Master's defense

Slides from my Master's dissertation defense "Robust 3D gravity gradient inversion by planting anomalous densities".

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1. Robust 3D gravity gradient inversion by planting anomalous densities Leonardo Uieda Orientadora: Valéria C. F. Barbosa 27 de Outubro de 2011 Observatório Nacional
2. Sumário
3. Sumário Introdução Bla Bla Bla ...
4. Sumário Introdução O problema Bla Bla Bla ...
5. Modelagem direta Sumário Introdução O problema Bla Bla Bla ...
6. Problema inverso Modelagem direta Sumário Introdução O problema Bla Bla Bla ...
7. Problema inverso Plantação Modelagem direta Sumário Introdução O problema Bla Bla Bla ...
8. Problema inverso Plantação Dados sintéticos Modelagem direta Sumário Introdução O problema Bla Bla Bla ...
9. Problema inverso Plantação Dados sintéticos Dados reais Modelagem direta Sumário Quadrilátero Ferrífero Introdução O problema Bla Bla Bla ...
10. Introdução
11. • Tradicional • Terrestre e aérea • Fácil • aquisição • processamento • interpretação • Diversos métodos de inversão linear • Estima propriedade física Inversão gravimétrica
12. • Difícil aquisição aérea • Sensível a rotação • Poucos métodos até 1990 • Vasco (1989) – Compara resolução e variância • Pedersen e Rasmussen (1990) – Invariantes – Dimensionalidade e strike • Avanços tecnológicos a partir de 1990 Gradiometria gravimétrica
13. • Melhores tecnologias • Plataforma móvel • Gradiômetros precisos • GPS • Processamento • Sensível a fontes rasas • Novos métodos de inversão Avanços recentes
14. • Adaptações • Li (2001), Zhdanov et al. (2004) • Inversão linear (prismas) • Complicações • Muitos dados • Muitos parâmetros • Dificuldades computacionais Novos métodos
15. Grandes matrizes (sensibilidade): • Memória RAM • Multiplicação • Solução de sistemas lineares Dificuldades computacionais
16. • FFT para multiplicação • Dado em grid regular e nivelado • Compressão de dados • Portniaguine e Zhdanov (2002) • Li e Oldenburg (2003) • “Moving footprint” • Trunca matriz de sensibilidade Para lidar com isso
17. • Resolve sistemas lineares • Suave – Li e Oldenburg (1998) • Abrupto – Zhdanov et al. (2004) e Silva Dias et al. (2009) • Não resolve sistemas lineares • Busca pseudo­aleatória • Busca sistemática Tipos de métodos
18. • Busca pseudo­aleatória • Nagihara e Hall (2001): Simulated Annealing • Krahenbuhl e Li (2009): Genético • Busca sistemática • Camacho et al. (2000): Growing bodies • René (1986): Shape­of­anomaly (sementes) Não resolve sistemas lineares
19. • Camacho et al. (2000): Growing bodies • 3D • Começa com zeros • Adiciona 1 prisma por vez • 2 contrastes de densidade • Busca em todo modelo interpretativo • Norma mínima (ridge regression) • Corpos isolados Busca sistemática
20. • René (1986): Shape­of­anomaly • 2D • Começa com sementes • 1 contraste de densidade • Adiciona 1 por vez em torno das sementes • Busca “vizinhos” da solução atual • Compacto (sem regularização) • Corpos isolados Busca sistemática
21. • Baseado em René (1986) • Gradiometria gravimétrica • 3D • Começa com sementes • Diversos contrastes de densidade • Compacto (com regularização) • Fontes que não são alvos (não isolado) • “Avaliação preguiçosa” Plantação
22. Um pouco de teoria
23. O problema geofísico
27. N
28. N (X)
29. N (X) E
30. N (X) E (Y)
31. N (X) E (Y) Observações
32. N (X) E (Y) Observações
33. Tensor Gradiente Gravitacional
34. Tensor Gradiente Gravitacional (∂2 V ∂ x2 ∂2 V ∂ x ∂ y ∂2 V ∂ x ∂ z ∂2 V ∂ y ∂ x ∂2 V ∂ y2 ∂2 V ∂ y ∂ z ∂2 V ∂ z∂ x ∂2 V ∂ z ∂ y ∂2 V ∂ z2 )
35. Tensor Gradiente Gravitacional (∂2 V ∂ x2 ∂2 V ∂ x ∂ y ∂2 V ∂ x ∂ z ∂2 V ∂ y ∂ x ∂2 V ∂ y2 ∂2 V ∂ y ∂ z ∂2 V ∂ z∂ x ∂2 V ∂ z ∂ y ∂2 V ∂ z2 ) Potencial gravitacional
36. Tensor Gradiente Gravitacional (∂2 V ∂ x2 ∂2 V ∂ x ∂ y ∂2 V ∂ x ∂ z ∂2 V ∂ y ∂ x ∂2 V ∂ y2 ∂2 V ∂ y ∂ z ∂2 V ∂ z∂ x ∂2 V ∂ z ∂ y ∂2 V ∂ z2 ) Potencial gravitacional Coordenadas cartesianas (ponto de observação)
37. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g yx g yy g yz g zx g zy g zz )
38. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g yx g yy g yz g zx g zy g zz ) ∇×⃗ g=0
39. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g yx g yy g yz g zx g zy g zz ) ∇×⃗ g=0
40. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g yx g yy g yz g zx g zy g zz ) ∇×⃗ g=0
41. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g yx g yy g yz g zx g zy g zz ) ∇×⃗ g=0
42. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g yy g yz g zz )
43. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g yy g yz g zz ) ∇2 V =0
44. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g yy g yz g zz ) ∇2 V =0
45. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g yy g yz )
46. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g yy g yz ) 5 componentes independentes
48. observada g αβ
