Problemas e condicionamento

Por efetuar.

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1. LNCC UFRJ Problemas e condicionamento Prof. Paulo R. G. Bordoni
2. A definição de Trefethen enfatiza o estudo de algoritmos para resolver problemas.
3. Mestre, o que é um problema? Loirinha, esta é uma pergunta com resposta difícil. Vá perguntar ao Polya.
4. Polya dedicou-se a entender, explicar e ensinar a arte de resolver problemas.
5. Vai ajudar vocês! Vá à aba “Leituras adicionais” no site do Mestre e leia “How to solve it, G. Polya – Resumo”
6. O texto começa assim:
7. O Mestre nos ensinou que os ingredientes essenciais de um problema são os dados, a condição e a incógnita. Dados Incógnita Problema Condição
8. Geralmente penso em achar uma resposta para uma pergunta. Algumas vezes em obter um resultado. Dados Incógnita Problema Condição Mestra, descreva seu imaginário, sua imagem mental, para um problema!
9. É óbvio, em algum lugar, em algum conjunto de coisas. Dados Incógnita Problema Condição Achar respostas onde, Mestra?
10. Sim, e dados fazem parte de coleções bem caracterizadas de coisas: conjuntos! Dados Incógnita Problema Condição Obter resultados envolve uma rotina, um passo-a-passo a partir dos dados, não?
11. Sim Mestra, conjuntos! Eles constituem a entidade matemática apropriada para formalizar o conceito de problema. Mais precisamente, relações, que são subconjuntos do produto cartesiano de dois conjuntos X e Y: ⊆ ×
12. × , R O visual geométrico de uma relação R: Apenas, e tão somente, um subconjunto de × : E quando , ∈ escrevemos .
13. 1,3 × [1,2] 2 1 3 1 2 Vejam a relação ≥ em [1,3] × [1,2]: Escrevemos ≥ quando , ∈ ≥ . ,
14. −1,1 × [−1,1] 1 1 −1 −1 2 + 2 = 1 Agora vejam a relação 2 + 2 = 1 em [−1,1] × [−1,1]:
15. × R () ℐ() O domínio () da relação R é o subconjunto de X definido por: = ∈ ∃ ∈ , ∈ } A imagem ℐ() da relação R é o subconjunto de Y definido por: ℐ = ∈ ∃ ∈ , ∈ }
16. × R () ℐ() Mestra, dada uma relação ⊂ × se ∈ () e ∈ ℐ() podemos garantir que ? Não Loirinha! Todos os pontos na região amarela do desenho satisfazem suas condições mas estão fora de R.
17. Funções constituem casos particulares de relações que satisfazem a exigência adicional: ⟹ = . × R Situação proibida para funções. y z
18. Funções descrevem relações de causa e efeito. Uma causa não pode possuir mais que um efeito. Efeito Outro efeito Causa
19. × f = () Face à ideia de descreverem relações de causa e efeito, as funções são anotadas previlegiando a direção: : → com = ().
20. × f = () Também, por descreverem relações de causa e efeito, para funções há a exigência adicional de serem definidas para todo elemento ∈ . Em outras palavras, se ⊂ × é uma função, então = . Entretanto não se exige que ℐ = . Por isto Y é denominado contradomínio.
23. −1,1 × [−1,1] 1 1 −1 −1 2 + 2 = 1 Vejam a relação 2 + 2 = 1 em [−1,1] × [−1,1]. Ela não define uma função. Entretanto, em [−1,1] × [0,1], ela define uma função.
24. Dados Incógnita Problema Condição Voltando aos problemas: Um problema pode ser associado à uma relação ⊂ × . Nesse caso, a condição é descrita pela relação R. Já os dados e a incógnita podem ser elementos tanto de X como de Y.
25. Um problema direto é aquele em que os dados são elementos do conjunto ⊂ e, para cada ∈ (), a incógnita é o elemento ∈ ℐ() tal que . ℐ() () , R Dado Incógnita
26. Face à ideia de causa e efeito, os problemas diretos, geralmente, estão associados a funções. Sim, porque a ideia subjacente é: Para um valor ∈ , dado, calcular aquele ∈ ℐ() para o qual = ().
27. ℐ() () , R Y Um problema inverso é aquele em que os dados são elementos do conjunto e, para cada ∈ , a incógnita é algum elemento ∈ () tal que . Incógnita Dado
28. Um problema inverso .......... ............ .......... a incógnita é algum elemento ........... . Podem existir vários ou nenhum!
