Upgrade to Pro — share decks privately, control downloads, hide ads and more …

Master's defense

Leonardo Uieda
October 27, 2011

Master's defense

Slides from my Master's dissertation defense "Robust 3D gravity gradient inversion by planting anomalous densities".

More information at http://www.leouieda.com

Leonardo Uieda

October 27, 2011
Tweet

More Decks by Leonardo Uieda

Other Decks in Science

Transcript

  1. Robust 3D gravity gradient inversion
    by planting anomalous densities
    Leonardo Uieda
    Orientadora:
    Valéria C. F. Barbosa
    27 de Outubro de 2011
    Observatório Nacional

    View Slide

  2. Sumário

    View Slide

  3. Sumário
    Introdução
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View Slide

  4. Sumário
    Introdução O problema
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View Slide

  5. Modelagem direta
    Sumário
    Introdução O problema
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View Slide

  6. Problema inverso
    Modelagem direta
    Sumário
    Introdução O problema
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View Slide

  7. Problema inverso
    Plantação
    Modelagem direta
    Sumário
    Introdução O problema
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View Slide

  8. Problema inverso
    Plantação Dados sintéticos
    Modelagem direta
    Sumário
    Introdução O problema
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View Slide

  9. Problema inverso
    Plantação Dados sintéticos Dados reais
    Modelagem direta
    Sumário
    Quadrilátero Ferrífero
    Introdução O problema
    Bla
    Bla
    Bla
    ...

    View Slide

  10. Introdução

    View Slide


  11. Tradicional

    Terrestre e aérea

    Fácil

    aquisição

    processamento

    interpretação

    Diversos métodos de inversão linear

    Estima propriedade física
    Inversão gravimétrica

    View Slide


  12. Difícil aquisição aérea

    Sensível a rotação

    Poucos métodos até 1990

    Vasco (1989)
    – Compara resolução e variância

    Pedersen e Rasmussen (1990)
    – Invariantes
    – Dimensionalidade e strike

    Avanços tecnológicos a partir de 1990
    Gradiometria gravimétrica

    View Slide


  13. Melhores tecnologias

    Plataforma móvel

    Gradiômetros precisos

    GPS

    Processamento

    Sensível a fontes rasas

    Novos métodos de inversão
    Avanços recentes

    View Slide


  14. Adaptações

    Li (2001), Zhdanov et al. (2004)

    Inversão linear (prismas)

    Complicações

    Muitos dados

    Muitos parâmetros

    Dificuldades computacionais
    Novos métodos

    View Slide

  15. Grandes matrizes (sensibilidade):

    Memória RAM

    Multiplicação

    Solução de sistemas lineares
    Dificuldades computacionais

    View Slide


  16. FFT para multiplicação

    Dado em grid regular e nivelado

    Compressão de dados

    Portniaguine e Zhdanov (2002)

    Li e Oldenburg (2003)

    “Moving footprint”

    Trunca matriz de sensibilidade
    Para lidar com isso

    View Slide


  17. Resolve sistemas lineares

    Suave
    – Li e Oldenburg (1998)

    Abrupto
    – Zhdanov et al. (2004) e Silva Dias et al. (2009)

    Não resolve sistemas lineares

    Busca pseudo­aleatória

    Busca sistemática
    Tipos de métodos

    View Slide


  18. Busca pseudo­aleatória

    Nagihara e Hall (2001): Simulated Annealing

    Krahenbuhl e Li (2009): Genético

    Busca sistemática

    Camacho et al. (2000): Growing bodies

    René (1986): Shape­of­anomaly (sementes)
    Não resolve sistemas lineares

    View Slide


  19. Camacho et al. (2000): Growing bodies

    3D

    Começa com zeros

    Adiciona 1 prisma por vez

    2 contrastes de densidade

    Busca em todo modelo interpretativo

    Norma mínima (ridge regression)

    Corpos isolados
    Busca sistemática

    View Slide


  20. René (1986): Shape­of­anomaly

    2D

    Começa com sementes

    1 contraste de densidade

    Adiciona 1 por vez em torno das sementes

    Busca “vizinhos” da solução atual

    Compacto (sem regularização)

