Improved Driving Functions for Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by Sound Field Synthesis

Presentation of the paper Sascha Spors, Frank Schultz, and Till Rettberg. Improved Driving Functions for Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by Sound Field Synthesis. In German Annual Conference on Acoustics (DAGA), March 2016.

Transcript

1. Improved Driving Functions for
   Rectangular Loudspeaker Arrays
   Driven by Sound Field Synthesis
   Sascha Spors, Frank Schultz und Till Rettberg
   Universität Rostock, Institut für Nachrichtentechnik
   Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Akustik
   16. März 2015, Aachen
   

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2. Motivation
   

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3. Motivation
   [Spors et al., DAGA 2015]
   Synthese einer virtuellen Punktquelle (500 Hz)
   4m
   (Universität Rostock, 64 Lautsprecher, 4 × 4 m, 2.5D Wellenfeldsynthese, xref = [0, 0] m, virtuelle Punktquelle R = 4 m)
   Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Motivation 2
   

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4. Motivation
   [Spors et al., DAGA 2015]
   Pegel für verschiedene virtuelle Quellenpositionen (500 Hz)
   4m
   −9
   −6
   −3
   0
   3
   6
   9
   12
   15
   18
   relative level (dB)
   (Universität Rostock, 64 Lautsprecher, 4 × 4 m, 2.5D Wellenfeldsynthese, xref = [0, 0] m, virtuelle Punktquelle R = 4 m)
   Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Motivation 2
   

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5. Motivation
   [Spors et al., DAGA 2015]
   Pegel für verschiedene virtuelle Quellenpositionen (500 Hz)
   4m
   −9
   −6
   −3
   0
   3
   6
   9
   12
   15
   18
   relative level (dB)
   (Universität Rostock, 64 Lautsprecher, 4 × 4 m, 2.5D Wellenfeldsynthese, xref = [0, 0] m, virtuelle Punktquelle R = 4 m)
   Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Motivation 2
   

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6. Motivation
   [Spors et al., DAGA 2015]
   Pegel für verschiedene virtuelle Quellenpositionen (500 Hz)
   4m
   −9
   −6
   −3
   0
   3
   6
   9
   12
   15
   18
   relative level (dB)
   (Universität Rostock, 64 Lautsprecher, 4 × 4 m, 2.5D Wellenfeldsynthese, xref = [0, 0] m, virtuelle Punktquelle R = 4 m)
   Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Motivation 2
   

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7. Motivation
   [Spors et al., DAGA 2015]
   Pegel für verschiedene virtuelle Quellenpositionen am Referenzpunkt
   90
   100
   110
   120
   130
   140
   150
   160
   170
   180
   angle (deg)
   102
   103
   104
   frequency (Hz)
   −3.0
   −1.5
   0.0
   1.5
   3.0
   4.5
   6.0
   7.5
   9.0
   relative level (dB)
   (Universität Rostock, 64 Lautsprecher, 4 × 4 m, 2.5D Wellenfeldsynthese, xref = [0, 0] m, virtuelle Punktquelle R = 4 m)
   Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Motivation 2
   

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8. Verfahren der Schallfeldsynthese
   Explizite Lösung
   Zirkulär/Sphärisch → Higher-Order Ambisonics (HOA)
   Linear/Planar → Spectral Division Method (SDM)
   Implizite Lösung
   Kirchhoff-Helmholtz Integral (KHI)
   Näherung des KHI → Wellenfeldsynthese (WFS)
   Equivalent Scattering Approach (ESA)
   Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Grundlagen 3
   

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9. Der Equivalent Scattering Approach
   [Fazi et al. 2012, Colton et al. 1983]
   Beugung der virtuellen Quelle S(x) am Beugungskörper Vsc
   Annahme: Keine akustische Interaktion zwischen Vin und Vsc
   Gesamtes Schallfeld P(x) = S(x) + Ssc(x)
   ∂Vin
   −p(r)
   −p(r)/2
   0
   Vin
   0
   ∂Vsc
   Vsc
   −pin
   (r)
   pin
   (r)
   −psc
   (r)
   n(s)
   Abbildung: Franz Zotter
   −S(x)+
   Vsc
   S(x0
   )
   ∂G(x − x0
   )
   ∂n(x0
   )
   −G(x−x0
   )
   ∂S(x0
   )
   ∂n(x0
   )
   dS(x0
   ) =
   
   
   
   
   
   0, x ∈ Vsc
   −S(x)/2, x ∈ ∂Vsc
   −S(x), x /
   ∈ Vsc
   Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Grundlagen 4
   

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10. Der Equivalent Scattering Approach
    [Fazi et al. 2012, Colton et al. 1983]
    Beugung der virtuellen Quelle S(x) am Beugungskörper Vsc
    Annahme: Keine akustische Interaktion zwischen Vin und Vsc
    Gesamtes Schallfeld P(x) = S(x) + Ssc(x)
    ∂Vin
    −p(r)
    −p(r)/2
    0
    Vin
    0
    ∂Vsc
    Vsc
    −pin
    (r)
    pin
    (r)
    −psc
    (r)
    n(s)
    Abbildung: Franz Zotter
    Schallweiche Randbedingung P(x0) = 0 für x0 ∈ Vsc
    −
    ∂Vsc
    ∂S(x0
    )
    ∂n(x0
    )
    +
    ∂Ssc
    (x0
    )
    ∂n(x0
    )
    −D(x0
    0
    0)
    G(x − x0
    ) dS(x0
    ) =
    
