Integração numérica e funções de quadrado integrável

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1. Integração numérica e o (, ) Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Na exposição da MatPlotLib, mostramos a “regra trapezoidal”, tanto a simples como a composta. A integração numérica é um tópico tradicional em Cálculo Numérico.
3. É Mestra, lembro-me muito bem.
4. A definição de integral (de Riemman) é um belíssimo exemplo do poder dos conceitos de supremo e ínfimo. Vamos entender, de uma vez por todas, o que é essa integral.
5. = 0 +1 = , , f Dada uma função ∈ ℬ[, ] e dada uma partição = { = 0 < 1 < … < = } de , , para cada subintervalo , +1 dela, consideramos as áreas ∆ e ∆ , onde ∆ = +1 − e nas quais: , = inf , ∈ , +1 , = sup , ∈ , +1
6. , = =0 −1 , ∆ Soma superior Em seguida, consideramos as somas: , = =0 −1 , ∆ Soma inferior
7. 4 5 6 7 8 1 2 3 f 4 5 6 7 8 1 2 3 f , = =1 ( )∆ Soma superior , = =0 −1 ( )∆ Soma inferior Para ajudar o entendimento, quando f é monótona crescente e contínua, como na figura:
8. Quando, na desigualdade acima, ocorre a igualdade, dizemos que f é Riemann integrável em [, ] e que = sup{ (, ) ∈ [, ] } Não é muito difícil provar que sup{ (, ) ∈ [, ] } ≤ inf { (, ) ∈ , }, onde , é a coleção de todas as partições do intervalo [, ].
9. ... Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's' longo - para representar summa . Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ". ... http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm O símbolo de integral é um S estilizado, S de Soma!
10. O cálculo da soma inferior e da soma superior para uma função monótona crescente para partições uniformes de 50 a 60 pontos.
11. É notória a lentidão da convergência! 590 à 600 pontos 990 à 1000 pontos
12. Prova-se que toda função monótona (crescente ou decrescente) é Riemann integrável. Prova-se também que toda função contínua é Riemann integrável. Prova-se que ∈ ℬ[, ] é Riemann integrável se, e somente se, dada uma precisão > 0, existe uma partição ∈ [, ] para a qual , − , <
13. O que há na SciPy sobre integração. Começaremos por aqui.
14. A regra trapezoidal, que já vimos em “Básico de MatPlotib”.
15. Uma execução mal sucedida. Poucos subintervalos para obter a precisão requerida.
16. Agora, com mais pontos.
17. Esse é o código. Marquei onde uso a trapezoidal. A parte gráfica vem a seguir.
18. Esse é o código da parte gráfica.
19. A cumtrap( ) permite aproximar numericamente a função integral, : [a, b] → ℝ, dada por = Para conferir calculei, também, a integral exata. Fiz os três gráficos.
20. Outro exemplo, agora com a função = exp 2 . Neste caso, = = 2[exp 2 − exp 2 ] Também fiz os três gráficos.
21. Um último exemplo, agora com a função = cos(). Neste caso, = = cos() Também fiz os três gráficos.
22. Surfista, você sabe explicar porque o erro no cálculo da integral aproximada é zero para = /2 ?
23. Vejam o programa:
24. A regra de Simpson requer um número ímpar de pontos.
25. O código só muda onde marquei. Bem mais eficiente que a trapezoidal! Usou menos da metade dos pontos para a mesma função, intervalo e precisão.
26. O grau de precisão de uma fórmula de integração numérica é o maior inteiro N para o qual ela integra = de forma exata, para = 0,1, ⋯ , . É Mestra, comprovei que a regra trapezoidal tem grau 1 de precisão e, o que achei incrível, que a regra de Simpson tem grau 3.
27. Uma regra de quadratura é uma fórmula de integração aproximada de uma função () através de alguma função de ponderação (). São fórmulas do tipo: −1 1 ≅ =1 ( )
28. Ponderar: considerar o que é importante. Quando você vai adquirir algum bem, p/ex. uma casa, você pondera diversas coisas para efetuar a compra. O coeficiente de rendimento, CR, no seu histórico escolar é uma média ponderada das notas de cada disciplina. Os pesos são proporcionais à carga horária de cada disciplina, para valorizar as disciplinas com maior carga horária.