    Corpos isolados
    Busca sistemática

    View Slide


  21. Baseado em René (1986)

    Gradiometria gravimétrica

    3D

    Começa com sementes

    Diversos contrastes de densidade

    Compacto (com regularização)

    Fontes que não são alvos (não isolado)

    “Avaliação preguiçosa”
    Plantação

    View Slide

  22. Um pouco de teoria

    View Slide

  23. O problema geofísico

    View Slide

  24. View Slide

  25. View Slide

  26. View Slide

  27. N

    View Slide

  28. N (X)

    View Slide

  29. N (X)
    E

    View Slide

  30. N (X)
    E (Y)

    View Slide

  31. N (X)
    E (Y)
    Observações

    View Slide

  32. N (X)
    E (Y)
    Observações

    View Slide

  33. Tensor Gradiente Gravitacional

    View Slide

  34. Tensor Gradiente Gravitacional
    (∂2 V
    ∂ x2
    ∂2 V
    ∂ x ∂ y
    ∂2 V
    ∂ x ∂ z
    ∂2 V
    ∂ y ∂ x
    ∂2 V
    ∂ y2
    ∂2 V
    ∂ y ∂ z
    ∂2 V
    ∂ z∂ x
    ∂2 V
    ∂ z ∂ y
    ∂2 V
    ∂ z2
    )

    View Slide

  35. Tensor Gradiente Gravitacional
    (∂2 V
    ∂ x2
    ∂2 V
    ∂ x ∂ y
    ∂2 V
    ∂ x ∂ z
    ∂2 V
    ∂ y ∂ x
    ∂2 V
    ∂ y2
    ∂2 V
    ∂ y ∂ z
    ∂2 V
    ∂ z∂ x
    ∂2 V
    ∂ z ∂ y
    ∂2 V
    ∂ z2
    )
    Potencial gravitacional

    View Slide

  36. Tensor Gradiente Gravitacional
    (∂2 V
    ∂ x2
    ∂2 V
    ∂ x ∂ y
    ∂2 V
    ∂ x ∂ z
    ∂2 V
    ∂ y ∂ x
    ∂2 V
    ∂ y2
    ∂2 V
    ∂ y ∂ z
    ∂2 V
    ∂ z∂ x
    ∂2 V
    ∂ z ∂ y
    ∂2 V
    ∂ z2
    )
    Potencial gravitacional
    Coordenadas cartesianas
    (ponto de observação)

    View Slide

  37. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yx
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zx
    g
    zy
    g
    zz
    )

    View Slide

  38. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yx
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zx
    g
    zy
    g
    zz
    )
    ∇×⃗
    g=0

    View Slide

  39. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yx
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zx
    g
    zy
    g
    zz
    )
    ∇×⃗
    g=0

    View Slide

  40. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yx
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zx
    g
    zy
    g
    zz
    )
    ∇×⃗
    g=0

    View Slide

  41. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yx
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zx
    g
    zy
    g
    zz
    )
    ∇×⃗
    g=0

    View Slide

  42. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zz
    )

    View Slide

  43. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zz
    )
    ∇2 V =0

    View Slide

  44. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yy
    g
    yz
    g
    zz
    )
    ∇2 V =0

    View Slide

  45. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yy
    g
    yz
    )

    View Slide

  46. Tensor Gradiente Gravitacional
    (g
    xx
    g
    xy
    g
    xz
    g
    yy
    g
    yz
    )
    5 componentes independentes

    View Slide

  47. View Slide

  48. observada
    g
    αβ

    View Slide

  49. observada
    g
    αβ
    gαβ

    View Slide

  50. observada
    g
    αβ
    gαβ

    View Slide

  51. Densidade anômala
    observada
    g
    αβ
    gαβ

    View Slide

  52. Densidade anômala
    Relação funcional
    observada
    g
    αβ
    gαβ

    View Slide

  53. Parametrizar
    observada
    g
    αβ
    gαβ
    Densidade anômala
    Relação funcional

    View Slide

  54. Modelagem direta

    View Slide

  55. View Slide

  56. View Slide

  57. Modelo interpretativo

    View Slide

  58. Modelo interpretativo
    Prisma retangular reto
    j

    View Slide

  59. Modelo interpretativo
    Prisma retangular reto
    Δρ=p
    j
    j

    View Slide

  60. Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  61. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Parâmetros

