Robust 3D gravity gradient inversion by planting anomalous densities Leonardo Uieda Orientadora: Valéria C. F. Barbosa 27 de Outubro de 2011 Observatório Nacional
● Adaptações ● Li (2001), Zhdanov et al. (2004) ● Inversão linear (prismas) ● Complicações ● Muitos dados ● Muitos parâmetros ● Dificuldades computacionais Novos métodos
● FFT para multiplicação ● Dado em grid regular e nivelado ● Compressão de dados ● Portniaguine e Zhdanov (2002) ● Li e Oldenburg (2003) ● “Moving footprint” ● Trunca matriz de sensibilidade Para lidar com isso
● Resolve sistemas lineares ● Suave – Li e Oldenburg (1998) ● Abrupto – Zhdanov et al. (2004) e Silva Dias et al. (2009) ● Não resolve sistemas lineares ● Busca pseudoaleatória ● Busca sistemática Tipos de métodos
● Busca pseudoaleatória ● Nagihara e Hall (2001): Simulated Annealing ● Krahenbuhl e Li (2009): Genético ● Busca sistemática ● Camacho et al. (2000): Growing bodies ● René (1986): Shapeofanomaly (sementes) Não resolve sistemas lineares
● Camacho et al. (2000): Growing bodies ● 3D ● Começa com zeros ● Adiciona 1 prisma por vez ● 2 contrastes de densidade ● Busca em todo modelo interpretativo ● Norma mínima (ridge regression) ● Corpos isolados Busca sistemática
● René (1986): Shapeofanomaly ● 2D ● Começa com sementes ● 1 contraste de densidade ● Adiciona 1 por vez em torno das sementes ● Busca “vizinhos” da solução atual ● Compacto (sem regularização) ● Corpos isolados Busca sistemática
● Baseado em René (1986) ● Gradiometria gravimétrica ● 3D ● Começa com sementes ● Diversos contrastes de densidade ● Compacto (com regularização) ● Fontes que não são alvos (não isolado) ● “Avaliação preguiçosa” Plantação
Tensor Gradiente Gravitacional (∂2 V ∂ x2 ∂2 V ∂ x ∂ y ∂2 V ∂ x ∂ z ∂2 V ∂ y ∂ x ∂2 V ∂ y2 ∂2 V ∂ y ∂ z ∂2 V ∂ z∂ x ∂2 V ∂ z ∂ y ∂2 V ∂ z2 ) Potencial gravitacional
Tensor Gradiente Gravitacional (∂2 V ∂ x2 ∂2 V ∂ x ∂ y ∂2 V ∂ x ∂ z ∂2 V ∂ y ∂ x ∂2 V ∂ y2 ∂2 V ∂ y ∂ z ∂2 V ∂ z∂ x ∂2 V ∂ z ∂ y ∂2 V ∂ z2 ) Potencial gravitacional Coordenadas cartesianas (ponto de observação)
r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados ϕ( p)=∥r∥1 =∑ i=1 N ∣g i −d i ∣ Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados ϕ( p)=∥r∥1 =∑ i=1 N ∣g i −d i ∣ Norma ℓ1 de r Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados ϕ( p)=∥r∥1 =∑ i=1 N ∣g i −d i ∣ Norma ℓ1 de r Ajuste robusto Minimizar norma da diferença entre e g d Vetor de resíduos ϕ(p)
3. Somente ou p j =0 p j =ρs ● Prismas ● Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de “sementes” ● Densidades dadas ρs (sem buracos)
4. da semente mais próxima p j =ρs ● Prismas ● Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de “sementes” ● Densidades dadas ρs 3. Somente ou p j =0 p j =ρs (sem buracos)
Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β Distância entre jésimo prisma e uma semente Problema vinculado: Minimizar função objetivo Função regularizadora
Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β Silva Dias et al. (2009) Problema vinculado: Minimizar função objetivo Função regularizadora Distância entre jésimo prisma e uma semente
Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β Impõe: ● Compacidade ● Concentração em torno das sementes Problema vinculado: Minimizar função objetivo Função regularizadora Silva Dias et al. (2009) Distância entre jésimo prisma e uma semente
Algoritmo Baseado em René (1986) Regularização 4. da semente mais próxima p j =ρs Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração 3. Somente ou p j =0 p j =ρs
Calcular resíduos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero
Calcular resíduos r(0)=g−d(0) Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero
Calcular resíduos r(0)=g−d(0) d = dados preditos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Predito pelas sementes
Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j )
Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j ) Maioria é zero
Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j ) Maioria é zero
Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j ) Maioria é zero
Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S )
r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S ) Encontrar vizinhos Calcular resíduos d = dados preditos g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Prismas com omitidos p j =0
r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S ) Encontrar vizinhos Calcular resíduos d = dados preditos g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Prismas com omitidos p j =0 Compartilham 1 face
