Funções, polinomiais e normas

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1. Funções, polinomiais e normas Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Vou procurar resumir o conteúdo sobre funções.
3. Se tudo sobre espaços vetoriais se resumisse ℝ, ℂ e ℳ×, o mundo seria pobre. As mais belas instâncias de espaços vetoriais serão apresentados pela Mestra, que se vestiu apropriadamente para mostrá-los!
4. São os espaços de funções : → ℝ, cujo domínio é um conjunto qualquer X e a valores reais, anotado ℱ(, ℝ).
5. Algumas funções do conjunto ℱ(, ℝ), quando = [−1,1]. São vetores abstratos Loirinha!
6. Mas funções são vetores?! Esqueça as flechas, Loirinha!
7. Sim, minha filha! Podemos somar funções e também multiplicá-las por números. Esqueça as flechas, Loirinha!
8. E a soma e a multiplicação por fator de escala são definidas ponto-a-ponto. Repetindo: podemos somar e escalar funções de ℱ(, ℝ).
9. Ponto-a-ponto como? Para , ∈ ℱ , ℝ , a soma + e a escalada de , ∙ , são as novas funções definidas por: + = + (), ∙ = ∙ , para cada ponto ∈
10. Esse é o caráter dual das funções: são vetores de ℱ , ℝ definidos ponto a ponto. Never forget it!
11. Vou tentar ! Alem disso essas duas operações satisfazem as nove condições da definição de espaço vetorial. Prove isto Loirinha !
12. Numericamente, podemos ver a soma e a multiplicação por fator de escala através de tabelas, para uns poucos valores de . É preciso olhar linha por linha, isto é, ponto a ponto!
13. Sim! E em cada linha da tabela, vemos que: ( + )() = () + () e ( ∙ ) = ∙ ().
14. Observem o caráter dual: para cada ponto ∈ [−1,1], a coordenada y em vermelho é a soma das coordenadas y em azul e verde: + = + (). E fazendo isso para cada ponto ∈ [−1,1] obtemos + .
15. Vejam, os gráficos de uma função em azul e, em vermelho a função ( Τ 1 2) (a escalada de por α = Τ 1 2). = np. sin(np. pi ∗ ) ( Τ 1 2) ()
16. Olhando esses exemplos, percebemos que a prova é realmente fácil ! É mesmo, colega !
17. Conjuntos permitem agrupar coisas mediante propriedades. Algumas delas permitem sub-classificar seus elementos. Subespaços vetoriais incorporam essa ideia.
18. As funções polinomiais em ℝ constituem um subespaço de ℱ. E ele é anotado . Sim: • A soma de polinomiais também é uma função polinomial. • A múltipla de uma função polinomial não perde a sua qualidade.
19. O conceito de base de um espaço vetorial desempenha um papel fundamental para operar com as polinomiais.
20. A base canônica dos vetores-coluna de ordem 3, o ℝ3, é 1 = 1 0 0 , 2 = 0 1 0 , 3 = 0 0 1 , É. Ela que permite escrevermos 2.1 −0.7 1.5 = 2.1 1 0 0 + (−0.7) 0 1 0 + 1.5 0 0 1
21. A base canônica do espaço vetorial 2, das funções polinomiais de grau menor ou igual a 2, é constituída pelas polinomiais: 0 () = 0 = 1, 1 () = 1 = , 2 () = 2 . A ideia é a mesma. Para a polinomial = 2.1 + 0.7 + 1.5 2 temos = 2.1 0 + 0.7 1 + 1.5 2
22. Programa que desenha a base canônica do 3:
23. As 4 polinomiais (vetores) da base canônica de 3[−1,1].
24. Este programa desenha uma polinomial definida pelos seus coeficientes.
25. Mestre, bastou passar os coeficientes da polinomial. Da mesma forma que passamos as coordenadas para vetores coluna!
26. Vamos tornar a utilizar a NumPy para fazer Cálculo Numérico. Pois é, Mestre, já estava demorando!
27. Surfista, vá ao Help e em Online documentation escolha Numpy and Scipy documentation.
28. Então escolha Numpy Reference Guide.
29. Em Numpy Reference role a tela até Polynomials e escolha-a.
30. Já no pacote Polynomials escolha Polynomial Package.
32. Após clicar você verá que as informações sobre o Pacote Polynomials começam aqui. Agora clique em Polynomial Package!