    View Slide

  62. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    Parâmetros
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  63. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    Parâmetros
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    predita
    g
    αβ

    View Slide

  64. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    Parâmetros
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    predita
    g
    αβ
    dαβ

    View Slide

  65. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    dαβ=∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    αβ
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Parâmetros
    predita
    g
    αβ
    dαβ

    View Slide

  66. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    dαβ=∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    αβ
    Contribuição do j­ésimo prisma
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    predita
    g
    αβ
    dαβ
    g
    αβ

    View Slide

  67. p=
    [p
    1
    p
    2

    p
    M
    ]
    dαβ=∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    αβ
    Densidade do j­ésimo prisma
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    predita
    g
    αβ
    dαβ

    View Slide

  68. dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    Diversas componentes:

    View Slide

  69. d
    dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    Diversas componentes:

    View Slide

  70. d
    dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    =∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    Diversas componentes:

    View Slide

  71. d
    dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    =∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    = A p
    Diversas componentes:

    View Slide

  72. d
    dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    =∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    = A p
    Vetor de parâmetros
    Diversas componentes:

    View Slide

  73. d
    dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    =∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    = A p
    Matriz Jacobiana (sensibilidade)
    Diversas componentes:

    View Slide

  74. d
    dxx
    dxy
    dxz
    dyy
    dyz
    dzz
    =∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    = A p
    Vetor coluna de
    Diversas componentes:
    A

    View Slide

  75. Problema direto:
    p d
    d=∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j

    View Slide

  76. ̂
    p g
    ?
    Problema inverso:

    View Slide

  77. Problema inverso

    View Slide

  78. Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View Slide

  79. r=g−d
    Vetor de resíduos
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View Slide

  80. r=g−d
    Função do ajuste:
    Vetor de resíduos
    ϕ(p)
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View Slide

  81. r=g−d
    Função do ajuste:
    ϕ( p)=∥r∥2
    =
    (∑
    i=1
    N
    (g
    i
    −d
    i
    )2
    )1
    2
    Vetor de resíduos
    ϕ(p)
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View Slide

  82. r=g−d
    Função do ajuste:
    ϕ( p)=∥r∥2
    =
    (∑
    i=1
    N
    (g
    i
    −d
    i
    )2
    )1
    2
    Norma ℓ2 de r
    Vetor de resíduos
    ϕ(p)
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View Slide

  83. r=g−d
    Função do ajuste:
    ϕ( p)=∥r∥2
    =
    (∑
    i=1
    N
    (g
    i
    −d
    i
    )2
    )1
    2
    Norma ℓ2 de r
    Ajuste de
    mínimos quadrados
    Vetor de resíduos
    ϕ(p)
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View Slide

  84. r=g−d
    Função do ajuste:
    ϕ( p)=∥r∥2
    =
    (∑
    i=1
    N
    (g
    i
    −d
    i
    )2
    )1
    2
    Norma ℓ2 de r
    Ajuste de
    mínimos quadrados
    ϕ( p)=∥r∥1
    =∑
    i=1
    N
    ∣g
    i
    −d
    i

    Vetor de resíduos
    ϕ(p)
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View Slide

  85. r=g−d
    Função do ajuste:
    ϕ( p)=∥r∥2
    =
    (∑
    i=1
    N
    (g
    i
    −d
    i
    )2
    )1
    2
    Norma ℓ2 de r
    Ajuste de
    mínimos quadrados
    ϕ( p)=∥r∥1
    =∑
    i=1
    N
    ∣g
    i
    −d
    i

    Norma ℓ1 de r
    Vetor de resíduos
    ϕ(p)
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d

    View Slide

  86. r=g−d
    Função do ajuste:
    ϕ( p)=∥r∥2
    =
    (∑
    i=1
    N
    (g
    i
    −d
    i
    )2
    )1
    2
    Norma ℓ2 de r
    Ajuste de
    mínimos quadrados
    ϕ( p)=∥r∥1
    =∑
    i=1
    N
    ∣g
    i
    −d
    i