    
    
    
    
    S(x), x ∈ Vsc
    S(x), x ∈ ∂Vsc
    −Ssc
    (x), x /
    ∈ Vsc
    → Grundlage der Boundary Element Method (BEM) [Juhl, 1993]
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Grundlagen 4
    

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11. Beugung an der halbunendlichen Ecke
    [Rawlings 1987, Möser 2011/15]
    Beugung eine Linienquelle an einer schallweichen halbunendlichen Ecke (2D)
    P(ϕ, r, ω) = −
    jπ
    α
    ∞
    n=0
    1
    n
    sin(νϕ) sin(νϕs
    )
    Jν
    (ω
    c
    r) H(2)
    ν
    (ω
    c
    rs
    ) für r ≤ rs
    Jν
    (ω
    c
    rs
    ) H(2)
    ν
    (ω
    c
    r) für r > rs
    mit ν = nπ
    α
    und n
    = 1 + δ[n].
    P(x) = 0
    α
    rs
    xs
    ϕs r
    x
    ϕ
    V
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Grundlagen 5
    

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12. Beugung an der halbunendlichen Ecke
    [Rawlings 1987, Möser 2011/15]
    Beugung eine Linienquelle an einer schallweichen halbunendlichen Ecke (2D)
    P(ϕ, r, ω) = −
    jπ
    α
    ∞
    n=0
    1
    n
    sin(νϕ) sin(νϕs
    )
    Jν
    (ω
    c
    r) H(2)
    ν
    (ω
    c
    rs
    ) für r ≤ rs
    Jν
    (ω
    c
    rs
    ) H(2)
    ν
    (ω
    c
    r) für r > rs
    mit ν = nπ
    α
    und n
    = 1 + δ[n].
    Gesamtes Schallfeld Gebeugter Anteil
    (2D, virtuelle Linienquelle xs = [−2, 2] m, 500 Hz, N = 400)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Grundlagen 5
    

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13. Ansteuerungsfunktion für 2D Synthese
    ϕ0
    = 0
    ϕ0
    = α
    α
    (ϕ0
    , r0
    )
    −eϕ
    eϕ V
    ⇒ D(ϕ0
    , r0
    , ω) =
    ∂P(x, ω)
    ∂n(x0
    )
    = −
    1
    r
    ∂P(ϕ, r, ω)
    ∂ϕ ϕ=ϕ0,r=r0
    D(ϕ0
    , r0
    , ω) = ±
    jπ
    α
    ∞
    n=0
    1
    n
    cos(νϕ0
    ) sin(νϕs
    )
    ν
    r0
    ·
    Jν
    (ω
    c
    r0
    ) H(2)
    ν
    (ω
    c
    rs
    ) für r0 ≤ rs
    Jν
    (ω
    c
    rs
    ) H(2)
    ν
    (ω
    c
    r0
    ) für r0
    > rs
    für ϕ0
    = {0, α}
    Lösung identisch zu 2D WFS/SDM für α = 180o
    Beschränkung der Reihenentwicklung N ≥ 2ω
    c
    r0 [Möser 2011]
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 6
    

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14. 2D Synthese einer Linienquelle (500 Hz)
    Equivalent Scattering Approach
    4m
    (2D ESA, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 7
    

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15. 2D Synthese einer Linienquelle (500 Hz)
    Equivalent Scattering Approach
    4m
    0.0 dB
    3
    2
    1
    0
    1
    2
    3
    relative level (dB)
    (2D ESA, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 7
    

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16. 2D Synthese einer Linienquelle (500 Hz)
    Wellenfeldsynthese
    4m
    0.0 dB
    3
    2
    1
    0
    1
    2
    3
    relative level (dB)
    (2D ESA, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 7
    

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17. 2D Synthese einer Linienquelle (500 Hz)
    Equivalent Scattering Approach
    4m
    0.0 dB
    3
    2
    1
    0
    1
    2
    3
    relative level (dB)
    (2D ESA, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 7
    

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18. 2D Synthese einer Linienquelle (500 Hz)
    Equivalent Scattering Approach
    4m
    0.0 dB
    3
    2
    1
    0
    1
    2
    3
    relative level (dB)
    (2D ESA, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 7
    

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19. 2D Synthese einer Linienquelle (500 Hz)
    Pegel am Referenzpunkt
    135
    140
    145
    150
    155
    160
    165
    170
    175
    180
    angle (deg)
    1.5
    1.0
    0.5
    0.0
    0.5
    1.0
    1.5
    relative level (dB)
    WFS
    ESA
    (2D ESA/WFS, xref = [2, −2] m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 8
    

