Integração numérica e o L2

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1. Integração numérica e o (, ) Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Na exposição da MatPlotLib, mostramos a “regra trapezoidal”, tanto a simples como a composta. A integração (numérica) é um tópico tradicional em Cálculo Numérico.
3. É Mestra, lembro-me muito bem.
4. A definição de integral (de Riemman) é um belíssimo exemplo do poder dos conceitos de supremo e ínfimo. Vamos entender, de uma vez por todas, o que é essa integral.
5. = 0 +1 = , , f Dada uma função ∈ ℬ[, ] e dada uma partição = { = 0 < 1 < … < = } de , , para cada subintervalo , +1 dela, consideramos as áreas ∆ e ∆ , onde ∆ = +1 − e nas quais: , = inf , ∈ , +1 , = sup , ∈ , +1
6. , = , ∆ −1 =0 Soma superior Em seguida, consideramos as somas: , = , ∆ −1 =0 Soma inferior
7. 4 5 6 7 8 1 2 3 f 4 5 6 7 8 1 2 3 f , = ( )∆ =1 Soma superior , = ( )∆ −1 =0 Soma inferior Para ajudar o entendimento, quando f é monótona crescente e contínua, como na figura:
8. Quando, na desigualdade acima, ocorre a igualdade, dizemos que f é Riemann integrável em [, ] e que = sup{ (, ) ∈ [, ] } Não é muito difícil provar que sup{ (, ) ∈ [, ] } ≤ inf { (, ) ∈ , }, onde , é a coleção de todas as partições do intervalo [, ].
9. ... Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's' longo - para representar summa . Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ". ... http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm O símbolo de integral é um S estilizado, S de Soma!
10. O cálculo da soma inferior e da soma superior para uma função monótona crescente para partições uniformes de 50 a 60 pontos.
11. Prova-se que toda função monótona (crescente ou decrescente) é Riemann integrável. Prova-se também que toda função contínua é Riemann integrável. Prova-se que ∈ ℬ[, ] é Riemann integrável se, e somente se, dada uma precisão > 0, existe uma partição ∈ [, ] para a qual , − , <
12. O que há na SciPy sobre integração. Começaremos por aqui.
13. A regra trapezoidal, que já vimos em “Básico de MatPlotib”.
14. Uma execução mal sucedida. Poucos subintervalos para obter a precisão requerida.
15. Agora, com mais pontos.
16. Esse é o código. Marquei onde uso a trapezoidal. A parte gráfica vem a seguir.
17. Esse é o código da parte gráfica.
18. A regra de Simpson requer um número ímpar de pontos.
19. O código só muda onde marquei. Bem mais eficiente. Usou menos da metade dos pontos para a mesma função, intervalo e precisão.
20. Hoje começaremos a estudar um dos tópicos mais importantes da Álgebra Linear e da Análise Numérica. Os espaços ℒ2(, ).
21. Em outras palavras, ℒ2(, ) é o espaço das funções : , → ℝ tais que 2 ∈ ℝ. Para enfatizar o aspecto fundamental: a 2 é integrável, i.é, 2 é um número real. Os elementos do espaço (vetorial) ℒ2(, ), são as funções de quadrado integrável.
22. De onde segue que, para , ∈ ℒ2[, ] . ≤ 2 + 2 . Das relações 2+2 + 2 = + 2 ≥ 0 2+2 − 2 = − 2 ≥ 0 , segue que . ≤ 2 + 2
23. A função , ∶ ℒ2(, ) × ℒ2(, ) → ℝ, definida por , = . é um produto interno em ℒ2(, ). É muito fácil provar essa afirmação do Sherlock Surfista.
24. Tudo que você tem que fazer é provar que para , , ℎ ∈ ℒ2(. ) e ∈ ℝ valem: i. + , ℎ = , ℎ + , ℎ ii. , = , iii. , = , iv. , ≥ 0 e , = 0 ⇒ = 0
25. E como no caso geral, que já vimos antes, segue daí que 2 = , é uma norma em ℒ2(, ) .
26. Assim como o produto interno , é uma “tradução” para , ∈ ℒ2(, ) do produto interno , para , ∈ ℝ. Essa norma é a “tradução” para ℒ2(, ) da norma euclidiana 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + 2 em ℝ.
