Interpolação por partes e Splines

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1. Interpolação unidimensional por partes e splines Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Iniciamos revendo o exemplo do fenômeno de Runge, no qual o erro cresceu assustadoramente com o grau. O erro disparou nos extremos!
3. DIVIDIR PARA CONQUISTAR! Troquem um gigante por muitos anões! E aí Mestres, como faremos para matar esse leão?
4. A ideia é muito simples: 1. Dividimos o intervalo [, ] em vários subintervalos – o total de anões; 2. Em cada sub-intervalo usamos uma polinomial de grau baixo – os anões. Dividir para conquistar é um mantra da computação.
5. Troquei o gigante por 4 anões. Melhorou bastante nos extremos, mas piorou no centro. Não ficou bom!
6. Mestre, precisaremos de muitos anões. Vamos para Liliput com Gulliver!
7. 4 anões 14 anões 24 anões Sim, quanto mais anões, melhor:
8. Foi uma das primeiras lições que aprendemos na MatPlotLib. Lembro-me perfeitamente!
9. O pacote de interpolação da SciPy é grande. Precisaríamos de várias aulas explorá-lo por completo.
10. Veremos apenas a interpolação e Splines unidimensionais.
11. Das funções disponíveis em interpolação unidimensional já vimos as marcadas.
12. Agora veremos estas outras duas.
13. E das funções disponíveis em Splines unidimensionais veremos, ao final, as que marquei em vermelho.
14. Os detalhes da interp1d():
15. A parte final:
16. • Recebe: 1. Um intervalo [, ], 2. A expressão () de uma função, 3. Um número de pontos para criar uma partição uniforme de , . • Constrói a interpoladora de Lagrange da função usando a rotina interp1d() da SciPy. • E devolve: 1. Uma tabela dos pares dos pares , ( ) , 2. Os gráficos de e da interpoladora linear por partes de Lagrange da função sobre a partição , . Fiz um programa que:
17. Eis o programa: Marquei onde chamo a interp1d().
18. Chamei-o com os dados à frente e veja o resultado:
19. Este é um outro programa, muito parecido. Também usando a interp1d().
20. Os valores de agora são escolhidos pelo usuário:
21. Passaremos a analisar uma classe de espaços vetoriais importantíssima em teoria de aproximação.
22. Um desses espaços é o ℒ( , ). Ele é constituído pelas funções que são contínuas num intervalo [, ] e lineares em cada sub-intervalo de uma partição [, ] = { = 0 < 1 < ⋯ < = } de [, ].
23. A rotina interp1d( ) do pacote scipy.interpolate permite construirmos facilmente funções (vetores) desse subespaço. ℒ , é um subespaço de , .
24. Todo espaco vetorial tem uma base, ao menos uma. Mostre-nos uma base do ℒ( , ), Mestra. Ah, minha filha, uma delas é a minha coleção de chapéus de bruxa!
25. Chapeus de bruxa, Mestra? Amei! Sim Loirinha. A base canônica de ℒ( , ) é a coleção ℋ = {ℎ0 , ℎ1 , … , ℎ } constituída pelas N+1 “hat functions” que o Galileu vai te mostrar nas próximas transparências.
26. No meu tempo a Igreja não queimou apenas bruxas! As funções chapéu, “hat functions”, formam uma base para esse espaço. Esta é a ℎ3 . A definição ponto-a-ponto dela é: ℎ3 = 0 ∈ [0,2) − 2 ∈ [2,3) 4 − ∈ [3,4) 0 ∈ [4,5]
27. O programa que desenha as “hat functions”
28. A continuação do programa.
29. Aqui estão todos os elementos da base. hat(0) hat(3) hat(2) hat(1) hat(4) hat(5)
30. Aspecto fundamental e importantíssimo: ℒ( , ) é um subespaço de , de dimensão finita + 1. É essa característica que permite computarmos aproximações para equações diferenciais ordinárias e parciais através do método dos elementos finitos.