    Norma ℓ1 de r
    Ajuste robusto
    Minimizar norma da diferença entre e
    g d
    Vetor de resíduos
    ϕ(p)

    View Slide

  87. Problema

    View Slide

  88. Mal posto
    Problema

    View Slide

  89. Mal posto
    Inexistente
    Não única
    Instável
    Problema

    View Slide

  90. Mal posto
    Inexistente
    Não única
    Instável
    Vínculos
    Problema

    View Slide

  91. Mal posto
    Inexistente
    Não única
    Instável
    Bem posto
    Vínculos
    Problema

    View Slide

  92. Mal posto
    Inexistente
    Não única
    Instável
    Bem posto
    Existente
    Única
    Estável
    Vínculos
    Problema

    View Slide

  93. Vínculos:
    1. Compacidade

    View Slide

  94. Vínculos:
    1. Compacidade (sem buracos)

    View Slide

  95. Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração em torno de “sementes”
    (sem buracos)

    View Slide


  96. Prismas
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração em torno de “sementes”
    (sem buracos)

    View Slide


  97. Prismas

    Fornecidas pelo usuário
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração em torno de “sementes”
    (sem buracos)

    View Slide


  98. Prismas

    Fornecidas pelo usuário
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração em torno de “sementes”

    Densidades dadas ρs
    (sem buracos)

    View Slide

  99. 3. Somente ou
    p
    j
    =0 p
    j
    =ρs

    Prismas

    Fornecidas pelo usuário
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração em torno de “sementes”

    Densidades dadas ρs
    (sem buracos)

    View Slide

  100. 4. da semente mais próxima
    p
    j
    =ρs

    Prismas

    Fornecidas pelo usuário
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração em torno de “sementes”

    Densidades dadas ρs
    3. Somente ou
    p
    j
    =0 p
    j
    =ρs
    (sem buracos)

    View Slide

  101. 4. da semente mais próxima
    p
    j
    =ρs
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração
    3. Somente ou
    p
    j
    =0 p
    j
    =ρs

    View Slide

  102. Regularização
    4. da semente mais próxima
    p
    j
    =ρs
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração
    3. Somente ou
    p
    j
    =0 p
    j
    =ρs

    View Slide

  103. Problema vinculado:

    View Slide

  104. Problema vinculado: Minimizar função objetivo
    Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)

    View Slide

  105. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)
    Função do ajuste
    Problema vinculado: Minimizar função objetivo

    View Slide

  106. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)
    (Balanço entre ajuste e regularização)
    Parâmetro regularizador
    Problema vinculado: Minimizar função objetivo

    View Slide

  107. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)
    Função regularizadora
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    Problema vinculado: Minimizar função objetivo

    View Slide

  108. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    Distância entre j­ésimo
    prisma e uma semente
    Problema vinculado: Minimizar função objetivo
    Função regularizadora

    View Slide

  109. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    Silva Dias et al. (2009)
    Problema vinculado: Minimizar função objetivo
    Função regularizadora
    Distância entre j­ésimo
    prisma e uma semente

    View Slide

  110. Γ( p)=ϕ( p)+μθ( p)
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    Impõe:

    Compacidade ●
    Concentração em torno
    das sementes
    Problema vinculado: Minimizar função objetivo
    Função regularizadora
    Silva Dias et al. (2009)
    Distância entre j­ésimo
    prisma e uma semente

    View Slide

  111. Regularização
    4. da semente mais próxima
    p
    j
    =ρs
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração
    3. Somente ou
    p
    j
    =0 p
    j
    =ρs

    View Slide

  112. Algoritmo
    Baseado em
    René (1986)
    Regularização
    4. da semente mais próxima
    p
    j
    =ρs
    Vínculos:
    1. Compacidade
    2. Concentração
    3. Somente ou
    p
    j
    =0 p
    j
    =ρs

    View Slide

  113. Algoritmo de plantação

    View Slide

  114. Inicialização:

    View Slide

  115. Inicialização: g = dados observados

    View Slide

  116. Inicialização: g = dados observados
    Definir modelo interpretativo

    View Slide

  117. Inicialização:
    Definir modelo interpretativo
    Modelo interpretativo
    g = dados observados

    View Slide

  118. Inicialização:
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    Modelo interpretativo
    g = dados observados

