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論文 Capturability-based Analysis and Control of Legged Locomotion を読む (Part 1) / Review on "Capturability-based Analysis and Control of Legged Locomotion (Part 1)"

yuki
April 21, 2023

論文 Capturability-based Analysis and Control of Legged Locomotion を読む (Part 1) / Review on "Capturability-based Analysis and Control of Legged Locomotion (Part 1)"

yuki

April 21, 2023
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Transcript

  1. 論文 Capturability-based Analysis and
    Control of Legged Locomotion を読む
    (Part 1)
    Yuki Onishi
    第 33 回ロボティクス勉強会
    2023 年 2 月 17 日(金)
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  2. 基本情報
    Title: Capturability-based Analysis and Control of Legged
    Locomotion, Part 1: Theory and Application to Three
    Simple Gait Models
    Author: Twan Koolen, Tomas de Boer, John Rebula,
    Ambarish Goswami, and Jerry Pratt
    The International Journal of Robotics Research (IJRR)
    31(9), pp.1094–1113, 2012
    https://doi.org/10.1177/0278364912452673
    ResearchGate で著者が無料公開:
    https://www.researchgate.net/publication/255757664_
    Capturability-based_analysis_and_control_of_legged_locomotion_
    Part_1_Theory_and_application_to_three_simple_gait_models
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  3. はじめに
    概要:二足歩行ロボットの可捕性解析.
    可捕性とは……平たく言えば「立ち止まれるかどうか」
    論文では 3 つの二足歩行の低次元モデルを扱う.
    この資料では,1 つ目のモデルのみを解説し,
    残りは比較結果だけ参照する.
    発表者補足コメント
    二足歩行の安定性解析の金字塔
    被引用数 WoS 284 / Google Scholar 522
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  4. モデル
    考えるモデルは非線形かつハイブリッド:
    ˙
    x = f(x, u) if hi
    (x) = 0 (1a)
    x ← gi
    (x) if hi
    (x) = 0 (1b)
    u ∈ U(x) (1c)
    x:状態,u:入力,
    U:許容入力集合,i ∈ I ⊂ N:添字集合.
    hi
    = 0:離散状態切り替え面,gi
    :状態ジャンプ.
    状態がジャンプ(離散的に遷移)するのは,
    踏み替えをする(ステップを踏む)とき.
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  5. N 歩可捕性
    Def. 1: N-step capturable
    N ∈ N,Xfailed
    を系の失敗(転んだ)状態集合とする.
    状態 x0
    が Xfailed
    に対して N-step capturable であるとは,
    x0
    から始まり,N 回の踏み替えを伴って,
    Xfailed
    に到達しない(転ばない)軌道が,
    少なくとも 1 つ存在することである.
    viability kernel(失敗集合に達する軌道の補集合)の研究を
    一般化した定義.
    ある種の「有限時間内」の安定性を与える.
    N → ∞ を考えることも可能.
    例)受動歩行器は,止まれないが転ぶこともない.
    ただし,∞-step capturable ではない安定限界が存在する.
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  6. N 歩捕点,可捕領域
    Def. 2: N-step capture point, region
    x0
    を初期状態,Xfailed
    を失敗状態集合とする.
    点 r が N-step capture point であるとは,x0
    から始まり,
    足の位置を現在位置 r からどこか一点に踏み替えることで,
    Xfailed
    に到達せず(転ぶことなく)

    (N − 1)-step capturable な状態に到達する軌道が,
    少なくとも 1 つ存在することを言う.
    N-step capture point の集合を N-step capture region とする.
    N 歩捕点は再帰的な定義になっている.
    0 歩捕点は踏み替えずに転ばないでいられる点,
    すなわちピタッと立ち止まれる点を指す.
    Fig. 1, 2 参照.
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  7. 3D LIPM
    3D linear inverted pendulum mode / 3 次元線形倒立モード.
    重心まわりのトルク(角運動量)を無視,
    重心の並進運動のみに着目
    脚は点接触,脚の運動によって重心はある水平面に拘束
    3D LIPM の定義では,重心がある平面上にあれば OK.
    今回は簡単化のため水平面に限定している.
    3D LIPM は二足歩行の低次元モデルであると同時に,
    多体系力学の「固有モード」でもある.
    角運動量がなく,環境との接触を伴う剛体を考えたとき,
    3D LIPM は重心の運動方程式そのもの.
    (※ただし鉛直方向の運動には制限あり)

    Fig. 3 参照.
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  8. 運動方程式
    重心の運動方程式:

    r = f + mg (2)
    m:系の総質量,r:重心位置,g:重力加速度,f:蹴り力.
    モーメントバランス(蹴り力はモーメントを発生させない)

