Компьютеры и фундаментальная математика

Анонс:
Математика активно используется в сфере информационных технологий, часто мы слышим о таких вещах как машинное обучение, нейронные сети, компьютерное зрение, и в их основе лежат математические модели.
Но как математики используют плоды своего труда? Может ли компьютер помочь в решении абстрактной математической задачи? Или провести доказательство теоремы от начала до конца и сделать вывод об истинности того или иного утверждения? Постараемся ответить на эти вопросы и разобраться, какую часть в работе математика может выполнить машина, а какая требует доли творчества.

Transcript

1. Компьютеры и фундаментальная математика 24 сентября 2017
2. vk.com/mmcs_math mmcs.sfedu.ru @vdimir Владимир Черкасов
3. Что изучает математика? (a•b)•c=a•(b•c) a•e=e•a=a a•a-1=e
4. Аксиома – исходное положение какой-либо теории. ✓ Аксиома параллельности Евклида ✓ Аксиома выбора
5. Теорема – утверждение, выводимое из аксиом. ✓ Теорема Пифагора ✓ Теорема Виета ✓ Теорема Ферма ✓ Теорема косинусов a b c a2+b2=c2
6. Пример: Аксиома выбора } { } {
7. Парадокс Банаха — Тарского
8. S6E15 «Benderama»
9. Великая теорема Ферма Для любого натурального числа n > 2 уравнение: an+bn=cn не имеет решения в целых числах
10. “ « … невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него»
11. 1. Выбрать числа a b c 2. Проверить равенство an+bn=cn 3. Если верно, то выход иначе переход к 1 шагу
12. Эндрю Уайлс
13. 1 : 0
14. Гипотеза Эйлера n-1 штук an + bn + ... + yn = zn Например: a5 + b5 + c5 + d5 = e5
15. 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 14348907 + 4182119424 + 16105100000 + 41615795893 = 61917364224 Гипотеза Эйлера
16. 1 : 1
17. Проблема четырёх красок
18. Проблема четырёх красок
19. Проблема четырёх красок ✓ Сформулирована в 1852 Фрэнсисом Гутри ✓ Доказана в 1976 году Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном ✓ Более формализованное доказательство выполнено Жоржем Гонтье в 2004
20. Соответствие Карри — Ховарда Математические доказательства Компьютерные программы
21. ∀ m,n∈ℕ: m+n=n+m Соответствие Карри — Ховарда plus_comm : (m, n : Nat) -> m + n = n + m plus_comm Z n = plus_comm_Z n plus_comm (S k) n = rewrite plus_comm k n in plus_comm_S k
22. Доказательство Обозримое Необозримое Системы доказательства Автоматические Интерактивные Программы-пруверы
23. 42 Можно ли доверять компьютерам?
24. c = a + b, c < K•rad(a•b•c)1+ℇ 504=23•32•7 rad(504)=2•3•7=42 abc-гипотеза
25. Синъити Мотидзуки В 2012 предложил доказательство abc-гипотезы, занимающее более 500 страниц текста
26. Уолтер Рэли Томас Хэрриот Иоганн Кеплер
27. Гексагональная упаковка
28. Гипотеза Кеплера
29. Томас Хэйлс ✓ Решение гипотезы Кеплера с помощью компьютера в 1998 ✓ Формализация компьютерной части в 2014
30. Давид Гильберт ✓ Сформулировал знаменитый список 23 нерешённых проблем математики ✓ Предложил выстроить формальную аксиоматическую систему, которая охватит всю математику
31. A→B, B→C A→C A→ A ⊥ → A A→B ⊢ ¬B→¬A
32. Курт Гёдель Алан Тьюринг Алонзо Чёрч
33. “ «Никакая наука не укрепляет веру в силу человеческого разума так, как математика» Гуго Штейнгауз польский математик, популяризатор науки, ученик Давида Гильберта
34. ✓ FAQ: Компьютерные доказательства ✓ Куда движется математика? Доказательства с использованием компьютера ✓ VSauce: Парадокс Банаха-Тарского [видео] ✓ Did Futurama get the Banach-Tarski Paradox right? ✓ Можно ли доверять компьютерам? ✓ Гипотеза Кеплера на N+1 ✓ Гипотеза Кеплера на lenta.ru ✓ Доказательство «японского Перельмана» совершило революцию в математике ✓ Парадокс доказательства Ссылки
35. vk.com/mmcs_math mmcs.sfedu.ru @vdimir