Nosso curso e nossas leis

São expostas as regras do curso, a marcação de provas e o conteúdo das aulas é detalhado, dia-por-dia,.

Transcript

1. LNCC Nosso curso e nossas leis Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Além da legislação geral, aplicável aos cursos da UFRJ, as regras específicas para a disciplina de Cálculo Numérico ministrada pelo Prof. Bordoni serão expostas as seguir.
3. Após as mudanças, a 1ª semana de aula é a que se inicia no domingo 15/03. Assim, em cumprimento ao calendário oficial da UFRJ, nosso 1º dia de aula é 17/04 e o último dia deverá ser 07/07, conforme a previsão a seguir.
4. 3ª 5ª 3ª 5ª 3ª 5ª 3ª 5ª 3ª 5ª Total h/a h/a acum. Março 17 19 24 26 31 - - - - - 10 - Abril - 2 7 9 14 16 21 23 28 30 14 24 Maio 5 7 12 14 19 21 26 28 - - 16 40 Junho 2 4 9 11 16 18 23 25 30 - 16 56 Julho - 2 7 9 14 16 - - - - 4 60 É Mestre, pela RESOLUÇÃO Nº 09/2014 – CONSUNI os feriados para o 1º semestre são: 21/04 (Tiradentes), 23/04 (São Jorge) e 04/06 (Corpus Cristi). Como a carga horária de Cálculo Numérico é de 60 h/a, nosso calendário previsto será:
5. O Prof. Bordoni realizará quatro verificações de aprendizagem: duas provas escritas, em sala de aula e duas verificações “online”, pela Internet. As quatro possuirão o mesmo peso.
6. Conforme já informei no conjunto de transparências “Cálculo Numérico com meus óculos” meu curso tem características teórico/práticas diferenciadas. Isto justifica as verificações de aprendizagem “online”.
7. As provas escritas serão individuais e envolverão um conteúdo mais conceitual (dissertativo), a descrição de processos e, eventualmente, algumas continhas “de cabeça” ou conferência de código/resultados. Já as provas “online” serão em duplas, realizadas pela Internet num computador pessoal e envolverão aplicações práticas (programação) de Cálculo Numérico.
8. As soluções envolverão a utilização de diversas bibliotecas científicas como a NumPy, a SciPy, a MatPlotLib e eventualmente algumas outras. As provas “online” serão realizadas em horários a combinar. Elas envolverão a implementação em Python de programas que fornecem a solução de problemas de Cálculo Numérico típicos da engenharia atual, impossíveis de serem resolvidos de outras formas.
9. O Prof. Bordoni realizará arguições em, praticamente, todas as aulas. Em algumas, realizará testes rápidos, sem aviso prévio. As arguições e testes valerão nota, que constituirá 20% da média final.
10. Portanto, com as notações óbvias, a média final, MF será calculada da seguinte forma: = ( 1 + 2 + 1 + 2 + )/5.
11. Diz a Lei da UFRJ: • Se ≥ 7,0, você estará aprovado e se < 3,0, você estará reprovado. Na terceira hipótese você deverá fazer Exame Final.
12. O Exame Final será uma prova individual “online”, em data a ser combinada, sobre a matéria toda do Curso de Cálculo Numérico.
13. Seja EF a nota do exame final e seja = ( + )/2. Diz a Lei da UFRJ: • Se ≥ 5,0, você estará aprovado, senão estará reprovado.
14. ATENÇÃO: O Prof. Bordoni computará a presença em sala de aula. Lembro que a lei da UFRJ impõe 75% de presença nas aulas; ao todo 45 h/a. Dito de outra forma: oito dias de faltas reprovam automaticamente.
15. Nas próximas transparências, passo a detalhar o conteúdo previsto das nossas aulas e consequentemente, as datas das provas.
16. 17/março No “Girassol”, o Prof. explicou a metodologia do curso e sua motivação. Nos “Óculos”, o Mestre apresentou a importantíssima definição de Cálculo Numérico e detalhou os conceitos de Algoritmo, Problemas e Matemática do Contínuo. Ele descreveu, ainda, as ferramentas computacionais utilizadas no curso e porquê.
17. 19/março Na “Justiça” (este conjunto de transparências) o Mestre expõe todas as regras do curso, marca provas e detalha, dia-a-dia, o conteúdo das aulas.
18. 19/março – continuação/1 Neste “Bananas verdes” há uma revisão sobre Matrizes e Cálculo vetorial, que deve ser lida antes do conjunto de transparências aos meus pés. Tal revisão será cobrada!
