1 = 0 1 , 1 1 𝐹2 = 0 1 , 1 2 , 1 1 𝐹3 = 0 1 , 1 3 , 1 2 , 2 3 , 1 1 𝐹4 = 0 1 , 1 4 , 1 3 , 1 2 , 2 3 , 3 4 , 1 1 ⋯
17. 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 는 𝐹𝑏+𝑑 에서 처음으로 나타난다. 3
18. 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 는 𝐹𝑏+𝑑 에서 처음으로 나타난다. 3 분모와 같다
19. 𝐹1 = 0 1 , 1 1 𝐹2 = 0 1 , 1 2 , 1 1 𝐹3 = 0 1 , 1 3 , 1 2 , 2 3 , 1 1 𝐹4 = 0 1 , 1 4 , 1 3 , 1 2 , 2 3 , 3 4 , 1 1 ⋯
20. 기본적인 특징들 • 𝑎 𝑏 < 𝑝 𝑞 < 𝑐 𝑑 인 𝑝 𝑞 = 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 • 𝐹𝑛 은 𝐹𝑛−1 을 포함 • 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 는 𝐹𝑏+𝑑 에서 처음으로 나타남
21. 이제 문제 풀이 • + 풀이에 필요한 추가적인 특징 설명
22. Consider the fraction, 𝑛 𝑑 , where 𝑛 and 𝑑 are positive integers. If 𝑛 < 𝑑 and HCF 𝑛, 𝑑 = 1, it is called a reduced proper fraction. If we list the set of reduced proper fractions for 𝑑 ≤ 8 in ascending order of size, we get: 1 8 , 1 7 , 1 6 , 1 5 , 1 4 , 2 7 , 1 3 , 3 8 , 2 5 , 3 7 , 1 2 , 4 7 , 3 5 , 5 8 , 2 3 , 5 7 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 , 7 8 It can be seen that 2 5 is the fraction immediately to the left of 3 7 . By listing the set of reduced proper fractions for 𝑑 ≤ 1,000,000 in ascending order of size, find the numerator of the fraction immediately to the left of 3 7 . http://projecteuler.net/problem=71 Project Euler #71
23. 𝐹1,000,000 에서 3 7 보다 작은 수 중 가장 큰 수를 구하라.
24. 𝐹8 = ⋯ , 2 5 , 3 7 , ⋯ 𝐹12 = ⋯ , 2 5 , 5 12 , 3 7 , ⋯ 𝐹19 = ⋯ , 5 12 , 8 19 , 3 7 , ⋯ … 𝐹1,000,000 = ⋯ , 𝑥, 3 7 , ⋯ 계산 필요 없다
25. (defn rhs-farey-pair [[a b c d]] (let [mediant-n (+ a c) mediant-d (+ b d)] [mediant-n mediant-d c d])) (rhs-farey-pair [2 5 3 7])  [5 12 3 7] 2 5 , 3 7 5 12 , 3 7
26. Consider the fraction, 𝑛 𝑑 , where 𝑛 and 𝑑 are positive integers. If 𝑛 < 𝑑 and HCF 𝑛, 𝑑 = 1, it is called a reduced proper fraction. If we list the set of reduced proper fractions for 𝑑 ≤ 8 in ascending order of size, we get: 1 8 , 1 7 , 1 6 , 1 5 , 1 4 , 2 7 , 1 3 , 3 8 , 2 5 , 3 7 , 1 2 , 4 7 , 3 5 , 5 8 , 2 3 , 5 7 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 , 7 8 It can be seen that there are 3 fractions between 1 3 and 1 2 . How many fractions lie between 1 3 and 1 2 in the sorted set of reduced proper fractions for 𝑑 ≤ 12,000? http://projecteuler.net/problem=73 Project Euler #73
27. 𝐹12,000 에서 1 3 보다 크고 1 2 보다 작은 항의 개수를 구하라.
28. 𝐹12,000 을 구하려면 𝐹11,999 을 구해야 한다. 뒤에 붙는 형식이 아니라 중간중간 삽입 stack overflow 냄새
29. 바로 다음 항을 구할 수 있나? • 𝑛이 주어졌을 때.