49. observada g αβ gαβ
50. observada g αβ gαβ
51. Densidade anômala observada g αβ gαβ
52. Densidade anômala Relação funcional observada g αβ gαβ
53. Parametrizar observada g αβ gαβ Densidade anômala Relação funcional
54. Modelagem direta
57. Modelo interpretativo
58. Modelo interpretativo Prisma retangular reto j
59. Modelo interpretativo Prisma retangular reto Δρ=p j j
60. Prismas com omitidos p j =0
61. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] Prismas com omitidos p j =0 Parâmetros
62. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] Parâmetros Prismas com omitidos p j =0
63. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] Parâmetros Prismas com omitidos p j =0 predita g αβ
64. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] Parâmetros Prismas com omitidos p j =0 predita g αβ dαβ
65. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] dαβ=∑ j=1 M p j a j αβ Prismas com omitidos p j =0 Parâmetros predita g αβ dαβ
66. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] dαβ=∑ j=1 M p j a j αβ Contribuição do j­ésimo prisma Prismas com omitidos p j =0 predita g αβ dαβ g αβ
67. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] dαβ=∑ j=1 M p j a j αβ Densidade do j­ésimo prisma Prismas com omitidos p j =0 predita g αβ dαβ
68. dxx dxy dxz dyy dyz dzz Diversas componentes:
69. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz Diversas componentes:
70. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M p j a j Diversas componentes:
71. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M p j a j = A p Diversas componentes:
72. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M p j a j = A p Vetor de parâmetros Diversas componentes:
73. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M p j a j = A p Matriz Jacobiana (sensibilidade) Diversas componentes:
74. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M p j a j = A p Vetor coluna de Diversas componentes: A
75. Problema direto: p d d=∑ j=1 M p j a j
76. ̂ p g ? Problema inverso:
77. Problema inverso
78. Minimizar norma da diferença entre e g d
79. r=g−d Vetor de resíduos Minimizar norma da diferença entre e g d
80. r=g−d Função do ajuste: Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
81. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N (g i −d i )2 )1 2 Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
82. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
83. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
84. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados ϕ( p)=∥r∥1 =∑ i=1 N ∣g i −d i ∣ Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
85. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados ϕ( p)=∥r∥1 =∑ i=1 N ∣g i −d i ∣ Norma ℓ1 de r Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
86. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados ϕ( p)=∥r∥1 =∑ i=1 N ∣g i −d i ∣ Norma ℓ1 de r Ajuste robusto Minimizar norma da diferença entre e g d Vetor de resíduos ϕ(p)
87. Problema
88. Mal posto Problema
89. Mal posto Inexistente Não única Instável Problema
90. Mal posto Inexistente Não única Instável Vínculos Problema
91. Mal posto Inexistente Não única Instável Bem posto Vínculos Problema
92. Mal posto Inexistente Não única Instável Bem posto Existente Única Estável Vínculos Problema
93. Vínculos: 1. Compacidade
94. Vínculos: 1. Compacidade (sem buracos)
95. Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de “sementes” (sem buracos)
96. • Prismas Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de “sementes” (sem buracos)
97. • Prismas • Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de “sementes” (sem buracos)
98. • Prismas • Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de “sementes” • Densidades dadas ρs (sem buracos)
99. 3. Somente ou p j =0 p j =ρs • Prismas • Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de “sementes” • Densidades dadas ρs (sem buracos)
100. 4. da semente mais próxima p j =ρs • Prismas • Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de “sementes” • Densidades dadas ρs 3. Somente ou p j =0 p j =ρs (sem buracos)
101. 4. da semente mais próxima p j =ρs Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração 3. Somente ou p j =0 p j =ρs
102. Regularização 4. da semente mais próxima p j =ρs Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração 3. Somente ou p j =0 p j =ρs
103. Problema vinculado:
104. Problema vinculado: Minimizar função objetivo Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)
105. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) Função do ajuste Problema vinculado: Minimizar função objetivo
106. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) (Balanço entre ajuste e regularização) Parâmetro regularizador Problema vinculado: Minimizar função objetivo
107. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) Função regularizadora θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β Problema vinculado: Minimizar função objetivo
108. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β Distância entre j­ésimo prisma e uma semente Problema vinculado: Minimizar função objetivo Função regularizadora
109. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β Silva Dias et al. (2009) Problema vinculado: Minimizar função objetivo Função regularizadora Distância entre j­ésimo prisma e uma semente
110. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β Impõe: • Compacidade • Concentração em torno das sementes Problema vinculado: Minimizar função objetivo Função regularizadora Silva Dias et al. (2009) Distância entre j­ésimo prisma e uma semente
111. Regularização 4. da semente mais próxima p j =ρs Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração 3. Somente ou p j =0 p j =ρs
112. Algoritmo Baseado em René (1986) Regularização 4. da semente mais próxima p j =ρs Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração 3. Somente ou p j =0 p j =ρs
113. Algoritmo de plantação
114. Inicialização:
115. Inicialização: g = dados observados
116. Inicialização: g = dados observados Definir modelo interpretativo
117. Inicialização: Definir modelo interpretativo Modelo interpretativo g = dados observados
118. Inicialização: Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Modelo interpretativo g = dados observados
119. Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Modelo interpretativo g = dados observados
120. Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero g = dados observados Prismas com omitidos p j =0
121. Calcular resíduos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero
122. Calcular resíduos r(0)=g−d(0) Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero
123. Calcular resíduos r(0)=g−d(0) d = dados preditos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Predito pelas sementes
124. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j )
125. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j ) Maioria é zero
126. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j ) Maioria é zero
127. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j ) Maioria é zero
128. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S )
129. r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S ) Encontrar vizinhos Calcular resíduos d = dados preditos g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Prismas com omitidos p j =0
130. r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S ) Encontrar vizinhos Calcular resíduos d = dados preditos g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Prismas com omitidos p j =0 Compartilham 1 face
131. r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S ) Vizinhos Encontrar vizinhos Calcular resíduos d = dados preditos g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Prismas com omitidos p j =0 Compartilham 1 face
132. Crescimento: Prismas com omitidos p j =0
133. Crescimento: Prismas com omitidos p j =0 Acreção à s­ésima semente:
134. Crescimento: Prismas com omitidos p j =0 Acreção à s­ésima semente: s
135. Acreção à s­ésima semente: Escolher vizinho: Crescimento: Prismas com omitidos p j =0
136. Acreção à s­ésima semente: 1. Diminuir função ajuste Escolher vizinho: Crescimento: Prismas com omitidos p j =0
137. Acreção à s­ésima semente: Escolher vizinho: Crescimento: Prismas com omitidos p j =0 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo
138. j = escolhido j Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Prismas com omitidos p j =0
139. j = escolhido (Elemento novo) j Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Prismas com omitidos p j =0
140. p j =ρ s j = escolhido (Elemento novo) j Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Prismas com omitidos p j =0
141. p j =ρ s j = escolhido (Elemento novo) j Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo s Prismas com omitidos p j =0
142. Atualizar resíduos: p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
143. Atualizar resíduos: r(new)=g−d(new) p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
144. Atualizar resíduos: r(new)=g−d(new) p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0 d(new)
145. Atualizar resíduos: r(new)=g−(d(old )+ p j a j ) p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0 d(new)
146. Atualizar resíduos: r(new)=g−(d(old )+ p j a j ) p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0 d(new) } r(old)
147. Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
148. Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0 Contribuição de j
149. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
150. Tamanhos variados Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
151. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
152. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0 j
153. Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
154. Sim Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
155. Sim Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
156. Sim Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
157. Não Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim Prismas com omitidos p j =0
158. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim Prismas com omitidos p j =0
159. Vantagens: Compacta & variações abruptas
160. Vantagens: Compacta & variações abruptas Silva Dias et al. (2009) René (1986) Camacho et al. (2000)
161. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Silva Dias et al. (2009) René (1986) Camacho et al. (2000)
162. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Não resolve sistemas lineares Silva Dias et al. (2009) René (1986) Camacho et al. (2000)
163. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos Silva Dias et al. (2009) René (1986) Camacho et al. (2000)
164. Retomando as equações:
165. Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) Resíduos iniciais
166. Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
167. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
168. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A
169. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A Calcular quando necessárias
170. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A Calcular quando necessárias & apagar após atualização
171. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A Calcular quando necessárias Avaliação preguiçosa (Lazy evaluation) & apagar após atualização
172. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos
173. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos Sem multiplicação de matrizes Avaliação preguiçosa da Jacobiana
174. Inversão rápida + pouca memória RAM Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos Sem multiplicação de matrizes Avaliação preguiçosa da Jacobiana
175. Considerações práticas
176. no algoritmo de crescimento
177. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim
178. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim
179. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ϕ(new)<ϕ(old)
180. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ϕ(new)<ϕ(old) ϕ( p incluindovizinho)
181. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ϕ(new)<ϕ(old) ϕ( p semvizinho)
182. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣ ϕ(old) ⩾δ ϕ(new)<ϕ(old) &
183. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣ ϕ(old) ⩾δ ϕ(new)<ϕ(old) & δ
184. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣ ϕ(old) ⩾δ ϕ(new)<ϕ(old) & δ quanto cresce
185. Parâmetros:
186. Parâmetros: δ quanto cresce
187. Parâmetros: δ quanto cresce β μ e
188. Parâmetros: δ quanto cresce β Γ( p)=ϕ( p)+μ θ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β μ e
189. Parâmetros: δ quanto cresce β Γ( p)=ϕ( p)+μ θ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β μ e
190. Parâmetros: δ quanto cresce β quão concentrada Γ( p)=ϕ( p)+μ θ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β μ e
191. Exemplo:
192. Exemplo: Solução pouco regularizada
193. Exemplo: Solução bem regularizada
194. Exemplo: Solução bem regularizada Robustez na escolha de μ
195. Dados sintéticos
196. Modelo 1
197. Modelo 1:
198. Modelo 1:
199. Modelo 1:
200. Modelo 1:
201. Modelo 1:
202. Modelo 1:
203. Dados: • 6 componentes • 150m altitude • 26 x 26 pontos • 676/componente • 4056 observações • Ruído de 5 Eötvös
204. Dados: • 6 componentes • 150m altitude • 26 x 26 pontos • 676/componente • 4056 observações • Ruído de 5 Eötvös Modelo interpretativo: • 25000 prismas
205. Dados: • 6 componentes • 150m altitude • 26 x 26 pontos • 676/componente • 4056 observações • Ruído de 5 Eötvös Modelo interpretativo: • 25000 prismas Função do ajuste: • Norma ℓ2
206. Sementes:
207. Sementes:
208. Sementes:
209. Sementes:
210. Sementes:
211. Sementes:
212. Resultado:
213. Resultado:
214. Resultado:
215. Resultado:
216. Resultado:
217. Resultado:
218. Ajuste:
219. Ajuste:
220. Modelo 2
221. Modelo 2:
223. • Efeitos interferentes
224. • Efeitos interferentes • Difícil separação
225. • Efeitos interferentes • Difícil separação • Somente interessado nestes?
226. • Efeitos interferentes • Difícil separação • Somente interessado nestes? alvos
227. • Efeito dos alvos na g zz
228. • Efeito dos alvos na g zz
229. • Efeito dos alvos na • Nem tanto nas outras g zz
230. • Efeito dos alvos na • Nem tanto nas outras • Sementes baseadas em g zz g zz
231. • Comum em casos reais
232. • Comum em casos reais • Falta de informação a priori
233. • Comum em casos reais • Falta de informação a priori • Contraste de densidade • Profundidade
234. • Comum em casos reais • Falta de informação a priori • Contraste de densidade • Profundidade • Como estabelecer sementes?
