Master's defense

84d34651c3931a54310a57484a109821?s=47 Leonardo Uieda
October 27, 2011

Master's defense

Slides from my Master's dissertation defense "Robust 3D gravity gradient inversion by planting anomalous densities".

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Leonardo Uieda

October 27, 2011
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  1. Robust 3D gravity gradient inversion by planting anomalous densities Leonardo

    Uieda Orientadora: Valéria C. F. Barbosa 27 de Outubro de 2011 Observatório Nacional
  2. Sumário

  3. Sumário Introdução Bla Bla Bla ...

  4. Sumário Introdução O problema Bla Bla Bla ...

  5. Modelagem direta Sumário Introdução O problema Bla Bla Bla ...

  6. Problema inverso Modelagem direta Sumário Introdução O problema Bla Bla

    Bla ...
  7. Problema inverso Plantação Modelagem direta Sumário Introdução O problema Bla

    Bla Bla ...
  8. Problema inverso Plantação Dados sintéticos Modelagem direta Sumário Introdução O

    problema Bla Bla Bla ...
  9. Problema inverso Plantação Dados sintéticos Dados reais Modelagem direta Sumário

    Quadrilátero Ferrífero Introdução O problema Bla Bla Bla ...
  10. Introdução

  11. • Tradicional • Terrestre e aérea • Fácil • aquisição

    • processamento • interpretação • Diversos métodos de inversão linear • Estima propriedade física Inversão gravimétrica
  12. • Difícil aquisição aérea • Sensível a rotação • Poucos

    métodos até 1990 • Vasco (1989) – Compara resolução e variância • Pedersen e Rasmussen (1990) – Invariantes – Dimensionalidade e strike • Avanços tecnológicos a partir de 1990 Gradiometria gravimétrica
  13. • Melhores tecnologias • Plataforma móvel • Gradiômetros precisos •

    GPS • Processamento • Sensível a fontes rasas • Novos métodos de inversão Avanços recentes
  14. • Adaptações • Li (2001), Zhdanov et al. (2004) •

    Inversão linear (prismas) • Complicações • Muitos dados • Muitos parâmetros • Dificuldades computacionais Novos métodos
  15. Grandes matrizes (sensibilidade): • Memória RAM • Multiplicação • Solução

    de sistemas lineares Dificuldades computacionais
  16. • FFT para multiplicação • Dado em grid regular e

    nivelado • Compressão de dados • Portniaguine e Zhdanov (2002) • Li e Oldenburg (2003) • “Moving footprint” • Trunca matriz de sensibilidade Para lidar com isso
  17. • Resolve sistemas lineares • Suave – Li e Oldenburg

    (1998) • Abrupto – Zhdanov et al. (2004) e Silva Dias et al. (2009) • Não resolve sistemas lineares • Busca pseudo­aleatória • Busca sistemática Tipos de métodos
  18. • Busca pseudo­aleatória • Nagihara e Hall (2001): Simulated Annealing

    • Krahenbuhl e Li (2009): Genético • Busca sistemática • Camacho et al. (2000): Growing bodies • René (1986): Shape­of­anomaly (sementes) Não resolve sistemas lineares
  19. • Camacho et al. (2000): Growing bodies • 3D •

    Começa com zeros • Adiciona 1 prisma por vez • 2 contrastes de densidade • Busca em todo modelo interpretativo • Norma mínima (ridge regression) • Corpos isolados Busca sistemática
  20. • René (1986): Shape­of­anomaly • 2D • Começa com sementes

    • 1 contraste de densidade • Adiciona 1 por vez em torno das sementes • Busca “vizinhos” da solução atual • Compacto (sem regularização) • Corpos isolados Busca sistemática
  21. • Baseado em René (1986) • Gradiometria gravimétrica • 3D

    • Começa com sementes • Diversos contrastes de densidade • Compacto (com regularização) • Fontes que não são alvos (não isolado) • “Avaliação preguiçosa” Plantação
  22. Um pouco de teoria

