Upgrade to Pro — share decks privately, control downloads, hide ads and more …

Master's defense

Leonardo Uieda
October 27, 2011

Master's defense

Slides from my Master's dissertation defense "Robust 3D gravity gradient inversion by planting anomalous densities".

More information at http://www.leouieda.com

Leonardo Uieda

October 27, 2011
Tweet

More Decks by Leonardo Uieda

Other Decks in Science

Transcript

  1. Robust 3D gravity gradient inversion
    by planting anomalous densities
    Leonardo Uieda
    Orientadora:
    Valéria C. F. Barbosa
    27 de Outubro de 2011
    Observatório Nacional

    View full-size slide

  2. Sumário
    Introdução
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View full-size slide

  3. Sumário
    Introdução O problema
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View full-size slide

  4. Modelagem direta
    Sumário
    Introdução O problema
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View full-size slide

  5. Problema inverso
    Modelagem direta
    Sumário
    Introdução O problema
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View full-size slide

  6. Problema inverso
    Plantação
    Modelagem direta
    Sumário
    Introdução O problema
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View full-size slide

  7. Problema inverso
    Plantação Dados sintéticos
    Modelagem direta
    Sumário
    Introdução O problema
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View full-size slide

  8. Problema inverso
    Plantação Dados sintéticos Dados reais
    Modelagem direta
    Sumário
    Quadrilátero Ferrífero
    Introdução O problema
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View full-size slide

  9. Introdução

    View full-size slide


  10. Tradicional

    Terrestre e aérea

    Fácil

    aquisição

    processamento

    interpretação

    Diversos métodos de inversão linear

    Estima propriedade física
    Inversão gravimétrica

    View full-size slide


  11. Difícil aquisição aérea

    Sensível a rotação

    Poucos métodos até 1990

    Vasco (1989)
    – Compara resolução e variância

    Pedersen e Rasmussen (1990)
    – Invariantes
    – Dimensionalidade e strike

    Avanços tecnológicos a partir de 1990
    Gradiometria gravimétrica

    View full-size slide


  12. Melhores tecnologias

    Plataforma móvel

    Gradiômetros precisos

    GPS

    Processamento

    Sensível a fontes rasas

    Novos métodos de inversão
    Avanços recentes

    View full-size slide


  13. Adaptações

    Li (2001), Zhdanov et al. (2004)

    Inversão linear (prismas)

    Complicações

    Muitos dados

    Muitos parâmetros

    Dificuldades computacionais
    Novos métodos

    View full-size slide

  14. Grandes matrizes (sensibilidade):

    Memória RAM

    Multiplicação

    Solução de sistemas lineares
    Dificuldades computacionais

    View full-size slide


  15. FFT para multiplicação

    Dado em grid regular e nivelado

    Compressão de dados

    Portniaguine e Zhdanov (2002)

    Li e Oldenburg (2003)

    “Moving footprint”

    Trunca matriz de sensibilidade
    Para lidar com isso

    View full-size slide


  16. Resolve sistemas lineares

    Suave
    – Li e Oldenburg (1998)

    Abrupto
    – Zhdanov et al. (2004) e Silva Dias et al. (2009)

    Não resolve sistemas lineares

    Busca pseudo­aleatória

    Busca sistemática
    Tipos de métodos

    View full-size slide


  17. Busca pseudo­aleatória

    Nagihara e Hall (2001): Simulated Annealing

    Krahenbuhl e Li (2009): Genético

    Busca sistemática

    Camacho et al. (2000): Growing bodies

    René (1986): Shape­of­anomaly (sementes)
    Não resolve sistemas lineares

    View full-size slide


  18. Camacho et al. (2000): Growing bodies

    3D

    Começa com zeros

    Adiciona 1 prisma por vez

    2 contrastes de densidade

    Busca em todo modelo interpretativo

    Norma mínima (ridge regression)

    Corpos isolados
    Busca sistemática

    View full-size slide


  19. René (1986): Shape­of­anomaly

    2D

    Começa com sementes

    1 contraste de densidade

    Adiciona 1 por vez em torno das sementes

    Busca “vizinhos” da solução atual

    Compacto (sem regularização)

    Corpos isolados
    Busca sistemática

    View full-size slide


  20. Baseado em René (1986)

    Gradiometria gravimétrica

    3D

    Começa com sementes

    Diversos contrastes de densidade

    Compacto (com regularização)

