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O problema de localização de concentradores em árvores: um procedimento para melhorar um algoritmo baseado em decomposição de Benders

O problema de localização de concentradores em árvores: um procedimento para melhorar um algoritmo baseado em decomposição de Benders

Apresentação do artigo no XLVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO)

João Júnior

January 16, 2017
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Transcript

  1. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas O problema de localiza¸ c˜ ao de concentradores em ´ arvores: um procedimento para melhorar um algoritmo baseado em decomposi¸ c˜ ao de Benders Jo˜ ao C. Abreu1, Thiago F. Noronha1, Andr´ ea Cynthia Santos2 Universidade Federal de Minas Gerais1, Universit´ e de Technologie de Troyes2 25 a 28 de Agosto de 2015 - XLVII Simp´ osio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO) 1 / 28
  2. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Sum´ ario Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Problema Mestre Subproblema Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros 2 / 28
  3. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Defini¸ c˜ ao do Problema G = (N, A), N ´ e o conjunto de v´ ertices e A e o conjunto de Arcos p: N´ umero de Concentradores para serem alocados cij : custo associado a cada arco (i, j) ∈ A Wij : Demanda de fluxo do n´ o de origem i ∈ N para o n´ o de destino j ∈ N α: Fator de desconto atribu´ ıdo aos custos das arestas que conectam n´ os concentradores 3 / 28
  4. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Defini¸ c˜ ao do Problema O THLP consiste em: selecionar p n´ os concentradores e conectar esse n´ os atrav´ es de uma ´ arvore. alocar os |N| − p n´ os clientes aos n´ os concentradores. rotear o fluxo entre os pares de n´ os com um custo total m´ ınimo. 4 / 28
  5. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Exemplo 1 2 3 4 5 / 28
  6. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Exemplo - N´ os concentradores, p = 3 1 2 3 4 6 / 28
  7. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Exemplo - Como conectar os n´ os concentradores? 1 2 3 4 7 / 28
  8. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Exemplo - Como conectar os n´ os concentradores? 1 2 3 4 8 / 28
  9. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Exemplo - Como alocar os n´ os clientes? 1 2 3 4 9 / 28
  10. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Exemplo - Como alocar os n´ os clientes? 1 2 3 4 10 / 28
  11. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas 1. Contreras, I., Fernandez, E., Marin, A.: The tree of hubs location problem. European Journal of Operational Research 202(2), 390 – 400 (2010) 11 / 28
  12. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas 1. Contreras, I., Fernandez, E., Marin, A.: The tree of hubs location problem. European Journal of Operational Research 202(2), 390 – 400 (2010) 2. Contreras, I., Fernandez, E., Marin, A.: Tight bounds from a path based formulation for the tree of hub location problem. Computers & Operations Research 36(12), 3117 – 3127 (2009) 11 / 28