29. Nas regras trapezoidal e Simpson, os pontos são distribuídos uniformemente (todos com o mesmo peso). A quadradura gaussiana é uma regra de quadratura construída para produzir um resultado exato para polinômios de grau 2 − 1 ou menor mediante uma escolha apropriada dos pontos e pesos para = 1, ⋯ , .
30. O que há na scipy.integrate sobre quadratura gaussiana.
31. E também:
32. Há muito mais sobre integração ...
33. Métodos de integração numérica na scipy.integrate oriundos do QUADPACK
34. No plural porque são diversos...
35. Mais detalhes sobre os parâmetros.
36. A integração de Romberg.
37. Mais sobre integração de Romberg.
38. Referências e um exemplo:
39. Hoje começaremos a estudar um dos tópicos mais importantes da Álgebra Linear e da Análise Numérica. Os espaços ℒ2(, ).
40. Em outras palavras, ℒ2(, ) é o espaço das funções : , → ℝ tais que 2 ∈ ℝ. Para enfatizar os aspecto fundamentais: a 2 é integrável e 2 é um número real. Os elementos do espaço (vetorial) ℒ2(, ), são as funções de quadrado integrável.
41. Para funções ∈ ℒ2(, ) definiremos 2 = 2 . Mais adiante mostraremos que a função 2 : ℒ2 , → [0, ∞) ⟼ 2 define, de fato, uma norma.
42. A função , ∶ ℒ2(, ) × ℒ2(, ) → ℝ, definida por , = é um produto interno em ℒ2(, ).
43. Antes de provar a afirmação do Sherlock, precisamos garantir que , = está bem definida para , ∈ ℒ2(, ). Bem, isto é uma decorrência imediata da desigualdade de Cauchy-Schwartz, , ≤ 2 2 , que provaremos a seguir.
44. Sejam , ∈ ℒ2(, ) e : ℝ → ℝ a função ↦ − , − . Temos que F é uma polinomial do 2º grau em : = − , − = 2 22 − 2 , + 2 2. Ao mesmo tempo, = − 2 2 ≥ 0. Portanto o discriminante ∆ da fórmula de Baskhara para calcular os zeros de () satisfaz ∆ = (2 , )2 − 4 2 2 2 2 ≤ 0. Desta é imediato que | , | ≤ 2 2 .
45. Para provar a afirmação do Sherlock, que . , . é um produto interno em ℒ2 . , basta provar que , , ℎ ∈ ℒ2(. ) e ∈ ℝ valem: i. + , ℎ = , ℎ + , ℎ ii. , = , iii. , = , iv. , ≥ 0 e , = 0 ⇒ = 0
46. Na próxima transparência mostraremos, de forma ingênua, que 2 é a “tradução” para ℒ2(, ) da norma euclidiana 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + 2 em ℝ. Como assim, Mestre?
47. 4 5 6 7 8 1 2 3 2 A figura mostra uma aproximação (2) para 2 2 = 2 sobre uma malha = = 0 < 1 < … < = , igualmente espaçada de ∆. Para = ( ) temos 2 = ∆ (0 2 + 1 2 + ⋯ + 2) e portanto 2 ≅ ∆ 0 2 + 1 2 + ⋯ + 2 = ∆ 2 , onde = [ 0 1 ⋯ ].
48. Da mesma forma, o produto interno , é uma “tradução” para , ∈ ℒ2(, ) do produto interno , para , ∈ ℝ. E que vantagem temos com isso?
49. Que você poderá transportar para o ℒ2(. ) toda a intuição que temos nos espaços euclidianos ℝ. Por exemplo, nosso conceito usual de tamanho através da 2 , os conceitos de ângulo entre vetores e de ortogonalidade.
50. Surfista, então quando calculamos 0 1 para duas funções f e g conhecidas, o número obtido corresponde ao produto interno delas em ℒ2(0,1) ? Sim Loirinha! Vou fazer um programa para calcular , =
51. Meu programa calcula , = − com precisão de 8 casas decimais, mostra os gráficos de f, g e de , como área.
52. Surfista, que programão! Vou usá-lo agora.
53. Para = , = o produto interno é , = 2
54. Para = , = cos() o produto interno é , = 0. Como a função produto f g é uma função ímpar, eu nem precisava ter usado seu programa, Surfista.
