Álgebra Linear Computacional I

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1. Álgebra linear computacional I Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. A paisagem é magnífica; há muita coisa a ser vista!
3. Álgebra linear Apresentação Rotinas básicas Decomposições Funções matriciais Matrizes especiais Agora vamos explorar as fatorações (Decompositions) existentes na scipy.linalg.
4. A famosa fatoração LU.
5. Rotinas existentes na Referência da scipy.linalg para a fatoração LU.
6. Sim, de = , segue que det() = det det det(). Veremos que L só possui 1’s na diagonal e que P é ortogonal. Assim, det = ± det = ±11 22 ⋯ A fatoração = permite calcular det().
7. Mestre, que outras vantagens Maria Loirinha leva com essa tal de fatoração LU? Antes do Mestre te responder, jovem, proponho que discuta com seus colegas sobre essa cultura de levar vantagem em tudo. Grande Filósofo!
8. Respondendo tua pergunta, Loirinha: Tendo a fatoração = , resolver o sistema linear = é equivalente a resolver = . Então resolvemos primeiro o sistema = e depois o = . Note que esses dois são sistemas triangulares, facílimos de resolver! Conforme já vimos, o maior trabalho reside em fatorar (i.é, efetuar o processo de eliminação).
9. Os detalhes para usar a linalg.lu( ):
10. O que linalg.lu( ) retorna:
11. A rotina pode efetuar o pivotamento por linha (ou não). Ela retorna: • as três matrizes P, L e U • ou apenas duas, a PL que é a triangular inferior permutada e a U.
12. Conferindo a fatoração LU:
13. Um 1º exemplo em que não necessidade de trocas de linhas,
14. Já neste exemplo é evidente a necessidade de permutar a L0 com a L2 e depois a L2 com a L3. Atente para as matrizes A e P.
15. Uma outra forma de chamar a fatoração LU da SciPy. Como no 1º exemplo, não houve a necessidade de pivotamento.
16. Chamando a 2ª forma da fatoração LU da SciPy. Agora com pivotamento.
17. Esta é lu_factor( ) que efetua a fatoração . Ela recebe a matriz A e retorna uma matriz contendo a fatoração LU e um vetor P contendo os índices de pivoteamento.
18. Os parâmetros retornados. Esta rotina usa a LAPACK.
19. Esta rotina recebe a fatorada LU e o vetor piv fornecidos pela lu_factor( ). Recebe também o termo independente b e retorna a solução x.
20. Resolvendo um sistema linear Ax = b via fatoração LU com pivotamento.
21. Ela é boa para resolver sistemas Ax=b com muitos b’s, mas a mesma A.
22. Vejam, entrei com uma matriz 4x4 e 2 termos independentes. Poderiam ser muitos: 10, 50, etc.
23. Uma brevíssima explicação do que é a fatoração de Cholesky.
24. É essa a ideia Surfista. Além disso, vale a volta; veja na próxima transparência! Confirmando, se A é simétrica e positiva definida está garantida a existência de uma matriz triangular superior tal que = . É como se U fosse a raiz quadrada de A, Mestre, pois 2 = = .
25. Suponha que uma matriz não-singular A possa ser fatorada na forma = , com U triangular superior. Então A será simétrica e definida positiva. É difícil provar isto Mestra?
26. E também que A é definida positiva, isto é ≠ 0 ⟹ > 0. De fato assumindo ≠ 0 e = teremos ≠ 0, devido à não-singularidade de U. Então = () = = = 2 > 0. Bem, minha querida, de = segue que: • A é simétrica, pois = ()= ()= = • U é não-singular, pois det()2 = det() = det() ≠ 0.
27. As rotinas do SciPy para a fatoração de Cholesky.
28. A explicação para passagem de parâmetros.
29. Surfistas e Loirinhas, fiz este programa usando a fatoração de Cholesky.
30. Uma execução. Deixo a cho_fator() e a cho_solve() para vocês.
31. Esta rotina só efetua a fatoração. Deve ser usada com a cho_solve().
32. Fácil, fácil. Só troquei o nome da rotina e acrescentei o parâmetro de retorno Eh_inf.
33. Fácil nada, você errou. O apressado come cru! Repeti os dados da Mestra e não conferiu.
34. Errou porque não prestou atenção no aviso: Vou corrigir!
35. Foi só aplicar a rotina triu() na Cho. Vejam o resultado a seguir:
36. Como você disse Surfista, fácil, fácil!
37. Esta rotina resolve o sistema após fatorado pela rotina cho_factor().
38. Vou resolver o sistema linear abaixo. A matriz do sistema é a do exemplo anterior. 5 2 1 0 2 7 3 1 1 0 3 1 6 −1 −1 2 = 1 2 3 4
39. O Mestre chamou a Cho_fator() e depois a Cho_solve(). Percebam que ele não precisou zerar a parte inferior da matriz Cho. Além disso, b entrou como vetor-linha e foi transformado em vetor-coluna.
40. A execução, com conferência a resposta.
41. Esta é específica para matrizes de banda. Só fatora.
42. Esta resolve o sistema linear, após a fatoração pela cholesky_banded().
43. Façam um programa para resolver um sistema linear = no qual , além de ser simétrica e positiva-definida, também é de banda. Vai cair na prova Mestra?