  13. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas 1. Contreras, I., Fernandez, E., Marin, A.: The tree of hubs location problem. European Journal of Operational Research 202(2), 390 – 400 (2010) 2. Contreras, I., Fernandez, E., Marin, A.: Tight bounds from a path based formulation for the tree of hub location problem. Computers & Operations Research 36(12), 3117 – 3127 (2009) 3. de Sa, E.M., de Camargo, R.S., de Miranda, G.: An improved benders decomposition algorithm for the tree of hubs location problem. European Journal of Operational Research 226(2), 185 – 202 (2013) 11 / 28
  14. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Constantes p: N´ umero de Concentradores para serem selecionados cij : custo associado a cada arco (i, j) ∈ A Wij : Demanda de fluxo do n´ o de origem i ∈ N para o n´ o de destino j ∈ N α: Fator de desconto atribu´ ıdo aos custos das arestas que conectam n´ os concentradores Oi = j∈N Wij : Quantidade total de fluxo com origem em i ∈ N e destino aos outros n´ os do conjunto N Di = j∈N Wji : Quantidade total de fluxo com destino ao n´ o i ∈ N 12 / 28
  15. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Vari´ aveis zik: Aloca¸ c˜ ao do n´ o cliente i ∈ N para o n´ o concentrador k ∈ N zkk: k ∈ N ´ e um n´ o concentrador ykm: Arestas entre os n´ os concentradores k, m ∈ N xijkm: Quantidade de fluxo com origem em i ∈ N e destino j ∈ N que atravessa a aresta (k, m) 13 / 28
  16. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas min i∈N k∈N k=i (cikOi + cki Di )zik+ i∈N j∈N j>i k∈N m∈N m=k (ckmWij + cmkWji ) × α × xkm ij (1) sujeito a: 14 / 28
  17. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas zik ≤ zkk ∀i = k i, k ∈ N (2) k∈N zik = 1 ∀i ∈ N (3) ykm ≤ zkk ∀k < m k, m ∈ N (4) ykm ≤ zmm ∀k < m k, m ∈ N (5) k∈N zkk = p (6) k∈N m m>k ∈N ykm = k∈N zkk − 1 (7) 15 / 28
  18. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas k k=m ∈N xkm ij + zim = r r=m ∈N xmr ij + zjm ∀i < j, m i, j, m ∈ N (8) xkm ij + xmk ij ≤ ykm ∀i < j, k < m i, j, k, m ∈ N (9) m m=k ∈N xkm ij ≤ zkk ∀i < j, k i, j, k ∈ N (10) m m=k ∈N xmk ij ≤ zkk ∀i < j, k i, j, k ∈ N (11) xkm ij ≥ 0 ∀i < j, k = m i, j, k, m ∈ N (12) ykm ∈ {0, 1} ∀k < m k, m ∈ N (13) zik ∈ {0, 1} ∀i, k ∈ N (14) 16 / 28
  19. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Tamanho da Formula¸ c˜ ao O(|N|2) vari´ aveis bin´ arias O(|N|4) vari´ aveis cont´ ınuas O(|N|4) restri¸ c˜ oes 17 / 28
  20. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Problema Mestre Subproblema Consiste em manter as vari´ aveis z e y no problema mestre e as vari´ aveis x no subproblema. Assim: Um dos objetivos do problema mestre ´ e encontrar a ´ arvore conectando os n´ os concentradores e as aloca¸ c˜ oes dos n´ os clientes. O objetivo do subproblema ´ e calcular o custo m´ ınimo de rotear as demandas. 18 / 28
  21. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Problema Mestre Subproblema min i∈N k∈N,k=i (cik Oi + cki Di )zik + i∈N j∈N,j>i ηij (15) subject to: (2) − (7), 13, 14 ηij ≥ m∈N (zjm − zim)uh ijm − k∈N m∈N,k<m ykmeh ijkm − k∈N zkk (sh ijk + th ijk ) ∀i < j i, j ∈ N h ∈ H (16) m∈N (zjm − zim)uh ijm − k∈N m∈N,k<m ykmeh ijkm − k∈N zkk (sh ijk + th ijk ) ≤ 0 ∀i < j i, j ∈ N h ∈ G (17) ηij ≥ 0 ∀i < j i, j ∈ N (18) 19 / 28
  22. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Problema Mestre Subproblema Restri¸ c˜ oes adicionais m∈N f0m = k∈N zkk (19) m∈N∪{0}:m=k fmk − m∈N:m=k fkm = zkk ∀k ∈ N (20) fkm ≤ |N|ykm ∀k, m ∈ N : k < m (21) fkm ≤ |N|ymk ∀k, m ∈ N : k > m (22) f0k ≤ |N|qk ∀k ∈ N (23) k∈N qk = 1 (24) qk ≤ zkk ∀k ∈ N (25) fkm ≥ 0 ∀k ∈ N ∪ {0}, m ∈ N : k = m (26) qk ∈ {0, 1} ∀k ∈ N (27) 20 / 28