29. Sim Loirinha, inclusive pode não haver solução nenhuma. É só lembrar que não existe ∈ ℝ tal que 2 = −1. É mesmo Filósofo, o problema: Obter ∈ ℝ tal que 2 = 1, possui duas soluções: = ±1 .
30. Problemas inversos normalmente são mais complexos, pois envolvem a descoberta de ∈ tal que , para ∈ dado. O elemento ∈ pode até não existir ou, se existir, não ser único. Os problemas inversos normalmente estão associados à resolução de equações.
31. A resolução de equações, de sistemas lineares, de equações diferenciais ordinárias ou parciais. A obtenção de autovalores e autovetores, ... Mestre, cite alguns problemas inversos importantes.
32. R −1 = Dada uma relação ⊂ × a relação inversa −1 de R é definida por: −1 = , ∈ × (, ) ∈ } Para relações ⊂ ℝ2, a relação inversa −1 é o reflexo de R no espelho = .
33. Y X −1 Lembro que um problema inverso pode ser transformado num direto através da relação inversa. A inversa de uma função nem sempre é função. Pensem em () = 2
34. A inversa de ↦ = 2 é ↦ = , mas só para ≥ 0. Sim, Surfista. Ela fornece a solução para o problema inverso: dado ≥ 0, qual é o valor de ∈ ℝ para o qual 2 = .
35. E como o Mestre falou, o gráfico de ↦ é a imagem no espelho ↦ do gráfico de ↦ 2. Fiz o gráfico das duas e também da reta = . Note que a escala do eixo-y é o dobro da escala do eixo-x.
36. Sempre tendo todos os cuidados com relação a domínio, contradomínio e imagem, como fez o Surfista. Dados Incógnita Problema Condição A solução de um problema inverso associado a uma relação R (ou uma função f ) é sempre dada pela relação inversa −1 (ou pela função inversa −1).
37. Dados Incógnita Problema Condição Entretanto, COMPUTACIONALMENTE... Entretanto, computacionalmente, usar a inversa pode ser muito ruim.
38. Dados Incógnita Problema Condição Sim Loirinha, considere o problema inverso: Obter, quando possível, um vetor tal que = , para A e b dados. Ruim, Sherlock?
39. Bahh! Estudamos em Álgebra Linear que a solução é dada por = −1, quando a matriz A é inversível. Pois é sabichão, mas computacionalmente não é assim que procedemos! Calculamos a solução via fatoração LU da A, usando pivotamento parcial por coluna. Um método que, além de ser mais rápido, é estável.
40. Dados Incógnita Problema Condição É, como disse o poeta: há mais coisas entre o Céu e a Terra (e a Análise Numérica) que nossa vã inteligência pode sequer imaginar! É a nossa motivação para o curso de Cálculo Numérico!
41. A definição de Trefethen enfatiza resolver problemas da matemática do contínuo.
42. Loirinha, o Mestre repete toda hora “matemática do contínuo”, “matemát...” Estou perdendo a paciência! Pois é! Ele repete tanto que meu maior problema já passou a ser: O que é continuidade?
43. Continuidade tem a ver com proximidade, que tem a ver com medir distância. Com trenas, réguas, paquímetros, microscópios, ... Com metros, centímetros, milímetros, ...
44. Sim Filósofo. E com desigualdades do tipo − < , que garantem a proximidade entre e y. Basta escolher épsilon pequeno, por exemplo: = 10−3 = 0.001
45. Bem Loirinha, vou começar explicando o que é uma função contínua. Funções contínuas são bem comportadas!
46. 0 (0 ) f Uma função ↦ () é contínua em 0 quando ∀ > 0, ∃ > 0 tal que: − 0 < ⟹ − 0 < f 0 (0 )
47. 0 (0 ) f f 0 (0 ) Repetindo: uma função ↦ () é contínua quando o problema inverso tem solução. Dado > 0, obter > 0 tal que: − 0 < ⟹ − 0 < .
48. Vou dar um susto de continuidade no Surfista, Loirinha. Apoio. Ele está reclamando muito!
49. y Surfista, imagine que você está, de olhos vendados, num escorregador como o gráfico da função ↦ = (), da figura. f
50. 0 f Que malvadeza Mestra! Ele poderia ter se machucado. Aí, surpresa!!! A função tinha uma descontinuidade.
51. 0 f t (0 ) () Observe Loirinha que à direita de 0 : Não importa quão próximo t estiver de 0 , o valor de () nunca chegará perto do valor de (0 ).
52. 0 f t (0 ) () É verdade Mestre. Devido ao salto em 0 . salto Repetindo: pela direita de 0 : Não importa quão próximo t estiver de 0 , o valor de () nunca chegará perto do valor de (0 ).
