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Master's defense

Leonardo Uieda
October 27, 2011

Master's defense

Slides from my Master's dissertation defense "Robust 3D gravity gradient inversion by planting anomalous densities".

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Leonardo Uieda

October 27, 2011
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Transcript

  1. Robust 3D gravity gradient inversion by planting anomalous densities Leonardo

    Uieda Orientadora: Valéria C. F. Barbosa 27 de Outubro de 2011 Observatório Nacional
  2. Problema inverso Plantação Dados sintéticos Dados reais Modelagem direta Sumário

    Quadrilátero Ferrífero Introdução O problema Bla Bla Bla ...
  3. • Tradicional • Terrestre e aérea • Fácil • aquisição

    • processamento • interpretação • Diversos métodos de inversão linear • Estima propriedade física Inversão gravimétrica
  4. • Difícil aquisição aérea • Sensível a rotação • Poucos

    métodos até 1990 • Vasco (1989) – Compara resolução e variância • Pedersen e Rasmussen (1990) – Invariantes – Dimensionalidade e strike • Avanços tecnológicos a partir de 1990 Gradiometria gravimétrica
  5. • Melhores tecnologias • Plataforma móvel • Gradiômetros precisos •

    GPS • Processamento • Sensível a fontes rasas • Novos métodos de inversão Avanços recentes
  6. • Adaptações • Li (2001), Zhdanov et al. (2004) •

    Inversão linear (prismas) • Complicações • Muitos dados • Muitos parâmetros • Dificuldades computacionais Novos métodos
  7. • FFT para multiplicação • Dado em grid regular e

    nivelado • Compressão de dados • Portniaguine e Zhdanov (2002) • Li e Oldenburg (2003) • “Moving footprint” • Trunca matriz de sensibilidade Para lidar com isso
  8. • Resolve sistemas lineares • Suave – Li e Oldenburg

    (1998) • Abrupto – Zhdanov et al. (2004) e Silva Dias et al. (2009) • Não resolve sistemas lineares • Busca pseudo­aleatória • Busca sistemática Tipos de métodos
  9. • Busca pseudo­aleatória • Nagihara e Hall (2001): Simulated Annealing

    • Krahenbuhl e Li (2009): Genético • Busca sistemática • Camacho et al. (2000): Growing bodies • René (1986): Shape­of­anomaly (sementes) Não resolve sistemas lineares
  10. • Camacho et al. (2000): Growing bodies • 3D •

    Começa com zeros • Adiciona 1 prisma por vez • 2 contrastes de densidade • Busca em todo modelo interpretativo • Norma mínima (ridge regression) • Corpos isolados Busca sistemática
  11. • René (1986): Shape­of­anomaly • 2D • Começa com sementes

    • 1 contraste de densidade • Adiciona 1 por vez em torno das sementes • Busca “vizinhos” da solução atual • Compacto (sem regularização) • Corpos isolados Busca sistemática
  12. • Baseado em René (1986) • Gradiometria gravimétrica • 3D

    • Começa com sementes • Diversos contrastes de densidade • Compacto (com regularização) • Fontes que não são alvos (não isolado) • “Avaliação preguiçosa” Plantação
  13. N

  14. Tensor Gradiente Gravitacional (∂2 V ∂ x2 ∂2 V ∂

    x ∂ y ∂2 V ∂ x ∂ z ∂2 V ∂ y ∂ x ∂2 V ∂ y2 ∂2 V ∂ y ∂ z ∂2 V ∂ z∂ x ∂2 V ∂ z ∂ y ∂2 V ∂ z2 )
  15. Tensor Gradiente Gravitacional (∂2 V ∂ x2 ∂2 V ∂

    x ∂ y ∂2 V ∂ x ∂ z ∂2 V ∂ y ∂ x ∂2 V ∂ y2 ∂2 V ∂ y ∂ z ∂2 V ∂ z∂ x ∂2 V ∂ z ∂ y ∂2 V ∂ z2 ) Potencial gravitacional
  16. Tensor Gradiente Gravitacional (∂2 V ∂ x2 ∂2 V ∂

    x ∂ y ∂2 V ∂ x ∂ z ∂2 V ∂ y ∂ x ∂2 V ∂ y2 ∂2 V ∂ y ∂ z ∂2 V ∂ z∂ x ∂2 V ∂ z ∂ y ∂2 V ∂ z2 ) Potencial gravitacional Coordenadas cartesianas (ponto de observação)
  17. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yx g yy g yz g zx g zy g zz )
  18. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yx g yy g yz g zx g zy g zz ) ∇×⃗ g=0
  19. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yx g yy g yz g zx g zy g zz ) ∇×⃗ g=0
  20. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yx g yy g yz g zx g zy g zz ) ∇×⃗ g=0
  21. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yx g yy g yz g zx g zy g zz ) ∇×⃗ g=0
  22. Tensor Gradiente Gravitacional (g xx g xy g xz g

    yy g yz ) 5 componentes independentes
  23. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] Prismas

    com omitidos p j =0 Parâmetros
  24. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] Parâmetros