31. 3 1 4 3 4 Nesta figura desenhei em azul uma combinação linear de duas delas: 3 ℎ3 + 4 ℎ4
32. A função abaixo é uma combinação linear de cinco funções-chapéu ℎ0 , ℎ1 , … , ℎ5 : = 0.3ℎ0 + 0.9ℎ1 + 0.5ℎ2 + 1.1ℎ3 + 1.3ℎ4 + 1.0ℎ5
33. Veremos adiante que essa característica é fundamental para o método dos elementos finitos. Um aspecto fundamental da “hat function” ℎ3 é que ela é nula fora dos dois subintervalos que possuem o ponto 3 . Os matemáticos dizem: uma função a suporte compacto. O suporte da ℎ3 é o intervalo fechado [2.0, 4.0]. O suporte da função ℎ3 .
34. Um elemento finito é uma terna (, , Σ) na qual: • K é um subconjunto fechado de ഥ Ω = [a, b]; • é um espaço de funções polinomiais para as funções de forma; • Σ é o conjunto de graus de liberdade local.
35. a b el 1 a el 1 = − − = − − No método dos elementos finitos elas recebem o nome de coordenadas baricêntricas, e são usadas as letras gregas , no lugar de , . Na construção dos elementos finitos lineares usamos as duas funções da base de Lagrange linear definidas no elemento = [, ]:
36. São propriedades básicas das coordenadas baricêntricas: • ∈ 1 (), = 1,2, = [0 , 1 ] • = = ቊ 1, = 0, ≠ , , = 1,2 • 1 + 2 = 1, ∀ ∈ As derivadas das coordenadas baricêntricas são: ቊ 0 () = − Τ 1 ℎ 1 () = Τ 1 ℎ , ∈ .
37. A correspondência global x local ℎ5 ℎ6 5 6 Base global 0 1 5 6 Base local A correspondência entre as funções básicas no intervalo [5 , 6 ] : ൜ ℎ5 = 0 () ℎ6 () = 1 () para ∈ [5 , 6 ]. ou ℎ5 | 5,6 = 0 , ℎ6 | 5,6 = 1
38. Numa próxima aula resolveremos alguns problemas de valor de contorno pelo método dos elementos finitos.
39. Agora passaremos a examinar aproximações quadráticas por partes.
40. , é o subespaço de , constituído pelas funções que são quadráticas em cada par consecutivo de sub-intervalo de uma partição [, ] = { = 0 < 1 < ⋯ < = } do intervalo [, ] – os elementos finitos quadráticos. Anotaremos o espaço de funções quadráticas por partes por ( , ).
41. Atenção Surfista: Como necessitamos de pares de subintervalos consecutivos, o número N da partição , obrigatoriamente será ímpar.
42. Para enfatizar o uso de polinomiais de grau ≤ 2 usarei um ℎ −1 , , +1 , −1 , , +1 em cada três pontos sucessivos −1 , , +1 , = 1, … , − 1 (pares de subintervalos) da partição [, ] = { = 0 < 1 < ⋯ < = } de , .
43. Pintarei cada polinomial de grau ≤ 2 com uma cor diferente, para ficar clara a ideia de “por partes”.
44. O programa que faz o gráfico das interpoladoras quadráticas. Marquei onde usamos a KroghInterpolator( ).
45. Usei o mesmo programa que chama a rotina interp1d( ) da scipy.interpolate para desenhar uma função quadrática por partes em cada subintervalo da partição. A única diferença foi no parâmetro kind.
46. Observem a grande melhoria na aproximação funções quadráticos com relação à brincadeira de trocar um gigante por vários anões. Incrível, é a mesma função do leão!
47. O programa da interpolação quadrática por partes. Ele é uma pequena modificação do anterior (o colorido).
48. A continuação do programa.
49. Você sabe porque o chamei aqui, Mr. Charlie Chaplin? Sei sim, Mestre. Para mostrar meu chapéu coco!
50. Eu explico, Surfista. Chapéus de bruxa são pontudos e retos, mas chapéus coco são arredondados – como parábolas, polinomiais de grau 2. E dá para explicar porque, Mr. Chaplin?
