論文 Capturability-based Analysis and Control of Legged Locomotion を読む (Part 1) / Review on "Capturability-based Analysis and Control of Legged Locomotion (Part 1)"

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1. 論文 Capturability-based Analysis and
   Control of Legged Locomotion を読む
   (Part 1)
   Yuki Onishi
   第 33 回ロボティクス勉強会
   2023 年 2 月 17 日（金）
   Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会
   

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2. 基本情報
   Title: Capturability-based Analysis and Control of Legged
   Locomotion, Part 1: Theory and Application to Three
   Simple Gait Models
   Author: Twan Koolen, Tomas de Boer, John Rebula,
   Ambarish Goswami, and Jerry Pratt
   The International Journal of Robotics Research (IJRR)
   31(9), pp.1094–1113, 2012
   https://doi.org/10.1177/0278364912452673
   ResearchGate で著者が無料公開：
   https://www.researchgate.net/publication/255757664_
   Capturability-based_analysis_and_control_of_legged_locomotion_
   Part_1_Theory_and_application_to_three_simple_gait_models
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3. はじめに
   概要：二足歩行ロボットの可捕性解析．
   可捕性とは……平たく言えば「立ち止まれるかどうか」
   論文では 3 つの二足歩行の低次元モデルを扱う．
   この資料では，1 つ目のモデルのみを解説し，
   残りは比較結果だけ参照する．
   発表者補足コメント
   二足歩行の安定性解析の金字塔
   被引用数 WoS 284 / Google Scholar 522
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4. モデル
   考えるモデルは非線形かつハイブリッド：
   ˙
   x = f(x, u) if hi
   (x) = 0 (1a)
   x ← gi
   (x) if hi
   (x) = 0 (1b)
   u ∈ U(x) (1c)
   x：状態，u：入力，
   U：許容入力集合，i ∈ I ⊂ N：添字集合．
   hi
   = 0：離散状態切り替え面，gi
   ：状態ジャンプ．
   状態がジャンプ（離散的に遷移）するのは，
   踏み替えをする（ステップを踏む）とき．
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5. N 歩可捕性
   Def. 1: N-step capturable
   N ∈ N，Xfailed
   を系の失敗（転んだ）状態集合とする．
   状態 x0
   が Xfailed
   に対して N-step capturable であるとは，
   x0
   から始まり，N 回の踏み替えを伴って，
   Xfailed
   に到達しない（転ばない）軌道が，
   少なくとも 1 つ存在することである．
   viability kernel（失敗集合に達する軌道の補集合）の研究を
   一般化した定義．
   ある種の「有限時間内」の安定性を与える．
   N → ∞ を考えることも可能．
   例）受動歩行器は，止まれないが転ぶこともない．
   ただし，∞-step capturable ではない安定限界が存在する．
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6. N 歩捕点，可捕領域
   Def. 2: N-step capture point, region
   x0
   を初期状態，Xfailed
   を失敗状態集合とする．
   点 r が N-step capture point であるとは，x0
   から始まり，
   足の位置を現在位置 r からどこか一点に踏み替えることで，
   Xfailed
   に到達せず（転ぶことなく）
   ，
   (N − 1)-step capturable な状態に到達する軌道が，
   少なくとも 1 つ存在することを言う．
   N-step capture point の集合を N-step capture region とする．
   N 歩捕点は再帰的な定義になっている．
   0 歩捕点は踏み替えずに転ばないでいられる点，
   すなわちピタッと立ち止まれる点を指す．
   Fig. 1, 2 参照．
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7. 3D LIPM
   3D linear inverted pendulum mode / 3 次元線形倒立モード.
   重心まわりのトルク（角運動量）を無視，
   重心の並進運動のみに着目
   脚は点接触，脚の運動によって重心はある水平面に拘束
   3D LIPM の定義では，重心がある平面上にあれば OK.