33. Antes, quero lembrar que a estruturação padrão em Python é: pacotes (pastas) são constituídos por módulos (arquivos tipo .py) que possuem classes, compostas por atributos e métodos. Atributos • aaa • ⋅⋅⋅ Métodos • f( ) • ⋅⋅⋅ Classe Xyz Atributos • aaa • ⋅⋅⋅ Métodos • f( ) • ⋅⋅⋅ Classe Abc
34. Fiz um recorte do help para resumir a estruturação do pacote polynomial. Percebam que ele é constituído por seis módulos, cada um com uma classe homônima.
35. numpy . polynomial . polynomial . Polynomial numpy . polynomial . chebyshev . Chebyshev ... ... ... ... numpy . polynomial . hermite_e . HermiteE pacote sub-pacote módulos classes Tornando a repetir:
36. Caro Manual, é aqui que chegamos pós clicar em Polynomial Package. Por enquanto veremos apenas o 1ª deles - o módulo Polynomial. Pularemos a introdução.
37. Estudaremos todos os tópicos indicados no Módulo, exceto o “Fitting”, que ficará para mais tarde,
38. O 1º passo é criar uma função polinomial.
39. 1. Importar o módulo polynomial (dentro de numpy.polinomial) 2. Criar p chamando o construtor Polynomial(), da classe polynomial passando os parâmetros coef, domain e window. Os passos envolvidos na criação de uma função polinomial p: 1 2
40. Uma execução do programa do Mestre. Experimentem executá-lo com outros parâmetros.
41. Este outro programa recebe os parâmetros e retorna o gráfico da polinomial.
42. Pelo gráfico percebemos que a função polinomial possui 3 raízes reais, um ponto de máximo local, outro de mínimo local e um ponto de inflexão. Também fica evidente seu comportamento para → ±∞. = −2 − 3 + 2 + 3
43. Grau da polinomial an > 0 Par lim →+∞ = +∞ lim →−∞ = +∞ Ímpar lim →+∞ = +∞ lim →−∞ = −∞ O comportamento das funções polinomiais para → ±∞ depende apenas do termo de maior grau da polinomial (se n é ímpar ou par) e do sinal do seu coeficiente, o a n : Se an < 0 é só trocar o sinal dos limites
44. Mestre, eu realmente não entendi o parâmetro “window” Pois é, a explicação está aqui:
45. 0 x 0 |x| s(x) |k∗x| x Em outras palavras, quando usamos ≠ estamos, na verdade, trabalhando com uma polinomial composta ∘ , onde s é a função afim, translação mais fator de escala, definida por = 0 + ∗ , com = || ||
46. 1. Quando = o 2º e 3º gráficos se superpõe. 2. Para outros valores de k, isto não acontece. Confiram nas duas próximas transparências. Fizemos um programa que mostra 3 gráficos: 1. O de uma polinomial p com Window = Domain, 2. O da mesma polinomial p, mas com Window ≠ Domain, 3. Um 3º da mesma polinomial p, com o mesmo Domain, mas substituindo a variável x por ∗ , onde k um fator de escala para a variável x.
47. Escolhemos primeiro = 0.5 ≠ || || . NÃO há superposição do 2º e 3º gráficos.
48. Agora, escolhemos = || || = 0.75 . O 2º e 3º estão superpostos e para visualizá- los, foi necessário desenhar o 2º tracejado em negro e o 3º pontilhado em vermelho.
49. Este é o programa que permitiu a visualização, na 2ª execução.
50. As funções polinomiais são fáceis de derivar e integrar. = ෍ =0 [] = ෍ =1 −1 () = ෍ =0 + 1 +1 + .
51. As funções polinomiais são contínuas e infinitamente diferenciáveis. Elas também integráveis (pq. são contínuas) Infinitamente diferenciáveis só porque derivada de ordem n de uma polinomial de grau n é uma constante e a derivada de ordem n+1 é zero: x = cte , +1 = 0
52. Estes são os métodos do Módulo Polynomial, que permitem derivar e integrar funções polinomiais.
53. Para derivar uma função polinomial p fornecemos seus coeficientes (e, se desejarmos, o número m de vezes a derivar).
54. Minha ajuda sobre integração de polinomiais.
55. A continuação.
56. Neste programa eu mostro como utilizar esses métodos para derivar e integrar uma função polinomial.
57. A parte do código que gera o gráfico e o texto gerado na saída.
58. Os gráficos, da polinomial p, de sua derivada Dp e de sua integral indefinida Ip (anti-derivada), gerados pelo meu programa.