51. Saquei Mestre! As funções básicas agora serão parábolas com abas, como chapéus coco. 2 2 1 1 Ótimo, mas tirou só meio-certo, Surfista!
52. Vou acordar este mexicano que está dormindo. Preciso do chapéu dele! Mestra, não faça isto, é o Mestre descansando!
53. É que além dos chapéu-côco, vamos precisar também de “sombreros” mexicanos pontudos! Porque uma base do espaço das funções quadráticas por partes é constituída por chapéus-côco e “sombreros” mexicanos. Vejam nas próximas transparências.
54. Veja o gráfico da “chapéu-coco” nº 3
55. Zzz..., “es lo sombrero” mexicano nº4
56. Agora vou mostrar uma base global para , . Usarei 4 pares de subintervalos. Portanto = 2 × 4 + 1 = 9, a dimensão de , . Admirem as funções básicas Loirinhas e Surfistas!
57. Todos os 5 chapéus mexicanos
58. E todas as 4 chapéu-coco:
59. Na construção dos elementos finitos quadráticos usamos as três funções da base de Lagrange quadrática (as funções de forma) definidas localmente no elemento = [, , ]. = − − ∙ − − = − − ∙ − − = − − ∙ − −
60. As funções de forma são portanto definidas no elemento = , , através do produto das coordenadas baricêntricas: = () ∙ () = () ∙ () = () ∙ ()
61. Na base exibida, a partição , foi uniforme (pontos = 0 + ∙ ℎ, igualmente espaçados) e as funções da base de Lagrange de , são: 0 = 1 2ℎ2 ( − 1 )( − 2 ) 1 = −1 ℎ2 ( − 0 )( − 2 ) 2 = 1 2ℎ2 ( − 0 )( − 1 )
62. 0 = 1 ℎ2 − Τ 1 + 2 2 1 = −1 ℎ2 − Τ 0 + 2 2 2 = 1 ℎ2 [ − Τ 0 + 1 2] As derivadas das coordenadas baricêntricas são:
63. São propriedades básicas das coordenadas baricêntricas: • ∈ 2 (), = 0,1,2, = [0 , 1 , 2 ] • = = ቊ 1, = 0, ≠ , , = 0,1,2 • 0 + 1 + 2 = 1, ∀ ∈
64. O programa que mostrou as funções básicas ().
65. Continuação.
66. O final do programa.
67. Além da interpolação polinomial por partes de Lagrange estudaremos a de Hermite.
68. Assinalei outro método disponibilizado pela scipy.interpolate:
69. E o outro: a classe PiecewisePolynomial.
70. p() q() 2 2 3 1 Na interpolação polinomial por partes, de Lagrange, a única exigência é a continuidade da interpolação. No gráfico: 2 = 2 = (2 ).
71. p() q() 2 2 3 1 Observem que, no extremo comum, (2 , 2 ), a “colagem” entre p e q não é suave. Matematicamente (2 ) ≠ (2 ). Ondas abruptas, mas surfistas com curvas suaves...
72. p() q() 2 2 3 1 A imposição da condição 2 = 2 suaviza a colagem, pois obriga a coincidência das retas tangentes. A interpolação polinomial por partes, de Hermite, exige, em cada ponto, a igualdade tanto do valor da função, como do valor da derivada da função. O dobro de condições.
73. Para efetuar a interpolação de com o método ( ) o parâmetro é um array unidimensional com tamanho n, o número de pontos da partição do − . Já o parâmetro é um array bidimensional, com tamanho n x k, com ≥ 2. Para interpolar uma função f, o parâmetro será constituído por n pares , . Entretanto poderiam ser dois valores quaisquer.
74. A interpolação de Hermite. O programa a seguir sorteia 7 pontos e 7 direções tangentes e constrói a interpoladora.
75. O parâmetro “orders” é mandatário com relação à condição de tangência. Sim, basta conferir os graus e os gráficos das polinomiais em cada sub-intervalo.
76. O programa que traçou o gráfico da transparência anterior .
77. = = 3 O default = é uma polinomial de grau 3 em cada sub-intervalo.