r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S ) Vizinhos Encontrar vizinhos Calcular resíduos d = dados preditos g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Prismas com omitidos p j =0 Compartilham 1 face
p j =ρ s j = escolhido (Elemento novo) j Crescimento: Acreção à sésima semente: Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo s Prismas com omitidos p j =0
Atualizar resíduos: p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: Prismas com omitidos p j =0
Atualizar resíduos: r(new)=g−(d(old )+ p j a j ) p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: Prismas com omitidos p j =0 d(new)
Atualizar resíduos: r(new)=g−(d(old )+ p j a j ) p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: Prismas com omitidos p j =0 d(new) } r(old)
Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: Prismas com omitidos p j =0
Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: Prismas com omitidos p j =0 Contribuição de j
Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: Prismas com omitidos p j =0
Tamanhos variados Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: Prismas com omitidos p j =0
Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0 j
Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
Sim Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
Sim Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
Sim Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
Não Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Sim Prismas com omitidos p j =0
Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Sim Prismas com omitidos p j =0
Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Silva Dias et al. (2009) René (1986) Camacho et al. (2000)
Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Não resolve sistemas lineares Silva Dias et al. (2009) René (1986) Camacho et al. (2000)
Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos Silva Dias et al. (2009) René (1986) Camacho et al. (2000)
Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A
Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A Calcular quando necessárias
Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A Calcular quando necessárias & apagar após atualização
Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A Calcular quando necessárias Avaliação preguiçosa (Lazy evaluation) & apagar após atualização
Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos
Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos Sem multiplicação de matrizes Avaliação preguiçosa da Jacobiana
Inversão rápida + pouca memória RAM Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos Sem multiplicação de matrizes Avaliação preguiçosa da Jacobiana
Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Sim
Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Sim
Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Sim ϕ(new)<ϕ(old)
Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Sim ϕ(new)<ϕ(old) ϕ( p incluindovizinho)
Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Sim ϕ(new)<ϕ(old) ϕ( p semvizinho)
Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Sim ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣ ϕ(old) ⩾δ ϕ(new)<ϕ(old) &
Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Sim ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣ ϕ(old) ⩾δ ϕ(new)<ϕ(old) & δ
Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à sésima semente: N S Sim ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣ ϕ(old) ⩾δ ϕ(new)<ϕ(old) & δ quanto cresce
● Comum em casos reais ● Falta de informação a priori ● Contraste de densidade ● Profundidade ● Como estabelecer sementes? ● Difícil (impossível) isolar efeitos
● Múltiplos alvos ● Efeitos gravitacionais interferentes ● Fontes que não são alvos ● Sem multiplicação de matrizes ● Não resolve sistemas lineares ● Avaliação preguiçosa da Jacobiana ● Robusto à escolha de Conclusões μ
● Estima a geometria ● Dados contrastes de densidade dos alvos ● Ideal para corpos: ● Contatos abruptos ● Propriedades físicas bem definidas – Minério – Intrusões – Domos de sal Conclusões
Futuro ● Adaptar para gravidade e magnético ● Melhorar critério de crescimento ● Impor compacidade no algoritmo ● Determinação de sementes ● Software código aberto
leouieda
s1ok69oo
langstat
furukawayasuto
gaelvaroquaux
ssii
koro485
nkmr_rl
butchi
miyayou
destraynor
lauravandoore
shpigford
mraible
smashingmag
bkeepers
thekraken
scottboms
chriscoyier
3n
zakiwarfel
kevinliebholz