• ҙͷू߹ X ʹରͯ͠߃ࣸ૾ idX ͕ଘࡏ • ҙͷࣸ૾ f : X → Y, g : Y → Z ʹରͯ͠ ߹ࣸ૾ g ◦ f : X → Z ͕ଘࡏ άϥϑͱ४ಉܕ άϥϑͱͦͷ४ಉܕʹରͯ͠ҎԼ͕Γཱͭ • ҙͷάϥϑ G ʹରͯ͠߃ࣸ૾ idG ४ಉܕ • ҙͷ४ಉܕ f : G1 → G2 , g : G2 → G3 ʹରͯ͠ ߹ࣸ૾ g ◦ f : G1 → G3 ४ಉܕ 5 / 23
• ҙͷ܈ G ʹରͯ͠߃ࣸ૾ idG ४ಉܕ • ҙͷ४ಉܕ f : G1 → G2 , g : G2 → G3 ʹରͯ͠ ߹ࣸ૾ g ◦ f : G1 → G3 ४ಉܕ ॱংू߹ͱ୯ௐࣸ૾ ॱংू߹ͱ୯ௐʢ૿Ճʣࣸ૾ʹରͯ͠ҎԼ͕Γཱͭ • ҙͷॱংू߹ X ʹରͯ͠߃ࣸ૾ idX ୯ௐ • ҙͷ୯ௐࣸ૾ f : X → Y, g : Y → Z ʹରͯ͠ ߹ࣸ૾ g ◦ f : X → Z ୯ௐ 6 / 23
ରɿA, B, C, ... • ࣹɿf, g, h, ... • ҙͷࣹ f ʹରͯ͠ର dom(f), cod(f) ͕͋Δ A = dom(f), B = cod(f) Ͱ͋Δ f Λ f : A → B ͱॻ͘ • ࣹ f : A → B, g : B → C s.t. cod(f) = dom(g) ʹରͯ͠ ࣹ g ◦ f : A → C ͕͋Γɼ ҙͷࣹ f : A → B, g : B → C, h : C → D ʹରͯ͠ h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f ͕Γཱͭ • ҙͷର A ʹରࣹ͠ idA : A → A ͕͋Γɼ ҙͷࣹ f : A → B ʹର͠ f ◦ idA = f = idB ◦ f ͕Γཱͭ 8 / 23
ॱংͦͷͷ ॱংू߹ P Λߟ͑Δ ରͱͯ͠ཁૉΛͱΓɼॱং͕ؔ͋Δͱ͖ʹࣹ͕͋Δͱ͢Δ • ҙͷཁૉ x ʹର͠ x ≤ x • x ≤ y, y ≤ z ͳΒ x ≤ z ݍͰͳ͍ྫ • ॱংू߹ͱ୯ௐݮগࣸ૾ ∵ ୯ௐݮগࣸ૾ͷ߹୯ௐ૿Ճࣸ૾ • ϚάϚ M ͷཁૉͱͦͷԋࢉ ∵ ϚάϚͷԋࢉ୯Ґݩ͕ͳ݁͘߹తͰͳ͍ 9 / 23
: A → B ͕ϞϊࣹͰ͋Δͱ ҙͷࣹ g, h : C → A ʹରͯ͠ fg = fh ͳΒ g = h Ͱ͋Δ͜ͱ C g // h // A f // B Sets ʹ͓͍ͯϞϊࣹͰ͋Δ͜ͱ୯ࣹͰ͋Δ͜ͱͱಉʢԋशʣ g, h ͕ A ͷҙͷݩΛද͍ͯ͠Δͱࢥ͑ࣗવ Ͱશࣹʁ 13 / 23
A → B ͕ΤϐࣹͰ͋Δͱ ҙͷࣹ i, j : B → C ʹରͯ͠ if = jf ͳΒ i = j Ͱ͋Δ͜ͱ A f // B i // j // C Sets ʹ͓͍ͯΤϐࣹͰ͋Δ͜ͱશࣹͰ͋Δ͜ͱͱಉʢԋशʣ if = jf ͔Β i = j ͕ݴ͑ΔͨΊʹ f Λ߹ͨ͜͠ͱͰใ͕ࣦΘΕ͍͚ͯͳ͍ͱߟ͑Δͱࣗવ ͞ΒʹϞϊࣹͱΤϐࣹରʹͳ͍ͬͯΔ 14 / 23
A p1 ←− P p2 −→ B ͕ A, B ͷੵͰ͋Δͱ ҙͷର Z ͱਤࣜ A z1 ←− Z z2 −→ B ʹରͯ͠ pi ◦ u = zi Λຬͨ͢Ұҙͳ u : Z → P ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱ Z z1 u z2 A P p1 oo p2 // B Sets ʹ͓͍ͯ P ͕ੵͰ͋Δ͜ͱੵͰ͋Δ͜ͱͱಉʢԋशʣ (P = A × Bɼpi ͕ࣹӨɼu = ⟨z1 , z1 ⟩) 16 / 23
q1 −→ Q q2 ←− B ͕ A, B ͷ༨ੵͰ͋Δͱ ҙͷର Z ͱਤࣜ A z1 −→ Z z2 ←− B ʹରͯ͠ u ◦ qi = zi Λຬͨ͢Ұҙͳ u : Q → Z ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱ Z A z1 ?? q1 // Q u OO B z2 __ q2 oo Sets ʹ͓͍ͯ Q ͕༨ੵͰ͋Δ͜ͱͰ͋Δ͜ͱͱಉʢԋशʣ ੵͱͪΐ͏Ͳରͷ֓೦Ͱ͋Δ͜ͱ͕͔ͬͨ ͦΕͧΕΑ͘ ∏ ͱ ⨿ Ͱॻ͕͘ରͳͷͰࣗવ 17 / 23
x ؔͷͣ 2 A → B ͱ͍͏ؔͩͱࢥͬͯΈΔ 3 x ͦͷҾͱͯ͠༩͑ΒΕΔͷͰू߹ A ͷཁૉͰ͋Δ 4 BA = A ໃ६͢ΔͷͰ BA ∼ = A ͱͯ͠ΈΔ 5 ͦΕͰೱΛߟ͑Δͱ |A| = |B| = 1 ͱ͍͏ࣗ໌ͳղͷΈ 6 ܕແ͠ϥϜμܭࢉͷϞσϧͳ͍ʁ ʢ༨༟͕͋ͬͨΒͲ͕͓͔͍͔͜͠ߟ͔͑ͯΒ࣍ʹߦ͍ͬͯͩ͘͞ʣ 18 / 23