59. Ao expandirmos um produto como − 0 − 1 − 2 − 3 Obteremos, obviamente, uma polinomial de grau 4 em x, cujas raízes são 0 , 1 , 2 , 3 . Essa polinomial terá a forma padrão 4 4 + 3 3 + 2 2 + 1 + 0 , 4 = 1, cujos coeficientes são obtidos, com um bocado de algebrismo, a partir das raízes.
60. O método polyfromroots() gera a polinomial a partir do produto, como abaixo:
61. Este programa gera o gráfico de uma polinomial a partir de suas raízes.
62. Esse é o gráfico da polinomial, com as raízes assinaladas.
63. Ele é uma consequência trivial e imediata da fatoração: = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 . São só 4 adições e 4 multiplicações. O algoritmo de Briot-Ruffini-Horner é o algoritmo mais rápido para calcular o valor de uma função polinomial como = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4
64. Mestre, ensine como implementar o algoritmo. Surfista, construa recursivamente um vetor 4 3 2 1 0 como o da nossa frente. Confira que 0 = () comparando com a nuvem! 4 = 4 3 = 3 + 4 2 = 2 + 3 1 = 1 + 2 0 = 0 + 1 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4
65. Se () é uma função polinomial de grau ≥ 1, então a equação () = 0 Possui pelo menos uma raiz (real ou complexa). Teorema fundamental da Álgebra Carl Friedrich Gauss demonstrou o seguinte resultado em sua tese de doutorado:
66. Como as raízes complexas ocorrem aos pares (a raiz e sua complexa conjugada), se o grau da polinomial é ímpar com certeza ela possui uma raiz real. Segue do Teorema fundamental da Álgebra que: uma função polinomial = () de grau n possui n raízes reais ou complexas.
67. Surfista, faremos um programa que permite determinar as raízes de uma equação polinomial () = 0. Loirinha, faça outro programa que permita achar os pontos de inflexão dessa mesma polinomial.
68. Muito simples Mestra, basta usar o método polyroots() Veja:
69. Estou apreciando sua performance, Surfista. Continue assim!
70. Ficou bom mesmo!
71. Já vimos vários métodos para obter raízes aproximadas de equações, não apenas para equações polinomiais. O polyroots() é específico para polinomiais. O Mestre fez um programa para mostrar o gráfico de uma polinomial () e assinalar seus pontos de máximo, mínimo e inflexão. Mostra também os gráficos das derivadas de ordem 1 e 2 da ().
72. Os resultados do meu programa:
73. O programa é longo:
74. Sua continuação:
75. Acabou!
76. As polinomiais permitem visualizar o conceito de ordem de aproximação nas vizinhanças de zero.
77. Este programa mostra o gráfico das funções polinomiais da base canônica de ℙ5 .
78. Mestre, são lindos, esses gráficos das funções polinomiais básicas de ℙ5.
79. Observem que para k = 0,1,2, ... • p k (1) = 1, • p k (0) = 0, k ≠ 0 E também para ∈ (0, 1) que: 0 > 1 () > 2 () > ⋯
80. O programa do último gráfico.
81. Naturalmente, para k > 0, lim →0 = 0. e, maior o k, mais rápida a convergência.
82. Seja f uma função tal que lim →0 = 0. Se existir alguma constante M > 0 tal que ℎ ≤ ℎ, ℎ ∈ [0, ), para suficientemente pequeno, escreveremos = ℴ(ℎ) e diremos que f converge a zero com ordem k (polinomialmente).
83. Portanto se = ℴ ℎ2 e = ℴ(ℎ) então f converge mais rapidamente a zero do que g. Confiram na figura!
84. Vou mostrar outras bases do espaço das polinomiais.
85. Quando apresentei o pacote Polynomial, mostrei os diversos módulos abaixo:
86. Esses módulos/classes, em última análise, apresentam outras bases do espaço das polinomiais. Elas surgem de forma natural na resolução, por separação de variáveis, de problemas de valor de contorno onde o domínio apresenta algum tipo de simetria. Infelizmente, em nosso curso, não teremos oportunidade de trabalhar com esses problemas.