    Fontes que não são alvos (não isolado)

    “Avaliação preguiçosa”
    Plantação

    View full-size slide

  21. Um pouco de teoria

    View full-size slide

  22. O problema geofísico

    View full-size slide

  23. N (X)
    E (Y)
    Observações

    View full-size slide

  24. N (X)
    E (Y)
    Observações

    View full-size slide

  25. Tensor Gradiente Gravitacional

    View full-size slide

  26. Tensor Gradiente Gravitacional
    (∂2 V
    ∂ x2
    ∂2 V
    ∂ x ∂ y
    ∂2 V
    ∂ x ∂ z
    ∂2 V
    ∂ y ∂ x
    ∂2 V
    ∂ y2
    ∂2 V
    ∂ y ∂ z
    ∂2 V
    ∂ z∂ x
    ∂2 V
    ∂ z ∂ y
    ∂2 V
    ∂ z2
    )

    View full-size slide

  27. Tensor Gradiente Gravitacional
    (∂2 V
    ∂ x2
    ∂2 V
    ∂ x ∂ y
    ∂2 V
    ∂ x ∂ z
    ∂2 V
    ∂ y ∂ x
    ∂2 V
    ∂ y2
    ∂2 V
    ∂ y ∂ z
    ∂2 V
    ∂ z∂ x
    ∂2 V
    ∂ z ∂ y
    ∂2 V
    ∂ z2
    )
    Potencial gravitacional

    View full-size slide

  28. Tensor Gradiente Gravitacional
    (∂2 V
    ∂ x2
    ∂2 V
    ∂ x ∂ y
    ∂2 V
    ∂ x ∂ z
    ∂2 V
    ∂ y ∂ x
    ∂2 V
    ∂ y2
    ∂2 V
    ∂ y ∂ z
    ∂2 V
    ∂ z∂ x
    ∂2 V
    ∂ z ∂ y
    ∂2 V
    ∂ z2
    )
    Potencial gravitacional
    Coordenadas cartesianas
    (ponto de observação)

    View full-size slide

  29. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yx
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zx
    g
    zy
    g
    zz
    )

    View full-size slide

  30. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yx
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zx
    g
    zy
    g
    zz
    )
    ∇×⃗
    g=0

    View full-size slide

  31. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yx
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zx
    g
    zy
    g
    zz
    )
    ∇×⃗
    g=0

    View full-size slide

  32. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yx
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zx
    g
    zy
    g
    zz
    )
    ∇×⃗
    g=0

    View full-size slide

  33. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yx
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zx
    g
    zy
    g
    zz
    )
    ∇×⃗
    g=0

    View full-size slide

  34. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zz
    )

    View full-size slide

  35. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zz
    )
    ∇2 V =0

    View full-size slide

  36. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zz
    )
    ∇2 V =0

    View full-size slide

  37. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yy
    g
    yz
    )

    View full-size slide

  38. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yy
    g
    yz
    )
    5 componentes independentes

    View full-size slide

  39. observada
    g
    αβ

    View full-size slide

  40. observada
    g
    αβ
    gαβ

    View full-size slide

  41. observada
    g
    αβ
    gαβ

    View full-size slide

  42. Densidade anômala
    observada
    g
    αβ
    gαβ

    View full-size slide

  43. Densidade anômala
    Relação funcional
    observada
    g
    αβ
    gαβ

    View full-size slide

  44. Parametrizar
    observada
    g
    αβ
    gαβ
    Densidade anômala
    Relação funcional

    View full-size slide

  45. Modelagem direta

    View full-size slide

  46. Modelo interpretativo

    View full-size slide

  47. Modelo interpretativo
    Prisma retangular reto
    j

    View full-size slide

  48. Modelo interpretativo
    Prisma retangular reto
    Δρ=p
    j
    j

    View full-size slide

  49. Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  50. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Parâmetros

    View full-size slide

  51. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    Parâmetros
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  52. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    Parâmetros
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    predita
    g
    αβ

    View full-size slide

  53. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    Parâmetros
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    predita
    g
    αβ
    dαβ

    View full-size slide

  54. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    dαβ=∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    αβ
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Parâmetros
    predita
    g
    αβ
    dαβ

    View full-size slide

  55. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    dαβ=∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    αβ
    Contribuição do j­ésimo prisma
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    predita
    g
    αβ
    dαβ
    g
    αβ