53. Em matemática e computação anotamos o maior inteiro menor que por . Confira comigo, Loirinha: 2.31 = 2, = 3, 7 = 6, −2.7 = −3
54. f 1 2 4 3 0 -1 -3 -2 -1 -2 -3 1 2 3 O gráfico da função : ℝ → ℤ definida por ↦ = possui uma quantidade enumerável de pontos de descontinuidade: todos os inteiros. Uma escada bem maior que escadaria da Igreja da Penha!
55. Eis uma função : ℝ → ℝ descontínua em todos os pontos do seu domínio: = 0 ∈ ℚ 1 ∈ ℝ\ℚ É uma peneira matemática. Só caem no chão os racionais.
56. Vocês vão gostar! Vá à aba “Leituras adicionais” no site do Mestre e leia “Who give you the Epsilon, J. V. Grabiner”
57. O texto começa assim:
58. Agora um passeio por algo que já deu uma briga famosa!
59. 0 = (0 ) f Os Mestres de Cálculo já apontaram isso! Esta outra função é contínua, mas não é derivável em 0 . Ela não é suave aí! Veja o biquinho pontudo que ela faz em 0 , Loirinha.
60. Precisamos sair dessas ideias intuitivas. Mais adiante esses conceitos serão necessários. Em particular, para lidar com números reais no computador, precisaremos entender: “O contínuo dos números reais”
61. Dizem que o Leibnitz pensava na derivada de uma forma mais geométrica que o Newton, que falava em fluxões. Sim Loirinha. Newton pensava mais fisicamente nas coisas. Pensava em fluxos, velocidades e acelerações.
62. t = () t b a Assuma que uma grandeza é descrita por uma função contínua : , → ℝ, ↦ = (), como na figura:
63. t 0 0 Considere um ponto (0 , 0 ) na curva descrita por g e assuma que ela é suave nesse ponto (não faz biquinho!). Agora, vamos considerar um outro valor 1 para t e o correspondente 1 = (1 ) 1 1
64. t 0 1 1 0 Assumam que t é tempo e y posição. Então ↦ = () descreve como varia a posição de um ponto sobre o eixo-y em função do tempo. Nesse caso 0 é sua posição no instante 0 e 1 no instante 1 . tempo posição
65. t 0 1 1 0 As variações foram: ∆ = 1 − 0 e ∆ = 1 − 0 . ∆ ∆ O quociente ∆ ∆ é a taxa de variação da quantidade g.
66. Como ∆ = 1 − 0 é uma variação temporal e ∆ = 1 − 0 uma variação posicional a taxa de variação ∆ ∆ mede a velocidade média do ponto ao se deslocar de 0 para 1 . t 0 1 1 ∆ ∆ 0
67. t 0 1 1 0 Prestem atenção na reta secante (azul) por (0 , 0 ) e (1 , 1 ). Quando 1 → 0 teremos 1 → 0 e, como a curva é suave, a reta passa de secante à tangente (vermelha) por (0 , 0 ).
68. Valeu Mestre. Então quando ∆ = 0, o quociente ∆ ∆ será a velocidade instantânea na posição 0 . A ideia de Newton! Surfista, você não pode dividir por zero. Além disso teremos também 1 = 0 de forma que o quociente ∆ ∆ ficará indeterminado!
69. t 0 1 1 0 Brilhante, Loirinha. Este é mais um exemplo da inteligência feminina em ação!
70. O Bispo de Berkeley apresentou argumentos semelhantes contra as ideias Newton! Procurem na Wikipedia.
71. Grifei em “O Analista”, o que eu te já falei Surfista Tradução a seguir
72. E o que são esses fluxions? As velocidades de incrementos evanescentes? E o que são esses mesmos incrementos evanescentes? Eles não são, nem Quantidades finitas, nem Quantidades infinitamente pequenas, não são nada. Não poderíamos chamá-las de fantasmas de quantidades mortas?
73. t 0 1 1 ∆ ∆ 0 Observem que no triângulo rosa ∆ ∆ = , onde é o ângulo do vértice (0 , 0 ). A inclinação da reta secante. Repetindo: A inclinação da reta secante dá a velocidade média!
74. t 0 1 1 0 Quando ∆ → 0 perdemos o triângulo. Mas, se a curva é suave, a reta secante transforma-se na reta tangente.
75. t 0 1 1 0 Perdemos o triângulo, porém não perdemos o ângulo que mede a inclinação da reta tangente. O valor numérico de dá a velocidade instantânea em 0 . Porque é o limite das velocidades médias.