    View Slide

  119. Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    Modelo interpretativo
    g = dados observados

    View Slide

  120. Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    g = dados observados
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  121. Calcular resíduos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero

    View Slide

  122. Calcular resíduos
    r(0)=g−d(0)
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero

    View Slide

  123. Calcular resíduos
    r(0)=g−d(0)
    d = dados preditos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    Predito pelas sementes

    View Slide

  124. Calcular resíduos
    d = dados preditos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    r(0)=g−
    (∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    )

    View Slide

  125. Calcular resíduos
    d = dados preditos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    r(0)=g−
    (∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    )
    Maioria é zero

    View Slide

  126. Calcular resíduos
    d = dados preditos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    r(0)=g−
    (∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    )
    Maioria é zero

    View Slide

  127. Calcular resíduos
    d = dados preditos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    r(0)=g−
    (∑
    j=1
    M
    p
    j
    a
    j
    )
    Maioria é zero

    View Slide

  128. Calcular resíduos
    d = dados preditos
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρ
    s
    a
    j
    S
    )

    View Slide

  129. r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρ
    s
    a
    j
    S
    )
    Encontrar vizinhos
    Calcular resíduos
    d = dados preditos
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  130. r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρ
    s
    a
    j
    S
    )
    Encontrar vizinhos
    Calcular resíduos
    d = dados preditos
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Compartilham 1 face

    View Slide

  131. r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρ
    s
    a
    j
    S
    )
    Vizinhos
    Encontrar vizinhos
    Calcular resíduos
    d = dados preditos
    g = dados observados
    Incluir sementes
    Inicialização:
    sementes
    N
    S
    Definir modelo interpretativo
    Parâmetros = zero
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Compartilham 1 face

    View Slide

  132. Crescimento:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  133. Crescimento:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Acreção à s­ésima semente:

    View Slide

  134. Crescimento:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Acreção à s­ésima semente:
    s

    View Slide

  135. Acreção à s­ésima semente:
    Escolher vizinho:
    Crescimento:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  136. Acreção à s­ésima semente:
    1. Diminuir função ajuste
    Escolher vizinho:
    Crescimento:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  137. Acreção à s­ésima semente:
    Escolher vizinho:
    Crescimento:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo

    View Slide

  138. j = escolhido
    j
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  139. j = escolhido (Elemento novo)
    j
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  140. p
    j

    s
    j = escolhido (Elemento novo)
    j
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  141. p
    j

    s
    j = escolhido (Elemento novo)
    j
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    s
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  142. Atualizar resíduos:
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  143. Atualizar resíduos:
    r(new)=g−d(new)
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  144. Atualizar resíduos:
    r(new)=g−d(new)
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    d(new)

    View Slide

  145. Atualizar resíduos:
    r(new)=g−(d(old )+ p
    j
    a
    j
    )
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    d(new)

    View Slide

  146. Atualizar resíduos:
    r(new)=g−(d(old )+ p
    j
    a
    j
    )
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    d(new)
    }
    r(old)

    View Slide

  147. Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  148. Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    Contribuição de j

    View Slide

  149. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  150. Tamanhos variados
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  151. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  152. Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0
    j

    View Slide

  153. Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  154. Sim
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  155. Sim
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  156. Sim
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  157. Não
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  158. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    Prismas com
    omitidos
    p
    j
    =0

    View Slide

  159. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas

    View Slide

  160. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Silva Dias et al. (2009)
    René (1986)
    Camacho et al. (2000)

    View Slide

  161. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Qualquer número de alvos
    Contrastes de densidade variados
    Silva Dias et al. (2009)
    René (1986)
    Camacho et al. (2000)

    View Slide

  162. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Qualquer número de alvos
    Contrastes de densidade variados
    Não resolve sistemas lineares
    Silva Dias et al. (2009)
    René (1986)
    Camacho et al. (2000)

    View Slide

  163. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Qualquer número de alvos
    Contrastes de densidade variados
    Não resolve sistemas lineares
    Busca limitada aos vizinhos
    Silva Dias et al. (2009)
    René (1986)
    Camacho et al. (2000)

