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電気工学II第3回 /eleceng2_03

電気工学II第3回 /eleceng2_03

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Kazuhisa Fujita

March 23, 2023
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  1. 正弦波の式とパラメタ • 正弦波 • 𝑒 = 𝐸 sin 2𝜋𝑓𝑡 •

    波を表すための指標 • 周期 𝑇 [s]:山から山(谷から谷)までの時間 • 周波数 𝑓 [Hz] 𝑓 = 1/𝑇: 1秒間に何個山があるか. • 振幅 𝐸:山の高さ 周期T 振幅E 時間[s] 電圧[V] 山 谷 節
  2. 周波数と周期 • 周波数𝑓は1周期の波が1秒あたり𝑓個あることを意味する. • 1周期の波が1秒あたり𝑓個あるのだから,1個あたりの時間は1/𝑓である.これ が周期𝑇である. • 𝑇 = 1/𝑓

    • 1周期分の角度は,2𝜋[rad]だから1秒あたり2𝜋𝑓[rad]進む.これが角周波数( 角速度)𝜔である. • 𝜔 = 2𝜋𝑓 1周期の波が𝑓個ある.
  3. 位相と位相差 • sin内の𝜔𝑡,𝜔𝑡 + 𝜋/3,𝜔𝑡 − 𝜋/4を位相と呼ぶ. • 𝑒1 を基準とした時,+𝜋/3,−𝜋/4を位相差と呼ぶ.

    • 𝑒2 は𝑒1 より位相が𝜋/3進んでいる. • 𝑒3 は𝑒1 より位相が𝜋/4遅れている. 𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝜋/3 𝜋/4 𝜋 2𝜋 𝐸𝑚 𝑒1 = 𝐸𝑚 sin 𝜔𝑡 𝑒2 = 𝐸𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜋 3 𝑒3 = 𝐸𝑚 sin 𝜔𝑡 − 𝜋 4
  4. 正弦波交流の実効値の計算 • 抵抗Rに𝑣 𝑡 = 𝑉 sin 𝜔𝑡の電圧を加えたときの電力は • 𝑃

    𝑡 = 𝑖 𝑡 𝑣 𝑡 = 𝑣2(𝑡) 𝑅 = 𝑉2sin2 𝜔𝑡 𝑅 • 1周期の平均電力は • ത 𝑃 = 1 𝑇 ׬ 0 𝑇 𝑉2sin2 𝜔𝑡 𝑅 𝑑𝑡 = 𝑉 2𝑅 𝑉 2 = 𝐼𝑒 𝑉 𝑒 • よって,正弦波交流の実効値は振幅の 𝟏 𝟐 となる. 𝜔𝑇 = 2𝜋 cos 2𝜃 = cos2 𝜃 − sin2 𝜃 = 1 − 2sin2 𝜃 ത 𝑃 = 1 𝑇 න 0 𝑇 𝑉2sin2 𝜔𝑡 𝑅 𝑑𝑡 = 𝑉2 𝑇𝑅 න 0 𝑇 1 2 1 − cos 2𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑉2 2𝑇𝑅 𝑡 − 1 2𝜔 sin 2𝜔𝑡 0 𝑇 = 𝑉2 2𝑇𝑅 𝑇 − 1 2𝜔 sin 2𝜔𝑇 + 1 2𝜔 sin 0 = 𝑉2 2𝑇𝑅 × 𝑇 = 𝑉2 2𝑅 = 𝑉 2𝑅 𝑉 2 = 𝐼𝑒 𝑉 𝑒 𝑃 𝑡 𝑡 𝑇 𝑉 𝑒 電力が同じ 𝑣 𝑡 𝑖 𝑡 𝐼𝑒
  5. 実効値(資格試験・国家試験のために覚える) • 交流 • 振幅𝑉 2 • 全波整流(計算で2乗するため,交流と同じ値となる) • 振幅𝑉

    2 • 半波整流 • 振幅𝑉 2 半波整流正弦波の実効値 ത 𝑃 = 1 𝑇 න 0 𝑇/2 𝑉2sin2 𝜔𝑡 𝑅 𝑑𝑡 = 𝑉2 𝑇𝑅 න 0 𝑇/2 1 2 1 − cos 2𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑉2 2𝑇𝑅 𝑡 − 1 2𝜔 sin 2𝜔𝑡 0 𝑇/2 = 𝑉2 2𝑇𝑅 𝑇 2 − 1 2𝜔 sin 𝜔𝑇 + 1 2𝜔 sin 0 = 𝑉2 4𝑇𝑅 × 𝑇 = 𝑉2 4𝑅 = 𝑉 2𝑅 𝑉 2 = 𝐼𝑒 𝑉 𝑒
  6. 問題解説 • 時刻𝑡[s]における交流電流の瞬時値が以下の式で与えられるとき,周期[s]は いくらか.(第39回ME2種) • 𝑖 𝑡 = 20 sin(40𝜋𝑡

