Resumo do curso até agora e exemplo de prova

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Transcript

1. LNCC UFRJ Resumo do curso, até agora e exemplo de prova Prof. Paulo Bordoni
2. Um resumo do que vimos até agora. Comentarei cada conjunto de transparências na aula;
3. Os apontados por setas em vermelho são fundamentais para a prova de 3ª feira e os em azul para as provas práticas. O Mestre acrescentou os comentários feitos na aula de revisão.
4. A Apresentação do Curso 1. A definição de Trefethen para Cálculo Numérico e outras. 2. Visão geral de problemas, algoritmos e matemática do contínuo. 3. Aproximação, erro absoluto e erro relativo. 4. Um significado para discretizar. 5. A filosofia do curso de Cálculo Numérico do Prof. Bordoni. 6. Ferramentas computacionais para Cálculo Numérico. 7. Três livros de Cálculo Numérico.
5. O início dos “Fundamentos de Cálculo Numérico”. 1. O conceito de problema: os dados, a condição e os resultados. 2. A amarração entre problemas e relações. 3. Problemas diretos e funções, problemas inversos e equações. 1. Algoritmos de forma ingênua. 2. Algoritmos e a resolução de problemas. 3. A definição de algoritmo como composição de funções elementares. 4. A máquina de Turing. 5. Vários algoritmos resolvem um mesmo problema.
6. Uma revisão de vetores e matrizes em preparação para a Numpy (NUMerical PYthon) 1. Instalação da Numpy e apresentação. 2. Uma ferramenta de trabalho para um Cálculo Numérico deste milênio. 3. Os arrays n-dimensionais (ndarrays), características e rotinas de criação. 4. Vetorização e difusão. 5. Arrays especiais. 6. Primeiros programinhas. 7. A classe Matrix.
7. 1. Imagens valem mais que mil palavras. 2. Será? Pergunta Escher. 3. Descartes e Fermat amarram a Geometria à Álgebra. 4. Os primeiros gráficos com a MatPlotLib. 5. A interpolação linear por partes, junto com Escher, enganando nossa visão. 6. Gráficos de funções e seus detalhes. 7. Buscando ajuda no site da MatPlotLib. 8. A regra trapezoidal composta para aproximar a integral definida. 9. Áreas entre curvas. Uma ferramenta computacional gráfica
8. Os Fundamentos, continuação: Tudo que não te contaram sobre números naturais, inteiros, racionais e reais. A representação decimal de ponto flutuante. 1. Codificações e o teclado. 2. Códigos, UNICODE e símbolos matemáticos. 3. A representação binária de ponto flutuante. 4. O padrão IEEE 754/2008 de ponto flutuante: single, double e quad. 5. Não existem números reais no computador, apenas uma subconjunto finito dos racionais. 6. A reta real no computador é mais furadinha que peneira; uma peneira muito esquisita! 7. Comparações de tamanho dos sistemas IEEE. Continua
9. Os Fundamentos, continuação: 8. O Toy system, para entender os sistemas IEEE. 9. Os 64 números do Toy, espaçamento e fator de escala. 10. O gráfico da associação → . 11. Os normais, os de-normalizados e as exceções (± e NaN.) 12. As definições de “épsilon da máquina”, ou Eps, e da ULP(x). 13. A função de truncamento : ℝ → . 14. O gráfico escada da função . 15. O Teorema Fundamental da Representação de Ponto Flutuante IEEE 754. Continuação
10. Os Fundamentos, continuação: 1. As operações elementares da IEEE 754/2008 são: +, −,×,÷, , as comparações (=, >), as lógicas (∧,∨, ∼, ⇒, ⇔) e as de entrada e saída. 2. A conversão çã → á produz “bízimas” periódicas. Consequência grave: 99,99% dos single ( 32) possuem erro no último bit. 3. Como buscar informações na NumPy (search). 4. A função () da NumPy e as informações já estudadas sobre 16, 32 64. 5. As operações + e × e a noção de corpo (estrutura algébrica). 6. Os conjuntos ℚ, ℝ, ℂ constituem um corpo com + e × mas os não constituem um corpo. 7. O Teorema fundamental da representação iEEE 754/2008 é um “curativo” para preservar minimamente a propriedade do fechamento. Continua