    View Slide

  164. Retomando as equações:

    View Slide

  165. Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    )
    Resíduos iniciais

    View Slide

  166. Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    ) r(new)=r(old)− p
    j
    a
    j
    Resíduos iniciais Atualização dos resíduos

    View Slide

  167. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores)
    Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    ) r(new)=r(old)− p
    j
    a
    j
    Resíduos iniciais Atualização dos resíduos

    View Slide

  168. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores)
    Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    ) r(new)=r(old)− p
    j
    a
    j
    Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
    Somente algumas colunas de A

    View Slide

  169. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores)
    Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    ) r(new)=r(old)− p
    j
    a
    j
    Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
    Somente algumas colunas de A
    Calcular quando necessárias

    View Slide

  170. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores)
    Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    ) r(new)=r(old)− p
    j
    a
    j
    Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
    Somente algumas colunas de A
    Calcular quando necessárias & apagar após atualização

    View Slide

  171. Não há multiplicação de matrizes (somente + vetores)
    Retomando as equações:
    r(0)=g−
    (∑
    s=1
    N
    S
    ρs
    a
    j
    S
    ) r(new)=r(old)− p
    j
    a
    j
    Resíduos iniciais Atualização dos resíduos
    Somente algumas colunas de A
    Calcular quando necessárias
    Avaliação preguiçosa
    (Lazy evaluation)
    & apagar após atualização

    View Slide

  172. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Qualquer número de alvos
    Contrastes de densidade variados
    Não resolve sistemas lineares
    Busca limitada aos vizinhos

    View Slide

  173. Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Qualquer número de alvos
    Contrastes de densidade variados
    Não resolve sistemas lineares
    Busca limitada aos vizinhos
    Sem multiplicação de matrizes
    Avaliação preguiçosa da Jacobiana

    View Slide

  174. Inversão rápida + pouca memória RAM
    Vantagens:
    Compacta & variações abruptas
    Qualquer número de alvos
    Contrastes de densidade variados
    Não resolve sistemas lineares
    Busca limitada aos vizinhos
    Sem multiplicação de matrizes
    Avaliação preguiçosa da Jacobiana

    View Slide

  175. Considerações práticas

    View Slide

  176. no algoritmo de crescimento

    View Slide

  177. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim

    View Slide

  178. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim

    View Slide

  179. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    ϕ(new)<ϕ(old)

    View Slide

  180. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    ϕ(new)<ϕ(old)
    ϕ( p incluindovizinho)

    View Slide

  181. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    ϕ(new)<ϕ(old)
    ϕ( p semvizinho)

    View Slide

  182. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣
    ϕ(old)
    ⩾δ
    ϕ(new)<ϕ(old)
    &

    View Slide

  183. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣
    ϕ(old)
    ⩾δ
    ϕ(new)<ϕ(old)
    &
    δ

    View Slide

  184. Não
    Fim!
    Pelo menos uma cresceu?
    Nenhum satisfaz 1. = sem acreção
    Atualizar resíduos:
    r(new)=r(old )− p
    j
    a
    j
    p
    j

    s
    j = escolhido
    Escolher vizinho:
    1. Diminuir função ajuste
    2. Menor função objetivo
    Crescimento:
    Acreção à s­ésima semente:
    N
    S
    Sim
    ∣ϕ(new)−ϕ(old)∣
    ϕ(old)
    ⩾δ
    ϕ(new)<ϕ(old)
    &
    δ quanto cresce

    View Slide

  185. Parâmetros:

    View Slide

  186. Parâmetros:
    δ quanto cresce

    View Slide

  187. Parâmetros:
    δ quanto cresce
    β
    μ e

    View Slide

  188. Parâmetros:
    δ quanto cresce
    β
    Γ( p)=ϕ( p)+μ θ( p)
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    μ e

    View Slide

  189. Parâmetros:
    δ quanto cresce
    β
    Γ( p)=ϕ( p)+μ θ( p)
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    μ e

