um número finito de passos quando o número é uma potência negativa de 2 ou uma soma de potências negativas de 2. Em todos os outros casos, a representação do número racional, na base 2, é uma seqüência periódica – uma “bí”zima periódica
vírgula geram bízimas periódicas na base 2: Surfista! Construa um programa Python que recebe um número entre zero e um, escrito na base 10, com apenas uma casa decimal após a vírgula, e o converta para a base dois. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
quantas casas decimais?” Em matemática: qual o valor de k para o qual 10 = 224 Resolvendo a equação acima encontramos = 24 ∗ 10 (2) = 24 ∗ 0.301030 = 7.224719 ≅ 7 Continuo não entendendo!
reside na possibilidade de computar com eles. “C’est la raison d’etre” dos computadores. Como se comportarão as operações algébricas perante tais erros?
ℂ com as operações de adição + e multiplicação ∙ constituem estruturas algébricas com propriedades os tornam um corpo. Em outras palavras, são grupos abelianos para a adição e a multiplicação (tirando o 0) e que satisfazem também a distributividade da multiplicação sobre a adição.
zero, 0. Quando é a multiplicação a identidade é o 1. Na multiplicação de matrizes é a matriz identidade I. Na composição de funções, é a função identidade, : → .
é, para quaisquer , , ∈ ℚ, ℝ valem as afirmações: • > ⟹ + > + • > 0 > 0 ⟹ > 0 Aliás, não existe uma relação de ordem natural em ℂ. Não há como dizer que um número complexo é maior que outro.
1/, de ∈ ℝ temos que resolver os problemas inversos: • Qual ∈ ℝ satisfaz a equação + = 0. • Qual ∈ ℝ satisfaz a equação ∗ = 1 São as operações de subtração e divisão (− e /) que fornecem a solução para esses problemas.
unidade de aritmética e lógica na qual essas operações foram implementadas de acordo com os padrões do IEEE 754. Eu nunca tinha me detido em pensar nessas questões, Filósofo!
aritmética e lógica. Linguagens como Python, Java e as .net trabalham com máquinas virtuais que obedecem o padrão IEEE 754 em suas implementações. Assim, todas as operações lógicas, comparações e as operações elementares +, −, ∗ , / e já satisfazem o padrão IEEE 754.
IEEE 754 nos informarão com mensagens do tipo NaN (Not A Number). Portanto, para nossos programas não travarem, temos que incluir rotinas para tratamento desses tipos de exceção.
limitado superiormente de ℝ possui um supremo”. É ele quer possibilita falarmos em continuidade, derivadas, integrais, ... Todo o Cálculo Diferencial e Integral.
X. Por quê? Só para descobrir se você estava atento! Imagine, p/ex., X como as aproximações decimais por falta para 2: = { 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … }
-2 -3 1 2 3 O gráfico da função : ℝ → ℤ definida por ↦ = possui uma quantidade enumerável de pontos de descontinuidade: todos os inteiros. Uma escada bem maior que escadaria da Igreja da Penha!
errados! • Parênteses: como buscar informações na NumPy. • Obtendo informações sobre floats IEEE 754/2008 na NumPy. • O conjunto ℝ dos números reais constitui um corpo ordenado. • A Unidade de Aritmética e Lógica, ALU. • As operações elementares NÃO são fechadas no computador. • O remendo criado pelo IEEE 754/2008. • O axioma de existência do supremo e a continuidade do conjunto dos ℝ dos números reais. • Continuidade de funções reais, a valores reais. Este conjunto de transparências foi dedicado ao estudo das operações elementares no computador e da continuidade. Eis um resumo do que vimos: