臨床工学技士国家試験・ME2種過渡現象まとめ /transient

臨床工学技士国家試験とME2種で出題される過渡現象の内容をまとめた資料です．公立小松大学臨床工学科の学生向けの資料ですが，皆さんのお役に立てると幸いです

Transcript

1. 臨床⼯学技⼠国家試験 ME2種 過渡現象まとめ 藤⽥⼀寿
2. ポイント • コンデンサ，コイルの特性 • CRフィルタ：コンデンサの電圧は積分，抵抗の電圧は微分 • グラフでイメージを掴む • コンデンサは電荷を徐々に貯めるから，徐々に電圧が上がる． • 充電時の電圧変化は𝑉! = 𝑉" (1 − 𝑒#! "), 𝑉$ = 𝑉" 𝑒#! "，放電時は𝑉! = 𝑉" 𝑒#! ", 𝑉$ = −𝑉"𝑒#! " • LRフィルタはコンデンサと素⼦の特性が逆と覚える． • 時定数 • CRフィルタ：𝜏 = 𝐶𝑅 • LRフィルタ：𝜏 = 𝐿/𝑅 Vc ⼊⼒Vi R C VR
3. コンデンサの充電
4. コンデンサの充電 最初はスイッチがオ フ． コンデンサに電荷は たまっていない． 𝑡 = 0 スイッチをオンにした瞬 間． コンデンサには，まだ電 荷はたまっていない． コンデンサに徐々に電 荷がたまる． コンデンサに徐々に電 荷がたまる． ⼗分に時間が経つと， コンデンサに𝑄 = 𝐶𝑉の 電荷がたまる． 充電
5. 過渡現象（充電） • 図のような直流回路を考える． • コンデンサに電荷が溜まっていないとする． • スイッチを充電側に移動させると，コンデンサに電流が流れ，電荷が 溜まっていく．これは，コンデンサの両端電位差が電源電圧𝑉になる まで続く． • コンデンサに電荷を貯めることを充電という． ॆి ์ి 𝑉 𝑖 𝑉 ! 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉 𝐶 𝑅 𝑉" 𝑉"
6. 過渡現象 （充電） • 図のように，抵抗とコンデンサを直流電源に繋いだ時の電圧変化は次 のようになる． • コンデンサの電圧𝑉! の時間変化 • 𝑉 ! = 𝑉 (1 − 𝑒# ! "# $) • 抵抗の電圧𝑉" の時間変化 • 𝑉" = 𝑉𝑒# ! "# $ • 𝝉 = 𝑪𝑹としたとき，τを時定数と呼ぶ． 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" 重要
7. 過渡現象 （充電） • 抵抗とコンデンサに加わる電圧は図のように変化する． • コンデンサに電荷が蓄積されるに伴いコンデンサの電圧𝑉! も増加する． • ⼀⽅抵抗の電圧𝑉" は減衰する． 時間 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" = 𝑉𝑒# % &" $ 𝑉" 𝑉 0 𝑉 ! = 𝑉 (1 − 𝑒# ! "# $) 重要
8. 過渡現象 （充電） • 抵抗とコンデンサに加わる電圧は時定数を変えることで，図のように変 化する． 時間 𝑉" = 𝑉𝑒# % &" $ 𝑉 0 𝑉 ! = 𝑉 (1 − 𝑒# ! "# $) 0 時間 時定数𝜏⼤ 時定数𝜏⼩ 時定数𝜏⼤ 時定数𝜏⼩ 重要
9. コンデンサの放電
10. コンデンサの放電 𝑡 = 0 スイッチをオフにした瞬 間． コンデンサに電荷がたま っている． コンデンサの電荷が徐 々に減る コンデンサの電荷が徐 々に減る ⼗分に時間が経つと， コンデンサにたまって いた電荷はなくなる．
11. 過渡現象（放電） • スイッチを充電側にし，⼗分に時間がたつとコンデンサに𝑄 = 𝐶𝑉ほど 電荷が蓄積される． • そこで，スイッチを放電の⽅に⼊れると，コンデンサにたまった電荷 が消費され，減少していく． • コンデンサが電源の代わりになる． 𝑉 ! ॆి ์ి 𝑉 𝑖 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉" 𝑉"
12. 過渡現象 （放電） • 図のように，抵抗とコンデンサを直流電源に繋いだ時の電圧変化は次 のようになる． • コンデンサの電圧𝑉! の時間変化 • 𝑉 ! = 𝑉𝑒# ! "# $ • 抵抗の電圧𝑉" の時間変化 • 𝑉" = −𝑉𝑒# ! "# $ • 𝝉 = 𝑪𝑹としたとき，τを時定数と呼ぶ． 重要 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉" 𝑉 !