    − 𝜋/4) 1. 0.025 2. 0.05 3. 0.5 4. 20 5. 40 波の式は次のとおりである. 𝐼 𝑡 = 𝐴 sin(2𝜋𝑓𝑡 − 𝜙) よって周波数は 𝑓 = 20Hz 周期は 𝑇 = 1 20 = 0.05s
  7. 問題解説 • 𝑖 𝑡 = 10 2 sin(40𝜋𝑡 − 𝜋

    6 ) [mA]で表される交流について誤っているのはどれか. (第34回ME2種) 1. 振幅:14.1mA 2. 周波数:40Hz 3. 位相遅れ:30° 4. 角周波数:126rad/s 5. 実効値:10mA
  8. 問題解説 • 𝑖 𝑡 = 10 2 sin(40𝜋𝑡 − 𝜋

    6 )[mA]で表される交流について誤っているのはどれか.(第34回ME2 種) 1. 振幅:14.1mA 𝐴 = 10 × 2 ≅ 14.1mA 2. 周波数:40Hz 𝜔 = 40𝜋 = 2𝜋𝑓,𝑓 = 20Hz 3. 位相遅れ:30° 𝜙 = − 𝜋 6 = −30° 4. 角周波数:126rad/s 𝜔 = 40𝜋 ≅ 126rad/s 5. 実効値:10mA 𝑉 = 10 2 2 = 10mA
  9. 問題 • 正弦波交流 𝑖1 = 141 sin 100𝜋𝑡 + 𝜋

    3 [A], 𝑖2 = 282 sin 100𝜋𝑡 − 𝜋 6 [A]において, 𝑖1 と𝑖2 の位相差[rad]について正しいのはどれか.(臨床工学技士国家試験30回) 1. 𝑖1 が𝑖2 より𝜋/6進んでいる. 2. 𝑖1 が𝑖2 より𝜋/2進んでいる. 3. 𝑖1 が𝑖2 より2𝜋/3遅れている. 4. 𝑖1 が𝑖2 より𝜋/6遅れている. 5. 𝑖1 が𝑖2 より𝜋/2遅れている.
  10. 問題 • 正弦波交流 𝑖1 = 141 sin 100𝜋𝑡 + 𝜋

    3 [A], 𝑖2 = 282 sin 100𝜋𝑡 − 𝜋 6 [A]において, 𝑖1 と𝑖2 の位相差[rad]について正しいのはどれか.(臨床工学技士国家試験30回) 1. 𝑖1 が𝑖2 より𝜋/6進んでいる. 2. 𝒊𝟏 が𝒊𝟐 より𝝅/𝟐進んでいる. 3. 𝑖1 が𝑖2 より2𝜋/3遅れている. 4. 𝑖1 が𝑖2 より𝜋/6遅れている. 5. 𝑖1 が𝑖2 より𝜋/2遅れている. 𝜋 3 − − 𝜋 6 = 𝜋 2 よって𝑖1 が𝑖2 より𝜋/2進んでいる.
  11. 問題解説 • 図は50Hz正弦波交流の全波整流波形である.実効値は何Vか.(第34回ME2種 ) 1. 140 2. 100 3. 71

    4. 50 5. 32 全波整流交流は正弦波交流と同じ実効値である. よって実効値は 𝑉 = 100 2 ≅ 70.7V 100V
  12. 問題 • 表は,正弦波交流波形Aとその整流波形B,Cについて,それぞれの平均値[V]および実効値[V]を示している.標柱の空欄箇所(ア)お よび(イ)に記入する値として,正しい組み合わせはどれか.(国家試験33回) • (ア) (イ) 1. 31.8 60.4

    2. 31.8 70.7 3. 45.0 50.0 4. 45.0 60.4 5. 45.0 70.7 全波整流Cの実効値は,正弦波交流Aと同じなので(イ)は70.7である. 半波整流Bの平均値は,明らかに全波整流Cの半分なので(ア)は31.8である.
  13. Vm v Im i 𝜃𝑉 𝜃𝐼 正弦波 • 正弦波交流の電圧(瞬時値)を次の式で表す. •