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20. 2D Synthese einer Linienquelle
    Ansteuerungsfunktion – Betrag
    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
    r0
    in m
    20
    15
    10
    5
    0
    5
    |D(r0
    ,ω)| in dB
    ESA 500 Hz
    ESA 200 Hz
    WFS 500 Hz
    WFS 200 Hz
    (2D ESA/WFS, virtuelle Linienquelle ϕ0 = 135o, r0 = 4 m, N = 250)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 9
    

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21. 2D Synthese einer Linienquelle
    Ansteuerungsfunktion – Phasenlaufzeit
    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
    r0
    in m
    3
    2
    1
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    τph(r0
    ,ω) in ms
    ESA 500 Hz
    ESA 200 Hz
    WFS 500 Hz
    WFS 200 Hz
    (2D ESA/WFS, virtuelle Linienquelle ϕ0 = 135o, r0 = 4 m, N = 250)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Ansteuerungsfunktionen 9
    

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22. Räumliche Diskretisierung der Sekundärquellenkontur
    Equivalent Scattering Approach
    4m
    0.0 dB
    3
    2
    1
    0
    1
    2
    3
    relative level (dB)
    (2D ESA/WFS, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 0.15 m, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Abtastung 10
    

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23. Räumliche Diskretisierung der Sekundärquellenkontur
    Wellenfeldsynthese
    4m
    0.0 dB
    3
    2
    1
    0
    1
    2
    3
    relative level (dB)
    (2D ESA/WFS, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 0.15 m, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Abtastung 10
    

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24. Räumliche Diskretisierung der Sekundärquellenkontur
    Equivalent Scattering Approach
    4m
    0.0 dB
    3
    2
    1
    0
    1
    2
    3
    relative level (dB)
    (2D ESA/WFS, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 0.15 m, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Abtastung 10
    

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25. Räumliche Diskretisierung der Sekundärquellenkontur
    Equivalent Scattering Approach
    4m
    0.0 dB
    3
    2
    1
    0
    1
    2
    3
    relative level (dB)
    (2D ESA/WFS, Simulationsbereich 4 × 4 m, L = 30 m, ∆x = 0.15 m, N = 350, virtuelle Linienquelle rs = 4 m)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Abtastung 10
    

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26. Ansteuerungsfunktion für 2.5-dimensionale Synthese
    Vergleich Punkt-/Linienquelle für ω
    c
    r 1 mit r = |x − x0|
    −
    j
    4
    H(2)
    0
    (
    ω
    c
    r) ≈
    1
    j ω
    c
    ·
    √
    2πr ·
    1
    4π
    e−j ω
    c
    r
    r
    ⇒ Vorfilterung und Korrektur des Pegels bezüglich eines Referenzpunktes xref
    1 Ref 3 4 5
    distance in m
    -40
    -35
    -30
    -25
    -20
    -15
    -10
    -5
    0
    level in dB
    corrected point source
    line source
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | 2.5-dimensionale Synthese 11
    

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27. Ansteuerungsfunktion für 2.5-dimensionale Synthese
    Vergleich Punkt-/Linienquelle für ω
    c
    r 1 mit r = |x − x0|
    −
    j
    4
    H(2)
    0
    (
    ω
    c
    r) ≈
    1
    j ω
    c
    ·
    √
    2πr ·
    1
    4π
    e−j ω
    c
    r
    r
    ⇒ Vorfilterung und Korrektur des Pegels bezüglich eines Referenzpunktes xref
    1 Ref 3 4 5
    distance in m
    -0.2
    -0.1
    0.0
    0.1
    0.2
    phase in rad
    phase deviation
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | 2.5-dimensionale Synthese 11
    

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28. 2.5-dimensionale Synthese einer Punktquelle
    Synthetisiertes Schallfeld (500 Hz)
    4m
    0.0 dB
    3
    2
    1
    0
    1
    2
    3
    relative level (dB)
    (2.5D ESA, xref = [2, −2] m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle ϕs = 135o, rs = 4 m)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | 2.5-dimensionale Synthese 12
    

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29. 2.5-dimensionale Synthese einer Punktquelle
    Pegel am Referenzpunkt für verschiedene Quellenpositionen (500 Hz)
    3 4 5 6 7 8 9 10
    distance rs
    in m
    8
    6
    4
    2
    0
    2
    relative level in dB
    2.5D ESA
    point source
    (2.5D ESA, xref = [2, −2] m, L = 30 m, ∆x = 3 mm, N = 350, virtuelle Linienquelle ϕs = 135o, rs = 4 m)
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | 2.5-dimensionale Synthese 12
    

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30. Schlussfolgerungen
    Korrekte Synthese ist im Prinzip möglich
    Räumliche Abtastung der Sekundärquellenkontur ⇒ Lautsprecher in der Ecke
    Amplitudenfehler im Schallfeld bei der 2.5D Synthese
    Alternativen für rechteckige Arrays → Vortrag Fiete Winter Do 15:20 Uhr
    Ausblick
    Optimale räumliche Abtastung der Sekundärquellenkontur
    Numerische Stabilität und Effizienz
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Schlussfolgerungen 13
    

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31. https://github.com/sfstoolbox/sfs-python
    http://spatialaudio.net
    Spors et al. | Rectangular Loudspeaker Arrays Driven by SFS | Schlussfolgerungen 14
    

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