55. Meu programa também calcula 2 = , = − ()2 . Para = () obtive 2 2 = , = , i.é, 2 = .
56. Fiz o cálculo para = sen(2) e também obtive 2 = . Será um resultado geral?
57. Acho que sim, pois para ℎ() = 3 , também vale 2 = .
58. Vocês dois acabaram de mostrar que 2 = 2 = ℎ 2 = para = , = (2) e ℎ = (3). E, de fato Loirinha, é um resultado geral.
59. , = − () = 0 ≠ = (∗) , = − () = 0 ≠ = , = − () = 0, ∀, ∈ ℕ 1 2 3 As funções • () para = 0,1,2, … e • () para = 1,2, … são funções de ℒ2[−, ] e satisfazem: (∗) Para = = 0, troque por 2. Os resultados que vocês obtiveram podem ser generalizados para:
60. Surfista, para provar a afirmação da Mestra, utilize as identidades trigonométricas • + = cos + sen (), • cos + = cos cos − (). E também que o produto de funções pares e ímpares obedece as regras correspondentes para números pares e ímpares .
61. Agora começaremos a explorar o fato que podemos usar a intuição geométrica dos espaços euclidianos ℝ2 e ℝ3 para os espaços ℒ2(, ).
62. A primeira delas é a ideia de ortogonalidade. Lembre-se Loirinha, que dois vetores , ∈ ℝ2 são ortogonais quando , = 0. Quando, além de serem ortogonais, = 1 e = 1, dizemos que eles são ortonormais.
63. Da mesma forma, duas funções , ∈ ℒ2 , são ortogonais quando , = = 0. E ortonormais quando, além disso, = 2 = 1 e = 2 = 1.
64. Estou achando essas ideias incríveis Loirinha. Funções ortogonais e ortonormais! Eu também Surfista e a Mestra mostrou, a pouco, que as funções 0 = 1 = , = 1,2, … = , = 1,2, … são todas ortogonais!
65. 1 2 Outra ideia a ser copiada é a de base canônica de ℝ2. O par de vetores 1 = 1 0 , 2 = 0 1 é ortonormal. Sim, e eu mostrei que as funções 0 = 1 2 = 1 , = 1,2, … = 1 , = 1,2, … constituem conjunto ortonormal de ℒ2 , .
66. Na verdade dizemos que = 0 , , , = 1,2, … é um conjunto ortonormal completo em ℒ2 , . Esta é a extensão da ideia de base em ℝ para ℒ2 , . Aliás esta é uma afirmação bem mais forte e difícil de provar.
67. Trocando em miúdos, Mestres, posso entender que o conjunto de funções = 0 , , , = 1,2, … é a base canônica de ℒ2 , ? Pode sim, Surfista. Para efeitos operacionais a ideia de base está presente em , apesar de envolver conceitos de convergência.
68. Uma outra ideia a copiar dos espaços euclidianos ℝ para ℒ2 , , que envolve o produto interno, é a de projeção ortogonal de um vetor u em um vetor unitário e.
69. A projeção de u em e é o vetor p dado por = , . Note Surfista, que = | , |. • Quando o ângulo entre u e e é agudo (0 < α < /2) o sinal de , é positivo. • Quando esse ângulo e é obtuso ( 2 < α < ), o sinal de , é negativo.
70. Físicos e engenheiros costumam dizer que, quando e é um vetor unitário, o produto interno , quantifica a dose de e que o vetor v possui.
71. Muito bem pensado, Surfista, mas bebidas alcoólicas estão proibidas no curso! Em outras palavras, ∙ , é um aparelho medidor de doses de e – um dosador de e.
72. Portanto, para descobrir a dose de oscilação, na frequência 3, de uma ∈ ℒ2(−, ), basta calcular , 3 = 1 − 3 .
73. Jean-Baptiste Joseph Fourier Nasceu: 21/03/1768 Morreu: 16/05/1830 Dada ∈ ℒ2(−, ), os números 0 , , , = 1, … , , obtidos das integrais 0 = , 1 2 , = , , = , , são chamados de coeficientes de Fourier da f. E o conjunto 0 , , , = 1,2, … é o espectro da f.