    𝑣 = 𝑉 𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝑉 ) • 𝑖 = 𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝐼 ) • 電圧と電流の値は時間変化するが,その特性は振幅𝑉 𝑚 , 𝐼𝑚 ,角周波数𝜔,位相 𝜃𝑉 , 𝜃𝐼 の3つのパラメタで表現できる.𝜔が同じなら,振幅と位相の2パラメタで 良い.
  14. フェーザ図 • 下図のように,電圧や電流を,長さを実効値,角度を位相とした矢印(ベクト ル)で表したものをフェーザ図と呼ぶ. Vm v Im i 𝜃𝑉 𝜃𝐼

    𝜃𝑉 𝜃𝐼 ሶ 𝑰 ሶ 𝑽 フェーザ図 𝑣 = 𝑉 𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝑉 ) 𝑖 = 𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝐼 )
  15. 複素数と実効値・位相 • 電圧が ሶ 𝑉 = 𝑉 𝑟 + 𝑗𝑉

    𝑗 のとき • 実効値は ሶ 𝑉 = 𝑉 𝑟 2 + 𝑉 𝑗 2 • 位相は𝜃𝑉 = tan−1 𝑉𝑗 𝑉𝑟 (偏角という) • 複素数の掛け算 • ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 の大きさは ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 ,偏角は 𝜃𝑉1 + 𝜃𝑉2 • 複素数の割り算 • ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 の大きさは ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 ,偏角は 𝜃𝑉1 − 𝜃𝑉2 • 実効値の比と位相差計算は複素数の割り算で求まる. 𝜃𝑉 ሶ 𝑽 𝑉 𝑗 Im 複素平面 𝑉 𝑟
  16. 確認 ሶ 𝑉1 = ሶ 𝑉1 𝑉1𝑟 ሶ 𝑉1 −

    𝑗 𝑉1𝑗 ሶ 𝑉1 = ሶ 𝑉1 cos 𝜃𝑉1 + 𝑗 sin 𝜃𝑉1 ሶ 𝑉2 = ሶ 𝑉2 𝑉2𝑟 ሶ 𝑉1 − 𝑗 𝑉2𝑗 ሶ 𝑉1 = ሶ 𝑉2 cos 𝜃𝑉2 + 𝑗 sin 𝜃𝑉2 ሶ 𝑉1 × ሶ 𝑉2 = ሶ 𝑉1 cos 𝜃𝑉1 + 𝑗 sin 𝜃𝑉1 × ሶ 𝑉2 cos 𝜃𝑉2 + 𝑗 sin 𝜃𝑉2 = ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 cos 𝜃𝑉1 + 𝑗 sin 𝜃𝑉1 cos 𝜃𝑉2 + 𝑗 sin 𝜃𝑉2 = ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 cos 𝜃𝑉1 cos 𝜃𝑉2 − sin 𝜃𝑉1 sin 𝜃𝑉2 + 𝑗 cos 𝜃𝑉1 sin 𝜃𝑉2 + sin 𝜃𝑉1 cos 𝜃𝑉2 = ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 cos 𝜃𝑉1 +𝜃𝑉2 + 𝑗 sin 𝜃𝑉1 + 𝜃𝑉2 ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 = ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 cos 𝜃𝑉1 + 𝑗 sin 𝜃𝑉1 cos 𝜃𝑉2 + 𝑗 sin 𝜃𝑉2 = ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 cos 𝜃𝑉1 + 𝑗 sin 𝜃𝑉1 cos 𝜃𝑉2 − 𝑗 sin 𝜃𝑉2 cos2 𝜃𝑉2 + sin2 𝜃𝑉2 = ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 cos 𝜃𝑉1 cos 𝜃𝑉2 + sin 𝜃𝑉1 sin 𝜃𝑉2 + 𝑗 cos 𝜃𝑉1 sin 𝜃𝑉2 − sin 𝜃𝑉1 cos 𝜃𝑉2 = ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 cos 𝜃𝑉1 − 𝜃𝑉2 + 𝑗 sin 𝜃𝑉1 − 𝜃𝑉2
  17. 例 • 次の式の複素数表示を求めよ.さらにフェーザ図をかけ. • 𝑣 = 100 2 sin(100𝜋𝑡 +

    𝜋 3 ) • 𝑖 = 20 sin(100𝜋𝑡 − 𝜋 6 ) • それぞれの複素数表示は次のようになる. • ሶ 𝑉 = 50 + 50 3𝑗 • ሶ 𝐼 = 5 6 − 5 2𝑗 60° 30° 50 3 5 2 50 −5 2 ሶ 𝑉 ሶ 𝐼
  18. 問題 • 次の複素数で表された電圧の実効値と位相を求めよ. 1. ሶ 𝑉 = 1 + 3𝑗