13. 過渡現象 （放電） • 抵抗とコンデンサに加わる電圧は図のように変化する． • コンデンサの電荷が放電されるとともに，コンデンサの電圧Vcは指数 関数的に減衰していく． • 抵抗の電圧は，コンデンサによりもたらされるので，𝑉! とともに0に近 づく． 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉" 𝑉 ! 𝑉" = −𝑒# % &" $ 𝑉 ! = 𝑉𝑒# % &" $ 時間 𝑉 −𝑉 重要 0
14. 過渡現象 （放電） • 抵抗とコンデンサに加わる電圧は時定数を変えることで，図のように変 化する． 時定数𝜏⼤ 時定数𝜏⼩ 時定数𝜏⼤ 時定数𝜏⼩ 重要 𝑉 −𝑉 0 𝑉" = −𝑒# % &" $ 𝑉 ! = 𝑉𝑒# % &" $
15. 微分回路と積分回路
16. 微分回路 • 抵抗の電圧 𝑉" の時間変化を⾒てみると，充 電および放電が始まった瞬間に⼤きな値を取 り，時間とともに0に近づく． • つまり，時間変化が急激な場所（オン・オフ の場所）で⼤きな値をとっている． • 時間変化が急激な場所は微分が⼤きいので， 𝑉" は微分を表していると⾒ることもできる． • そのため，𝑉" を測定する回路は微分回路とも 呼ばれる． 充電 放電 𝑉" 𝑉" ॆి ์ి 𝑉 𝑖 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑉" 0 V 0 V 変化がある＝傾きがある 負の変化を 捉えている 正の変化を 捉えている ⼊⼒ ⼊⼒ 変化がある＝傾きがある
17. 積分回路 • ⼀⽅，コンデンサの電圧𝑉! の時間変化を⾒て みると，充電および放電が始まると時間とと もに増加および減少する． • つまり， 𝑉! は⼊⼒を⾜し続けていると⾒るこ ともできる．これは，積分に相当する計算と みなせるだろう． • よって， 𝑉! を出⼒とする回路は積分回路とも 呼ばれる． 充電 放電 𝑉 ! 𝑉 ! ॆి ์ి 𝑉 𝑖 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑉" 0 V V ⼊⼒ ⼊⼒
18. まとめ（CR回路の場合） • 電圧は指数関数的に変化する． • 微分回路は抵抗の電圧を⾒ている． • ⼊⼒の変化を捉える． • 矩形波なら，オン・オフの瞬間が最も電圧の絶対 値は⼤きく，時間が⽴つに連れ0に近づく． • 積分回路はコンデンサの電圧を⾒ている． • ⼊⼒を蓄積していくように⾒える． • 矩形波なら，オンの瞬間は0だが，徐々に増えてい く．オフにすると溜まった電荷による電圧が徐々 に減少していき0に近づく． 重要 充電 放電 充電 放電 𝑉) 𝑉* 𝑉*
19. 問題 • 図の直流定電流電源は1mAである．𝑡 = 0でスイッチSを閉じて10μs 経過した後の1μFのキャパシタの両端の電圧はいくらか．ただし，ス イッチSを閉じる前にキャパシタの両端の電圧はゼロとする． （29ME）
20. 問題 • 図の直流定電流電源は1mAである．𝑡 = 0でスイッチSを閉じて10μs 経過した後の1μFのキャパシタの両端の電圧はいくらか．ただし，ス イッチSを閉じる前にキャパシタの両端の電圧はゼロとする． （29ME） 電荷と電流の関係は 𝐼 = 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝐶 𝑑𝑉 𝑑𝑡 よって 1×10#)× 𝑉 10×10#) = 1×10#* 𝑉 = 0.01𝑉