78. Repetindo, quando não especificamos o parâmetro orders, ele assume o valor 3. Em outras palavras, as polinomiais são de grau 3 em cada sub-intervalo.
79. O programa que traça o gráfico da função e da interpoladora, com = 3.
80. É só usar = 0. A interpoladora constante por partes usando a função ( ) do pacote interpolate da SciPy.
81. Agora usando = 1 temos a interpolação linear por partes.
82. Com = 2 temos interpolação quadrática em cada sub-intervalo. Neste caso a tangência só ocorre no extremo direito de cada subintervalo.
83. A interpolação de Hermite Especificando o parâmetro = 3 ou deixando = .
84. p() q() 2 2 3 1 A imposição da condição ′′ 2 = ′′ 2 obriga a mesma curvatura local para as duas curvas p e q que possuem o ponto (2 , 2 ) em comum. A curvatura local é o inverso do raio da circunferência osculadora – procure um livro de computação gráfica para mais detalhes. Observação
85. Para usar = 4 precisamos fornecer também as derivadas 2ªs. A polinomial, sua derivada e sua derivada 2ª são iguais em cada nó.
86. Observe que agora são 3n condições para n pontos. Neste exemplo 12.
87. Agora vamos examinar outro tipo de interpolação polinomial por partes, conhecido como “splines”.
88. p() q() 2 2 3 1 Observem que, no extremo comum, (2 , 2 ), a “colagem” entre p e q não é suave. Matematicamente temos ′(2 ) ≠ ′(2 ). Na interpolação polinomial por partes, de Lagrange, a única exigência é a continuidade na "colagem” das interpoladoras p e q. No gráfico: 2 = 2 = (2 ).
89. p() q() 2 2 3 1 A imposição da condição ′ 2 = ′ 2 suaviza a colagem, pois obriga a coincidência das retas tangentes. Já vimos que a interpolação por partes, de Hermite, exige, em cada ponto, a igualdade tanto do valor da função, como do valor da derivada da função. O dobro de condições.
90. p() q() 2 2 3 1 A imposição da condição ′′ 2 = ′′ 2 obriga a mesma curvatura local para as duas curvas. Nessa interpolação por partes de Hermite, são necessárias 3n informações para interpolar n pontos.
91. A interpolação polinomial spline, é obtida “forçando a barra”. Uma régua “spline”, muito usada antigamente (antes da computação gráfica) por desenhistas, projetistas e arquitetos para traçar curvas suaves.
92. Já explico. Suponha que pretendemos interpolar uma função ∶ , → ℝ usando uma spline () constituída por polinomiais quadráticas em cada subintervalo em cada um dos 4 subintervalos definidos pela partição = 0 < 1 < 2 < 3 < 4 = () 1 2 0 3 4 Como assim?
93. 1 2 0 3 4 2 1 3 4 Assim, nossa spline () será constituída por 4 polinomiais de grau 2: 1 = 0 + 1 + 2 2, 2 = 0 + 1 + 2 2, 3 = 0 + 1 + 2 2, 4 = 0 + 1 + 2 2. Ao todo 4 × 3 = 12 coeficientes a determinar.
94. () 1 2 0 3 4 1 2 0 3 4 Para aliviar a notação, vou escrever (0 ) = 0 , (1 ) = 1 , (2 ) = 2 , (3 ) = 3 , (4 ) = 4 , como mostro na figura.
95. Como queremos que spline () interpole a função f, teremos 8 condições (8 equações lineares) para as 12 incógnitas. Nelas já estão embutidas 3 condições de continuidade da spline () nos nós internos 1 2 0 3 4 1 2 3 4 1 2 0 3 4 1 0 = 0 1 1 = 1 2 1 = 1 2 2 = 2 , 3 2 = 2 , 3 3 = 3 , 4 3 = 3 , 4 4 = 4 . 8 equações
96. 1 2 3 4 E a continuidade para as derivadas da interpoladora nos nós internos fornece outras três. 1 2 0 3 4 ൞ 1 ′ (1 ) = 2 ′ (1 ) 2 ′ (2 ) = 3 ′ (2 ) 3 ′ (3 ) = 4 ′ (3 )
97. Ao todo temos 11 condições para determinar as 12 incógnitas 0 , 1 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 , 1 , 2 . Falta uma condição, que pode ser escolhida impondo uma condição sobre o valor da derivada da última polinomial 4 () no ponto 4 = . Por exemplo, 4 ′′ 4 = ou 4 ′ 4 = , onde e são valores escolhidos.