    2. ሶ 𝑉 = −1 + 𝑗 • 次の複素数で表された電圧の実効値を求めよ. 1. ሶ 𝑉 = 3 + 4𝑗 2. ሶ 𝑉 = 10 − 5𝑗
  19. 問題 • 次の複素数で表された電圧の実効値と位相を求めよ. 1. ሶ 𝑉 = 1 + 3𝑗

    実効値は2,位相はπ/3 2. ሶ 𝑉 = −1 + 𝑗 実効値は 2,位相は3π/4 • 次の複素数で表された電圧の実効値を求めよ. 1. ሶ 𝑉 = 3 + 4𝑗 実効値は5 2. ሶ 𝑉 = 10 − 5𝑗 実効値は 100 + 25 = 125 = 5 5
  20. 問題 • − 3+𝑗 1+𝑗 3 の偏角はどれか.ただし,jは虚数単位である.(臨床工学技士国家試験 29回) 1. −

    𝜋 2 2. − 𝜋 6 3. 0 4. 𝜋 6 5. 𝝅 𝟐 − 3 + 𝑗 1 + 𝑗 3 = − 3 + 𝑗 1 − 𝑗 3 1 + 3 = 1 4 − 3 + 3 + 1 + 3 𝑗 = 𝑗 よって 𝜋 2 別解 − 3 + 𝑗の偏角は5𝜋/6 1 + 𝑗 3の偏角は𝜋/3 よって 5𝜋 6 − 𝜋 3 = 1 2 𝜋
  21. 問題 • 絶対値が最も小さいのはどれか。ただし、jは虚数単位である。(臨床工学技士 国家試験30回) 1. 1 𝑗 2. 1 1+𝑗

    3. 1 2−𝑗 4. 1−𝑗 2+𝑗 5. 1−𝑗 1+𝑗 1 𝑗 = 1 1 = 1 1 1 + 𝑗 = 1 1 + 1 = 1 2 1 2 − 𝑗 = 1 4 + 1 = 1 5 1 − 𝑗 2 + 𝑗 = 1 + 1 4 + 1 = 2 5 1 − 𝑗 1 + 𝑗 = 2 2 = 1 よって3の 1 2−𝑗 が最も小さい.
  22. 交流と抵抗 • オームの法則は • 𝑣 = 𝑅𝑖 • 電流を𝑖 =

    𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝐼 )とすると,電圧は次のようになる. • 𝑣 = 𝑅𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝐼 ) = 𝑉 𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝑉 ) • したがって, • 𝑉 𝑚 = 𝑅𝐼𝑚 • 𝜃𝑉 = 𝜃𝐼 • である.よって複素数表示は • ሶ 𝑉 = 𝑅 ሶ 𝐼 • 抵抗では電流と電圧は同位相である.
  23. コンデンサ(キャパシタ) • 電荷を貯める機能を持つ. • 電荷の量𝑄の単位は[C](クーロン) • コンデンサに電圧𝑉を加えたときに,コンデンサに 貯まる電荷𝑄[C]は,次の式で求まる. • 𝑄

    = 𝐶𝑉 • 𝐶はコンデンサの静電容量と呼ばれる量で,単位は [F](ファラッド)である. 金属板 誘電体 平行板コンデンサ V[V] Q[C]貯まる 詳しい話は電磁気の講義のときに
  24. コンデンサの電圧と電流 • コンデンサに加える電圧𝑣を次のとおりとする. • 𝑣 = 𝑉 𝑚 sin(𝜔𝑡 +

    𝜃𝑉 ) • コンデンサに流れる電流Iは電流の定義から • 𝑖 = 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝑑𝐶𝑣 𝑑𝑡 = 𝐶 𝑑 𝑑𝑡 𝑉 𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝑉 ) = 𝜔𝐶𝑉 𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑉 ) • = 𝜔𝐶𝑉 𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝑉 + 𝜋 2 ) = 𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝐼 ) 𝑣 𝑖
  25. コンデンサの電圧と電流 • よって,次のことが成り立つ. • 𝐼𝑚 = 𝜔𝐶𝑉 𝑚 • 𝜃𝐼

    = 𝜃𝑉 + 𝜋 2 • つまり,電流は電圧よりも位相が90°進んでいる. ሶ 𝑉 ሶ 𝐼 𝜃𝐼 𝜃𝑉 電圧𝑉 電流𝐼
  26. コンデンサの電圧と電流の複素数表示 • 電流と電圧の実効値を ሶ 𝐼, ሶ 𝑉とする.電流は電圧より位相がπ/2進んでいるの で,電流と電圧の関係を複素数表示で表すと • ሶ