76. A definição de derivada de uma função : (, ) → ℝ, num ponto 0 ∈ , : 0 = lim ∆→0 0 + ∆ − (0 ) ∆ . t 0 1 1 0 Quando esse limite existe, é igual a (). E g é derivável em 0 . ∆
77. Sir Isaac Newton 1642 - 1726 Gottfried Wilhelm Leibnitz 1646 - 1716 Aleluia! E glória eterna a Newton e Leibnitz no céu das ciências. Hosana nas alturas!
78. Fui buscá-lo no site: MacTutor History of Mathematics. Surfista, vá à aba “Leituras adicionais” no site do Mestre e leia “A history of calculus”, de J. J. O'Connor e E. F. Robertson
79. O texto começa assim.
80. Repito: para lidar com números reais no computador, precisaremos entender: “O contínuo dos números reais” Atenção Surfista, na abertura do texto, de história do Cálculo, logo no 2º parágrafo os autores falam de números.
81. Vou mostrar um exemplo clássico de uma função contínua, com uma infinidade pontos onde não é derivável. Um verdadeiro porco-espinho.
82. t ℎ /3 1 /3 /3 Vamos usar funções chapéu na construção. O formato dos chapéus será como abaixo: 1. Largura variável L, e altura fixa 1. 2. Abas com largura L/3 e a base do cone também. Será uma coleção de chapéus de bruxa!
83. 1/3 t 1 ℎ2 1/31 1/32 1 3 = 20 + 21 chapéus t 1 1 ℎ3 1/33 1/32 1/31 7 = 20 + 21 + 22 chapéus • A 1ª função, ℎ1 : [0,1] → ℝ, será a da figura anterior, com = 1. • Na 2ª, ℎ2 : [0,1] → ℝ, substituímos as abas da 1ª por 2 chapéus de largura /3. • Na 3ª, ℎ3 : [0,1] → ℝ, substituímos as abas dos 2 chapéus acrescentados por 22 chapéus de largura /32. • Assim por diante...
84. A função que o Filósofo prometeu é definida para cada ∈ 0,1 por ℎ = lim →∞ ℎ . A função ℎ: [0,1] → ℝ é contínua. Porém possui uma infinidade de pontos “angulosos”, isto é, não é derivável numa infinidade de pontos de seu domínio.
85. Um verdadeiro porco-espinho. Ela é mais parecida com uma cama de faquir!
86. A derivada da ℎ() é uma função constante por partes. ℎ: [0,1] → ℝ possui uma infinidade de pontos de descontinuidade. Mestre, o gráfico de ℎ é uma escadaria muito doida.
87. Os eletro-cardiogramas são exemplos de funções contínuas mas com variações abruptas. Possuem muitos pontos “angulosos”.
88. Um outro exemplo, terrível, são os sismogramas, durante terremotos.
89. Para avaliar a quantidade de energia liberada por esse terremoto:
90. Achei na Web uma descrição de como sismógrafos registram os abalos sísmicos. Muito simples, um exemplo de engenhosidade! !!!
91. alexandremedeirosfisicaastronomia. blogspot.com.br/2011/11/terremot os-e-ondas-sismicas.html Recortei este trecho do blog só para colocar o anzol na sua boca Surfista. Vá ao endereço abaixo ler o resto (e outros artigos).
92. O inventor dos primeiros aparelhos detectores de sismos: sismoscópios.
93. Em Análise Numérica, não basta saber se a função associada a um problema é contínua ou derivável. Precisamos informações sobre seu comportamento!
94. Sim, sempre tive alunos bem comportados como você, Loirinha – com nota 10. Também já tive alunos mau comportados. Mestra, você dava nota de comportamento aos seus alunos do 1º grau?
95. A nota de comportamento para problemas é outra. Uma medida do crescimento/decrescimento (do comportamento) da função que descreve o problema. Que papo careta! Problemas não são crianças para receber nota sobre comportamento.
96. E o que é “condicionamento de um problema/função” ? Essa medida é o número de condicionamento de um problema/função.
97. Mas ATENÇÃO, nosso interesse é numa medida local, associada a 0 e f e independente de . Dadas: • uma função : (, ) → ℝ, ↦ = (), • uma variação ∆ = − 0 do argumento num ponto 0 ∈ (, ), • e a correspondente ∆ = − 0 , sempre há um grande interesse em medir a taxa de variação ∆/∆.
98. 0 () ∆ ∆ (0 ) Já vimos esse filme! A personagem principal é derivada da f em 0 . Claro, Loirinha!
