Numbers in Software

Transcript

1. Числата в софтуера Стефан Кънев http://skanev.com/ @skanev BurgasConf 24 август 2013 Бургас
2. Стефан
3. CO
4. Програмист
5. ⽃⽄ Ruby, Ruby, Ruby ̆̇㽈
7. ❤Programming Languages
8. Ruby, Python, Clojure
9. twitter: @skanev github: skanev blog: http://skanev.com/
12. За какво ще говоря?
14. използваме числа постоянно не разбираме ограниченията не разбираме имплементацията
15. 123 + 8 = -125 ???
16. 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 = 5.0 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 0.999999
17. малко (училищна) математика малко забавни истории повечко практически неща
18. едно нещо
19. не ползвайте float за пари
20. ℕ естествени числа
21. 0?, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
23. Числата са абстрактни
24. представяне
26. MLXVI
28. древни гърците са ползвали нещо сходно почват да се изместват в края на Средновековието
31. В компютрите ползваме двоична бройна система
33. 0 = 00000 1 = 00001 2 = 00010 3 = 00011 4 = 00100 5 = 00101 6 = 00110 . = .....
34. 0 = 00000 1 = 00001 2 = 00010 3 = 00011 4 = 00100 5 = 00101 6 = 00110 . = .....
35. unsigned short unsigned int unsigned long
36. числата са ограничени до 32/64/128 бита...
37. ...за “неограничени” числа се ползва BigNumber*
38. 8 битов BigNumber bigits: 5, 12, 7 5x2562 + 12x2561 + 7x2560 5x65536 + 12x256 + 7 330759
39. операциите са по-бавни, но числата са “неограничени”
40. някои естествени числа са твърде големи за компютър
41. 1082 цифри
42. ℤ цели числа
43. ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
44. ℕ< ℤ?
45. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕
46. Георг Кантор 1845 – 1918
47. представяне
48. byte short int long
49. Вариант 0: един бит за знак
50. 5 = 00000101 -5 = 10000101 3 = 00000011 -3 = 10000011
51. 5 = 00000101 -5 = 10000101 3 = 00000011 -3 = 10000011
52. Никак не е практично
53. Вариант 1: инвертиране на числото
54. 5 = 00000101 -5 = 11111010 3 = 00000011 -3 = 11111100
55. 5 = 00000101 -5 = 11111010 3 = 00000011 -3 = 11111100
56. one’s complement
57. не е трудно за имплементация в процесора
58. ...но има проблеми
59. 0 = 00000000 -0 = 11111111
60. 8 бита са 28 - 1 = 255 числа
61. Вариант 2: инвертиране на числото + 1
62. 00000101 (5) * * 11111010 inv +1 11111011 (-5)
63. 5 = 00000101 -5 = 11111011 3 = 00000011 -3 = 11111101 0 = 00000000 -1 = 11111111
64. събирането на числа с различни знаци е елементарно
65. 000011 (3) + 111011 (-5) –––––– 111110 (-2)
66. 111101 (-3) + 000101 (5) –––––– 1000010 (2)
67. 111101 (-3) + 000101 (5) –––––– 1000010 (2)
68. 010000 (16) + 010100 (20) –––––– 100100 (-28)
69. overflow!
70. 8 бита: 123 + 8 = -125 ???
71. two’s complement
72. 8 бита: -128..127
73. BigNumber лесно се генерализира за цели числа
74. ℚ рационални числа
75. p q ± — p,q ∈ℕ q ≠ 0
76. 1/3 13/17 214/103
77. крайни десетични дроби 1/2 = 0.5 1/4 = 0.25 3/5 = 0.6 12/10 = 1.2
78. безкрайни периодични 1/3 = 0.333(3) 1/7 = 0.142857(142857) 1/11 = 0.0909(09)
79. p/q е крайна, когато q се дели само на 2 и 5
80. има тип в повечето езици... ...но рядко се ползва... ...и не е по подразбиране.
81. 1 / 3 = ? Ruby: 0 (integer) Python: 0.33333 (float) Clojure: 1/3 (rational)
82. Страхотен тип, на който ще се върнем по-късно
83. кои са повече: целите или рационалните?
84. 0, 1, 2, 3, 4, ... ..., -1, ..., 0, ..., 1/4, ..., 1/2, ..., 1, ..., 2, ....
86. Египетски дроби
87. 1 2 1 5 1 7 – – – + +
88. 1 a 1 b 1 c – – – + + 1 z – + + ... a ≠ b ≠ c ≠ ... ≠ z
89. 4 5 1 4 1 20 – – — + + 1 2 – =
90. Няма алгоритъм за оптимално раздробяване
91. В древен Египет са ползвали само такива дроби...
92. ...понеже са смятали дроби p/q с p > 1 за грешни...
93. ...и са ги наричали “вулгарни дроби”...
94. ...гърците също са ги използвали...
95. ...чак към Ренесанса започват да се заместват с “вулгарните”.
