Leitura: Racionais e os Pitagóricos

Números racionais. A enumerabilidade dos racionais. A prova que raiz de dois não é racional.

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1. Leitura: Racionais e os Pitagóricos Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. As frações incorporam a ideia de dividir um todo em partes. Fiz um bolo com 5 pedaços de coco e 5 de chocolate.. Mestra, a Loirinha acabou de me dizer que quer 3/10 desse bolo. Uma fatia para ela, uma para seu amigo Manuel e a 3ªpara a Python. Pode deixar que eu levo ...
3. Esse Surfista é cara de pau! Não quero nada, estou de regime. É que eu adoro bolo ...
4. Professor, em duas ou em quatro eu sei, mas em três não dá! Aproveitando a oportunidade: Surfista, mostre como você pode cortar um barbante em três partes iguais!
5. Meu filho, até os gregos já sabiam fazer isso! Isso é ensinado em Desenho Geométrico, lá no 2º grau. É Surfista, vou recordar como podemos dividir um segmento em partes iguais. Antes quero apresentar Rafael di Sanzio. Ele pintou o quadro a seguir:
6. “Causarum Cognitio”, ou “A Escola de Atenas”
7. Nasceu em ~ 570 a.C., em Samos Morreu em ~ 496 a.C., em Metaponto Caros alunos, este é o Pitágoras, de Samos – uma ilha da Magna Grécia.
8. Nasceu em 325 a.C., na Síria Morreu em 265 a.C., na Grécia E este o Euclides. A sua obra “Os Elementos“ é gigantesca (13 volumes). Constituiu o texto fundamental de matemática por cerca de 20 séculos. Dizem que é o livro mais lido do mundo, ultrapassado apenas pela Bíblia.
9. A B Surfista, vou mostrar como dividir um segmento AB em 3 partes iguais. Primeiro traçamos uma reta inclinada passando pelo ponto A
10. A B Em seguida, com um compasso, marcamos 3 pontos igualmente espaçados, na reta inclinada, a partir de A
11. A B Depois, ligamos o último ponto marcado ao ponto B, criando um triângulo.
12. A B Em seguida, traçamos duas paralelas à ela pelos outros dois pontos.
13. A B Por semelhança de triângulos, os 3 segmentos entre A e B são iguais..
14. Os Pitagóricos já faziam construções como essa, a mais de 500 anos AC na Magna Grécia. Eles acreditavam que toda a geometria do mundo poderia ser descrita através da razão entre dois inteiros. Pelas frações!
15. A B Novamente um processo repetitivo! Se não parar nunca, vai acabar enchendo o segmento AB. Com essa construção, podemos pensar em dividir um intervalo AB na metade. Cada metade na metade. E assim por diante!
16. 0,1 0,1/2,1 0,1/4,1/2,3/4,1 0,1/8,1/4,3/8,1/2,5/8,3/4,7/8,1 0,1/16,1/8,3/16,1/4,5/16,3/8,7/16,1/2,9/16,5/8,11/16,3/4,13/16,7/8,15/16,1 Pode parar com as frações Professor ! Já não está cabendo na largura desta transparência. Será mesmo Loirinha, que essas frações preencherão todo o segmento AB ? Bem, se A = 0 e B = 1, teremos as seguintes frações:
17. Professor, acho que a Loirinha está coberta de razão. Todas elas são frações da forma p/2N, com 0 ≤ p ≤ 2N, e serão muitas frações !!! Sim, sim! Para N = 40 teremos 1 TERA de frações. Nem consigo imaginar – por menor que seja cada pontinho, o intervalo [0,1] vai ser totalmente coberto!
18. A resposta a essa sua pergunta Loirinha é um sonoro NÃO! Ela vale muito mais que um milhão de dólares! Pois é Loirinha, a ideia intuitiva que ponto tem tamanho conduz a uma pista errada!
19. Professora, você está afirmando que existem números no intervalo [0, 1] que não são frações ! SIM, minha filha, com todas as letras – em maiúsculas !
20. Professor, fale sobre um problema importante, impossível de resolver usando apenas frações. Q Dado um quadrado Q, construir outro quadrado Q* cuja área é o dobro da área de Q. Em seguida calcular a medida do seu lado. O problema descrito abaixo é famoso:
21. Ah Professor, não acredito na impossibilidade! Veja só: construí um novo quadrado com o dobro da área do Q, só com régua e compasso – como os Pitagóricos.
22. Perfeito Loirinha, agiu como uma Pitagórica. E como poderemos calcular seu lado? Surfista, ajude a Loirinha! Surfista, assuma que o lado do quadrado menor Q mede 1 unidade.
23. Ah Mestra, aplicando o Teorema de Pitágoras temos: D2 = 12 + 12 = 2 . D 1 1 Como minha construção foi com régua e compasso, como os Pitagóricos, o lado D certamente será uma fração!
24. D 1 1 Ok Loirinha, vamos assumir que D é uma fração, isto é, D = p/q, com p e q inteiros positivos. Mais que isso, vamos assumir que a fração p/q, já está simplificada. Pois senão é só simplificá-la.