    −(r − rankle
    ) × f = 0 (3)
    (2) は重心の鉛直位置の拘束(z = z0
    )を用いて,
    3D LIPM に書き直せる:
    ¨
    r = ω2
    0
    (P r − rankle
    ) (4)
    ω0
    = g/z0
    :固有振動数,P :x-y 平面への射影行列.
    (4) は線形システム!
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  9. 許容入力集合
    現実的な入力の制約を考える必要がある.
    ここでは,
    歩幅の上限:lmax
    ステップ間のインターバル(最小踏み替え時間)
    :∆ts
    を考える.
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  10. 無次元化
    パラメータ不変な系の振る舞いを見るため,
    無次元化したモデルを作る.
    r = r
    z0
    , rankle
    = rankle
    z0
    , t = ω0
    t とおくと,
    ˙
    r =
    d
    dt
    r =
    ˙
    r
    ω0
    z0
    ¨
    r =
    d
    dt
    ˙
    r =
    ¨
    r
    ω2
    0
    z0
    =
    ¨
    r
    g
    ここで r = x y 1 T
    となる.
    無次元化した運動方程式:
    ¨
    r = P r − rankle
    (5)
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  11. 瞬間捕点
    LIPM の軌道エネルギー(ハミルトニアン)を考える.
    ELIP,x
    =
    1
    2
    ˙
    x 2 +
    1
    2
    (x − xankle
    )2 (6a)
    重心が足首の方向に動くとき……
    1 ELIP,x
    > 0:x は xankle
    を通過する.
    2 ELIP,x
    < 0:x は xankle
    に届かない.
    3 ELIP,x
    = 0:x はちょうど xankle
    で止まる.
    3 番目で,逆に x が止まれるような xankle
    は? ⇔ 瞬間捕点
    ric
    = P r + ˙
    r (7)
    ric
    = P r +
    ˙
    r
    ω0
    (8)
    今,瞬間捕点に足をおけば止まれる (1-step capturable)!
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  12. 瞬間捕点のダイナミクス (1/2)
    瞬間捕点に足をおけなかった場合,瞬間捕点はどうなるか?
    (5) の 1 行目から,xankle
    を入力とした状態方程式を得る:
    ˙
    x
    ¨
    x
    =
    0 1
    1 0
    x
    ˙
    x
    +
    0
    −1
    xankle
    (9)
    線形システムの A 行列の固有値は ±1.
    固有ベクトルを用いた座標変換が可能.
    x1
    x2
    =
    1 1
    1 −1
    x
    ˙
    x
    (10)
    ˙
    x1
    ˙
    x2
    =
    1 0
    0 −1
    x1
    x2
    +
    −1
    1
    xankle
    (11)
    不安定固有値を持つ状態変数 x1
    が瞬間捕点に一致する.
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  13. 瞬間捕点のダイナミクス (2/2)
    x 方向と y 方向は同様に考えられるから,
    (11) の 1 行目を用いて瞬間捕点のダイナミクスを得る.
    ˙
    ric
    = ric
    − rankle
    (12)
    Theorem 1
    瞬間捕点は,自身と足の位置を結ぶ線上を動く.
    そして瞬間補点の速度は,それら二点間の距離に比例する.
    足首位置が固定されている場合,系は線形なので,
    瞬間捕点は具体的に以下の式で計算可能.
    ric
    (∆t ) = [ric
    (0) − rankle
    ] e∆t + rankle
    (13)
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  14. 可捕性解析 (1/3)
    可補領域の「幅」di
    を考える.
    0-step capturability
    足が点なので,可捕領域は広がりを持たない(d0
    = 0)

    i.e. 0-step capturable ⇔ 瞬間捕点が足首位置に一致する.
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  15. 可捕性解析 (2/3)
    N-step capturability
    定義から,1 歩で (N − 1)-step capturable になる必要がある.
    ric
    (∆ts
    ) − rankle
    ≤ dN−1
    + lmax
    (14)
    この式のお気持ち:
    「踏み替えにかかる時間 ∆ts
    経過後の瞬間捕点と,
    今の足の位置との距離が,
    (N − 1)-step capture region + 歩幅 以下であれば OK」
    (13) 式(ric
    の解析解)を用いると
    ric
    (0) − rankle
    ≤ (dN−1
    + lmax
    )e−∆ts = dN
    (15)
    再帰表現が得られた:
    dN
    = (dN−1
    + lmax
    )e−∆ts , d0
    = 0 (16)
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  16. 可捕性解析 (3/3)
    再帰表現から,可捕性の距離の変化がわかる.
    dN+1
    − dN
    = (dN
    − dN−1
    )e−∆ts (17)
    e−∆ts = e− g/z0∆ts が,
    歩数を重ねる毎に,可捕領域の幅を増幅/減衰させる.
    ∞-step capturability は閉形式で書ける.
    d∞
    = d0
    +

    N=0
    [dN+1
    − dN
    ] (18a)
    = lmax
    ·
    e−∆ts
    1 − e−∆ts
    (18b)
    最大歩幅 lmax
    が大きいほど良い!
    踏み替え時間 ∆ts
    が小さいほど良い! と言える.
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  17. ほか2つのモデル
    足が面積を持つ場合のモデル
    (足首のトルクが使える)
    重心まわりの角運動量が使える場合のモデル
    (脚が重い,腕を振る,等)
    それぞれの場合の解析もされている(スライドでは省略)

    操作できる量が多ければより良さそうである (Sec. 8).
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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  18. まとめ
    まとめ
    二足歩行ロボットが転ばない条件を解析的に導出した.
    理論から実際のロボットの仕様に関する指針が出た.
    歩幅が大きくできると嬉しい
    → 脚長を長く
    踏み替え時間を小さくできると嬉しい
    → 脚の関節速度上限を上げる(減速比高すぎるとダメ)
    謝辞
    神戸大学の田崎勇一先生に感謝.
    本資料の作成にあたって,一部,田崎先生による
    ヒューマノイド・ロボティクス 2019 夏の学校の
    講義資料を参考にした.
    Yuki Onishi 第 33 回ロボティクス勉強会

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