98. “Естетиката над практичността”
99. Може да се направи паралел с програмирането
100. ℝ реални числа
101. реални = рационални + ирационални
102. безкрайни непериодични дроби
103. 1 1 √2
104. √2 = 1.4142135623730950 4880168872420969 8078569671875376 9480731766...
105. π 3.141592653589793238...
106. e 2.718281828459045235...
107. ℕ < ℝ?
108. ℕ < ℝ!
109. непрекъснатостта се нуждае от ирационални числа
110. ирационалните числа са странни
111. знаем малко за тях
112. π+e π.e
114. float
115. Учебниците често казват, че float-овете представят реалните числа
116. Това обяснение е грешно
117. Float-а има един тон особености. Неинтуитивни особености.
118. 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 = 5.0 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 0.999999
119. 9999999999999998 + 1 = 10000000000000000
120. знак експонента мантиса 1 8 23
121. Експонентата е порядъка на дробта: 103, 10-2, 100 1000, 0.01, 1
122. Мантисата (m) са цифри от вида X.XXXXXXX
123. ± мантиса x 10експонента
124. Експонента Мантиса Стойност 0 3.14 3.14 x 1 = 3.14 3 2.71 2.71 x 1000 = 2710 -4 1.5 1.5 x 0.0001 = 0.00015
125. Мантисата и експонентата са ограничени в някакъв диапазон
126. Експонента -5 — 5 0.00001 — 10000 Мантиса 3 цифри 0.00 - 9.99 Пример
127. експонента: -5 — 5 мантиса: 0.00 — 9.99 440 = 4.40 x 102 0.7 = 7.00 x 10-1 4210 = 4.21 x 103 0.0101 = 1.01 x 10-2 123000 = 1.23 x 105 0.00143 = 1.43 x 10-3 123001 няма представяне 0.00000012 няма представяне 4210 + 0.0101 няма представяне ...въпреки че двете по отделно имат ...ще трябва върне 4210 или 4420
128. При float, системата е двоична, а не десетична
129. Мантисата е двоична дроб
130. двоично = десетично 0.1 = 0.5 0.01 = 0.25 0.11 = 0.75 0.001 = 0.125 0.011 = 0.375 0.101 = 0.625 0.111 = 0.875
131. Това са единствените дроби, които float може да представя точно
132. a 2b —
133. Единствените такива дроби, ставащи за пари са 0.25, 0.50, 0.75
134. 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 = 5.0 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 0.999999
135. a 2b — e рационално число
136. Ирационални числа могат да се представят само символно
137. Има и още!
138. Float-овете поддържат две нули: 0.0 и -0.0
139. Float-овете поддържат безкрайности: -∞ и +∞ 1.0 / 0.0 = -Inf
140. Float-овете имат NaN (Not a Number) 0.0 / 0.0 връща* NaN NaN == NaN връща false
141. Float-а дори не е асоциативен: a = 1234.567 b = 45.67844 c = 0.0004 (a + b) + c != a + (b + c)
142. Ако ползвате float за пари: - 0.25, 0.50, 0.75 - имате грешки - имате +∞ и -∞ пари - имате отрицателни нули - имате NaN
143. Float има нишови приложения. Например графика.
144. BigDecimal
145. pi = BigDecimal(“3.14”) e = BigDecimal(“2.71”) pi_times_e = pi * e
146. Пази числата като текстов низ, съдържащ десетична дроб. Буквално.
147. 3.14 се пази като “3.14”
148. Този формат също пази само рационални числа (крайни десетични дроби)
149. Операциите са доста по-бавни
150. Събиране, изваждане и умножение са точни и съответно подходящи за пазене на парични суми
151. ?
152. а дано, ама надали
153. Делението на BigDecimal числа може да загуби точност
154. x = 1.0 / 3.0 // 0.33333 x * 3.0 // 0.99999
155. За щастие, при работата с пари делението играе роля по-рядко
156. Eдин пример
157. - система за залози на мачове - всеки влиза в системата с Х пари - може да заложи Y пари за мач - цялата сума се разделя пропорционално между позналите - парите в системата са константа
158. Име Сума Залог Васил 10 1 Кирил 30 2 Радо 20 1 Андрей 20 3 Стефан 10 1 Веселин 10 3 Радо, Стефан и Васил печелят Общата сума е 100 лв Радо взема 50 лв Васил и Стефан вземат по 25 лв
159. Ако бяха заложили по равно, всеки трябваше да вземе 100/3лв 100/3 ≈ 33.33
160. Нито float, нито BigDecimal ще поддържат това
161. Rational
162. ℂ комплексни числа
163. i = √-1 i2 = -1
164. имагинерна единица
165. a + bi a, b ∈ ℝ
166. реална част имагинерна част a + bi
167. (a + bi) + (c + di) = = a + c + bi + di = = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = = ac + adi + cbi + bdi2 = = ac - bd + adi + cbi = = (ac - bd) + (ad + cb)i
168. има три неща за казване
169. Python ги поддържа >>> 1j ** 2 (-1+0j)
171. eπi = -1
172. http://xkcd.com/179/