e efeito, para funções há a exigência adicional de serem definidas para todo elemento ∈ . Em outras palavras, se ⊂ × é uma função, então = . Entretanto não se exige que ℐ = . Por isto Y é denominado contradomínio.
em que os dados (o que conhecemos) são elementos do conjunto e, para cada ∈ , a resposta (o que desejamos conhecer) é algum elemento ∈ () tal que . A incógnita é a resposta que buscamos. Resposta Dado
Cálculo Diferencial e Integral I na Matemática. Boa comparação Cabelos de Fogo. Pensando assim, os silogismos de Aristóteles correspondem ao Pré-Cálculo!
proposições , , , … , os conectivos lógicos ∧,∨, →, ↔ e a negação ¬. Por exemplo uma das Leis de DeMorgan: ¬ ∨ ⟺ (¬ ∧ ¬) Cálculo proposicional ?! Eu trabalhei com tabelas-verdade, usando V para verdadeiro e F para falso.
de função e de variável lógica. A ideia de sentença aberta (), numa variável é dele. Ela não é nem verdadeira nem falsa. Porém quando substituímos por algum valor, podemos então decidir seu valor lógico. Por exemplo, se () ≡ ( 2 − 2 = 0 ) então é verdadeira para = 2.
sentenças, transformando-as em proposições lógicas ao instanciarmos (i.é, atribuirmos algum valor) suas variáveis. As ideias de Frege permitiram o tratamento de questões lógicas impossíveis de serem representadas por meio do Cálculo Proposicional, de Boole.
é utilizando os quantificadores: Ao quantificarmos uma sentença aberta numa variável , nós a transformamos numa proposição. Então ela poderá assumir um dentre os dois valores lógicos V ou F. ∀, ∃, ()
verdadeira, ao passo que ∀, é falsa. Claro Mestre, ∃, () é verdadeira tanto para = 2 como para = − 2. Entretanto ∀, é falsa. Por exemplo, para = 1 temos 2 − 2 = −1 logo (1) é falsa.
são a mesma coisa. Apenas vestem roupas diferentes, como Super Homem e Clark Kent. Concordo Loirinha. E nas HQ da Marvel Comics há muitas outra identificações: • Homem de Ferro e Tony Stark; • Batman e Bruce Wayne; • Homem Aranha e Peter B. Parker; • ...
cumprindo a condição. A equação possui mais de uma solução. Um problema inverso (equação) pode não ter solução! É quando não existe nenhum elemento ∈ cumprindo a condição.
• No caso de equações polinomiais o conjunto das soluções pode ser o ℝ dos números reais ou o ℂ dos complexos. • No caso dos sistemas de equações lineares a incógnitas reais, o conjunto ℝ. Ou ℂ para incógnitas complexas. Mestre, cite alguns outros problemas inversos importantes.
• Equações diferenciais ordinárias (EDO’s) e problemas de valor inicial; • EDO’s e os problemas de valor de contorno; • Equações diferenciais parciais e problemas de valor de contorno (eqs. elípticas). • Equações diferenciais parciais e problemas de valor inicial (eq. de calor e eq. da onda); • Cálculo de autovalores e os correspondentes autovetores;
e imagem, como fez o Surfista. Dados Incógnita Problema Condição A solução de um problema inverso associado a uma relação R (ou uma função f ) é sempre dada pela relação inversa −1 (ou pela função inversa −1).
2 − 4 2 . São sempre duas raízes reais, iguais ou complexas e essa decisão é feita em função do valor de ∆ = 2 − 4. E todo mundo sabe que: • ∆ > 0 ∶ + , − ∈ ℝ • ∆ = 0 ∶ + = − ∈ ℝ • ∆ < 0 ∶ + , − ∈ ℂ
+ 12 2 + ⋯ + 1 Sim, e isso vale para todas as outras linhas, gerando todas as equações do sistema ! Claro Mestra, ao multiplicar a 1ª linha da matriz pelo vetor , obtenho exatamente o lado esquerdo da 1ª equação:
a ciência e a tecnologia. Veremos como resolvê-los numa aula futura. Quero adiantar que a humanidade sabe como resolver sistemas lineares à muito tempo e dois métodos diretos para resolvê-los são: • O método de eliminação de Gauss, • A regra de Cramer.