    Prismas com omitidos p j =0
  25. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] Parâmetros

    Prismas com omitidos p j =0 predita g αβ
  26. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] Parâmetros

    Prismas com omitidos p j =0 predita g αβ dαβ
  27. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] dαβ=∑

    j=1 M p j a j αβ Prismas com omitidos p j =0 Parâmetros predita g αβ dαβ
  28. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] dαβ=∑

    j=1 M p j a j αβ Contribuição do j­ésimo prisma Prismas com omitidos p j =0 predita g αβ dαβ g αβ
  29. p= [p 1 p 2 ⋮ p M ] dαβ=∑

    j=1 M p j a j αβ Densidade do j­ésimo prisma Prismas com omitidos p j =0 predita g αβ dαβ
  30. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M

    p j a j Diversas componentes:
  31. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M

    p j a j = A p Diversas componentes:
  32. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M

    p j a j = A p Vetor de parâmetros Diversas componentes:
  33. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M

    p j a j = A p Matriz Jacobiana (sensibilidade) Diversas componentes:
  34. d dxx dxy dxz dyy dyz dzz =∑ j=1 M

    p j a j = A p Vetor coluna de Diversas componentes: A
  35. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N

    (g i −d i )2 )1 2 Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
  36. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N

    (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
  37. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N

    (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
  38. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N

    (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados ϕ( p)=∥r∥1 =∑ i=1 N ∣g i −d i ∣ Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
  39. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N

    (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados ϕ( p)=∥r∥1 =∑ i=1 N ∣g i −d i ∣ Norma ℓ1 de r Vetor de resíduos ϕ(p) Minimizar norma da diferença entre e g d
  40. r=g−d Função do ajuste: ϕ( p)=∥r∥2 = (∑ i=1 N

    (g i −d i )2 )1 2 Norma ℓ2 de r Ajuste de mínimos quadrados ϕ( p)=∥r∥1 =∑ i=1 N ∣g i −d i ∣ Norma ℓ1 de r Ajuste robusto Minimizar norma da diferença entre e g d Vetor de resíduos ϕ(p)
  41. • Prismas • Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2.

    Concentração em torno de “sementes” (sem buracos)
  42. • Prismas • Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2.

    Concentração em torno de “sementes” • Densidades dadas ρs (sem buracos)
  43. 3. Somente ou p j =0 p j =ρs •

    Prismas • Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de “sementes” • Densidades dadas ρs (sem buracos)
  44. 4. da semente mais próxima p j =ρs • Prismas

    • Fornecidas pelo usuário Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração em torno de “sementes” • Densidades dadas ρs 3. Somente ou p j =0 p j =ρs (sem buracos)
  45. 4. da semente mais próxima p j =ρs Vínculos: 1.

    Compacidade 2. Concentração 3. Somente ou p j =0 p j =ρs
  46. Regularização 4. da semente mais próxima p j =ρs Vínculos:

    1. Compacidade 2. Concentração 3. Somente ou p j =0 p j =ρs
  47. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) (Balanço entre ajuste e regularização) Parâmetro

    regularizador Problema vinculado: Minimizar função objetivo
  48. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) Função regularizadora θ( p)=∑ j=1 M

    p j p j +ϵ l j β Problema vinculado: Minimizar função objetivo
  49. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j

    p j +ϵ l j β Distância entre j­ésimo prisma e uma semente Problema vinculado: Minimizar função objetivo Função regularizadora
  50. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j

    p j +ϵ l j β Silva Dias et al. (2009) Problema vinculado: Minimizar função objetivo Função regularizadora Distância entre j­ésimo prisma e uma semente
  51. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j

    p j +ϵ l j β Impõe: • Compacidade • Concentração em torno das sementes Problema vinculado: Minimizar função objetivo Função regularizadora Silva Dias et al. (2009) Distância entre j­ésimo prisma e uma semente
  52. Regularização 4. da semente mais próxima p j =ρs Vínculos:

    1. Compacidade 2. Concentração 3. Somente ou p j =0 p j =ρs
  53. Algoritmo Baseado em René (1986) Regularização 4. da semente mais

    próxima p j =ρs Vínculos: 1. Compacidade 2. Concentração 3. Somente ou p j =0 p j =ρs
  54. Calcular resíduos Prismas com omitidos p j =0 g =

    dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero
  55. Calcular resíduos r(0)=g−d(0) Prismas com omitidos p j =0 g

    = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero
  56. Calcular resíduos r(0)=g−d(0) d = dados preditos Prismas com omitidos

    p j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Predito pelas sementes
  57. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p

    j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j )
  58. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p

    j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j ) Maioria é zero
  59. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p

    j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j ) Maioria é zero
  60. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p

    j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ j=1 M p j a j ) Maioria é zero
  61. Calcular resíduos d = dados preditos Prismas com omitidos p

    j =0 g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S )
  62. r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S

    ) Encontrar vizinhos Calcular resíduos d = dados preditos g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Prismas com omitidos p j =0
  63. r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S

    ) Encontrar vizinhos Calcular resíduos d = dados preditos g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Prismas com omitidos p j =0 Compartilham 1 face
  64. r(0)=g− (∑ s=1 N S ρ s a j S

    ) Vizinhos Encontrar vizinhos Calcular resíduos d = dados preditos g = dados observados Incluir sementes Inicialização: sementes N S Definir modelo interpretativo Parâmetros = zero Prismas com omitidos p j =0 Compartilham 1 face
  65. Acreção à s­ésima semente: Escolher vizinho: Crescimento: Prismas com omitidos

    p j =0 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo
  66. j = escolhido j Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Escolher

    vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Prismas com omitidos p j =0
  67. j = escolhido (Elemento novo) j Crescimento: Acreção à s­ésima

    semente: Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Prismas com omitidos p j =0
  68. p j =ρ s j = escolhido (Elemento novo) j

    Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Prismas com omitidos p j =0
  69. p j =ρ s j = escolhido (Elemento novo) j

    Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo s Prismas com omitidos p j =0
  70. Atualizar resíduos: p j =ρ s j = escolhido Escolher

    vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
  71. Atualizar resíduos: r(new)=g−d(new) p j =ρ s j = escolhido

    Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
  72. Atualizar resíduos: r(new)=g−d(new) p j =ρ s j = escolhido

    Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0 d(new)
  73. Atualizar resíduos: r(new)=g−(d(old )+ p j a j ) p

    j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0 d(new)
  74. Atualizar resíduos: r(new)=g−(d(old )+ p j a j ) p

    j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0 d(new) } r(old)
  75. Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j

    =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
  76. Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j

    =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0 Contribuição de j
  77. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )−

    p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
  78. Tamanhos variados Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos:

    r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: Prismas com omitidos p j =0
  79. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )−

    p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
  80. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )−

    p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0 j
  81. Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem acreção

    Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
  82. Sim Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem

    acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
  83. Sim Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem

    acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
  84. Sim Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem

    acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Prismas com omitidos p j =0
  85. Não Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. = sem

    acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim Prismas com omitidos p j =0
  86. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim Prismas com omitidos p j =0
  87. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes

    de densidade variados Silva Dias et al. (2009) René (1986) Camacho et al. (2000)
  88. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes

    de densidade variados Não resolve sistemas lineares Silva Dias et al. (2009) René (1986) Camacho et al. (2000)
  89. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes

    de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos Silva Dias et al. (2009) René (1986) Camacho et al. (2000)
  90. Retomando as equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a

    j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
  91. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as

    equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
  92. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as

    equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A
  93. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as

    equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A Calcular quando necessárias
  94. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as

    equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A Calcular quando necessárias & apagar após atualização
  95. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores) Retomando as

    equações: r(0)=g− (∑ s=1 N S ρs a j S ) r(new)=r(old)− p j a j Resíduos iniciais Atualização dos resíduos Somente algumas colunas de A Calcular quando necessárias Avaliação preguiçosa (Lazy evaluation) & apagar após atualização
  96. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes

    de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos
  97. Vantagens: Compacta & variações abruptas Qualquer número de alvos Contrastes

    de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos Sem multiplicação de matrizes Avaliação preguiçosa da Jacobiana
  98. Inversão rápida + pouca memória RAM Vantagens: Compacta & variações

    abruptas Qualquer número de alvos Contrastes de densidade variados Não resolve sistemas lineares Busca limitada aos vizinhos Sem multiplicação de matrizes Avaliação preguiçosa da Jacobiana
  99. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim
  100. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim
  101. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ϕ(new)<ϕ(old)
  102. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ϕ(new)<ϕ(old) ϕ( p incluindovizinho)
  103. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ϕ(new)<ϕ(old) ϕ( p semvizinho)
  104. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣ ϕ(old) ⩾δ ϕ(new)<ϕ(old) &
  105. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣ ϕ(old) ⩾δ ϕ(new)<ϕ(old) & δ
  106. Não Fim! Pelo menos uma cresceu? Nenhum satisfaz 1. =

    sem acreção Atualizar resíduos: r(new)=r(old )− p j a j p j =ρ s j = escolhido Escolher vizinho: 1. Diminuir função ajuste 2. Menor função objetivo Crescimento: Acreção à s­ésima semente: N S Sim ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣ ϕ(old) ⩾δ ϕ(new)<ϕ(old) & δ quanto cresce
  107. Parâmetros: δ quanto cresce β Γ( p)=ϕ( p)+μ θ( p)

    θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β μ e
  108. Parâmetros: δ quanto cresce β Γ( p)=ϕ( p)+μ θ( p)

    θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β μ e
  109. Parâmetros: δ quanto cresce β quão concentrada Γ( p)=ϕ( p)+μ

    θ( p) θ( p)=∑ j=1 M p j p j +ϵ l j β μ e
  110. Dados: • 6 componentes • 150m altitude • 26 x

    26 pontos • 676/componente • 4056 observações • Ruído de 5 Eötvös
  111. Dados: • 6 componentes • 150m altitude • 26 x

    26 pontos • 676/componente • 4056 observações • Ruído de 5 Eötvös Modelo interpretativo: • 25000 prismas
  112. Dados: • 6 componentes • 150m altitude • 26 x

    26 pontos • 676/componente • 4056 observações • Ruído de 5 Eötvös Modelo interpretativo: • 25000 prismas Função do ajuste: • Norma ℓ2
  113. • Efeito dos alvos na • Nem tanto nas outras

    • Sementes baseadas em g zz g zz
  114. • Comum em casos reais • Falta de informação a

    priori • Contraste de densidade • Profundidade
  115. • Comum em casos reais • Falta de informação a

    priori • Contraste de densidade • Profundidade • Como estabelecer sementes?
  116. • Comum em casos reais • Falta de informação a

    priori • Contraste de densidade • Profundidade • Como estabelecer sementes? • Difícil (impossível) isolar efeitos
  117. Dados: • 3 componentes • 51 x 51 pontos •

    2601/componente • 7803 observações • Ruído 5 Eötvös
  118. Dados: • 3 componentes • 51 x 51 pontos •

    2601/componente • 7803 observações • Ruído 5 Eötvös Modelo interpretativo: • 37500 prismas
  119. Dados: • 3 componentes • 51 x 51 pontos •

    2601/componente • 7803 observações • Ruído 5 Eötvös Modelo interpretativo: • 37500 prismas Função do ajuste: • Norma ℓ1
  120. Dados: Alvos: • Minério de ferro • BIFs (Formação Cauê)

    • 3 componentes • 13.746 observações • Full Tensor Gradiometry • Quadrilátero Ferrífero
  121. Dados: • 3 componentes • 13.746 observações • Full Tensor

    Gradiometry • Quadrilátero Ferrífero Alvos: • Minério de ferro • BIFs (Formação Cauê)
  122. Inversão: Sementes (minério de ferro): • 46 • Contraste de

    densidade 1,0 g/cm3 • Profundidade 200 m
  123. Inversão: Sementes (minério de ferro): • 46 • Contraste de

    densidade 1,0 g/cm3 • Profundidade 200 m Modelo interpretativo: • 164.892 prismas
  124. Inversão: Sementes (minério de ferro): • 46 • Contraste de

    densidade 1,0 g/cm3 • Profundidade 200 m Modelo interpretativo: • 164.892 prismas Função do ajuste: • Norma ℓ1
  125. • De acordo com interpretações anteriores (Martinez et al., 2010)

    • 46 sementes • 13.746 obs • 164.892 prismas Resultados:
  126. • Tempo = 14 minutos (laptop) • De acordo com

    interpretações anteriores (Martinez et al., 2010) • 46 sementes • 13.746 obs • 164.892 prismas Resultados:
  127. • Novo método de inversão • Dados gradiométricos • Linear

    • Busca sistemática • Limitada aos vizinhos • Conclusões
  128. • Múltiplos alvos • Efeitos gravitacionais interferentes • Fontes que

    não são alvos • Sem multiplicação de matrizes • Não resolve sistemas lineares • Avaliação preguiçosa da Jacobiana • Robusto à escolha de Conclusões μ
  129. • Estima a geometria • Dados contrastes de densidade dos

    alvos • Ideal para corpos: • Contatos abruptos • Propriedades físicas bem definidas – Minério – Intrusões – Domos de sal Conclusões
  130. Futuro • Adaptar para gravidade e magnético • Melhorar critério

    de crescimento • Impor compacidade no algoritmo • Determinação de sementes • Software código aberto