19. 19/março – continuação/2 Nesta “Bananas verdes” serão revistos os conceitos: • Segmento orientado/Força/Vetor livre/Vetor • Composição de forças/Adição de vetores • Escalamento de vetor/Contração & alongamento • Matriz coluna (linha)/Vetores em ℝ/ℂ • O conjunto ℳ× das matrizes retangulares • Adição e multiplicação matricial - o espaço ℳ× • Tamanho/Norma de vetor e suas propriedades • Versores/As bases canônicas de ℝ/ℂ e ℳ× • Bases e dimensão e subespaços vetoriais • Produto interno em ℝ/ℂ, ângulo entre vetores • O conceito de projeção e projeção ortogonal
20. 24/março Aqui começa, propriamente, o curso. Esta será a 1ª das 3 aulas sobre números e números no computador. Nela o Mestre falará brevemente sobre aspectos históricos importantes dos números, da representação decimal e sobre a cardinalidade dos Naturais, Inteiros, Racionais, Reais e Complexos. Ele fecha indicando dois livros excelentes de Cálculo Numérico.
21. 26/março Neste “Orquídeas” o Mestre proporciona um mergulho na beleza fulgurante dos conceitos de relações/funções, problemas, continuidade de funções, diferenciabilidade de funções. Ele lembra também de aspectos históricos importantes envolvidos nessas ideias. Em seguida é introduzido o conceito de condicionamento de um problema/função e sua medida através dos número de condicionamento , e , de um problema. É uma das aulas conceituais mais importantes do curso!
22. 31/março Iniciamos aqui o diálogo homem-máquina, apresentando os conjuntos de caracteres ASCII e UNICODE. Depois apresentamos o Instituto de Engenharia Elétrica e Eletrônica, IEEE e as representações IEEE 754 – 2008 de ponto flutuante Single, Double e Quad. Para melhor explicar o padrão o Mestre apresenta o sistema IEEE Toy de 6 bits. (continua)
23. 31/março - continuação Em seguida são definidos os conceitos de Eps (o épsilom da máquina) e ULP (Unit in the Last Position). Para finalizar o Mestre relembra que os sistemas IEEE 754 foram contruídos para aproximar números reais no computador. Então utilizando o Sistema IEEE Toy mostra o gráfico da função escada de aproximação de números reais por números IEEE e o teorema fundamental da representação de ponto flutuante IEEE 754.
24. 2/abril “No teto de igreja”, você conhecerá o ambiente Python(x,y) de programação e aprenderá a usar a biblioteca “Numerical Python”, a NumPy. Virá a conhecer, junto com a Loirinha, o que são “ndarrays”, suas características básicas e como criá-los. Descobrirá o poder da vetorização e difusão. Aprenderá também a utilizar rotinas de criação de arrays especiais, p/ex. as linspace( ), zeros_like( ), etc.
25. 7/abril Estas “Flores” se abrem mostrando que a conversão decimal  binário (IEEE 754 Single) realizada nas operações de inserção (“input”) de números reais, no computador, conduz a um erro relativo de Eps na 7ª casa decimal em 99,9936% dos casos. Por isto, a Mestra ensina como buscar as informações disponíveis na NumPy sobre as características da IEEE 754 Single, Double, Quad e Half. Então eu mostro como usar essas informações da NumPy para calcular os números de condicionamento , e , de algumas funções elementares. (continua)
26. 7/abril - continuação Depois eu mostro que as representações IEEE 754 foram construídas de forma a preservar o Teorema fundamental da representação de ponto flutuante nas operações elementares (+, −,∗,/, ). Finalmente são analisadas em detalhe as 5 operações elementares (+, −,∗,/, ) para estabelecer para quais valores dos operandos elas podem ser mal condicionadas e, tomar os devidos cuidados – caso p/ex. do cancelamento catastrófico.
27. 9/abril Chegamos ao “Miolo da flor”. O entendimento claro e crucial do conceito de algoritmo como a composição de funções elementares e à possibilidade de resolver um problema/calcular uma função de diversas formas diferentes (algoritmos distintos). Descobrimos então que basta uma das funções componentes ser mal condicionada para jogar nosso resultado computacional no lixo. (continua)
28. 9/abril – continuação 1 Em outras palavras a solução de um problema é sensível ao algoritmo utilizado: existem algoritmos estáveis e algoritmos instáveis para resolvê-lo! Chegamos então ao pior crime que um especialista em Cálculo Numérico pode cometer: usar um algoritmo instável para resolver um problema bem condicionado! Exibimos alguns crimes caríssimos como a “Explosão do foguete Ariane” (em milhões de US$) e a “Falha do míssil Patriot” (em vidas perdidas).