    𝐼 = 𝑗𝜔𝐶 ሶ 𝑉 • ሶ 𝑉 = 1 𝑗𝜔𝐶 ሶ 𝐼 ሶ 𝑉 ሶ 𝐼 𝜃𝐼 𝜃𝑉 ሶ 𝑉 ሶ 𝐼 𝜃𝐼 𝜃𝑉 電流は電圧に対し90度進んでいる. 電圧は電流に対し90度遅れている.
  27. 複素数表示の意味 • ሶ 𝑉 = 1 𝑗𝜔𝐶 ሶ 𝐼は何を意味するか? •

    ሶ 𝐼偏角を𝜃𝐼 , 𝑗𝜔𝐶偏角を𝜃𝐶 とする. 𝑗𝜔𝐶は複素数成分だけなので偏角は 𝜃𝐶 = 𝜋/2 である. • ሶ 𝐼 𝑗𝜔𝐶 は複素数の割り算なので,偏角は 𝜃𝐼 − 𝜃𝐶 = 𝜃𝐼 − 𝜋/2である. • つまり,コンデンサにより電圧の位相を90度遅れたことを示している.
  28. インダクタ(コイル) • 導線を巻いたもの. • 電流が変化すると電圧を発生させる. • 誘導起電力𝑣は次の式で書かれる. • 𝑣 =

    𝐿 Δ𝑖 Δ𝑡 • 𝐿を自己インダクタンスもしくはインダクタンスという. • 単位はH(ヘンリー) • 誘導起電力は電流により発生する磁場を打ち消す方向に発生する. • 電流変化に対しブレーキとして働くので,変化に対しインピーダンスが高くなる. 図記号 詳しい話は電磁気の講義のときに
  29. インダクタの電圧と電流 • インダクタに加える電流iを次のとおりとする. • 𝑖 = 𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝐼

    ) • インダクタに流れる電圧vは誘導起電力の式から • 𝑣 = 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 𝐿 𝑑 𝑑𝑡 𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝐼 ) = 𝜔𝐿𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝐼 ) • = 𝜔𝐿𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝐼 + 𝜋 2 ) = 𝑉 𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜃𝑉 )
  30. インダクタの電圧と電流 • よって,次のことが成り立つ. • 𝑉 𝑚 = 𝜔𝐿𝐼𝑚 • 𝜃𝑉

    = 𝜃𝐼 + 𝜋 2 • つまり,電圧は電流よりも位相が90°進んでいる. ሶ 𝑉 ሶ 𝐼 𝜃𝐼 𝜃𝑉
  31. インダクタの電圧と電流の複素数表示 • 電流と電圧の実効値を ሶ 𝐼, ሶ 𝑉とする.電圧は電流より位相がπ/2進んでいるの で,電流と電圧の関係を複素数表示で表すと • ሶ

    𝑉 = 𝑗𝜔𝐿 ሶ 𝐼 ሶ 𝑉 ሶ 𝐼 𝜃𝐼 𝜃𝑉 ሶ 𝐼偏角を𝜃𝐼 , 𝑗𝜔𝐿偏角を𝜃𝐿 とする. 𝑗𝜔𝐿は複素数成分だけなので偏角は 𝜃𝐿 = 𝜋/2である. 𝑗𝜔𝐿 ሶ 𝐼は掛け算なので,偏角は 𝜃𝐼 + 𝜃𝐿 = 𝜃𝐼 + 𝜋/2である. つまり,インダクタにより電圧の位相が90度進んだことを示して いる.
  32. インピーダンス,レジスタンス,リアクタンス • どのような回路であれ,電圧と電流の関係を次のように表すとする. • ሶ 𝑉 = ሶ 𝑍 ሶ

    𝐼 • ここで ሶ 𝑍をインピーダンスという. • 抵抗の場合 • ሶ 𝑉 = 𝑅 ሶ 𝐼 • と書け,Rをレジスタンスという. • また,コンデンサの場合, • ሶ 𝑉 = 1 𝑗𝜔𝐶 ሶ 𝐼 • と書け, 1 𝜔𝐶 を容量性リアクタンスという • インダクタの場合 • ሶ 𝑉 = 𝑗𝜔𝐿 ሶ 𝐼 • と書け,𝜔𝐿を誘導性リアクタンスという. • それぞれの単位はΩである. ሶ 𝑉 = 𝑅 ሶ 𝐼 ሶ 𝑉 = 1 𝑗𝜔𝐶 ሶ 𝐼 ሶ 𝑉 = 𝑗𝜔𝐿 ሶ 𝐼 ሶ 𝑉 = ሶ 𝑍 ሶ 𝐼 インピーダンスを導入す ることで,交流でも素子 関係なくオームの法則の ようなものが使える.
  33. 問題解説 • 最大値10Vの正弦波交流電圧を誘導リアクタンス2.0Ωのインダクタに加えた. 交流電圧の瞬時値が-10Vのときにインダクタを流れる交流の瞬時値[mA]とし て正しいのはどれか.(第41回ME2種) 1. -5.0 2. -3.5 3.