    View full-size slide

  56. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    dαβ=∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    αβ
    Densidade do j­ésimo prisma
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    predita
    g
    αβ
    dαβ

    View full-size slide

  57. dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    Diversas componentes:

    View full-size slide

  58. d
    dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    Diversas componentes:

    View full-size slide

  59. d
    dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    =∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    Diversas componentes:

    View full-size slide

  60. d
    dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    =∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    = A p
    Diversas componentes:

    View full-size slide

  61. d
    dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    =∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    = A p
    Vetor de parâmetros
    Diversas componentes:

    View full-size slide

  62. d
    dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    =∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    = A p
    Matriz Jacobiana (sensibilidade)
    Diversas componentes:

    View full-size slide

  63. d
    dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    =∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    = A p
    Vetor coluna de
    Diversas componentes:
    A

    View full-size slide

  64. Problema direto:
    p d
    d=∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j

    View full-size slide

  65. ̂
    p g
    ?
    Problema inverso:

    View full-size slide

  66. Problema inverso

    View full-size slide

  67. Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View full-size slide

  68. r=g−d
    Vetor de resíduos
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View full-size slide

  69. r=g−d
    Função do ajuste:
    Vetor de resíduos
    ϕ(p)
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View full-size slide

  70. r=g−d
    Função do ajuste:
    ϕ( p)=∥r∥2
    =
    (∑
    i=1
    N
    (g
    i
    −d
    i
    )2
    )1
    2
    Vetor de resíduos
    ϕ(p)
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View full-size slide

  71. r=g−d
    Função do ajuste:
    ϕ( p)=∥r∥2
    =
    (∑
    i=1
    N
    (g
    i
    −d
    i
    )2
    )1
    2
    Norma ℓ2 de r
    Vetor de resíduos
    ϕ(p)
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View full-size slide

  72. r=g−d
    Função do ajuste:
    ϕ( p)=∥r∥2
    =
    (∑
    i=1
    N
    (g
    i
    −d
    i
    )2
    )1
    2
    Norma ℓ2 de r
    Ajuste de
    mínimos quadrados
    Vetor de resíduos
    ϕ(p)
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View full-size slide

  73. r=g−d
    Função do ajuste:
    ϕ( p)=∥r∥2
    =
    (∑
    i=1
    N
    (g
    i
    −d
    i
    )2
    )1
    2
    Norma ℓ2 de r
    Ajuste de
    mínimos quadrados
    ϕ( p)=∥r∥1
    =∑
    i=1
    N
    ∣g
    i
    −d
    i

    Vetor de resíduos
    ϕ(p)
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View full-size slide

  74. r=g−d
    Função do ajuste:
    ϕ( p)=∥r∥2
    =
    (∑
    i=1
    N
    (g
    i
    −d
    i
    )2
    )1
    2
    Norma ℓ2 de r
    Ajuste de
    mínimos quadrados
    ϕ( p)=∥r∥1
    =∑
    i=1
    N
    ∣g
    i
    −d
    i

    Norma ℓ1 de r
    Vetor de resíduos
    ϕ(p)
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View full-size slide

  75. r=g−d
    Função do ajuste:
    ϕ( p)=∥r∥2
    =
    (∑
    i=1
    N
    (g
    i
    −d
    i
    )2
    )1
    2
    Norma ℓ2 de r
    Ajuste de
    mínimos quadrados
    ϕ( p)=∥r∥1
    =∑
    i=1
    N
    ∣g
    i
    −d
    i

    Norma ℓ1 de r
    Ajuste robusto
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d
    Vetor de resíduos
    ϕ(p)

    View full-size slide

  76. Mal posto
    Problema

    View full-size slide

  77. Mal posto
    Inexistente
    Não única
    Instável
    Problema

    View full-size slide

  78. Mal posto
    Inexistente
    Não única
    Instável
    Vínculos
    Problema

    View full-size slide

  79. Mal posto
    Inexistente
    Não única
    Instável
    Bem posto
    Vínculos
    Problema

    View full-size slide

  80. Mal posto
    Inexistente
    Não única
    Instável
    Bem posto
    Existente
    Única
    Estável
    Vínculos
    Problema

    View full-size slide

  81. Vínculos:
    1. Compacidade

    View full-size slide

  82. Vínculos:
    1. Compacidade (sem buracos)

    View full-size slide

  83. Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração em torno de “sementes”
    (sem buracos)