29. 9/abril – continuação 2 Concluímos esta 1ª parte de nosso Curso de Cálculo Numérico mostrando como estimar a sensibilidade de um problema através das análises “forward” e “backward”. ATENÇÃO: Nenhum aluno será aprovado em Cálculo Numérico se não dominar o conteúdo exposto até aqui!!!!
30. 14/abril – A revisão Mestres, ajudem-nos resolvendo muitos exercícios! Estou ansioso. Vou virar a noite estudando! Vou perguntar tudo que não entendi!
31. Eu fiz a minha parte e quem estudou dia-após- dia não terá problemas. Loirinha, perguntas sempre são bem vindas. Surfista, lembre-se do dito popular: “marmelada na hora da morte mata!”. Cabelo de fogo, um exercício bem feito, apenas um, vale mais que uma maratona. 14/abril – A revisão, continuação
32. 16/abril – A 1ª prova Eu presido o julgamento e dou a sentença. Quem vai interrogá-los é o Promotor Público - ele é o responsável pela defesa da ordem jurídica, do Regime Democrático e dos interesses sociais e individuais. A avaliação é responsabilidade técnica irrevogável imposta pela Legislação aos Mestres. O que estará em julgamento é a sua possibilidade de vir a ser um Engenheiro. Apresentem-se ao Forum apenas com lápis, borracha e caneta.
33. As “Ferramentas” da NumPy para construção de gráficos de funções : [, ] → ℝ. Após uma bela apresentação histórica sobre as origens do sistema de coordenadas cartesianas e da geometria analítica os Mestres ensinam usar a biblioteca MatPlotLib para construir gráficos de funções. Uma aplicação ingênua da interpolação linear por partes. Depois eles mostram que a regra trapezoidal composta para aproximação do cálculo de integrais definidas também é uma aplicação imediata da mesma ideia. (continua) 28/abril
34. Após apresentar o básico de MatPlotLib, o Mestre faz um breve histórico sobre a Álgebra, desde seu nascimento na Babilônia (cerca 1.800-1,600 a.C.) até a matemática simbólica dos computadores, nos dias de hoje. Em seguida ele apresenta a SymPy - Symbolic Python, uma biblioteca de matemática simbólica simples para Python e ensina a utilizar seus aspectos mais básicos. 28/abril – continuação
35. 30/abril Neste “Cacho de bananas maduras”, apresentamos os Espaços Vetoriais em sua plenitude, desfazendo a ideia de que vetor e “flechinha” são sinônimos. Depois abordamos as Álgebras Lineares. Apresentamos então o espaço ℱ(, ℝ), das funções de um conjunto X nos reais. Provavelmente o espaço vetorial mais importante que você conhecerá em toda a sua vida! (continua)
36. 30/abril – continuação 1 Depois apresentamos o conceito abstrato de norma de vetor e os espaços vetoriais normados. A norma é a generalização de tamanho das flechas para vetores abstratos. Mostramos uma norma, anotada ∞ , para o espaço ℱ(, ℝ). (continua)
37. 30/abril – continuação 2 Finalmente apresentamos o conceito abstrato de produto interno entre dois vetores de um espaço vetorial abstrato V, que conduz aos espaços de Hilbert. A partir dele definimos ângulo entre vetores e o conceito de ortogonalidade entre vetores. Num apêndice ao final deste conjunto de transparências falamos de abstração em Matemática, de estruturas algébricas e sobre o grupo Bourbaki.
38. Iniciamos o “Espelho d’água” trazemos estudando, de forma intuitiva, o método da bisseção para calcular 2. Após responder à pergunta “O que é uma equação = 0 ?” feita pela Loirinha, passamos a examinar métodos iterativos para aproximar raízes de equações. (continua) 5/maio
39. Nessa classe de métodos incluem-se os métodos clássicos da bisseção, de Newton-Raphson e suas variantes e os métodos de ponto-fixo. Observamos que todos eles envolvem a geração de uma sequência de números reais (ou complexos) que converge para uma raiz r da equação = 0, i.é, lim →∞ = . Então definimos uma aproximação ∗ para r, com erro menor que , como algum elemento da sequência que satisfaça − < . (continua) 5/maio – continuação 1
40. Após formalizar o método da bisseção, passamos a discutir como localizar a raiz r, i.é, obter um intervalo (, ) tal que ∈ (, ). Depois apresentamos o método de Newton-Rapshon. Finalizamos apresentamos a geração de uma fractal resultante da aplicação do método de Newton-Raphson ao problema da determinação das raízes complexas da unidade. Um belíssimo exemplo da instabilidade do método à escolha do “chute inicial”. 5/maio – continuação 2
41. Tchau, até a próxima aula!