30. 𝐹12,000 = 0 1 , 1 12,000 , 𝑥, ⋯ 이 두 항은 알 수 있다. 항상 0 1 , 1 𝑛
31. 𝑎 𝑏 < 𝑐 𝑑 < 𝑝 𝑞 즉, 이 두 항으로 다음 항을 구하는 방법
32. 𝑎 𝑏 < 𝑐 𝑑 = 𝑎 + 𝑞 𝑏 + 𝑞 < 𝑝 𝑞 𝒌𝑐 𝒌𝑑 = 𝑎+𝑝 𝑏+𝑞 를 만족하는 𝒌가 존재 𝑐 𝑑 는 기약분수이기 때문
33. 𝑝 𝑞 = 𝑘𝑐 − 𝑎 𝑘𝑑 − 𝑏 𝒌𝑐 𝒌𝑑 = 𝑎 + 𝑝 𝑏 + 𝑞 𝑛
34. max (𝑘) = 𝑛 + 𝑏 𝑑 𝑘𝑑 − 𝑏 ≤ 𝑛 𝑘 ≤ 𝑛 + 𝑏 𝑑
35. 𝐹𝑛 =…,𝑎 𝑏 , 𝑐 𝑑 , 𝑘𝑐−𝑎 𝑘𝑑−𝑏 ,… 𝑘 = 𝑛 + 𝑏 𝑑
36. 𝐹4 = 0 1 , 1 4 , 1 3 , 1 2 , 𝑥, … 𝑎 𝑏 = 1 3 , 𝑐 𝑑 = 1 2 , 𝑘 = 4+3 2 = 3 𝑝 𝑞 = 2 3
37. (defn next-term [[a b c d n]] (let [k (int (/ (+ n b) d)) p (- (* k c) a) q (- (* k d) b)] [c d p q n])) (next-term [1 3 1 2 4]) [1 2 2 3 4] 1 3 , 1 2 1 2 , 2 3
38. (defn farey-seq [n] (take-while #(<= % 1) (map (fn [[a b _ _ _]] (/ a b)) (iterate next-term [0 1 1 n n])))) 𝐹2 = 0 1 , 1 2 , 1 1 , 3 2 , 2 1 , ⋯ 진분수 가분수 improper fraction
39. Consider the fraction, 𝑛 𝑑 , where 𝑛 and 𝑑 are positive integers. If 𝑛 < 𝑑 and HCF 𝑛, 𝑑 = 1, it is called a reduced proper fraction. If we list the set of reduced proper fractions for 𝑑 ≤ 8 in ascending order of size, we get: 1 8 , 1 7 , 1 6 , 1 5 , 1 4 , 2 7 , 1 3 , 3 8 , 2 5 , 3 7 , 1 2 , 4 7 , 3 5 , 5 8 , 2 3 , 5 7 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 , 7 8 It can be seen that there are 21 elements in this set. How many elements would be contained in the set of reduced proper fractions for 𝑑 ≤ 1,000,000? http://projecteuler.net/problem=72 Project Euler #72
40. |𝐹1,000,000 | − 2를 구하라.
41. 0 1 , 1 1 제외 |𝐹1,000,000 | − 2를 구하라.
42. 𝐹1,000,000 을 구해서 개수를 센다면 • 세월아 네월아. • 개수만 빠르게 구할 수 있을까?
43. 𝐹 𝑛 에서는 𝐹𝑛−1 에 없는 어떤 항이 추가되나? gcd 𝑛, 𝑎 = 1을 만족하는 𝑎 𝑛 가 추가
44. 𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1 + 𝜑(𝑛) Euler's totient function 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, gcd 𝑛, 𝑘 = 1을 만족하는 정수 𝑘 개수
45. 𝐹𝑛 = 1 + 𝜑(𝑚) 𝑛 𝑚=1 𝐹1 = 2이고 𝜑 1 = 1이기 때문
46. 𝜑 𝑛 = 𝑛 (1 − 1 𝑝 ) 𝑝|𝑛 𝑛을 나머지 없이 나누는 소수 prime
47. 𝜑 2 = 𝜑 21 = 2 1 − 1 2 = 1 𝜑 3 = 𝜑 31 = 3 1 − 1 3 = 2 𝜑 4 = 𝜑 22 = 4 1 − 1 2 = 2 𝜑 36 = 𝜑 2232 = 36 1 − 1 2 1 − 1 3 = 12
48. (defn euler-totient [n] (* n (apply * (map #(- 1 (/ 1 %)) (filter #(zero? (mod n %)) (take-while #(<= % n) primes))))))
49. (defn farey-seq-length [n] (+ 1 (apply + (map euler-totient (range 1 (inc n))))))
50. 마무리
51. • 페리 수열 𝐹𝑛 은 0 ≤ ℎ ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 , gcd ℎ, 𝑘 = 1 을 만족하는 ℎ 𝑘 를 오름차순으로 나열한 수열. • 바보 셈으로 다음 항을 구하는 재미있는 특징. • Project Euler 문제는 어떤 수열에 관련된 문제 인지 안 가르쳐 줘
52. CC BY-NC-SA 3.0 Reference Farey sequence – wikipedia 페리 수열 – wikipedia mediant – wikipedia 바보 셈에서 페리수열로 – 네이버캐스트 @ohyecloudy