    View full-size slide


  84. Prismas
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração em torno de “sementes”
    (sem buracos)

    View full-size slide


  85. Prismas

    Fornecidas pelo usuário
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração em torno de “sementes”
    (sem buracos)

    View full-size slide


  86. Prismas

    Fornecidas pelo usuário
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração em torno de “sementes”

    Densidades dadas ρs
    (sem buracos)

    View full-size slide

  87. 3. Somente ou
    p
    j
    =0 p
    j
    =ρs

    Prismas

    Fornecidas pelo usuário
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração em torno de “sementes”

    Densidades dadas ρs
    (sem buracos)

    View full-size slide

  88. 4. da semente mais próxima
    p
    j
    =ρs

    Prismas

    Fornecidas pelo usuário
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração em torno de “sementes”

    Densidades dadas ρs
    3. Somente ou
    p
    j
    =0 p
    j
    =ρs
    (sem buracos)

    View full-size slide

  89. 4. da semente mais próxima
    p
    j
    =ρs
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração
    3. Somente ou
    p
    j
    =0 p
    j
    =ρs

    View full-size slide

  90. Regularização
    4. da semente mais próxima
    p
    j
    =ρs
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração
    3. Somente ou
    p
    j
    =0 p
    j
    =ρs

    View full-size slide

  91. Problema vinculado:

    View full-size slide

  92. Problema vinculado: Minimizar função objetivo
    Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)

    View full-size slide

  93. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)
    Função do ajuste
    Problema vinculado: Minimizar função objetivo

    View full-size slide

  94. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)
    (Balanço entre ajuste e regularização)
    Parâmetro regularizador
    Problema vinculado: Minimizar função objetivo

    View full-size slide

  95. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)
    Função regularizadora
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    Problema vinculado: Minimizar função objetivo

    View full-size slide

  96. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    Distância entre j­ésimo
    prisma e uma semente
    Problema vinculado: Minimizar função objetivo
    Função regularizadora

    View full-size slide

  97. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    Silva Dias et al. (2009)
    Problema vinculado: Minimizar função objetivo
    Função regularizadora
    Distância entre j­ésimo
    prisma e uma semente

    View full-size slide

  98. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    Impõe:

    Compacidade ●
    Concentração em torno
    das sementes
    Problema vinculado: Minimizar função objetivo
    Função regularizadora
    Silva Dias et al. (2009)
    Distância entre j­ésimo
    prisma e uma semente

    View full-size slide

  99. Regularização
    4. da semente mais próxima
    p
    j
    =ρs
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração
    3. Somente ou
    p
    j
    =0 p
    j
    =ρs

    View full-size slide

  100. Algoritmo
    Baseado em
    René (1986)
    Regularização
    4. da semente mais próxima
    p
    j
    =ρs
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração
    3. Somente ou
    p
    j
    =0 p
    j
    =ρs

    View full-size slide

  101. Algoritmo de plantação

    View full-size slide

  102. Inicialização:

    View full-size slide

  103. Inicialização: g = dados observados

    View full-size slide

  104. Inicialização: g = dados observados
    Definir modelo interpretativo

    View full-size slide

  105. Inicialização:
    Definir modelo interpretativo
    Modelo interpretativo
    g = dados observados

    View full-size slide

  106. Inicialização:
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    Modelo interpretativo
    g = dados observados

    View full-size slide

  107. Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    Modelo interpretativo
    g = dados observados

    View full-size slide

  108. Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    g = dados observados
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  109. Calcular resíduos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero

    View full-size slide

  110. Calcular resíduos
    r(0)=g−d(0)
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero

    View full-size slide

  111. Calcular resíduos
    r(0)=g−d(0)
    d = dados preditos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    Predito pelas sementes

    View full-size slide

  112. Calcular resíduos
    d = dados preditos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    r(0)=g−
    (∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    )

    View full-size slide

  113. Calcular resíduos
    d = dados preditos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    r(0)=g−
    (∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    )
    Maioria é zero

    View full-size slide

  114. Calcular resíduos
    d = dados preditos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    r(0)=g−
    (∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    )
    Maioria é zero

    View full-size slide

  115. Calcular resíduos
    d = dados preditos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    r(0)=g−
    (∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    )
    Maioria é zero

    View full-size slide

  116. Calcular resíduos
    d = dados preditos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρ
    s
    a
    j
    S
    )