235. • Comum em casos reais • Falta de informação a priori • Contraste de densidade • Profundidade • Como estabelecer sementes? • Difícil (impossível) isolar efeitos
236. Procedimento robusto:
237. Procedimento robusto: • Sementes para alvos
238. Procedimento robusto: • Sementes para alvos
239. Procedimento robusto: • Sementes para alvos • Norma ℓ1 para ignorar outros efeitos
240. Procedimento robusto: • Sementes para alvos • Norma ℓ1 para ignorar outros efeitos
241. Dados: • 3 componentes • 51 x 51 pontos • 2601/componente • 7803 observações • Ruído 5 Eötvös
242. Dados: • 3 componentes • 51 x 51 pontos • 2601/componente • 7803 observações • Ruído 5 Eötvös Modelo interpretativo: • 37500 prismas
243. Dados: • 3 componentes • 51 x 51 pontos • 2601/componente • 7803 observações • Ruído 5 Eötvös Modelo interpretativo: • 37500 prismas Função do ajuste: • Norma ℓ1
244. Resultados:
245. Resultados:
246. Resultados:
247. Resultados:
248. Resultados:
249. Resultados:
250. • Recupera forma dos alvos Resultados:
251. • Recupera forma dos alvos • Tempo para inversão = 2,2 minutos (laptop) Resultados:
252. Ajuste:
253. Ajuste:
254. Ajuste:
255. Dados Reais
256. Dados: • 3 componentes • 13.746 observações • Full Tensor Gradiometry • Quadrilátero Ferrífero
257. Dados: Alvos: • Minério de ferro • BIFs (Formação Cauê) • 3 componentes • 13.746 observações • Full Tensor Gradiometry • Quadrilátero Ferrífero
258. Dados: • 3 componentes • 13.746 observações • Full Tensor Gradiometry • Quadrilátero Ferrífero Alvos: • Minério de ferro • BIFs (Formação Cauê)
259. Inversão: Sementes (minério de ferro): • 46 • Contraste de densidade 1,0 g/cm3 • Profundidade 200 m
260. Inversão: Sementes (minério de ferro): • 46 • Contraste de densidade 1,0 g/cm3 • Profundidade 200 m Modelo interpretativo: • 164.892 prismas
261. Inversão: Sementes (minério de ferro): • 46 • Contraste de densidade 1,0 g/cm3 • Profundidade 200 m Modelo interpretativo: • 164.892 prismas Função do ajuste: • Norma ℓ1
262. Ajuste: Observado Predito
263. Resultados:
264. Resultados:
265. Resultados:
266. Resultados:
267. Resultados:
268. Resultados:
269. Somente prismas com contraste zero omitidos Resultados:
270. Somente prismas com contraste zero omitidos Resultados:
271. Somente prismas com contraste zero omitidos Resultados:
272. • 46 sementes • 13.746 obs • 164.892 prismas Resultados:
273. • 46 sementes • 13.746 obs • 164.892 prismas Resultados:
274. • De acordo com interpretações anteriores (Martinez et al., 2010) • 46 sementes • 13.746 obs • 164.892 prismas Resultados:
275. • Tempo = 14 minutos (laptop) • De acordo com interpretações anteriores (Martinez et al., 2010) • 46 sementes • 13.746 obs • 164.892 prismas Resultados:
276. Conclusões
277. • Novo método de inversão • Dados gradiométricos • Linear • Busca sistemática • Limitada aos vizinhos • Conclusões
278. • Múltiplos alvos • Efeitos gravitacionais interferentes • Fontes que não são alvos • Sem multiplicação de matrizes • Não resolve sistemas lineares • Avaliação preguiçosa da Jacobiana • Robusto à escolha de Conclusões μ
279. • Estima a geometria • Dados contrastes de densidade dos alvos • Ideal para corpos: • Contatos abruptos • Propriedades físicas bem definidas – Minério – Intrusões – Domos de sal Conclusões
280. Futuro • Adaptar para gravidade e magnético • Melhorar critério de crescimento • Impor compacidade no algoritmo • Determinação de sementes • Software código aberto
281. Obrigado