    0.0 4. 3.5 5. 5.0 電圧の位相は0だとすると電圧は次の式でかける. 𝑉 = 10 sin 𝜔𝑡 V=-10だから sin 𝜔𝑡 = −1 𝜔𝑡 = − 𝜋 2 電圧の位相は0だとすると 電流は次の式でかける. 𝐼 = 𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 − 𝜋 2 ) 𝜔𝑡 = − 𝜋 2 だから I=0 ሶ 𝑉 ሶ 𝐼 𝜃𝐼 𝜃𝑉
  34. 問題解説 • 最大値10Vの正弦波交流電圧を誘導リアクタンス2.0Ωのインダクタに加えた. 交流電圧の瞬時値が-10Vのときにインダクタを流れる交流の瞬時値[mA]とし て正しいのはどれか.(第41回ME2種) 1. -5.0 2. -3.5 3.

    0.0 4. 3.5 5. 5.0 別解 ሶ 𝑉 = ሶ 𝑍 ሶ 𝐼 ሶ 𝐼 = ሶ 𝑉 ሶ 𝑍 = ሶ 𝑉 𝑗𝜔𝐿 = −𝑗 𝑉 𝜔𝐿 よって電流は電圧に対し− 𝜋 2 ほど位相がずれている. 電圧が-10Vのとき,電圧の位相は3 4 𝜋だから(−10 = 10 sin 3 4 𝜋),電流の位相は𝜋なので,電流10 sin 𝜋 = 0 である. ሶ 𝑉 ሶ 𝐼 𝜃𝐼 𝜃𝑉
  35. RC直列回路 • 図のように抵抗とコンデンサを直列につなぐ. • 直列なので,各素子を流れる電流は等しく,各素子に加わ る電圧の総和がab間の電圧となる. • 各素子に加わる電圧は, • ሶ

    𝑉𝑅 = 𝑅 ሶ 𝐼, ሶ 𝑉𝐶 = 1 𝑗𝜔C ሶ 𝐼 • である.このことから,抵抗の電圧は電流と同位相である が,コンデンサの電圧は電流及び抵抗の電圧からπ/2遅れ ている. ሶ 𝑉 ሶ 𝐼 ሶ 𝑉𝑅 ሶ 𝑉𝐶 𝜃𝐼 𝜃𝑉
  36. RC直列回路 • ab間の電圧は,それぞれの端子にかかる電圧の和なので • ሶ 𝑉 = ሶ 𝑉𝑅 +

    ሶ 𝑉𝐶 = 𝑅 ሶ 𝐼 + 1 𝑗𝜔𝐶 ሶ 𝐼 = 𝑅 + 1 𝑗𝜔𝐶 ሶ 𝐼 • ここで,電圧と電流を ሶ 𝑉 = ሶ 𝑍 ሶ 𝐼と表すとき, ሶ 𝑍をインピーダンスという. • RC直列回路の合成インピーダンスは • ሶ 𝑍 = 𝑅 + 1 𝑗𝜔𝐶 • である. ሶ 𝑉 ሶ 𝐼 ሶ 𝑉𝑅 ሶ 𝑉𝐶 𝜃𝐼 𝜃𝑉 ሶ 𝑉はベクトルの和になっている.
  37. RL直列回路 • 図のように抵抗とインダクタを直列につなぐ. • 直列なので,各素子を流れる電流は等しく,各素子に 加わる電圧の総和がab間の電圧となる. • 各素子に加わる電圧は, • ሶ

    𝑉𝑅 = 𝑅 ሶ 𝐼, ሶ 𝑉𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 ሶ 𝐼 • である.このことから,抵抗の電圧は電流と同位相で あるが,インダクタの電圧は電流及び抵抗の電圧から π/2進んでいる. ሶ 𝑉 ሶ 𝐼 ሶ 𝑉𝑅 ሶ 𝑉𝐿 𝜃𝐼 𝜃𝑉
  38. RL直列回路 • ab間の電圧は各素子にかかる電圧の和なので • ሶ 𝑉 = ሶ 𝑉𝑅 +