11. Os Fundamentos, continuação: 8. O axioma de existência do supremo é o que distingue os números reais ℝ dos racionais ℚ. 9. Três leituras complementares no site MacTutor History of Mathematics archive (Números reais, de Pitágoras a Stevin, ...). 10. A continuidade e a medida de de distâncias (paquímetros, microscópios, etc). 11. A definição de função contínua com “épsilons e deltas”. 12. Paquímetros e microscópios não são instrumentos analógicos contínuos (são quase...). 13. O axioma de existência do supremo é a tradução da propriedade de continuidade dos números reais. 14. Dois exemplos de funções descontínuas. Continuação
12. Os Fundamentos, continuação: 1. Suavidade e diferenciabilidade. 2. O questionamento do bispo G. Berkeley ao trabalho de Newton. 3. A definição de derivada de uma função num ponto de seu domínio. 4. A função porco-espinho. 5. Dois exemplos práticos de funções não deriváveis numa infinidade de pontos. 6. A definição de número de condicionamento absoluto de uma função. 7. Número de condicionamento, propagação de erro no computador e ULP(x) 8. Funções bem e mau condicionadas. 9. Número de condicionamento relativo e o Eps. Continua
13. Os Fundamentos, continuação: 10. Calculando o condicionamento das funções elementares: a. Da soma e subtração – o cancelamento catastrófico. b. Quando a multiplicação e divisão e a divisão propagam erro. c. Quando a propaga erro. 11. Um programa que mostra a quantidade de dígitos perdidos no cálculo de uma função. 12. Condicionamento de outras funções. Continuação
14. 1. Algoritmos distintos para calcular uma mesma função podem conduzir a erros. 2. Uma comparação gráfica de dois algoritmos. Um propaga erro o outro não. 3. Aprenda a não ultrapassar as limitações gráficas do IEEE 754/2008. 4. Algoritmos são composições de funções elementares, cada uma com seu condicionamento. Basta uma ser mau condicionada para arruinar o resultado final ( da composta). 5. Exemplo do teorema de Pitágoras – overflow e cura (mude o algoritmo). 6. Falha na associatividade da adição. 7. “De grão em grão a galinha enche o papo” ou o desastre do missil Patriot – a acumulação de erros de “bízimas” periódicas. E este encerra “Os fundamentos de Cálculo Numérico” Continua
15. 8. Uma conversão ingênua ( → 16) e errada forçou a explosão do Ariane 5. 9. Estabilidade de algoritmo – não dá para calcular o erro direto. 10. Estabilidade de algoritmo - a ideia genial de Wilkinson de erro reverso e função inversa. 11. Definição de algoritmo estável. 12. Função bem condicionada + algoritmo estável garante resultado confiável. E este encerra “Os fundamentos de Cálculo Numérico” Continuação
16. Questão 1 – Distinga o conjunto numérico do sistema IEEE do conjunto ℝ dos números reais. Questão 2 – Quais os problemas cruciais envolvendo as operações elementares ( +, −, ∗, / ) do sistema IEEE, incluindo a entrada de dados (INPUT), que não estão presentes na matemática? Questão 3 –Além das operações elementares acima são necessárias as comparações ( =, ≠, >, ≥ ). Discorra sobre a igualdade. Questão 4 – Explique o que é condicionamento absoluto e condicionamento relativo de um problema/função. Explique também os conceitos de problema bem e mal condicionado. Questão 5 – Defina algoritmo. Explique também o que um algoritmo estável e algoritmo instável. Exemplo de prova escrita
17. Tchau, até a próxima aula.