87. Funções dessas classes de polinomiais serão utilizadas como funções peso nas fórmulas de “integração gaussiana”.
88. Mas vejam os 6 primeiros elementos da base de Chebyshev e suas expansões na base canônica:
89. O programa que mostra os gráficos e as expressões dos polinômios de Chebyshev.
90. Os 6 primeiros elementos da base de Legendre e suas expansões na base canônica:
91. O programa que mostra os gráficos e as expressões dos polinômios de Legendre.
92. Vou mostrar agora como calcular o tamanho de uma função.
93. Destacaremos os aspectos fundamentais da medição de tamanho de vetores “flechinha” e os transportaremos para as funções. Lembre-se das flechinhas, Loirinha!
94. Como para as flechinhas, Loirinha! O tamanho de qualquer vetor de um espaço vetorial será indicado por .
95. Uma função ∙ ∶ → ℝ definida num espaço vetorial V é uma norma quando satisfaz: I. ≥ 0 II. = 0 ⟺ = 0. III. = - a escala IV. + ≤ + - a desigualdade triangular para , ∈ e α ∈ ℝ. Mestre, relembre ao Surfista a definição abstrata de norma de um vetor!
96. Sim colega, elas definem diversas formas de medir tamanho dos vetores flechinha e de matrizes. Inclusive aprendemos a calculá-las usando a NumPy. Já vimos que nos espaços ℝ, ℂ e para as matrizes ℳ× existem diversas normas: 1 , 2 , , ∞ .
97. Espaços em que é possível definir uma norma são chamados espaços normados. Portanto os espaços ℝ, ℂ e ℳ× são exemplos de espaços normados.
98. Os espaços normados completos são chamados de espaços de Banach. Um espaço normado é completo quando toda sequência de Cauchy é convergente (para um vetor do próprio espaço). É o caso dos ℝ , ℂ e ℳ× com qualquer uma das normas.
99. E como eu posso calcular o tamanho de uma função : [, ] → ℝ ? Como já vimos nos ℝ, ℂ e em ℳ× existem diversas formas de medir o tamanho de uma vetor. O mesmo se dará para funções!
100. Lembre-se, Loirinha, uma função de ℱ , ℝ é limitada num conjunto quando existe algum número > 0 tal que () < , ∀ ∈ . É o caráter dual atacando mais uma vez!
101. É muito fácil confirmar que ℬ(, ℝ) é um espaço vetorial pois: • a soma de funções limitadas é uma função limitada, • o produto de uma função limitada por qualquer número real resulta numa função limitada.
102. Bem Mestres, respondam a pergunta da Loirinha! Em geral, como faremos para descobrir o tamanho de uma função : [, ] → ℝ ? Mestres, estou curiosíssima em saber qual será tamanho de = 2cos( ) ?
103. A expressão ∞ = () , ∈ , define uma norma no conjunto ℬ(, ℝ) das funções limitadas num conjunto . Assim ℬ(, ℝ) é um espaço vetorial normado. As propriedades I, II , III e IV da definição abstrata de norma são facílimas de provar. Faça isto como exercício, Surfista!
104. Imaginando que ela está definida no intervalo 0,2 , é só calcular o valor máximo de () em [0, 2]. Veja graficamente: E, pelo programa, ∞ = 36,198 …
105. Atenção para o detalhe neste outro exemplo, Surfista. Já vi, Mestre, o valor máximo de () é um ponto de mínimo global da função .
106. Loirinha, esse é o programa. Ele permite que você escolha o domínio e a expressão da função.
107. Já vimos que num espaço vetorial normado com uma norma uma bola aberta de centro em ∈ e raio > 0 é o conjunto = ∈ . . − <
108. A − 2 < − ∞ < − 1 < Em ℝ2, as bolas abertas centradas em = (, ), nas normas 1 , 2 e ∞ , são os conjuntos desenhados abaixo
109. Bem, Loirinha, já sabemos que essa bola é o seguinte subconjunto de ℬ 0,1 , ℝ : = ∈ ℬ 0,1 , ℝ . . − ∞ < . Como será, Galileu, “a cara” de uma bola aberta (), centrada numa função ∈ ℬ [0,1], ℝ , com essa norma ∞ ?
110. Pensando no caráter dual, significa impor que − () < para variando no intervalo [0,1]. Mestra, para , ∈ ℬ( 0,1 , ℝ) o que significa − ∞ < ?