    View full-size slide

  117. r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρ
    s
    a
    j
    S
    )
    Encontrar vizinhos
    Calcular resíduos
    d = dados preditos
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  118. r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρ
    s
    a
    j
    S
    )
    Encontrar vizinhos
    Calcular resíduos
    d = dados preditos
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Compartilham 1 face

    View full-size slide

  119. r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρ
    s
    a
    j
    S
    )
    Vizinhos
    Encontrar vizinhos
    Calcular resíduos
    d = dados preditos
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Compartilham 1 face

    View full-size slide

  120. Crescimento:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  121. Crescimento:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Acreção à s­ésima semente:

    View full-size slide

  122. Crescimento:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Acreção à s­ésima semente:
    s

    View full-size slide

  123. Acreção à s­ésima semente:
    Escolher vizinho:
    Crescimento:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  124. Acreção à s­ésima semente:
    1. Diminuir função ajuste
    Escolher vizinho:
    Crescimento:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  125. Acreção à s­ésima semente:
    Escolher vizinho:
    Crescimento:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo

    View full-size slide

  126. j = escolhido
    j
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  127. j = escolhido (Elemento novo)
    j
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  128. p
    j

    s
    j = escolhido (Elemento novo)
    j
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  129. p
    j

    s
    j = escolhido (Elemento novo)
    j
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    s
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  130. Atualizar resíduos:
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  131. Atualizar resíduos:
    r(new)=g−d(new)
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  132. Atualizar resíduos:
    r(new)=g−d(new)
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    d(new)

    View full-size slide

  133. Atualizar resíduos:
    r(new)=g−(d(old )+ p
    j
    a
    j
    )
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    d(new)

    View full-size slide

  134. Atualizar resíduos:
    r(new)=g−(d(old )+ p
    j
    a
    j
    )
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    d(new)
    }
    r(old)

    View full-size slide

  135. Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  136. Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Contribuição de j

    View full-size slide

  137. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  138. Tamanhos variados
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  139. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  140. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    j

    View full-size slide

  141. Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  142. Sim
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  143. Sim
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  144. Sim
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  145. Não
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  146. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View full-size slide

  147. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas

    View full-size slide

  148. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Silva Dias et al. (2009)
    René (1986)
    Camacho et al. (2000)

    View full-size slide

  149. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Qualquer número de alvos
    Contrastes de densidade variados
    Silva Dias et al. (2009)
    René (1986)
    Camacho et al. (2000)

    View full-size slide

  150. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Qualquer número de alvos
    Contrastes de densidade variados
    Não resolve sistemas lineares
    Silva Dias et al. (2009)
    René (1986)
    Camacho et al. (2000)

    View full-size slide

  151. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Qualquer número de alvos
    Contrastes de densidade variados
    Não resolve sistemas lineares
    Busca limitada aos vizinhos
    Silva Dias et al. (2009)
    René (1986)
    Camacho et al. (2000)

    View full-size slide

  152. Retomando as equações:

    View full-size slide

  153. Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    )
    Resíduos iniciais

    View full-size slide

  154. Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    ) r(new)=r(old)− p
    j
    a
    j
    Resíduos iniciais Atualização dos resíduos

    View full-size slide

  155. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores)
    Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    ) r(new)=r(old)− p
    j
    a
    j
    Resíduos iniciais Atualização dos resíduos

    View full-size slide

  156. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores)
    Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    ) r(new)=r(old)− p
    j
    a
    j
    Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
    Somente algumas colunas de A

    View full-size slide

  157. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores)
    Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    ) r(new)=r(old)− p
    j
    a
    j
    Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
    Somente algumas colunas de A
    Calcular quando necessárias

    View full-size slide

  158. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores)
    Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    ) r(new)=r(old)− p
    j
    a
    j
    Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
    Somente algumas colunas de A
    Calcular quando necessárias & apagar após atualização

    View full-size slide

  159. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores)
    Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    ) r(new)=r(old)− p
    j
    a
    j
    Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
    Somente algumas colunas de A
    Calcular quando necessárias
    Avaliação preguiçosa
    (Lazy evaluation)
    & apagar após atualização

    View full-size slide

  160. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Qualquer número de alvos
    Contrastes de densidade variados
    Não resolve sistemas lineares
    Busca limitada aos vizinhos

    View full-size slide

  161. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Qualquer número de alvos
    Contrastes de densidade variados
    Não resolve sistemas lineares
    Busca limitada aos vizinhos
    Sem multiplicação de matrizes
    Avaliação preguiçosa da Jacobiana