    View Slide

  190. Parâmetros:
    δ quanto cresce
    β quão concentrada
    Γ( p)=ϕ( p)+μ θ( p)
    θ( p)=∑
    j=1
    M p
    j
    p
    j

    l
    j
    β
    μ e

    View Slide

  191. Exemplo:

    View Slide

  192. Exemplo: Solução pouco regularizada

    View Slide

  193. Exemplo: Solução bem regularizada

    View Slide

  194. Exemplo: Solução bem regularizada
    Robustez na escolha de μ

    View Slide

  195. Dados sintéticos

    View Slide

  196. Modelo 1

    View Slide

  197. Modelo 1:

    View Slide

  198. Modelo 1:

    View Slide

  199. Modelo 1:

    View Slide

  200. Modelo 1:

    View Slide

  201. Modelo 1:

    View Slide

  202. Modelo 1:

    View Slide

  203. Dados:

    6 componentes

    150m altitude

    26 x 26 pontos

    676/componente

    4056 observações

    Ruído de 5 Eötvös

    View Slide

  204. Dados:

    6 componentes

    150m altitude

    26 x 26 pontos

    676/componente

    4056 observações

    Ruído de 5 Eötvös
    Modelo interpretativo:

    25000 prismas

    View Slide

  205. Dados:

    6 componentes

    150m altitude

    26 x 26 pontos

    676/componente

    4056 observações

    Ruído de 5 Eötvös
    Modelo interpretativo:

    25000 prismas
    Função do ajuste:

    Norma ℓ2

    View Slide

  206. Sementes:

    View Slide

  207. Sementes:

    View Slide

  208. Sementes:

    View Slide

  209. Sementes:

    View Slide

  210. Sementes:

    View Slide

  211. Sementes:

    View Slide

  212. Resultado:

    View Slide

  213. Resultado:

    View Slide

  214. Resultado:

    View Slide

  215. Resultado:

    View Slide

  216. Resultado:

    View Slide

  217. Resultado:

    View Slide

  218. Ajuste:

    View Slide

  219. Ajuste:

    View Slide

  220. Modelo 2

    View Slide

  221. Modelo 2:

    View Slide

  222. View Slide


  223. Efeitos interferentes

    View Slide


  224. Efeitos interferentes

    Difícil separação

    View Slide


  225. Efeitos interferentes

    Difícil separação

    Somente interessado nestes?

    View Slide


  226. Efeitos interferentes

    Difícil separação

    Somente interessado nestes?
    alvos

    View Slide


  227. Efeito dos alvos na g
    zz

    View Slide


  228. Efeito dos alvos na g
    zz

    View Slide


  229. Efeito dos alvos na

    Nem tanto nas outras
    g
    zz

    View Slide


  230. Efeito dos alvos na

    Nem tanto nas outras

    Sementes baseadas em
    g
    zz
    g
    zz

    View Slide


  231. Comum em casos reais

    View Slide


  232. Comum em casos reais

    Falta de informação a priori

    View Slide


  233. Comum em casos reais

    Falta de informação a priori

    Contraste de densidade

    Profundidade

    View Slide


  234. Comum em casos reais

    Falta de informação a priori

    Contraste de densidade

    Profundidade

    Como estabelecer sementes?

    View Slide


  235. Comum em casos reais

    Falta de informação a priori

    Contraste de densidade

    Profundidade

    Como estabelecer sementes?

    Difícil (impossível) isolar efeitos

    View Slide

  236. Procedimento robusto:

    View Slide

  237. Procedimento robusto:

    Sementes para alvos

    View Slide

  238. Procedimento robusto:

    Sementes para alvos

    View Slide

  239. Procedimento robusto:

    Sementes para alvos

    Norma ℓ1
    para ignorar outros efeitos

    View Slide

  240. Procedimento robusto:

    Sementes para alvos

    Norma ℓ1
    para ignorar outros efeitos

    View Slide

  241. Dados:

    3 componentes

    51 x 51 pontos

    2601/componente

    7803 observações

    Ruído 5 Eötvös

    View Slide

  242. Dados:

    3 componentes

    51 x 51 pontos

    2601/componente

    7803 observações

    Ruído 5 Eötvös
    Modelo interpretativo:

    37500 prismas

    View Slide

  243. Dados:

    3 componentes

    51 x 51 pontos

    2601/componente

    7803 observações

    Ruído 5 Eötvös
    Modelo interpretativo:

    37500 prismas
    Função do ajuste:

    Norma ℓ1

    View Slide

  244. Resultados:

    View Slide

  245. Resultados:

    View Slide

  246. Resultados:

    View Slide

  247. Resultados:

    View Slide

  248. Resultados:

    View Slide

  249. Resultados:

    View Slide


  250. Recupera forma dos alvos
    Resultados:

    View Slide


  251. Recupera forma dos alvos

    Tempo para inversão = 2,2 minutos (laptop)
    Resultados:

    View Slide

  252. Ajuste:

    View Slide

  253. Ajuste:

    View Slide

  254. Ajuste:

    View Slide

  255. Dados Reais

    View Slide

  256. Dados:

    3 componentes

    13.746 observações

    Full Tensor Gradiometry

    Quadrilátero Ferrífero

    View Slide

  257. Dados:
    Alvos:

    Minério de ferro

    BIFs (Formação Cauê)

    3 componentes

    13.746 observações

    Full Tensor Gradiometry

    Quadrilátero Ferrífero

    View Slide

  258. Dados:

    3 componentes

    13.746 observações

    Full Tensor Gradiometry

    Quadrilátero Ferrífero
    Alvos:

    Minério de ferro

    BIFs (Formação Cauê)

    View Slide

  259. Inversão:
    Sementes (minério de ferro):

    46

    Contraste de densidade 1,0 g/cm3

    Profundidade 200 m

    View Slide

  260. Inversão:
    Sementes (minério de ferro):

    46

    Contraste de densidade 1,0 g/cm3

    Profundidade 200 m
    Modelo interpretativo:

    164.892 prismas

    View Slide

  261. Inversão:
    Sementes (minério de ferro):

    46

    Contraste de densidade 1,0 g/cm3

    Profundidade 200 m
    Modelo interpretativo:

    164.892 prismas
    Função do ajuste:

    Norma ℓ1

    View Slide

  262. Ajuste:
    Observado
    Predito

    View Slide

  263. Resultados:

    View Slide

  264. Resultados:

    View Slide

  265. Resultados:

    View Slide

  266. Resultados:

    View Slide

  267. Resultados:

    View Slide

  268. Resultados:

    View Slide

  269. Somente prismas com
    contraste zero omitidos
    Resultados:

    View Slide

  270. Somente prismas com
    contraste zero omitidos
    Resultados:

    View Slide

  271. Somente prismas com
    contraste zero omitidos
    Resultados:

    View Slide


  272. 46 sementes ●
    13.746 obs ●
    164.892 prismas
    Resultados:

    View Slide


  273. 46 sementes ●
    13.746 obs ●
    164.892 prismas
    Resultados:

    View Slide


  274. De acordo com interpretações
    anteriores (Martinez et al., 2010)

    46 sementes ●
    13.746 obs ●
    164.892 prismas
    Resultados:

    View Slide


  275. Tempo = 14 minutos (laptop)

    De acordo com interpretações
    anteriores (Martinez et al., 2010)

    46 sementes ●
    13.746 obs ●
    164.892 prismas
    Resultados:

    View Slide

  276. Conclusões

    View Slide


  277. Novo método de inversão

    Dados gradiométricos

    Linear

    Busca sistemática

    Limitada aos vizinhos

    Conclusões

    View Slide


  278. Múltiplos alvos

    Efeitos gravitacionais interferentes

    Fontes que não são alvos

    Sem multiplicação de matrizes

    Não resolve sistemas lineares

    Avaliação preguiçosa da Jacobiana

    Robusto à escolha de
    Conclusões
    μ

    View Slide


  279. Estima a geometria

    Dados contrastes de densidade dos alvos

    Ideal para corpos:

    Contatos abruptos

    Propriedades físicas bem definidas
    – Minério
    – Intrusões
    – Domos de sal
    Conclusões

    View Slide

  280. Futuro

    Adaptar para gravidade e magnético

    Melhorar critério de crescimento

    Impor compacidade no algoritmo

    Determinação de sementes

    Software código aberto

    View Slide

  281. Obrigado

    View Slide