111. () Loirinha, fixe um valor de ∈ [0,1] e marque o ponto (, ) no plano cartesiano × . Então qualquer valor = () assumido pela em obrigatoriamente terá que satisfazer − () < . Que é um intervalo de raio centrado nesse ponto sobre a reta vertical por . Confira no meu desenho
112. Escolhi alguns valores de ∈ [0,1] e desenhei os intervalos verticais de raio centrados no ponto de coordenadas (x, ) correspondentes: 1 0
113. Surfista, tive a tentação, irresistível, de ligar os extremos deles, como fiz na figura! 1 0
114. É isso mesmo, menina! A bola de raio entorno de , , é a faixa azul claro desenhada abaixo. É o conjunto de todas as funções limitadas : [0,1] → ℝ situadas a uma distância menor do que da , quando usamos a régua ∞ 1 0 + r − r
115. Mestra, além da bola redondinha de raio r em ℝ2, vimos outras bolas, quadradas. E a pergunta inevitável é: Existirão outras bolas esquisitas nos espaços de funções?
116. Sim minha pequena! Essa bola/faixa de raio entorno de , , corresponde à bola definida pela norma ∞ em ℝ2. 1 0 + r − r
117. Aliás, Mestres como posso calcular a norma da soma, 1 , a 2 e as de uma função ? Elas envolvem uma soma. Use aquele S longo para somas contínuas ׬ no lugar de σ .
118. Que corresponde a área entre e o eixo-. Claro, com a correspondência σ ↔ ׬ , temos 1 = න | |
119. Atenção! Estamos falando da área entre a função e o eixo- e não da função . Observem a diferença:
120. De forma semelhante, temos 2 = න 2 Que, por sua vez, corresponde a área entre 2 e o eixo-.
121. Agora trata-se da área entre a função 2 e o eixo- e não da função . Notem que 2 = ׬ 2
122. Eis uma pergunta que eu também quero saber a resposta! E como eu desenho as bolas de raio centradas numa função : [, ] → ℝ?
123. Bem, observe primeiro que a bola, na 1 , de centro em uma função ∶ [, ] → ℝ e raio é o conjunto de todas as funções integráveis ∶ [, ] → ℝ tais que න − () < É uma imposição sobre o tamanho da área entre a função ℎ = − e o eixo-. Se fosse a função nula estaríamos falando do conjunto de todas as funções integráveis tais que න () < .
124. Esse conjunto de funções não pode ser desenhado pois a condição sobre a área não impõe restrições sobre a forma (o gráfico) das funções : [, ] → ℝ. Sim, pensem por exemplo, nas funções ℎ : [0, 2] → ℝ definidas por ℎ = ቊ 1/ℎ 0 < ≤ ℎ 0 ℎ < ≤ 2 , para 0 < ℎ < 2. Para todas elas, ℎ 1 = න 0 2 ℎ = 1 < .
125. ℎ Τ 1 ℎ 2 Sim Mestra, são retângulos com com base ℎ e altura 1/ℎ e mais um rabinho vermelho. Todos tem área = ℎ × Τ 1 ℎ = 1.
126. 2 Τ 1 2 2 ℎ = Τ 1 2 1 1 1 ℎ = 1 2 1 2 ℎ = 2 Desenhei vários retângulos com base ℎ e altura 1/ℎ. Todos tem área = ℎ × Τ 1 ℎ = 1.
127. ℎ Τ 1 ℎ 2 O mesmo vale para as funções “triângulo com rabo” que esbocei abaixo. Todos tem área Τ 1 2 . Sim Mestra, são “retângulos” com base ℎ e altura 1/ℎ. Todos tem área = ℎ × Τ 1 ℎ = 1.
128. Sim. Além dessas, qualquer função : [, ] → ℝ com o gráfico como abaixo também estaria nessa bola de raio 1, desde que ׬ | | ≤ 1. Todas essas funções elas estariam numa bola de raio = 1 centrada na função nula.
129. Da mesma forma, bolas na 2 , de centro em uma função ∶ [, ] → ℝ não podem ser desenhadas pois − 2 = න − () 2 Uma vez que, novamente, − 2 < é uma imposição sobre a área da função ℎ = − 2 e o eixo-.
130. Tchau! Até a próxima.