    ሶ 𝑉𝐿 = 𝑅 ሶ 𝐼 + 𝑗𝜔𝐿 ሶ 𝐼 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 ሶ 𝐼 • RL直列回路の合成インピーダンスは • ሶ 𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 • である. ሶ 𝑉 ሶ 𝐼 ሶ 𝑉𝑅 ሶ 𝑉𝐿 𝜃𝐼 𝜃𝑉
  39. 有効電力 • 𝑣 = 2𝑉 sin 𝜔𝑡 , 𝑖 =

    2𝐼 sin 𝜔𝑡 + 𝜙 とすると瞬時電力は • 𝑝 = 𝑣𝑖 = 2𝑉𝐼 sin 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 + 𝜃 = 𝑉𝐼 cos 𝜙 − cos 2𝜔𝑡 − 𝜙 • ここで 𝑉と𝐼はそれぞれ電圧と電流の実効値である. • 瞬時電力𝑝の平均はどうなるか? • cos 2𝜔𝑡 − 𝜙 の平均は0であるから, • 𝑃 = 𝑉𝐼 cos 𝜙 • これを有効電力または単に電力という. • 単位はW(ワット)である. • 電圧と電流に位相差がなければ𝜙 = 0なので, • 𝑃 = 𝑉𝐼 cos 𝑎 + 𝑏 = cos𝑎 cos𝑏 + sin𝑎 sin𝑏 cos 𝑎 − 𝑏 = cos𝑎 cos𝑏 − sin𝑎 sin𝑏 cos 𝑎 + 𝑏 − cos 𝑎 − 𝑏 = cos𝑎 cos𝑏 + sin𝑎 sin𝑏 − cos𝑎 cos𝑏 + sin𝑎 sin𝑏 sin𝑎 sin𝑏 = 1 2 cos 𝑎 + 𝑏 − cos 𝑎 − 𝑏 (西巻,電気回路基礎) 平均は1周期の間,時間で積分して周期で割ったもの. cos 2𝜔𝑡 − 𝜙 の平均は0. 𝑉𝐼cos 𝜙 だけ残る.
  40. 皮相電力と力率 • 単に電圧と電流の実効値を掛けたものを皮相電力という. • 𝑃𝑎 = 𝐼𝑉 • 単位は[VA](ボルトアンペア)である. •

    消費電力𝑃と皮相電力𝑃𝑎 の比を力率という. • 力率は次のように表される. • 𝑃 𝑃𝑎 = cos 𝜙
  41. 無効電力 • 1 − cos2 𝜙 = sin 𝜙を無効率という. •

    皮相電力𝑃𝑎 と無効率の積を無効電力𝑃𝑟 という. • 無効電力は次のように表される. • 𝑃𝑟 = 𝑉𝐼 sin 𝜙 = 𝑃𝑎 sin 𝜙 • 単位は[var](バール)である. • それぞれの電力には次の関係が成り立つ. • 𝑃𝑎 = 𝑃2 + 𝑃𝑟 2 cos2 𝜙 + sin2 𝜙 = 1 𝑃 𝑃𝑎 = cos𝜙,𝑃𝑟 = 𝑃𝑎 sin𝜙 より 𝑃2 𝑃𝑎 2 + sin2 𝜙 = 1 𝑃2 + 𝑃𝑎 2sin2 𝜙 = 𝑃𝑎 2 𝑃2 + 𝑃𝑟 2 = 𝑃𝑎 2 𝑃𝑎 = 𝑃2 + 𝑃𝑟 2
  42. 問題 • 図の回路でab間の正弦波交流電力(有効電力)を求める式として正しいのは どれか.(臨床工学技士国家試験35) 1. 電圧の振幅値 × 電流の振幅値 2. 電圧の実効値

    × 電流の実効値 3. 電圧の振幅値 × 電流の振幅値 × 力率 4. 電圧の実効値 × 電流の実効値 × 力率 5. 電圧の実効値 × 電流の実効値 × 無効率
  43. 問題 • 図の回路でab間の正弦波交流電力(有効電力)を求める式として正しいのは どれか.(臨床工学技士国家試験35) 1. 電圧の振幅値 × 電流の振幅値 2. 電圧の実効値

    × 電流の実効値 3. 電圧の振幅値 × 電流の振幅値 × 力率 4. 電圧の実効値 × 電流の実効値 × 力率 5. 電圧の実効値 × 電流の実効値 × 無効率 有効電力は 𝑃 = 𝑉𝐼 cos 𝜙 である.𝑉は電圧の実効値,𝐼は電流の実効値である. cos 𝜙 は力率と呼ばれる. よって答えは4である.
  44. 交流回路のポイント • 正弦波𝑉(𝑡) = 𝑉0 sin(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜃) • 電圧の瞬時値𝑉(𝑡),振幅𝑉0