99. (0 ) 0 (0 ) Mais precisamente, com o valor absoluto da derivada da f no ponto 0 . Uma medida local do crescimento/decrescimento da f em 0 . Isso mesmo, quanto mais inclinada a reta tangente, maior o valor de (0 ) .
100. O número de condicionamento absoluto de um problema associado a uma função : (, ) ⊂ (0 → ℝ, num ponto ∈ (, ), é definido por , = lim ∆→0 | + ∆ − | | ∆ | . É o valor absoluto da derivada: , = .
101. Claramente, a 1ª exigência é a continuidade da função. Se uma função : → é descontínua num ponto 0 ∈ , basta uma variação mínima em para um salto em . 0 = (0 ) f É pior caso de mau condicionamento, pois lim ∆→0 | − 0 − 0 | = +∞. = () ∆ ∆
102. Como , = lim ∆→0 | + ∆ − | | ∆ | , para incrementos ∆ pequenos, teremos , ≅ | ∆ | |∆| . Em outras palavras, se ↦ = () é suave, então ∆ ≅ , |∆|.
103. Repetindo, se ↦ = () é suave, então para incrementos ∆ pequenos ∆ ≅ , 0 |∆|. Assim, , é um fator de ampliação (ou redução) local para |∆|. ∆ (∆)() 0 (0 )
104. Nas próximas aulas, nosso foco estará voltado para avaliações de funções nos computadores. Adiantando o futuro, estaremos interessados nas respostas das funções ↦ = () à pequenas perturbações |∆| na variável .
105. f f 0 () (0 ) Um problema, associado a uma função : → onde , ⊂ ℝ, é bem condicionado num ponto 0 ∈ quando , 0 não é muito grande.
106. f f 0 () (0 ) Se , 0 não é maior que algumas centenas de unidades, como ∆ ≅ , 0 |∆|, o valor de ∆ não será exageradamente maior que o de |∆|. E os retornos ↦ = (), mediados pelo computador, não serão prejudicados.
107. f () Esta é a característica de um problema mau condicionado. f 0 (0 ) ∆ ∆ Porém, quando o valor de , 0 é muito grande, da ordem de milhares de unidades, a propagação de uma perturbação |∆|, mesmo pequena, poderá prejudicar o resultado ↦ = .
108. O conjunto de todas as retas ↦ − 0 + 0 satisfazendo ≤ define um cone centrado em 0 , 0 com semi-abertura . 0 0 − 0 + 0 M
109. 0 0 = (0 ) 0 ≤ Portanto, funções ↦ = (), tais que 0 = (0 ), são bem condicionadas em = 0 quando: (0 ) ≤ , para M da ordem de até algumas centenas de unidades. A reta tangente ao gráfico de f, por 0 , 0 fica dentro de um cone de semi-abertura M.
110. Para concretizar as ideias, fiz os gráficos de alguns “cones de limitação de crescimento”. Os valores máximos das derivadas e os ângulos estão indicados. Esta imagem ajuda a concretizar as ideias sobre limitações na ordem de grandeza do número de condicionamento. Como já dito, os valores aceitáveis serão bem maiores que estes desenhados.
111. É a mais pura verdade, Filósofo, 1 cm é gigantesco para grandezas atômicas, mas nem entra em cogitação para uma viagem de avião. É importante observar que medidas absolutas dependem da ordem de grandeza das coisas.
112. Vocês estão corretos! Além do condicionamento absoluto de um problema, existe também o condicionamento relativo. Ele é dado pelo limite do quociente entre as variações relativas da em , (∆)() (), e do argumento em , ∆ : (, ) = lim ∆→0 |(∆)() ()| |∆ | , desde que as divisões sejam possíveis, é claro.
113. Efetuando as contas dentro do limite, obtemos: − |() | − | | = − − × || | | Portanto o condicionamento relativo de uma função f num ponto ∈ (, ) ⊂ () é dado por: , = , ≠ 0.
114. E isto confirma, também, que o número de condicionamento relativo é o fator de ampliação do incremento relativo (percentual) ∆ /|| nos dados de entrada. Como no caso do condicionamento absoluto, se ↦ = () é suave em , então |(Δ)()|/|()| ≅ , |Δ|/||
115. Conforme veremos, um problema/função será considerado mau condicionado quando , for grande, da ordem de centenas de unidades. Loirinha, a nota que distinguirá os alunos problemas bem ou mau comportados será, de fato, o número de condicionamento relativo.
116. Tchau, até a próxima aula!