74. Surfista, bebidas alcoólicas continuam proibidas no curso! Se eu pensar numa função ∈ ℒ2(−, ) como um cocktail, o espectro de f é a medida dos componentes do cocktail.
75. Um 1º exemplo, o espectro de = ( − )( + )/2.
76. O espectro de f mostra que ela é constituída por uma dose positiva grande da função constante 1 2 e doses alternadas de 1 cos() que diminuem rapidamente com a frequência k.
77. Duas observações são pertinentes: • A dose constante é dada pelo o valor médio, 0 = 1 2 − , da função f em −, , multiplicado por 2; • O espectro é constituído apenas por doses de cos porque f é uma função par.
78. Um 2º exemplo, o espectro de = /.
79. O espectro de f mostra que ela é constituída apenas por doses alternadas de 1 sen() que decaem mais lentamente com a frequência k.
80. De novo, duas observações são pertinentes: • O espectro é constituído apenas por doses de sen porque f é uma função ímpar. • A dose constante ainda é dada pelo o valor médio, da função f em −, , multiplicado por 2, pois 1 2 − = 0.
81. Um 3º exemplo, o espectro de = | − 2 |/(3 2 ).
82. Neste 3º caso: • O espectro é constituído por doses de sen e cos porque f não é par nem ímpar; • A dose constante também é dada pelo o valor médio, da função f em −, , multiplicado por 2.
83. Um 4º exemplo, o espectro de = ( 2 − )2/32 − ≤ < 2 / 2 ≤ ≤
84. Este é o programa que calcula o espectro da função f, os seus coeficientes de Fourier e seu gráfico. Ele permite escolher uma função definida por expressões diferentes em [−, ) e ( , ].
85. Nesta parte o cálculo dos coeficientes de Fourier e o gráfico do espectro da f .
86. E aqui o gráfico da f .
87. 1 2 = [1 , 2 ] Em ℒ2(, ) o subespaço gerado gerado pelos vetores ortonormais 0 , , , = 1,2, … , tem dimensão 2 + 1. Também usamos a notação = [ 0 , , , k = 1, … N ]. Em ℝ3, o subespaço gerado por dois vetores 1 , 2 é um plano passando pela origem. Ele é indicado por = [1 , 2 ]. Vamos assumir que eles são ortonormais.
88. Combinações lineares como 1 1 + 2 2 sempre estarão no subespaço gerado por 1 , 2 , = [1 , 2 ] Analogamente, combinações lineares do tipo 0 0 + =1 [ + () ] sempre estarão no subespaço = [ 0 , , , k = 1, … N ].
89. u v Da mesma forma, dada uma função ∈ ℒ2(, ) quando, na combinação linear = 0 0 + =1 [ + () ] os números 0 , , são os coeficientes de Fourier 0 , , da f, temos que = (). Dado um vetor ∉ , quando na combinação linear = 1 1 + 2 2 temos 1 = , 1 e 2 = , 2 temos que = .
90. É que no espaço euclidiano ℝ3, o vetor de um plano mais próximo de um vetor ∉ é a sua projeção ortogonal em , . v = (v) Mas que vantagem Loirinha leva, nessa ideia?
91. = (f) f Da mesma forma, = = 0 0 + =1 [ + ] é a melhor aproximação para uma função ∈ ℒ2(, ) em = [ 0 , , , k = 1, … N ]. Lembrem-se: 0 = , 0 , = , e = ,
92. Agora vou mostrar os gráficos da f e de sua aproximação de Fourier para os mesmos quatro exemplos. Lembrem-se, a f é uma função periódica, de período = 2.
93. O primeiro exemplo.
94. O segundo exemplo.
95. O terceiro exemplo.
96. O quarto exemplo.
97. O programa que mostra o gráfico de uma função f e da sua aproximação de Fourier.
98. Nesta parte são calculados os coeficientes de Fourier da f.
99. Aqui geramos os gráficos de f e de sua aproximação de Fourier.
100. Tchau! Até a próxima aula.
101. Informações adicionais sobre a “quad”.
107. Mais informações sobre quadratura gaussiana.
112. Teorema 4.7
118. Tchau! mesmo!.