  23. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Problema Mestre Subproblema Primal Dados: z, y e i, j ∈ N : i < j k∈N m m=k ∈N (ckmWij + cmk Wji ) × α × xkm ij (28) k k=m ∈N xkm ij − r r=m ∈N xmr ij = zjm − zim ∀m ∈ N (29) xkm ij + xmk ij ≤ ykm ∀k < m k, m ∈ N (30) m m=k ∈N xkm ij ≤ zkk ∀k ∈ N (31) m m=k ∈N xmk ij ≤ zkk ∀k ∈ N (32) xkm ij ≥ 0 ∀k = m k, m ∈ N (33) 21 / 28
  24. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Problema Mestre Subproblema Dual Ap´ os associar as vari´ aveis uijm, eijkm, sijk e tijm, respectivamente, as restri¸ c˜ oes (29)-(32) max m∈N (zjm − zim)uijm − k∈N m k<m ∈N ykm eijkm − k∈N zkk (sijk + tijk ) (34) subject to: uijm − uijk − eijkm − sijk − tijm ≤ α(ckmWij + cmk Wji )∀k < m; k, m ∈ N (35) uijm − uijk − eijmk − sijk − tijm ≤ α(ckmWij + cmk Wji )∀k > m; k, m ∈ N (36) uijm ∈ R ∀m ∈ N (37) eijkm ≥ 0 ∀k < m k, m ∈ N (38) tijm ≥ 0 ∀m ∈ N (39) sijm ≥ 0 ∀m ∈ N (40) 22 / 28
  25. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas A decomposi¸ c˜ ao de Benders para o THLP resolve O(|N|2) subproblemas, cada um com O(|N|2) vari´ aveis cont´ ınuas, com um algoritmo de programa¸ c˜ ao linear. N´ os propomos um algoritmo eficiente para resolver esses subproblemas. 23 / 28
  26. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Algoritmo para resolver os subproblemas de forma eficiente 1 begin 2 Resolver o subproblema primal com o algoritmo de busca em largura 3 Criar o grafo de restri¸ c˜ ao a partir do subproblema dual e do valor ´ otimo do problema primal 4 Calcular o caminho mais curto partindo de um n´ o para todos os outros com o algoritmo Bellman-Ford para encontrar o valor das vari´ aveis uijm 5 Calcular o valor das vari´ aveis eijkm 6 Fixar o valor das vari´ aveis sijk e tijm em zero 7 end 24 / 28
  27. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Configura¸ c˜ oes Intel Xeon E5405 com 2.00 GHz de Clock e 16 GB de RAM CPLEX 12.6 com parˆ ametros nos valores padr˜ oes Tempo m´ aximo de execu¸ c˜ ao: 24 horas (86400 segundos) Instˆ ancias AP (Australian Post): grafos completos e direcionados Instˆ ancias AP com 50 n´ os Fator de desconto α: {0.2, 0.5, 0.8} Quantidade p de n´ os concentradores para serem selecionados: {3, 5, 8} 25 / 28
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    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Resultados Preliminares Benders de Sa et. al. Benders+ p α Gap(%) #Iter SP(s) SP/#Iter Gap(%) #Iter SP(s) SP/#Iter % speedup 3 0,2 0,00 1 579,38 579,38 0,00 1 411,97 411,97 28,89 3 0,5 0,00 2 1173,55 586,78 0,00 2 850,64 425,32 27,52 3 0,8 0,00 2 1173,45 586,72 0,00 2 846,16 423,08 27,89 5 0,2 0,00 2 1173,33 586,66 0,00 2 847,93 423,96 27,73 5 0,5 0,00 2 1187,93 593,97 0,00 2 897,95 448,98 24,41 5 0,8 0,02 2 1163,19 581,59 0,03 2 835,47 417,73 28,17 8 0,2 0,08 7 4116,52 588,07 0,11 7 2943,11 420,44 28,51 8 0,5 0,01 2 1166,66 583,33 0,04 2 832,98 416,49 28,60 8 0,8 5,23 1 580,22 580,22 5,23 1 408,92 408,92 29,52 Table : Compara¸ c˜ ao entre Benders de Sa et. al. e Benders+ em instˆ ancias AP de 50 n´ os. 26 / 28
  29. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas Diminuir complexidade do algoritmo Qualidade dos cortes Heur´ ısticas 27 / 28
  30. Problema de Localiza¸ c˜ ao de Concentradores em ´ Arvore

    (THLP) Trabalhos relacionados Formula¸ c˜ ao Matem´ atica Decomposi¸ c˜ ao de Benders Resolu¸ c˜ ao Eficiente dos Subproblemas Experimentos Computacionais Trabalhos Futuros D´ uvidas D´ uvidas? 28 / 28