   今回は簡単化のため水平面に限定している．
   3D LIPM は二足歩行の低次元モデルであると同時に，
   多体系力学の「固有モード」でもある．
   角運動量がなく，環境との接触を伴う剛体を考えたとき，
   3D LIPM は重心の運動方程式そのもの．
   （※ただし鉛直方向の運動には制限あり）
   ．
   Fig. 3 参照．
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8. 運動方程式
   重心の運動方程式：
   m¨
   r = f + mg (2)
   m：系の総質量，r：重心位置，g：重力加速度，f：蹴り力．
   モーメントバランス（蹴り力はモーメントを発生させない）
   ：
   −(r − rankle
   ) × f = 0 (3)
   (2) は重心の鉛直位置の拘束（z = z0
   ）を用いて，
   3D LIPM に書き直せる：
   ¨
   r = ω2
   0
   (P r − rankle
   ) (4)
   ω0
   = g/z0
   ：固有振動数，P ：x-y 平面への射影行列．
   (4) は線形システム！
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9. 許容入力集合
   現実的な入力の制約を考える必要がある．
   ここでは，
   歩幅の上限：lmax
   ステップ間のインターバル（最小踏み替え時間）
   ：∆ts
   を考える．
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10. 無次元化
    パラメータ不変な系の振る舞いを見るため，
    無次元化したモデルを作る．
    r = r
    z0
    , rankle
    = rankle
    z0
    , t = ω0
    t とおくと，
    ˙
    r =
    d
    dt
    r =
    ˙
    r
    ω0
    z0
    ¨
    r =
    d
    dt
    ˙
    r =
    ¨
    r
    ω2
    0
    z0
    =
    ¨
    r
    g
    ここで r = x y 1 T
    となる．
    無次元化した運動方程式：
    ¨
    r = P r − rankle
    (5)
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11. 瞬間捕点
    LIPM の軌道エネルギー（ハミルトニアン）を考える．
    ELIP,x
    =
    1
    2
    ˙
    x 2 +
    1
    2
    (x − xankle
    )2 (6a)
    重心が足首の方向に動くとき……
    1 ELIP,x
    > 0：x は xankle
    を通過する．
    2 ELIP,x
    < 0：x は xankle
    に届かない．
    3 ELIP,x
    = 0：x はちょうど xankle
    で止まる．
    3 番目で，逆に x が止まれるような xankle
    は？ ⇔ 瞬間捕点
    ric
    = P r + ˙
    r (7)
    ric
    = P r +
    ˙
    r
    ω0
    (8)
    今，瞬間捕点に足をおけば止まれる (1-step capturable)！
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12. 瞬間捕点のダイナミクス (1/2)
    瞬間捕点に足をおけなかった場合，瞬間捕点はどうなるか？
    (5) の 1 行目から，xankle
    を入力とした状態方程式を得る：
    ˙
    x
    ¨
    x
    =
    0 1
    1 0
    x
    ˙
    x
    +
    0
    −1
    xankle
    (9)
    線形システムの A 行列の固有値は ±1．
    固有ベクトルを用いた座標変換が可能．
    x1
    x2
    =
    1 1
    1 −1
    x
    ˙
    x
    (10)
    ˙
    x1
    ˙
    x2
    =
    1 0
    0 −1
    x1
    x2
    +
    −1
    1
    xankle
    (11)
    不安定固有値を持つ状態変数 x1
    が瞬間捕点に一致する．
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13. 瞬間捕点のダイナミクス (2/2)
    x 方向と y 方向は同様に考えられるから，
    (11) の 1 行目を用いて瞬間捕点のダイナミクスを得る．
    ˙
    ric
    = ric
    − rankle
    (12)
    Theorem 1
    瞬間捕点は，自身と足の位置を結ぶ線上を動く．
    そして瞬間補点の速度は，それら二点間の距離に比例する．
    足首位置が固定されている場合，系は線形なので，
    瞬間捕点は具体的に以下の式で計算可能．
    ric
    (∆t ) = [ric
    (0) − rankle
    ] e∆t + rankle
    (13)
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14. 可捕性解析 (1/3)
    可補領域の「幅」di
    を考える．
    0-step capturability
    足が点なので，可捕領域は広がりを持たない（d0
    = 0）
    ．
    i.e. 0-step capturable ⇔ 瞬間捕点が足首位置に一致する．
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15. 可捕性解析 (2/3)
    N-step capturability
    定義から，1 歩で (N − 1)-step capturable になる必要がある．
    ric
    (∆ts
    ) − rankle
    ≤ dN−1
    + lmax
    (14)
    この式のお気持ち：
    「踏み替えにかかる時間 ∆ts
    経過後の瞬間捕点と，
    今の足の位置との距離が，
    (N − 1)-step capture region + 歩幅 以下であれば OK」
    (13) 式（ric
    の解析解）を用いると
    ric
    (0) − rankle
    ≤ (dN−1
    + lmax
    )e−∆ts = dN
    (15)
    再帰表現が得られた：
    dN
    = (dN−1
    + lmax
    )e−∆ts , d0
    = 0 (16)
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16. 可捕性解析 (3/3)
    再帰表現から，可捕性の距離の変化がわかる．
    dN+1
    − dN
    = (dN
    − dN−1
    )e−∆ts (17)
    e−∆ts = e− g/z0∆ts が，
    歩数を重ねる毎に，可捕領域の幅を増幅/減衰させる．
    ∞-step capturability は閉形式で書ける．
    d∞
    = d0
    +
    ∞
    N=0
    [dN+1
    − dN
    ] (18a)
    = lmax
    ·
    e−∆ts
    1 − e−∆ts
    (18b)
    最大歩幅 lmax
    が大きいほど良い！
    踏み替え時間 ∆ts
    が小さいほど良い！ と言える．
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17. ほか2つのモデル
    足が面積を持つ場合のモデル
    （足首のトルクが使える）
    重心まわりの角運動量が使える場合のモデル
    （脚が重い，腕を振る，等）
    それぞれの場合の解析もされている（スライドでは省略）
    ．
    操作できる量が多ければより良さそうである (Sec. 8)．
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18. まとめ
    まとめ
    二足歩行ロボットが転ばない条件を解析的に導出した．
    理論から実際のロボットの仕様に関する指針が出た．
    歩幅が大きくできると嬉しい
    → 脚長を長く
    踏み替え時間を小さくできると嬉しい
    → 脚の関節速度上限を上げる（減速比高すぎるとダメ）
    謝辞
    神戸大学の田崎勇一先生に感謝．
    本資料の作成にあたって，一部，田崎先生による
    ヒューマノイド・ロボティクス 2019 夏の学校の
    講義資料を参考にした．
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