21. 問題 • 図aの周期信号（周期1ms）を図bの フィルタに⼊⼒した．出⼒𝑣(𝑡)に最も 近い波形はどれか．（28ME）
22. 問題 • 図aの周期信号（周期1ms）を図bの フィルタに⼊⼒した．出⼒𝑣(𝑡)に最も 近い波形はどれか．（28ME） 抵抗の電圧𝑣(𝑡)が出⼒になっている．⼊⼒を𝑣とすると 𝑣(𝑡)は充電時𝑣 𝑡 = 𝑣𝑒+ ! "# ,である． また放電時は𝑣 𝑡 = −𝑣𝑒+ ! "# ,である． 以上から1が正解のように思える．しかし，時定数は 𝜏 = 1×10+-×1×10- = 1𝑠 である．つまり，𝑣 𝑡 = 𝑣𝑒+,となる．例えば1sのときの𝑣(𝑡) は 𝑣 1 = 𝑣𝑒+. ≈ 𝑣× 1 3 ≈ 0.3𝑣 であり，１のように0.5msで0に近い値になることはない． 逆に，0.5ms後でも𝑣(𝑡)はほぼ⼊⼒𝑣のままである． よって4が答えである． ⼊⼒ 𝑉* 𝑉* 𝑉* 𝜏⼩ 𝜏中 𝜏⼤
23. 問題 • 図の回路において，スイッチSを閉じてから20ms後の抵抗両端電圧[V] に最も近いのはどれか．ただし，スイッチを閉じる前のコンデンサは 充電されていないものとし，⾃然対数の底eは2.7とする．(第42回ME2 種)
24. 問題 • 図の回路において，スイッチSを閉じてから20ms後の抵抗両端電圧[V] に最も近いのはどれか．ただし，スイッチを閉じる前のコンデンサは 充電されていないものとし，⾃然対数の底eは2.7とする．(第42回ME2 種) 抵抗の電圧は指数関数的に減衰するの で 𝑉" = 2𝑒#$/( 時定数は 𝜏 = 𝐶𝑅 = 1×10#)×20×10* = 2×10#+𝑠 = 0.02𝑠 よって20ms後の抵抗の電圧は 𝑉" 0.02 = 2×𝑒# ,.,+ ,.,+ = 2×𝑒#% ≅ 0.74
25. 問題 • 図の回路でコンデンサが 1000V で充電された状態でスイッチを 閉じ る。スイッチを閉じてから１秒後の電流値[mA]に最も近いのはどれか。 (臨床⼯学技⼠国家試験30回) 1. 10 2. 6.3 3. 5.0 4. 3.7 5. 1.0
26. 問題 • 図の回路でコンデンサが 1000V で充電された状態でスイッチを 閉じ る。スイッチを閉じてから１秒後の電流値[mA]に最も近いのはどれか。 (臨床⼯学技⼠国家試験30回) 1. 10 2. 6.3 3. 5.0 4. 3.7 5. 1.0 コンデンサの放電なので，コンデンサの電圧 は指数関数的に減る．よって1秒後のコンデ ンサの電圧𝑉& は 𝑉 ! = 𝑉 𝑒# % &"$ = 1000×𝑒# % %,×%,$%×%,,×%,&×% = 1000𝑒#% 抵抗にはコンデンサと同じ⼤きさの電圧がかかる ．ここで，𝑒を3と⼤雑把に近似すると，電流𝐼はオ ームの法則から 𝐼 = 333 100×10* = 3.33×10#* これに最も近い選択肢は4