    ,周波数𝑓, 位相𝜃,角周波数𝜔 = 2𝜋𝑓,周期𝑇 = 1/𝑓 • 正弦波𝑉1 = 𝑉0 sin(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜃1 )と正弦波𝑉2 = 𝑉0 sin(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜃2 )の位相差 • 𝜃1 − 𝜃2 • これが正なら𝑉1 が𝑉2 より 𝜃1 − 𝜃2 位相が進んでいる. • これが負なら𝑉1 が𝑉2 より |𝜃1 − 𝜃2 |位相が遅れている. • 実効値 • 正弦波交流𝑉0 2 • 全波整流𝑉0 2 • 半波整流𝑉0 2 周期T 振幅𝑉0 時間[s] 電圧[V]
  45. 交流回路のポイント • 複素数表示 • 電流と電圧をベクトルで表す. • ベクトルは複素平面上に(フェーザ図で)書かれる. • ሶ 𝑉

    = 𝑎 + 𝑏𝑗 • ベクトルの大きさは実効値,ベクトルの角度が位相に対応する. • 実効値は 𝑎2 + 𝑏2,位相はtan−1 𝑏 𝑎 • ሶ 𝑉 = ሶ 𝑍 ሶ 𝐼が成り立つ.つまり交流でもオームの法則が成り立つ. • ሶ 𝑍はインピーダンスと呼ばれる.直流の抵抗と対応する. • ሶ 𝑉と ሶ 𝐼の絶対値は,それぞれの実効値である. • 抵抗のインピーダンス𝑅,コンデンサのインピーダンス 1 𝑗𝜔𝐶 ,コイルのインピーダンス𝑗𝜔𝐿 • 複素数表示を使えば交流でも直流と同じように計算できる. • 合成インピーダンスは直流のときの合成抵抗と同じように計算できる. 𝜃𝑉 𝜃𝐼 ሶ 𝑰 ሶ 𝑽 フェーザ図 Re Im
  46. 交流回路のポイント • 電圧が ሶ 𝑉 = 𝑉 𝑟 + 𝑗𝑉

    𝑗 のとき • 実効値は ሶ 𝑉 = 𝑉 𝑟 2 + 𝑉 𝑗 2 • 位相は𝜃𝑉 = tan−1 𝑉𝑗 𝑉𝑟 • 複素数の掛け算 • ሶ 𝑉1 × ሶ 𝑉2 の実効値は ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 ,位相は 𝜃𝑉1 + 𝜃𝑉2 • 複素数の割り算 • ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 の実効値は ሶ 𝑉1 ሶ 𝑉2 ,位相は 𝜃𝑉1 − 𝜃𝑉2 𝜃𝑉 ሶ 𝑽 𝑉 𝑗 Im 複素平面 𝑉 𝑟
  47. 交流回路のポイント • コンデンサ • 電圧は電流よりも位相が90°遅れている . • 電圧と電流の関係(複素数表示) • ሶ

    𝑉 = 1 𝑗𝜔𝐶 ሶ 𝐼 • コイル • 電圧は電流よりも位相が90°進んでいる. • 電圧と電流の関係(複素数表示) • ሶ 𝑉 = 𝑗𝜔𝐿 ሶ 𝐼 • 直流のとき,十分時間がたつとコンデンサは開放 ,コイルは短絡 ሶ 𝑉 ሶ 𝐼 𝜃𝐼 𝜃𝑉 ሶ 𝑉 ሶ 𝐼 𝜃𝐼 𝜃𝑉 コンデンサの電圧と電流のフェーザ図 コイルの電圧と電流のフェーザ図
  48. 交流回路のポイント • 交流の電力 • 瞬時電力 • 電圧の瞬時値 𝑣[V] と電流の瞬時値 𝑖[A]

    をかけたもの. • 𝑝 = 𝑣𝑖 • 有効電力 • 電圧 𝑉 と電流 𝐼 の実効値と𝜙を電圧と電流の位相差のcosをかけたもの. • 𝑃 = 𝑉𝐼 cos 𝜙 • 皮相電力 • 電圧と電流の実効値を掛けたもの. • 𝑃 𝑎 = 𝐼𝑉 • 力率 • 消費電力𝑃と皮相電力𝑃 𝑎 の比. • 𝑃 𝑃𝑎 = cos 𝜙