27. Surfista, então quando calculamos 1 0 para duas funções f e g conhecidas, o número obtido corresponde ao produto interno delas em ℒ2(0,1) ? Sim Loirinha! Vou fazer um programa para calcular , =
28. Meu programa calcula , = − com precisão de 8 casas decimais, mostra os gráficos de f, g e de , como área.
29. Surfista, que programão! Vou usá-lo agora.
30. Para = , = o produto interno é , = 2
31. Para = , = cos () o produto interno é , = 0. Como a função produto f g é uma função ímpar, eu nem precisava ter usado seu programa, Surfista.
32. Meu programa também calcula 2 = , = ()2 − . Para = () obtive 2 2 = , = , i.é, 2 = .
33. Fiz o cálculo para = sen (2) e também obtive 2 = . Será um resultado geral?
34. Acho que sim, pois para ℎ() = 3 , também vale 2 = .
35. Vocês dois acabaram de mostrar que 2 = 2 = ℎ 2 = para = , = (2) e ℎ = (3). E, de fato Loirinha, é um resultado geral.
36. , = () − = 0 ≠ = (∗) , = () − = 0 ≠ = , = () − = 0, ∀, ∈ ℕ 1 2 3 As funções • () para = 0,1,2, … e • () para = 1,2, … são funções de ℒ2[−, ] e satisfazem: (∗) Para = = 0, troque por 2. Os resultados que vocês obtiveram podem ser generalizados para:
37. Surfista, para provar a afirmação da Mestra, utilize as identidades trigonométricas • + = cos + sen (), • cos + = cos cos − (). E também que o produto de funções pares e ímpares obedece as regras correspondentes para números pares e ímpares .
38. O conjunto = 0 , , , = 1,2, … de funções definidas no intervalo [−, ] por • 0 = 1 2 , • = 1 , = 1,2, … , • = 1 , = 1,2, … , é um conjunto ortonormal em ℒ2(−, ), sua base canônica. Os resultados expostos pelos professores e alunos podem ser resumidos no enunciado (importantíssimo!):
39. Mestra, se é uma base, então poderemos expressar funções de ∈ ℒ2(−, ) como combinações lineares de elementos de ? Com certeza podemos afirmar que combinações lineares desses vetores básicos são elementos de ℒ2(, ).
40. Certo Mestra, mas afirmação da Loirinha é bem mais forte que a sua. Sempre atento, Sherlock; você está coberto de razão. Para esclarecer a pergunta da Loirinha precisaremos entender as séries de Fourier.
41. É neste exato momento que passaremos a nos aproveitar do fato que ℒ2(, ) é o herdeiro natural dos espaços euclidianos ℝ.
42. / () Um conceito fundamental nos espaços euclidianos ℝ é o de projeção ortogonal de um vetor u em um vetor v: = , .
43. Por exemplo, se 1 , 2 é a base canônica de ℝ2 e = 1 1 + 2 2 então 1 = , 1 2 = , 2 1 2 1 2
44. Físicos e engenheiros costumam dizer que a expressão = 1 1 + 2 2 informa que: “v é composto de tantas partes de 1 mais tantas partes de 2 “. Portanto a dosagem (1 , 2 ) é medida por , 1 e , 2 .
45. Surfista, bebidas alcoólicas estão proibidas no curso! Em outras palavras, ∙ , ∙ é um aparelho medidor de doses – um dosador!
46. Portanto, para descobrir a dose de oscilação, na frequência 3, de uma ∈ ℒ2(−, ), basta calcular , 3 = 1 3 − .
47. Um dos problemas relevantes resolvidos por projeções, é o problema a seguir, de proximidade. − () No espaço euclidiano ℝ3, o vetor do plano x-y mais próximo de um vetor v é a sua projeção em x-y.
48. Tchau! Até a próxima.