    View full-size slide

  162. Inversão rápida + pouca memória RAM
    Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Qualquer número de alvos
    Contrastes de densidade variados
    Não resolve sistemas lineares
    Busca limitada aos vizinhos
    Sem multiplicação de matrizes
    Avaliação preguiçosa da Jacobiana

    View full-size slide

  163. Considerações práticas

    View full-size slide

  164. no algoritmo de crescimento

    View full-size slide

  165. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim

    View full-size slide

  166. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim

    View full-size slide

  167. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    ϕ(new)<ϕ(old)

    View full-size slide

  168. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    ϕ(new)<ϕ(old)
    ϕ( p incluindovizinho)

    View full-size slide

  169. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    ϕ(new)<ϕ(old)
    ϕ( p semvizinho)

    View full-size slide

  170. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣
    ϕ(old)
    ⩾δ
    ϕ(new)<ϕ(old)
    &

    View full-size slide

  171. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣
    ϕ(old)
    ⩾δ
    ϕ(new)<ϕ(old)
    &
    δ

    View full-size slide

  172. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣
    ϕ(old)
    ⩾δ
    ϕ(new)<ϕ(old)
    &
    δ quanto cresce

    View full-size slide

  173. Parâmetros:

    View full-size slide

  174. Parâmetros:
    δ quanto cresce

    View full-size slide

  175. Parâmetros:
    δ quanto cresce
    β
    μ e

    View full-size slide

  176. Parâmetros:
    δ quanto cresce
    β
    Γ( p)=ϕ( p)+μ θ( p)
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    μ e

    View full-size slide

  177. Parâmetros:
    δ quanto cresce
    β
    Γ( p)=ϕ( p)+μ θ( p)
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    μ e

    View full-size slide

  178. Parâmetros:
    δ quanto cresce
    β quão concentrada
    Γ( p)=ϕ( p)+μ θ( p)
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    μ e

    View full-size slide

  179. Exemplo: Solução pouco regularizada

    View full-size slide

  180. Exemplo: Solução bem regularizada

    View full-size slide

  181. Exemplo: Solução bem regularizada
    Robustez na escolha de μ

    View full-size slide

  182. Dados sintéticos

    View full-size slide

  183. Dados:

    6 componentes

    150m altitude

    26 x 26 pontos

    676/componente

    4056 observações

    Ruído de 5 Eötvös

    View full-size slide

  184. Dados:

    6 componentes

    150m altitude

    26 x 26 pontos

    676/componente

    4056 observações

    Ruído de 5 Eötvös
    Modelo interpretativo:

    25000 prismas

    View full-size slide

  185. Dados:

    6 componentes

    150m altitude

    26 x 26 pontos

    676/componente

    4056 observações

    Ruído de 5 Eötvös
    Modelo interpretativo:

    25000 prismas
    Função do ajuste:

    Norma ℓ2

    View full-size slide


  186. Efeitos interferentes

    View full-size slide


  187. Efeitos interferentes

    Difícil separação

    View full-size slide


  188. Efeitos interferentes

    Difícil separação

    Somente interessado nestes?

    View full-size slide


  189. Efeitos interferentes

    Difícil separação

    Somente interessado nestes?
    alvos

    View full-size slide


  190. Efeito dos alvos na g
    zz

    View full-size slide


  191. Efeito dos alvos na g
    zz

    View full-size slide


  192. Efeito dos alvos na

    Nem tanto nas outras
    g
    zz

    View full-size slide


  193. Efeito dos alvos na

    Nem tanto nas outras

    Sementes baseadas em
    g
    zz
    g
    zz

    View full-size slide


  194. Comum em casos reais

    View full-size slide


  195. Comum em casos reais

    Falta de informação a priori

    View full-size slide


  196. Comum em casos reais

    Falta de informação a priori

    Contraste de densidade

    Profundidade

    View full-size slide


  197. Comum em casos reais

    Falta de informação a priori

    Contraste de densidade

    Profundidade

    Como estabelecer sementes?

    View full-size slide


  198. Comum em casos reais

    Falta de informação a priori

    Contraste de densidade

    Profundidade

    Como estabelecer sementes?