25. Portanto p e q não tem fatores comuns! Continuando, temos que (p/q)2 = D2 = 2 e, consequentemente, que p2 = 2.q2
26. Como p2 = 2.q2, segue que p2 é par e portanto que p é par. Mas por quê p é par? (2m+1)2 = 2k + 1, com k = 2m2 + 2m Ora filha, porque o quadrado de um número ímpar é ímpar:
27. Ora Loirinha, segue daí que 2.q2 = p2 = (2.r)2 = 4.r2, isto é, q2 = 2.r2. Claro, Surfista. E daí ? Mas se p é par, então p =2.r, com r inteiro positivo.
28. Consequentemente q é par. Ah Professor, se tanto p como q são pares eles tem 2 como fator comum. Então algo está errado: a Mestra já tinha simplificado a fração D no início.
29. Sim Loirinha. O erro está em assumir que a diagonal D do quadrado menor é uma fração! Em outras palavras, acabamos de provar que não existe nenhuma fração D tal que D2 = 2. D 1 1
30. A humanidade se angustiou por mais de 2.000 anos para responder essa pergunta! 1845-1918 Quem respondeu à ela foi meu amado Professor Georg Cantor. Vamos ver como e, quem sabe, aprender a cantar!
31. O 1º passo envolve descobrir se o conjunto dos racionais é ou não é enumerável! Ah Mestre, não vamos conseguir fazer uma lista dizendo qual é a 1ª fração, qual é a 2ª, a 3ª e assim por diante!
32. Muito simples, Loirinha! Uma fração f 2 não pode ser a seguinte de uma f 1 porque sempre posso colocar a média das duas entre elas: f 3 = (f 1 + f 2 )/2 Não vejo porquê Surfista. Explique sua ideia. f1 f2 f3
33. Jovens, vou contar a ideia que o George Cantor teve para responder a pergunta. Lembra “Jesus alegria dos homens” de J. S. Bach, de tão bela! Mestre, outro dia ví o nome dele num livro de meu pai: Gödel, Escher, Bach – Um entrelaçamento de Gênios Brilhantes. Meu pai gostou muito. O autor é famoso: Douglas R. Hofstadter.
34. 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3 5 4 (0,1), (1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), ... (0,2), (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), ... (0,3), (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), ... (0,4), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), ... (0,5), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), ... O conjunto dos pares ordenados de naturais versus naturais positivos no plano.
35. 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3 5 4 0/1, 1/1, 2/1, 3/1, 4/1, 5/1, ... 0/2, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ... 0/3, 1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3, ... 0/4, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 5/4, ... 0/5, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 5/5 ... O conjunto dos racionais positivos visualizado como pontos do plano.
36. Aí estão representadas todas as frações positivas possíveis! Não acredito mesmo, Mestra. Preciso de uma prova. Aliás, exijo uma demonstração disso!
37. É só você observar que a associação (p, q) ⟼ p/q, definida em { (p, q) | p ∊ ℕ e q ∊ ℕ* } é biunívoca Ora, poderosa Loirinha, essa é apenas uma representação gráfica do conjunto { p/q | p ∊ ℕ e q ∊ ℕ* }, que inclui todos os racionais positivos
38. Agora podemos mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável. Vejam a enumeração dos racionais não- negativos apresentada pelo Cantor. Ideia simples, mas genial ! 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3 5 4
39. É só passear pelo caminho em zigue-zague etiquetando: ponto 0, ponto 1, ponto 2, ponto 3, etc... 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3 5 4
40. 0 ⟶ 0/1 = 0, 1 ⟶ 1/1 = 1, 2 ⟶ 0/2 = 0, 3 ⟶ 0/3 = 0, 4 ⟶ 1/2, 5 ⟶ 2/1 = 2, 6 ⟶ 3/1 = 3, 7 ⟶ 2/2 = 1, 8 ⟶ 1/3, 9 ⟶ 0/4 = 0, 10 ⟶ 0/5 = 0. 11 ⟶ 1/4, 12 ⟶ 2/3, 13 ⟶ 3/2, 14 ⟶ 4/1 = 4, Mas essa tabela não define uma correspondência biunívoca Mestra. Na 2ª coluna muitas frações simplificam para o mesmo número! Não é uma enumeração! Sim Mestra, então construímos a tabela:
41. Claro. Mas vocês não aprenderam a brincar de pular-carniça ? Cada vez que um racional se repetir, depois de simplificar, pule para a seguinte! 0 ↔ 0/1 = 0, 1 ↔ 1/1 = 1, 2 ↔ 1/2 , 3 ↔ 2/1 = 2, 4 ↔ 3/1 = 3, 5 ↔ 1/3, 6 ↔ 1/4, 7 ↔ 2/3, 8 ↔ 3/2, 9 ↔ 4/1 = 4, . . . . . . . . . . . . . . .
42. Exatamente Professor, acabamos de provar que os números racionais formam um conjunto enumerável. As características do infinito são estranhas para nós que somos finitos! Dizendo de outra forma Professora: A quantidade de números racionais e de números inteiros é a mesma!
43. Usando frações decimais,podemos estender a notação posicional dos inteiros para os racionais. Frações decimais ? É Loirinha – aqueles frações do tipo: 7/10, 3/100, 41/1.000, ...