27. 問題 • コンデンサを10Vに充電した後，100Ωの抵抗で放電した場合のコンデ ンサにかかる電圧の経時変化を図の⽚対数グラフを⽰す．コンデンサ の静電容量[F]はどれか． (臨床⼯学技⼠国家試験34) 1. 0.02 2. 0.04 3. 0.1 4. 0.2 5. 0.4 ໰୊ɹûĀɹίϯσϯαΛ ø÷ 7 ʹॆిͨ͠ޙɺø÷÷ X ͷ఍߅Ͱ์ిͨ͠৔߹ͷίϯσ ϯαʹ͔͔Δిѹͷܦ࣌มԽΛਤͷยର਺άϥϑʹࣔ͢ɻ ίϯσϯαͷ੩ి༰ྔ ʦ'ʧ ͸ͲΕ͔ɻ ÷ ø ù ú û ü ࣌ؒ ʦTʧ ిѹ ʦ7ʧ ý þ ÿ Ā ø÷ ø÷ ÿ þ ý ü û ú ù ø Ā øɽ÷ɽ ÷ù
28. 問題 • コンデンサを10Vに充電した後，100Ωの抵抗で放電した場合のコンデンサにかかる電圧の経時変化 を図の⽚対数グラフを⽰す．コンデンサの静電容量[F]はどれか．(臨床⼯学技⼠国家試験34) 1. 0.02 2. 0.04 3. 0.1 4. 0.2 5. 0.4 ໰୊ɹûĀɹίϯσϯαΛ ø÷ 7 ʹॆిͨ͠ޙɺø÷÷ X ͷ఍߅Ͱ์ిͨ͠৔߹ͷίϯσ ϯαʹ͔͔Δిѹͷܦ࣌มԽΛਤͷยର਺άϥϑʹࣔ͢ɻ ίϯσϯαͷ੩ి༰ྔ ʦ'ʧ ͸ͲΕ͔ɻ ÷ ø ù ú û ü ࣌ؒ ʦTʧ ిѹ ʦ7ʧ ý þ ÿ Ā ø÷ ø÷ ÿ þ ý ü û ú ù ø Ā øɽ÷ɽ ÷ù ùɽ÷ɽ ÷û úɽ÷ɽ ø ûɽ÷ɽ ù üɽ÷ɽ û ໰୊ɹü÷ɹෳૉ਺ͷภ͕֯ -  r rad ͱͳΔͷ͸ͲΕ͔ɻ ͜Ε͸ɼయܕతͳ$3ճ࿏ͷ์ిͰ͋Δɽίϯσϯαʹ͔͔Δిѹ7D͸ࢦ਺ؔ਺తʹݮਰ͢ΔɽΑͬͯ 𝑉 / = 10𝑒+ $ "#Ͱ͋Δɽ 3ͳͷͰ 𝑉 / = 10𝑒+ $ !%%"ͱͳΔɽ͜͜Ͱ − , .00* = −1ͷ࣌Λߟ͑Δɽ͜ͷͱ͖ɼ𝑉 / ͸𝑉 / = 10𝑒+. = .0 1 ͱͳΔɽFͱେ·͔ʹۙࣅ͢Δͱ𝑉 / ͸໿7Ͱ͋Δɽ ͦͷ࣌ͷ࣌ؒ͸άϥϑ͔Βɼ͓͓ΑͦTͰ༗Δ͜ͱ͕෼͔ΔɽΑͬͯ$ͳͷͰɼ $ͱͳΔɽ この⼿の問題のコツ：− 𝒕 𝝉 = −𝟏とおく．
29. 問題 • 図の回路において、スイッチをａ側にして⼗分時間が経過した後、ｂ 側に切換えた。正しいのはどれか。(臨床⼯学技⼠国家試験29回) a. 抵抗の最⼤電流値は 100mA である。 b. 回路の時定数は 0.1s である。 c. コンデンサの両端電圧の最⼤値は 5V である。 d. コンデンサの両端電圧は指数関数的に増加する。 e. 抵抗に流れる電流は指数関数的に減少する
30. 問題 • 図の回路において、スイッチをａ側にして⼗分時間が経過した後、ｂ側に 切換えた。正しいのはどれか。(臨床⼯学技⼠国家試験29回) a. 抵抗の最⼤電流値は 100mA である。 ⼗分充電しているのでコンデンサの電圧の最⼤値は10Vである．このとき流れる 電流は +,- +,,. = 0.1𝐴となる．よって正しい． b. 回路の時定数は 0.1s である。 時定数は𝜏 = 𝐶𝑅 = 100𝜇×100𝑠 = 10000𝜇𝑠 = 0.01𝑠である．よって間違い． c. コンデンサの両端電圧の最⼤値は 5V である。 コンデンサの電圧の最⼤値は10Vである．よって間違い． d. コンデンサの両端電圧は指数関数的に増加する。 放電するのでコンデンサの電圧は指数関数的に減少する．よって間違い． e. 抵抗に流れる電流は指数関数的に減少する． 放電するのでコンデンサの電圧は指数関数的に減少する．オームの法則から，電 圧が指数関数的に減少すれば電流も指数関数的に減少するので，正しい．
31. コイルの過渡現象