    Difícil (impossível) isolar efeitos

    View full-size slide

  199. Procedimento robusto:

    View full-size slide

  200. Procedimento robusto:

    Sementes para alvos

    View full-size slide

  201. Procedimento robusto:

    Sementes para alvos

    View full-size slide

  202. Procedimento robusto:

    Sementes para alvos

    Norma ℓ1
    para ignorar outros efeitos

    View full-size slide

  203. Procedimento robusto:

    Sementes para alvos

    Norma ℓ1
    para ignorar outros efeitos

    View full-size slide

  204. Dados:

    3 componentes

    51 x 51 pontos

    2601/componente

    7803 observações

    Ruído 5 Eötvös

    View full-size slide

  205. Dados:

    3 componentes

    51 x 51 pontos

    2601/componente

    7803 observações

    Ruído 5 Eötvös
    Modelo interpretativo:

    37500 prismas

    View full-size slide

  206. Dados:

    3 componentes

    51 x 51 pontos

    2601/componente

    7803 observações

    Ruído 5 Eötvös
    Modelo interpretativo:

    37500 prismas
    Função do ajuste:

    Norma ℓ1

    View full-size slide


  207. Recupera forma dos alvos
    Resultados:

    View full-size slide


  208. Recupera forma dos alvos

    Tempo para inversão = 2,2 minutos (laptop)
    Resultados:

    View full-size slide

  209. Dados:

    3 componentes

    13.746 observações

    Full Tensor Gradiometry

    Quadrilátero Ferrífero

    View full-size slide

  210. Dados:
    Alvos:

    Minério de ferro

    BIFs (Formação Cauê)

    3 componentes

    13.746 observações

    Full Tensor Gradiometry

    Quadrilátero Ferrífero

    View full-size slide

  211. Dados:

    3 componentes

    13.746 observações

    Full Tensor Gradiometry

    Quadrilátero Ferrífero
    Alvos:

    Minério de ferro

    BIFs (Formação Cauê)

    View full-size slide

  212. Inversão:
    Sementes (minério de ferro):

    46

    Contraste de densidade 1,0 g/cm3

    Profundidade 200 m

    View full-size slide

  213. Inversão:
    Sementes (minério de ferro):

    46

    Contraste de densidade 1,0 g/cm3

    Profundidade 200 m
    Modelo interpretativo:

    164.892 prismas

    View full-size slide

  214. Inversão:
    Sementes (minério de ferro):

    46

    Contraste de densidade 1,0 g/cm3

    Profundidade 200 m
    Modelo interpretativo:

    164.892 prismas
    Função do ajuste:

    Norma ℓ1

    View full-size slide

  215. Ajuste:
    Observado
    Predito

    View full-size slide

  216. Somente prismas com
    contraste zero omitidos
    Resultados:

    View full-size slide

  217. Somente prismas com
    contraste zero omitidos
    Resultados:

    View full-size slide

  218. Somente prismas com
    contraste zero omitidos
    Resultados:

    View full-size slide


  219. 46 sementes ●
    13.746 obs ●
    164.892 prismas
    Resultados:

    View full-size slide


  220. 46 sementes ●
    13.746 obs ●
    164.892 prismas
    Resultados:

    View full-size slide


  221. De acordo com interpretações
    anteriores (Martinez et al., 2010)

    46 sementes ●
    13.746 obs ●
    164.892 prismas
    Resultados:

    View full-size slide


  222. Tempo = 14 minutos (laptop)

    De acordo com interpretações
    anteriores (Martinez et al., 2010)

    46 sementes ●
    13.746 obs ●
    164.892 prismas
    Resultados:

    View full-size slide


  223. Novo método de inversão

    Dados gradiométricos

    Linear

    Busca sistemática

    Limitada aos vizinhos

    Conclusões

    View full-size slide


  224. Múltiplos alvos

    Efeitos gravitacionais interferentes

    Fontes que não são alvos

    Sem multiplicação de matrizes

    Não resolve sistemas lineares

    Avaliação preguiçosa da Jacobiana

    Robusto à escolha de
    Conclusões
    μ

    View full-size slide


  225. Estima a geometria

    Dados contrastes de densidade dos alvos

    Ideal para corpos:

    Contatos abruptos

    Propriedades físicas bem definidas
    – Minério
    – Intrusões
    – Domos de sal
    Conclusões

    View full-size slide

  226. Futuro

    Adaptar para gravidade e magnético

    Melhorar critério de crescimento

    Impor compacidade no algoritmo

    Determinação de sementes

    Software código aberto

    View full-size slide