44. 0,23 = 0,2 + 0,03 = 2/10 + 3/100 = 2*10-1 + 3*10-2 0,861 = 0,8 + 0,06 + 0,001 = 8/10 + 6/100+1/1000 = 8*10-1 + 6*10-2 + 1*10-3 Sim, pois: 7/10 = 0,7, 3/100 = 0,03, 41/1.000 = 0,041. Observem que:
45. 0, d 1 d 2 d 3 ... d N = d 1 *10-1 + d 2 *10-2 + d 3 *10-3 + ... + d N *10-N com d k ∊ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } De forma geral:
46. Como a soma de racionais é um racional, podemos afirmar que: Toda representação decimal como essa corresponde a um número racional. Mas todo número racional tem uma representação como essa?
47. Muito boa pergunta, minha filha! Nem todos – lembre-se das dízimas periódicas! Para elas precisamos incluir na representação repetições infindáveis de grupos de dígitos após a vírgula. 2/11 = 0,181818 ... = 0,18 9/37 = 0,243243243 ... = 0,243 141/1111 = 0,126912691269 ... = 0,1269 1/3 = 0,333 ... = 0,3
48. Números com infinitas casas decimais depois da vírgula ... irado! O infinito me assusta – o que é o infinito?
49. Mas explique como consigo obter a representação decimal de um racional qualquer? Bem minha filha, você tem que usar o algoritmo da divisão inteira. Vou mostrar como.
50. B Q A - B∗Q R Dividendo Divisor Quociente Resto 1º a nomenclatura, depois o conceito! A = B∗Q + R com 0 ≤ R < B, e todos os números positivos. E quando R = 0 a divisão é exata!
51. Parece complicado!. Professora, dê exemplos numéricos – é mais fácil entender!
52. 5 3 17 -15 2 5 3 15 -15 0 5∗1 = 5 5∗2 = 10 5∗3 = 15 5∗1 = 5 5∗2 = 10 5∗3 = 15 5∗4 = 20 Passou Ok, meus filhos. Do lado esquerdo mostrarei uma divisão exata e do lado direito uma com um resto não-nulo. Obtemos o quociente por tentativa e erro.
53. Agora vamos examinar a divisão decimal. Aquelas em que o quociente é um número “quebrado”, como 2,5 ou 0,348, por exemplo.
54. = ∗ = ∗ = 4 ∗ 10-1 = 0,4 2 5 10 10 2 5 20 5 1 10 Quando A < B, o 1º quociente inteiro é 0 e o quociente decimal fica 0, . 5 0 2 - 0 2 Multiplique o resto (= A) por 10 e então efetue a divisão inteira de 10A por B obtendo o 1º dígito após a vírgula do quociente decimal. Repita o processo para obter o 2º dígito decimal, e assim por diante. Quando o resto for 0 o processo termina. 0 , 4 5 4 20 - 20 0 ∗10 Vou começar com o caso em que o divisor é maior que o dividendo.
55. 25 0,08 200 25 0,0 20 = ∗ = ∗ = 8 ∗ 10-2 = 0,08 2 25 2 25 100 100 200 25 1 100 “Se não der para dividir 10A por B ( porquê 10A < B ), Torne a multiplicar 10A por 10, acrescente um zero ao quociente decimal, obtendo 0,0 e então divida 100A por B . Se ainda assim não for possível, repita o processo”. 25 0, 2 A regra tem diversos desdobramentos; um deles é o seguinte:
56. 2 3 7 - 6 1 3 , 5 2 5 10 - 10 0 ∗10 2 0 1 - 0 1 FIM Um exemplo maior. Neste caso, processo termina.
57. 0 , 3 0 2 - 0 2 6 6 3 6 20 - 18 2 3 6 20 - 18 2 Sempre = 2 ... Neste caso, processo não termina porque o resto nunca se anula!
58. Para encerrar esta revisão da representação decimal dos racionais, só falta uma regra para obter o racional correspondente a uma dízima periódica. Você se lembra de PG? Então também lembra da fórmula da soma de uma PG! Escrevi a fórmula na próxima transparência.
59. a 1 1 - r Se a1 , a2 , a3 , ... , aK , ... é uma PG de razão 0 < r < 1, então sua “soma” S é dada pela fórmula S = , , , ... 1 10 1 100 1 1000 Note que a “soma“ S da PG é 1/10 1 - 1/10 S = = 1/9 Escrevi soma entre aspas porque trata-se de um processo limite – há uma infinidade de parcelas. Processos limite são um dos objetos de análise mais importantes do Cálculo. Aqui, só estou trabalhando operacionalmente com algo que você já viu no 2º grau.
60. = 7 ∗ ( + + + ... ) 1 10 1 100 1 1000 0,777 ... = 7 ∗ 0,111 ... = 7 ∗ 1/9 = 7/9 Observe que as parcelas da “soma” marcada em vermelho são os termos de da PG de razão 1/10 e cujo 1º termo também é 1/10. Na transparência anterior vimos que essa soma vale 1/9.
61. Tchau! Até a próxima.