P1 de Cálculo Numérico, 2ª questão

O texto da questão 2.

Transcript

1. LNCC UFRJ
2. O Mestre esqueceu de informar na Questão 1 que o gráfico da resposta deverá ser um “mapa de cores”, como no slide em frente. Sim. No eixo−, eixo-horizontal, coloquem o segmento = [0, ] e para cada instante de tempo (no eixo−, eixo-vertical) as temperaturas calculadas ( , ) ao longo de uma cópia do segmento [0, ] por .
3. Essa pasta deverá conter: • O código do programa; • Os dados utilizados e a resposta; • Explicações que acharem necessárias. E ele também esqueceu de informar que cada Grupo deverá encaminhar um e-mail (com o nome dos partipantes) com a resposta numa pasta zipada como Anexo.
4. A 2ª questão envolverá uma aplicação interessante da SVD, a Decomposição em Valores Singulares de uma matriz.
5. O formato jpeg para compressão de fotografias é incrivelmente util. Nesta segunda questão utilizaremos a SVD para compactar arquivos de imagens. Fotos e imagens ocupam muito espaço de memória. Reduzir a quantidade utilizada de memória é essencial tanto para armazenamento quanto para transmissão de dados.
6. Quatro imagens de Lenhard Euler, uma ruim com rank 3, uma outra com rank 10 e uma boa com rank 30. A do canto inferior direito é a imagem original com 326x277 pixeis em escala de cinza (portanto 90.302 números), com rank 277. Matrizes tem rank. Imagens também ?
7. Sim querida, imagens podem ser armazenadas como matrizes de pixeis em tons de cinza variando de 0 a 1. Gostei da ideia!
8. = = = 1 … … 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0×(−) 0(−)× 0(−)×(−) = = 1 1 … 0×(−) 1 ⋮ ⋮ = = 1 1 1 + 2 2 2 + ⋯ + Se uma matriz de tamanho × tem posto então sua decomposição SVD possuirá valores singulares não- nulos e teremos a identidade: Nesta última linha a soma tem parcelas !
9. Vamos descrever um procedimento para comprimir uma imagem armazenada como matriz de pixeis. Sim Surfista e essa linha informa que quando menor for , relativamente a e , mais simples (menor) será a reconstrução de .
10. Basta usa a scipy.linalg: U, S, V = spl. svd(). Assuma que = [ ] é uma matriz × que armazena uma imagem em tons de cinza. Os valores de e dão a posição do pixel na imagem e o valor a escala de cinza, do branco ao preto. Comece calculando a SVD de .
11. Defina usando os maiores valores singulares de : = 1 1 1 + 2 2 2 + ⋯ + Então será uma matriz × com posto .
12. Se os valores singulares de desprezados forem pequenos, será uma boa aproximação de : − < com pequeno (à sua escolha, Loirinha). Basta usar spl. norm( − , 2) para calcular o erro na aproximação.
13. Surfista, a segunda questão consiste em você fazer um “selfie” (só o rosto), jogar no computador e efetuar diversas aproximações de sua foto. Depois você manda tudo para o Mestre, como explicado (em vermelho) no início deste conjunto de transparências para a questão 1.
14. Vou ensinar usando a imagem do Euler.
15. Primeiro jogue a imagem para o programa = imread(“_. ”) é um array com 326 × 277 × 3 números. Depois construa a matriz , a foto em escala de cinza, com = (, 3) que calcula a média sobre a terceira coluna de (as 3 cores).
16. Depois calcule a SVD de com a scipy.linalg , , = svd() é uma matriz ortogonal 326 × 326. ← (41 422,8 309, … , 0.79,0) é uma matriz diagonal (eye) 326 × 277. uma matriz ortogonal 277 × 277. Elas são muito grandes para mostrar aqui.
17. Por exemplo, a de rank 30, é uma boa aproximação. Para reconstruí-la precisamos dos 30 1º valores singulares 1 , 2 , ⋯ , 30 das 30 primeiras colunas de e das 30 primeiras colunas de . Construa a aproximação de rank de : = 1 1 1 + 2 2 2 + ⋯ + = [: , 0: ] × [0: , 0: ] × [: , 0: ]
18. Fiz a conta: 30 + 30 × 226 + 30 × 277 = 18.120 números. Apenas 1/5 dos 90.302 da imagem original. E realmente, elas são quase iguais!
19. Desejo a todos uma boa prova!
20. Tchau, até a aula de 3ª feira, 11/11. Não faltem!