98. Então é só resolver o sistema linear para obter a spline interpoladora.
99. Seja () uma função definida num intervalo [, ]. Uma função () é um spline de grau p, com nós nos pontos = 0 , < 1 , < ⋯ < = , quando satisfaz as condições: • Em cada subintervalo , +1 é uma polinomial de grau p, • () é de classe −1 , . () é um spline interpolante quando, além dessas duas condições, satisfaz também: • = , = 0,1, ⋯ , . A definição geral de “spline”. Acabamos de detalhar a construção de um spline quadrático.:
100. Uma “spline” cúbica interpolante: É uma função : [, ] → ℝ, de classe 2[, ] que, restrita a cada subintervalo , +1 , = 1,2, ⋯ , é uma polinomial de grau 3. De forma mais explícita, ela satisfaz: 1) = () para ∈ . +1 , k = 1,2, ⋯ , 2) = , = 1,2, ⋯ , 3) = +1 , = 1,2, ⋯ , − 1 4) ′ = ′+1 , = 1,2, ⋯ , − 1 5) ′′ = ′′+1 , = 1,2, ⋯ , − 1
101. O classe interp1d ...
102. O parâmetro kind permite escolhermos interpolação constante, linear, quadrática e cúbica por partes.
103. O resto dos parâmetros. Observem a indicação de outro método, mais recente.
104. Duas polinomiais do 2º grau (5 pontos).
105. Note que com 3 polinomiais do 2º grau (7 pontos), já temos uma aproximação razoável.
106. Com 5 polinomiais do 2º grau (9 pontos), a aproximação já é muito boa.
107. Esse é o código do programa. Marquei em vermelho as linhas de código envolvidas na definição da polinomial quadrática por partes.
108. Usando 2 polinomiais cúbicas, verificamos que o erro já é muito pequeno. O código é muito parecido.
109. Usando 3 polinomiais cúbicas, já não distinguimos, visualmente, a função da interpoladora por partes!
110. Agora vamos usar a classe dos splines da scipy.
111. Mais detalhes, que usaremos agora!
112. Esta função retorna a representação tck da spline cúbica (default).
113. Esta função avalia a spline representada por tck no array x.
114. Os gráficos da função = 2 e da spline cúbica passando por pontos escolhidos.
115. O programa. Marquei em vermelho as linhas de código envolvidas na definição e na avaliação da spline.
116. O parâmetro der da função splev( ) permite mostrar a derivada 1ª ou 2ª da spline interpolante.
117. O código do programa. Observe as chamadas a splev( )
118. Uma curva () no plano é dada por um par de equações paramétricas: = ( , ) onde ቊ : , → ℝ, ↦ = () : , → ℝ, ↦ = () () () ()
119. O conjunto = , ∈ ℝ2| = = , ∈ [, ] é denominado traço da curva e = () e = () são os pontos inicial e o final da curva.
120. Saquei Mestres! O autódromo de Interlagos é o traço. As curvas ℱ () e ℳ () dependem da dobradinha carro + piloto: • Ferrari + Sebastian Vettel, • Mercedes + Lewis Hamilton.
121. A spline cúbica paramétrica, serve para curvas parametricamente no plano − .
122. A interpolação da borboleta com uma spline cúbica paramétrica.
123. Vejam, são necessários mais pontos para melhorar a precisão:
124. Este é o programa que interpola a borboleta.
125. Para interpolar a espiral de Arquimedes, basta mudar a definição da curva paramétrica!
126. Com 20 pontos a interpolação com a spline paramétrica já está boa:
127. Tchau! Até a próxima.