  23. O problema geofísico

  24. None
  25. None
  26. None
  27. N

  28. N (X)

  29. N (X) E

  30. N (X) E (Y)

  31. N (X) E (Y) Observações

  32. N (X) E (Y) Observações

  33. Tensor Gradiente Gravitacional

  34. Tensor Gradiente Gravitacional (∂2 V ∂ x2 ∂2 V ∂

    x ∂ y ∂2 V ∂ x ∂ z ∂2 V ∂ y ∂ x ∂2 V ∂ y2 ∂2 V ∂ y ∂ z ∂2 V ∂ z∂ x ∂2 V ∂ z ∂ y ∂2 V ∂ z2 )
  35. Tensor Gradiente Gravitacional (∂2 V ∂ x2 ∂2 V ∂

    x ∂ y ∂2 V ∂ x ∂ z ∂2 V ∂ y ∂ x ∂2 V ∂ y2 ∂2 V ∂ y ∂ z ∂2 V ∂ z∂ x ∂2 V ∂ z ∂ y ∂2 V ∂ z2 ) Potencial gravitacional
  36. Tensor Gradiente Gravitacional (∂2 V ∂ x2 ∂2 V ∂

    x ∂ y ∂2 V ∂ x ∂ z ∂2 V ∂ y ∂ x ∂2 V ∂ y2 ∂2 V ∂ y ∂ z ∂2 V ∂ z∂ x ∂2 V ∂ z ∂ y ∂2 V ∂ z2 ) Potencial gravitacional Coordenadas cartesianas (ponto de observação)
  37. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yx g yy g yz g zx g zy g zz )
  38. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yx g yy g yz g zx g zy g zz ) ∇×⃗ g=0
  39. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yx g yy g yz g zx g zy g zz ) ∇×⃗ g=0
  40. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yx g yy g yz g zx g zy g zz ) ∇×⃗ g=0
  41. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yx g yy g yz g zx g zy g zz ) ∇×⃗ g=0
  42. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yy g yz g zz )
  43. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yy g yz g zz ) ∇2 V =0
  44. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yy g yz g zz ) ∇2 V =0
  45. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yy g yz )
  46. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yy g yz ) 5 componentes independentes
  47. None
  48. observada g αβ

  49. observada g αβ gαβ

  50. observada g αβ gαβ

  51. Densidade anômala observada g αβ gαβ

  52. Densidade anômala Relação funcional observada g αβ gαβ

  53. Parametrizar observada g αβ gαβ Densidade anômala Relação funcional

  54. Modelagem direta

  55. None
  56. None
  57. Modelo interpretativo

  58. Modelo interpretativo Prisma retangular reto j

  59. Modelo interpretativo Prisma retangular reto Δρ=p j j

  60. Prismas com omitidos p j =0

  61. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] Prismas

    com omitidos p j =0 Parâmetros
  62. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] Parâmetros

    Prismas com omitidos p j =0
  63. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] Parâmetros

    Prismas com omitidos p j =0 predita g αβ
  64. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] Parâmetros

    Prismas com omitidos p j =0 predita g αβ dαβ
  65. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] dαβ=∑

    j=1 M p j a j αβ Prismas com omitidos p j =0 Parâmetros predita g αβ dαβ
  66. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] dαβ=∑

    j=1 M p j a j αβ Contribuição do j­ésimo prisma Prismas com omitidos p j =0 predita g αβ dαβ g αβ
  67. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] dαβ=∑

    j=1 M p j a j αβ Densidade do j­ésimo prisma Prismas com omitidos p j =0 predita g αβ dαβ
  68. dxx dxy dxz dyy dyz dzz Diversas componentes:

  69. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz Diversas componentes:

  70. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M

    p j a j Diversas componentes:
  71. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M

    p j a j = A p Diversas componentes:
  72. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M

    p j a j = A p Vetor de parâmetros Diversas componentes:
  73. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M

    p j a j = A p Matriz Jacobiana (sensibilidade) Diversas componentes:
  74. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M

    p j a j = A p Vetor coluna de Diversas componentes: A
  75. Problema direto: p d d=∑ j=1 M p j a

    j
  76. ̂ p g ? Problema inverso:

  77. Problema inverso

  78. Minimizar norma da diferença entre e g d

  79. r=g−d Vetor de resíduos Minimizar norma da diferença entre e

    g d
  80. r=g−d Função do ajuste: Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma

    da diferença entre e g d
  81. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N

    (g i −d i )2 )1 2 Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
  82. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N

    (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
  83. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N

    (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
  84. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N

    (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados ϕ( p)=∥r∥1 =∑ i=1 N ∣g i −d i ∣ Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
  85. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N

    (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados ϕ( p)=∥r∥1 =∑ i=1 N ∣g i −d i ∣ Norma ℓ1 de r Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
  86. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N

    (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados ϕ( p)=∥r∥1 =∑ i=1 N ∣g i −d i ∣ Norma ℓ1 de r Ajuste robusto Minimizar norma da diferença entre e g d Vetor de resíduos ϕ(p)
  87. Problema

  88. Mal posto Problema

  89. Mal posto Inexistente Não única Instável Problema

  90. Mal posto Inexistente Não única Instável Vínculos Problema

  91. Mal posto Inexistente Não única Instável Bem posto Vínculos Problema

  92. Mal posto Inexistente Não única Instável Bem posto Existente Única

    Estável Vínculos Problema
  93. Vínculos: 1. Compacidade

  94. Vínculos: 1. Compacidade (sem buracos)

  95. Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de “sementes” (sem

    buracos)
  96. • Prismas Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de

    “sementes” (sem buracos)
  97. • Prismas • Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2.

    Concentração em torno de “sementes” (sem buracos)
  98. • Prismas • Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2.

    Concentração em torno de “sementes” • Densidades dadas ρs (sem buracos)
  99. 3. Somente ou p j =0 p j =ρs •

    Prismas • Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de “sementes” • Densidades dadas ρs (sem buracos)
  100. 4. da semente mais próxima p j =ρs • Prismas

    • Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de “sementes” • Densidades dadas ρs 3. Somente ou p j =0 p j =ρs (sem buracos)
  101. 4. da semente mais próxima p j =ρs Vínculos: 1.

    Compacidade 2. Concentração 3. Somente ou p j =0 p j =ρs
  102. Regularização 4. da semente mais próxima p j =ρs Vínculos:

    1. Compacidade 2. Concentração 3. Somente ou p j =0 p j =ρs
  103. Problema vinculado:

  104. Problema vinculado: Minimizar função objetivo Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)

  105. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) Função do ajuste Problema vinculado: Minimizar

    função objetivo
  106. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) (Balanço entre ajuste e regularização) Parâmetro

    regularizador Problema vinculado: Minimizar função objetivo
  107. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) Função regularizadora θ( p)=∑ j=1 M

    p j p j +ϵ l j β Problema vinculado: Minimizar função objetivo
  108. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j

    p j +ϵ l j β Distância entre j­ésimo prisma e uma semente Problema vinculado: Minimizar função objetivo Função regularizadora
  109. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j

    p j +ϵ l j β Silva Dias et al. (2009) Problema vinculado: Minimizar função objetivo Função regularizadora Distância entre j­ésimo prisma e uma semente
  110. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j

    p j +ϵ l j β Impõe: • Compacidade • Concentração em torno das sementes Problema vinculado: Minimizar função objetivo Função regularizadora Silva Dias et al. (2009) Distância entre j­ésimo prisma e uma semente
  111. Regularização 4. da semente mais próxima p j =ρs Vínculos:

    1. Compacidade 2. Concentração 3. Somente ou p j =0 p j =ρs
  112. Algoritmo Baseado em René (1986) Regularização 4. da semente mais

    próxima p j =ρs Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração 3. Somente ou p j =0 p j =ρs
  113. Algoritmo de plantação

  114. Inicialização:

  115. Inicialização: g = dados observados

  116. Inicialização: g = dados observados Definir modelo interpretativo

  117. Inicialização: Definir modelo interpretativo Modelo interpretativo g = dados observados

  118. Inicialização: Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Modelo interpretativo g

    = dados observados
  119. Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero

    Modelo interpretativo g = dados observados
  120. Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros

    = zero g = dados observados Prismas com omitidos p j =0
  121. Calcular resíduos Prismas com omitidos p j =0 g =

    dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero
  122. Calcular resíduos r(0)=g−d(0) Prismas com omitidos p j =0 g

    = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero
  123. Calcular resíduos r(0)=g−d(0) d = dados preditos Prismas com omitidos

    p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Predito pelas sementes
  124. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p

    j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j )
  125. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p

    j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j ) Maioria é zero
  126. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p

    j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j ) Maioria é zero
  127. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p

    j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j ) Maioria é zero
  128. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p

    j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S )
  129. r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S

    ) Encontrar vizinhos Calcular resíduos d = dados preditos g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Prismas com omitidos p j =0
  130. r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S

    ) Encontrar vizinhos Calcular resíduos d = dados preditos g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Prismas com omitidos p j =0 Compartilham 1 face
  131. r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S

    ) Vizinhos Encontrar vizinhos Calcular resíduos d = dados preditos g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Prismas com omitidos p j =0 Compartilham 1 face
  132. Crescimento: Prismas com omitidos p j =0

  133. Crescimento: Prismas com omitidos p j =0 Acreção à s­ésima

    semente:
  134. Crescimento: Prismas com omitidos p j =0 Acreção à s­ésima

    semente: s
  135. Acreção à s­ésima semente: Escolher vizinho: Crescimento: Prismas com omitidos

    p j =0
  136. Acreção à s­ésima semente: 1. Diminuir função ajuste Escolher vizinho:

    Crescimento: Prismas com omitidos p j =0
  137. Acreção à s­ésima semente: Escolher vizinho: Crescimento: Prismas com omitidos

    p j =0 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo
  138. j = escolhido j Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Escolher

    vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Prismas com omitidos p j =0
  139. j = escolhido (Elemento novo) j Crescimento: Acreção à s­ésima

    semente: Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Prismas com omitidos p j =0
  140. p j =ρ s j = escolhido (Elemento novo) j

    Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Prismas com omitidos p j =0
  141. p j =ρ s j = escolhido (Elemento novo) j

    Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo s Prismas com omitidos p j =0
  142. Atualizar resíduos: p j =ρ s j = escolhido Escolher

    vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
  143. Atualizar resíduos: r(new)=g−d(new) p j =ρ s j = escolhido

    Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
  144. Atualizar resíduos: r(new)=g−d(new) p j =ρ s j = escolhido

    Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0 d(new)
  145. Atualizar resíduos: r(new)=g−(d(old )+ p j a j ) p

    j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0 d(new)
  146. Atualizar resíduos: r(new)=g−(d(old )+ p j a j ) p

    j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0 d(new) } r(old)
  147. Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j

    =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
  148. Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j

    =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0 Contribuição de j
  149. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )−

    p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
  150. Tamanhos variados Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos:

    r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
  151. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )−

    p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
  152. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )−

    p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0 j
  153. Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção

    Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
  154. Sim Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem

    acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
  155. Sim Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem

    acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
  156. Sim Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem

    acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
  157. Não Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem

    acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim Prismas com omitidos p j =0
  158. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim Prismas com omitidos p j =0
  159. Vantagens: Compacta & variações abruptas

  160. Vantagens: Compacta & variações abruptas Silva Dias et al. (2009)

    René (1986) Camacho et al. (2000)
  161. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes

    de densidade variados Silva Dias et al. (2009) René (1986) Camacho et al. (2000)
  162. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes

    de densidade variados Não resolve sistemas lineares Silva Dias et al. (2009) René (1986) Camacho et al. (2000)
  163. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes

    de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos Silva Dias et al. (2009) René (1986) Camacho et al. (2000)
  164. Retomando as equações:

  165. Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a

    j S ) Resíduos iniciais
  166. Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a

    j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
  167. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as

    equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
  168. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as

    equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A
  169. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as

    equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A Calcular quando necessárias
  170. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as

    equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A Calcular quando necessárias & apagar após atualização
  171. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as

    equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A Calcular quando necessárias Avaliação preguiçosa (Lazy evaluation) & apagar após atualização
  172. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes

    de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos
  173. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes

    de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos Sem multiplicação de matrizes Avaliação preguiçosa da Jacobiana
  174. Inversão rápida + pouca memória RAM Vantagens: Compacta & variações

    abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos Sem multiplicação de matrizes Avaliação preguiçosa da Jacobiana
  175. Considerações práticas

  176. no algoritmo de crescimento

  177. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim
  178. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim
  179. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ϕ(new)<ϕ(old)
  180. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ϕ(new)<ϕ(old) ϕ( p incluindovizinho)
  181. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ϕ(new)<ϕ(old) ϕ( p semvizinho)
  182. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣ ϕ(old) ⩾δ ϕ(new)<ϕ(old) &
  183. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣ ϕ(old) ⩾δ ϕ(new)<ϕ(old) & δ
  184. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣ ϕ(old) ⩾δ ϕ(new)<ϕ(old) & δ quanto cresce
  185. Parâmetros:

  186. Parâmetros: δ quanto cresce

  187. Parâmetros: δ quanto cresce β μ e

  188. Parâmetros: δ quanto cresce β Γ( p)=ϕ( p)+μ θ( p)

    θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β μ e
  189. Parâmetros: δ quanto cresce β Γ( p)=ϕ( p)+μ θ( p)

    θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β μ e
  190. Parâmetros: δ quanto cresce β quão concentrada Γ( p)=ϕ( p)+μ

    θ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β μ e
  191. Exemplo:

  192. Exemplo: Solução pouco regularizada

  193. Exemplo: Solução bem regularizada

  194. Exemplo: Solução bem regularizada Robustez na escolha de μ

  195. Dados sintéticos

  196. Modelo 1

  197. Modelo 1:

  198. Modelo 1:

  199. Modelo 1:

  200. Modelo 1:

  201. Modelo 1:

  202. Modelo 1:

  203. Dados: • 6 componentes • 150m altitude • 26 x

    26 pontos • 676/componente • 4056 observações • Ruído de 5 Eötvös
  204. Dados: • 6 componentes • 150m altitude • 26 x

    26 pontos • 676/componente • 4056 observações • Ruído de 5 Eötvös Modelo interpretativo: • 25000 prismas
  205. Dados: • 6 componentes • 150m altitude • 26 x

    26 pontos • 676/componente • 4056 observações • Ruído de 5 Eötvös Modelo interpretativo: • 25000 prismas Função do ajuste: • Norma ℓ2
  206. Sementes:

  207. Sementes:

  208. Sementes:

  209. Sementes:

  210. Sementes:

  211. Sementes:

  212. Resultado:

  213. Resultado:

  214. Resultado:

  215. Resultado:

  216. Resultado:

  217. Resultado:

  218. Ajuste:

  219. Ajuste:

  220. Modelo 2

  221. Modelo 2:

  222. None
  223. • Efeitos interferentes

  224. • Efeitos interferentes • Difícil separação

  225. • Efeitos interferentes • Difícil separação • Somente interessado nestes?

  226. • Efeitos interferentes • Difícil separação • Somente interessado nestes?

    alvos
  227. • Efeito dos alvos na g zz

  228. • Efeito dos alvos na g zz

  229. • Efeito dos alvos na • Nem tanto nas outras

    g zz
  230. • Efeito dos alvos na • Nem tanto nas outras

    • Sementes baseadas em g zz g zz
  231. • Comum em casos reais

  232. • Comum em casos reais • Falta de informação a

    priori
  233. • Comum em casos reais • Falta de informação a

    priori • Contraste de densidade • Profundidade
  234. • Comum em casos reais • Falta de informação a

    priori • Contraste de densidade • Profundidade • Como estabelecer sementes?
  235. • Comum em casos reais • Falta de informação a

    priori • Contraste de densidade • Profundidade • Como estabelecer sementes? • Difícil (impossível) isolar efeitos
  236. Procedimento robusto:

  237. Procedimento robusto: • Sementes para alvos

  238. Procedimento robusto: • Sementes para alvos

  239. Procedimento robusto: • Sementes para alvos • Norma ℓ1 para

    ignorar outros efeitos
  240. Procedimento robusto: • Sementes para alvos • Norma ℓ1 para

    ignorar outros efeitos
  241. Dados: • 3 componentes • 51 x 51 pontos •

    2601/componente • 7803 observações • Ruído 5 Eötvös
  242. Dados: • 3 componentes • 51 x 51 pontos •

    2601/componente • 7803 observações • Ruído 5 Eötvös Modelo interpretativo: • 37500 prismas
  243. Dados: • 3 componentes • 51 x 51 pontos •

    2601/componente • 7803 observações • Ruído 5 Eötvös Modelo interpretativo: • 37500 prismas Função do ajuste: • Norma ℓ1
  244. Resultados:

  245. Resultados:

  246. Resultados:

  247. Resultados:

  248. Resultados:

  249. Resultados:

  250. • Recupera forma dos alvos Resultados:

  251. • Recupera forma dos alvos • Tempo para inversão =

    2,2 minutos (laptop) Resultados:
  252. Ajuste:

  253. Ajuste:

  254. Ajuste:

  255. Dados Reais

  256. Dados: • 3 componentes • 13.746 observações • Full Tensor

    Gradiometry • Quadrilátero Ferrífero
  257. Dados: Alvos: • Minério de ferro • BIFs (Formação Cauê)

    • 3 componentes • 13.746 observações • Full Tensor Gradiometry • Quadrilátero Ferrífero
  258. Dados: • 3 componentes • 13.746 observações • Full Tensor

    Gradiometry • Quadrilátero Ferrífero Alvos: • Minério de ferro • BIFs (Formação Cauê)
  259. Inversão: Sementes (minério de ferro): • 46 • Contraste de

    densidade 1,0 g/cm3 • Profundidade 200 m
  260. Inversão: Sementes (minério de ferro): • 46 • Contraste de

    densidade 1,0 g/cm3 • Profundidade 200 m Modelo interpretativo: • 164.892 prismas
  261. Inversão: Sementes (minério de ferro): • 46 • Contraste de

    densidade 1,0 g/cm3 • Profundidade 200 m Modelo interpretativo: • 164.892 prismas Função do ajuste: • Norma ℓ1
  262. Ajuste: Observado Predito

  263. Resultados:

  264. Resultados:

  265. Resultados:

  266. Resultados:

  267. Resultados:

  268. Resultados:

  269. Somente prismas com contraste zero omitidos Resultados:

  270. Somente prismas com contraste zero omitidos Resultados:

  271. Somente prismas com contraste zero omitidos Resultados:

  272. • 46 sementes • 13.746 obs • 164.892 prismas Resultados:

  273. • 46 sementes • 13.746 obs • 164.892 prismas Resultados:

  274. • De acordo com interpretações anteriores (Martinez et al., 2010)

    • 46 sementes • 13.746 obs • 164.892 prismas Resultados:
  275. • Tempo = 14 minutos (laptop) • De acordo com

    interpretações anteriores (Martinez et al., 2010) • 46 sementes • 13.746 obs • 164.892 prismas Resultados:
  276. Conclusões

  277. • Novo método de inversão • Dados gradiométricos • Linear

    • Busca sistemática • Limitada aos vizinhos • Conclusões
  278. • Múltiplos alvos • Efeitos gravitacionais interferentes • Fontes que

    não são alvos • Sem multiplicação de matrizes • Não resolve sistemas lineares • Avaliação preguiçosa da Jacobiana • Robusto à escolha de Conclusões μ
  279. • Estima a geometria • Dados contrastes de densidade dos

    alvos • Ideal para corpos: • Contatos abruptos • Propriedades físicas bem definidas – Minério – Intrusões – Domos de sal Conclusões
  280. Futuro • Adaptar para gravidade e magnético • Melhorar critério

    de crescimento • Impor compacidade no algoritmo • Determinação de sementes • Software código aberto
  281. Obrigado