32. コイルに電流を流した瞬間
33. 過渡現象（オン） • 図のような直流回路を考える． • スイッチをオン側に移動させると，コイルに電流が流れ，誘導起電⼒ は発⽣する． 𝑉 𝑖 𝑉/ 𝑉/ 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉 𝐿 𝑅 𝑉" 𝑉" オン オフ
34. 過渡現象 （オン） • 図のように，抵抗とコイルを直流電源に繋いだ時の電圧変化は次のよ うになる． • コイルの電圧𝑉! の時間変化 • 𝑉/ = 𝑉𝑒## ' $ • 抵抗の電圧𝑉" の時間変化 • 𝑉" = 𝑉(1 − 𝑒## ' $) • 𝝉 = 𝑳/𝑹としたとき，τを時定数と呼ぶ． 重要 𝑉/ 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉"
35. 過渡現象 （オン） • 抵抗とコイルに加わる電圧は図のように変化する． • コイルの誘導起電⼒により最初は電圧𝑉がコイルにかかるが，時間とと もに減衰する． • ⼀⽅抵抗の電圧𝑉" は時間とともに増加し，最終的にほぼ𝑉になる． 時間 𝑉" = 𝑉(1 − 𝑒# " / $) 𝑉/ = 𝑉𝑒# " /$ 𝑉/ 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" 𝑉 重要
36. コイルの電源をオフにした瞬 間
37. 過渡現象（オフ） • スイッチをオン側にし，⼗分時間が⽴つとコイル内の磁場は⼀定にな り誘導起電⼒はなくなる． • その状態で，スイッチをオフ側に⼊れると，コイルに電流が流れなく なりコイル内の磁場が変化する． • この磁場の変化が誘導起電⼒を発⽣させる． • コイルが電源の代わりになる． 𝑉/ 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉" 𝑉 𝑖 𝑉/ 𝐿 𝑅 𝑉" オン オフ
38. 過渡現象 （オフ） • 図のように，抵抗とコイルを直流電源に繋いだ時の電圧変化は次のよ うになる． • コイルの電圧𝑉! の時間変化 • 𝑉/ = −𝑉 𝑒## ' $ • 抵抗の電圧𝑉" の時間変化 • 𝑉" = 𝑉 𝑒## ' $ • 𝝉 = 𝑳/𝑹としたとき，τを時定数と呼ぶ． 重要 𝑉/ 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉"
39. 過渡現象 （オフ） • 抵抗とコイルに加わる電圧は図のように変化する． • コイルはスイッチがオフになった途端，磁場を維持するため誘導起電⼒ を⽣じるが，時間とともに指数関数的に減衰していく． • 抵抗の電圧は，コイルによりもたらされるので，𝑉# とともに0に近づく． 𝑉" = 𝑉 𝑒# " /$ 𝑉/ = −𝑉 𝑒# " /$ 時間 𝑉/ 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉" 𝑉 −𝑉
40. まとめ（LR回路の場合） • 電圧は指数関数的に変化する． • 抵抗の電圧を⾒た時，⼊⼒を蓄積しているよう に⾒える． • 抵抗の電圧を⾒たとき，LR回路は積分回路であ る． • コイルの電圧を⾒た時，⼊⼒が変化した時を捉 えているように⾒える． • コイルの電圧を⾒たとき，LR回路は微分回路で ある． 重要 𝑉) 𝑉 𝑉) 𝑉4 積分 微分
