1ª prova de Cálculo Numérico - Teórica

As questões da 1ª prova.

Transcript

1. LNCC UFRJ 1º Prova - Teórica Prof. Paulo R. G. Bordoni
2. Esta 1º prova envolve apenas questões teóricas, conforme prometi. Ela deverá ser devolvida até às 08:00 de 3ª feira, 26/05 e poderá ser feita em duplas.
3. 1. Todo o material envolvendo a resposta deverá ser colocado numa pasta nomeada Prova_CalcNum_Fulano_Cicrano e zipada. 2. A pasta deverá conter uma sub-pasta para cada questão. Em cada sub- pasta: 1. Os dados da questão. 2. A solução da questão em PDF, MANUSCRITA e ESCANEADA. 3. Na mensagem de encaminhamento da lista, o ASSUNTO deverá conter: Prova 1 – Calc.Num. 2015/1. 4. O TEXTO DA MENSAGEM de encaminhamento deverá conter o nome completo (Fulano e Cicrano), o DRE e o e-mail de você e seu parceiro. ATENÇÃO: A solução da prova deve ser encaminhada para o professor@bordoni.info Não vejo motivo para a exigência 2.2 !
4. Sim Mestra, porquê entregar a resposta manuscrita e escaneada? Por dois motivos, minha filha: • Para dificultar o “corte e cola”. • Por que tua letra te identifica.
5. Não inventem Surfista e Loirinha. Se vocês seguirem exatamente esse processo facilitarão o meu trabalho.
6. A 1ª questão não poderia ser outra: Definir Cálculo Numérico. Justificar e comentar detalhadamente os aspectos envolvidos na definição. Acrescentem ao texto um resumo do artigo “The definition of numerical analysis” da autoria de Lloyd N. Trefethen. O artigo está no Site do Mestre, na aba Leituras adicionais.
7. A 2ª questão explora a aritmética finita do IEEE 754, algoritmos e a matemática do contínuo. Ela envolve a definição de derivada de uma função : (, ) → ℝ: = lim ℎ→0 + ℎ − ℎ
8. 1. Receber as expressões () e () que permitem calcular o valor em = de uma função f e da sua derivada Df. 2. Receber um valor real 0 < ℎ < 1 para gerar uma sequência ℎ = ℎ, = 1, …, tal que lim →∞ ℎ = 0 . 3. Definir a sequência de quocientes de Newton = ( + ℎ − ())/ℎ que aproximam , isto é, lim →∞ = () . 4. Receber um inteiro > 0 e calcular os valores ℎ , e , = 1, … , , sendo = − () . 5. Apresentar a tabela desses valores. O Mestre fez um programa para:
9. 1 Aqui simplesmente descrevo o objetivo do programa, suas entradas e saídas.
10. 2 Nesta parte estão as entradas do programa: 1. A expressão () da função f. 2. A expressão () da derivada da função f. 3. O valor = onde calcular () e (). 4. O valor de h. 5. O número N de elementos das três sequências (ℎ ), ( ), ( ) .
11. 3 Aqui gero as sequências (ℎ ), ( ), ( ) e construo uma tabela para exibi-las.
12. Este programa será executado quatro vezes para = , = 1 e: 1. Precisão simples e ℎ = 1/2. 2. Precisão simples e ℎ = 1/10. 3. Precisão dupla e ℎ = 1/2. 4. Precisão dupla e ℎ = 1/10. Observe que cada execução corresponde a um algoritmo distinto.
13. Nesta 1ª parte do programa definimos = e escolhemos = 1. Ela se repete nos 4 algoritmos.
14. As entradas do Algoritmo 1: • ℎ = 1/2, • float 32 nos cálculos, • = 30. Os resultados estão na transparência a seguir.
15. Saída do Algoritmo 1.
16. Observe no Algoritmo 1 que: 1. Para = 1 até = 12, o valor de indica convergência, com 12 = 2.71850 … 0, e o erro decaindo até 12 = 0.000468, 2. Para = 12 até = 17 o valor de estaciona em = 2.71850 … 0, com o mesmo erro anterior, 3. Depois, para = 17 até = 26 o valor de cresce, até 26 = 16. , 4. De = 27 em diante o valor de é o mesmo, = 0.0 … 0 , e = 2.718281 … . Questão 1: explicar detalhadamente tal comportamento.
17. As entradas do 2º algoritmo: • ℎ = 1/10, • cálculos com float 32 • = 15. Os resultados estão na transparência a seguir.
18. Saída do algoritmo 2.
19. Observe no Algoritmo 2 que: 1. Para = 1 até = 5, o valor de indica convergência, com 5 = 2.7179 …, e o erro decaindo até 0.0003..., 2. Para = 6 e = 7 o erro aumenta: 6 = 0.1 e 7 = 0.3, 3. Depois, para = 8 em diante = 0.0 … 0 e = 2.718281 … = e. Questão 2: comparar esses resultados com os do Algoritmo 1 e justificar as diferenças.
20. As entradas do 3º algoritmo: • ℎ = 1/2, • cálculos com float 64, • = 30. Os resultados estão na transparência a seguir.
21. Saída do algoritmo 3.
22. Observe no Algoritmo 3 que: 1. Para = 1 até = 12, o valor de indica convergência, com 12 = 2.718951 …, e o erro decaindo até 12 = 0.0006700, de forma muito semelhante ao Algoritmo 1, 2. Para = 13 em o valor de cresce cada vez mais e o valor do erro também. Questão 3: comparar esse comportamento com o do Algoritmo 1 e explicar as diferenças/semelhanças.
23. As entradas do 4º algoritmo: • ℎ = 1/10, • float 64 nos cálculos, • = 15. Os resultados estão na transparência a seguir.
24. Saída do algoritmo 4
25. Questão 4: comparar esses resultados com os do Algoritmo 2 e explicar a grande discrepância de comportamento entre ambos. Observe no Algoritmo 4 que: 1. Para = 1 até = 4, o valor de indica convergência, com 4 = 2.7192, e o erro decaindo até 0.00096..., 2. Depois, para = 5 em diante e o erro crescem, de forma ilimitada.
26. Espero respostas bem definidas baseadas na aritmética finita do IEEE 754, nos números de condicionamento dos cálculos envolvidos e na estabilidade/instabilidade dos algoritmos envolvidos.
27. Desejamos sucesso a todos!