41. コンデンサの逆 • コイルの過渡現象はコンデンサの逆だと覚えておく． • しかし時定数が違う • コンデンサ：CR • コイル：L/R 充電 放電 充電 放電 CR回路 𝑉 𝑉) 𝑉4 積分 微分 LR回路 積分 微分
42. 問題 • 図に⽰す回路の時定数[s]を求めよ．(国家試験26)
43. 問題 • 図に⽰す回路の時定数[s]を求めよ．(国家試験26) 𝜏 = 𝐿 𝑅 = 5 2 = 2.5𝑠
44. 問題 • 図の回路において𝑡 = 0でスイッチを⼊れた．正しいのはどれか．(国 家試験27) 1. 時定数は𝐿𝑅である． 2. 直後に抵抗にかかる電圧は𝐸となる． 3. 直後に流れる電流は$ " となる． 4. 時間が⼗分に経過すると抵抗にかかる電圧は$ % となる． 5. 時間が⼗分に経過すると抵抗で消費される電⼒は$/ " となる．
45. 問題 • 図の回路において𝑡 = 0でスイッチを⼊れた．正しいのはどれか．(国家試験27) 1. 時定数は𝐿𝑅である． 2. 直後に抵抗にかかる電圧は𝐸となる． 3. 直後に流れる電流は5 ) となる． 4. 時間が⼗分に経過すると抵抗にかかる電圧は5 6 となる． 5. 時間が⼗分に経過すると抵抗で消費される電⼒は5& ) となる． 1. 時定数はL/Rである．これは間違い． 2. 直後に抵抗にかかる電圧は0である． これは間違い． 3. 直後に流れる電流は0である． これは間違い． 4. 時間が⼗分に経過すると抵抗にかかる電圧はEである． これは間違い． 5. 時間が⼗分に経過すると抵抗にかかる電圧はEなので，抵抗で消費される電⼒は 𝑊 = 𝐼𝑉 = 𝐸0/𝑅 なので，これが正解．
46. 問題 • 図の回路でスイッチを閉じてから1ms後にインダクタの両端にかかる 電圧[V]に最も近いのはどれか．ただし，⾃然対数の底eは2.7とする． 1. 1.5 2. 1.2 3. 0.9 4. 0.6 5. 0.3 ໰୊ɹüøɹਤͷճ࿏ͰεΠονΛด͔ͯ͡Β ø NT ޙʹΠϯμΫλͷ྆୺ʹ͔͔Δి ѹ ʦ7ʧ ʹ࠷΋͍ۙͷ͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺࣗવର਺ͷఈ e ͸ ùɽ þ ͱ͢Δɻ øɽøɽ ü ùɽøɽ ù úɽ÷ɽ Ā ûɽ÷ɽ ý üɽ÷ɽ ú øɽ ü 7 ø ) ø LX
47. 問題 • 図の回路でスイッチを閉じてから1ms後にインダクタの両端にかかる電圧[V]に最も近いのはどれか．ただし，⾃然対 数の底eは2.7とする． 1. 1.5 2. 1.2 3. 0.9 4. 0.6 5. 0.3 ѹ ʦ7ʧ ʹ࠷΋͍ۙͷ͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺࣗવର਺ͷఈ e ͸ ùɽ þ ͱ͢Δɻ øɽøɽ ü ùɽøɽ ù úɽ÷ɽ Ā ûɽ÷ɽ ý üɽ÷ɽ ú øɽ ü 7 ø ) ø LX ΠϯμΫλ͸ίϯσϯαͱಛੑ͕ٯͳͷͰɼεΠο νΛΦϯʹ͢ΔͱΠϯμΫλʹ͔͔Δిѹ͸ࢦ਺ؔ ਺తʹݮਰ͍ͯ͘͠ɽͭ·Γɼ𝑉1 = 𝑉" 𝑒#2/4ɽ࣌ఆ਺ ͸-3Ͱ͋Δɽ Αͬͯ 𝑉1 = 1.5×2.7# ,.,,+6×+,,,. +8 = 1.5×2.7#+ ≈ 0.56