44. As três aulas anteriores foram dedicadas à
45. Para entender o significado da norma de uma matriz, passaremos a examinar a transformação linear associada a uma matriz.
46. Este livro é o clássico dos clássicos sobre álgebra linear computacional. Vamos até reproduzir seu Sumário.
48. Este é outro clássico peso-pesado em álgebra linear computacional. Também vamos reproduzir seu Sumário.
49. São livros de cabeceira para quem for fazer pós-graduação em computação científica, matemática aplicada ou análise numérica.
50. O conteúdo desses dois livros é a definição mais apropriada de Álgebra linear computacional. Invista em você. Adquira os dois livros!
51. O conceito de função é, com certeza, o mais importante da matemática. Elas são o objeto do Cálculo diferencial e integral. Em particular, vamos considerar funções de um espaço vetorial U em um outro espaço vetorial V : : → , ∈ ⟼ = () ∈ .
52. Em outras palavras, funções : → tais que: • + ⟼ ( + ) = + , • ⟼ = (). Tais funções recebem o nome especial de transformações lineares. Particularizando ainda mais: funções : → de um espaço vetorial U para outro V que preservam as operações nativas de U e V.
53. = A ℝ ℝ Matrizes × definem transformações lineares de ℝ em ℝ através da multiplicação matriz x vetor. Uma matriz 3 x 4 define uma transformação linear ∶ ℝ4 → ℝ3, através da multiplicação: 1 2 3 = 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 1 2 3 4
54. Lembrem-se que: Se A é uma matriz m x n então: • + = + , ∀, ∈ ℝ • = , ∀ ∈ ℝ , ∀ ∈ ℝ Que são as condições de linearidade.
55. Um exemplo simples de ℝ2 em ℝ2 é 1 2 ⟼ 1 2 = −1 2 2 −3 1 2 que corresponde ao par de igualdades ቊ 1 = −1 + 22 2 = 21 − 32
56. 1 y x A bola unitária no espaço euclidiano ℝ é o conjunto 2 = ∈ ℝ | 2 ≤ 1 . Ela descreve o conjunto 2 + 2 + 2 ≤ 1, que nossa intuição entende por uma bola (de futebol) no espaço euclidiano ℝ3. No plano seria como um CD (dos Beatles).
57. 1 1 -1 -1 y x A bola unitária no espaço ℝ com a norma da soma é o conjunto 1 = ∈ ℝ | 1 ≤ 1 . No ℝ2 ela corresponde ao conjunto definido pela desigualdade + ≤ 1, mostrado na figura.
58. 1 1 -1 -1 y x A bola unitária no espaço ℝ com a norma do máximo é o conjunto ∞ = ∈ ℝ | ∞ ≤ 1 . No ℝ2 ela corresponde ao conjunto definido pela desigualdade max{ , } ≤ 1, mostrado na figura.
59. Surfista, não vá jogar bola com 1 ou ∞ . Você pode se machucar! É, são bolas que escapam da nossa intuição euclidiana.
60. As equações correspondentes são ቊ 1 = 1 2 = −2 . Vemos que ela mantém a 1ª coordenada e troca o sinal da 2ª coordenada. Em outras palavras, realiza uma reflexão no eixo-x. A matriz = 1 0 0 −1 aplicada num vetor X fornece : 1 2 ⟼ 1 2 = 1 0 0 −1 1 2
61. O programa a seguir mostra a ação de uma matriz M sobre um vetor . Ele permite escolher a matriz M e o vetor .
62. Este é o programa.
63. Uma execução do programa. Em azul temos o vetor e em vermelho o vetor = X Vemos claramente que M realiza uma reflexão no eixo-x.
64. Outra execução do programa. Em azul o vetor e em vermelho o vetor = .
65. O programa da próxima transparência permitirá a visualização da ação de uma matriz M qualquer sobre um triângulo ABC escolhido livremente. Mostraremos alguns exemplos com diferentes matrizes M. Surfista, faça outros exemplos exploratórios.
66. O programa a seguir mostra a ação de uma matriz M de ordem 2 sobre um triângulo ABC.
67. Comecemos conferindo que a matriz = 1 0 0 −1 do exemplo anterior efetua uma reflexão entorno do eixo-x.
68. Entretanto a vizualização da ação da matriz = 0.5 0 0 1.5 sobre o triângulo azul não conduz a conclusões evidentes.
69. Já usando um triângulo com um lado paralelo ao eixo-x e outro paralelo ao eixo- y percebemos que M efetua uma contração no eixo-x e uma dilatação no eixo-y.
70. Já a ação desta matriz M é complicada de descrever.
71. A matriz M definida por = cos() −() () cos() , quando aplicada num vetor v efetua uma rotação de ângulo no sentido horário em v. Isto é, se = então o ângulo entre v e u, medido de v para u é de radianos.
72. Fiz um programa que recebe um quadrado arbitrariamente escolhido e gira-o no sentido horário de uma quantidade escolhida de graus..
73. Uma rotação de 45º e outra de 90º. Notem que na rotação a norma dos vetores (e portanto dos objetos construídos com eles) permanece inalterada.
74. O código do programa. Ficou longo porque optei pela didática.
75. O final do código do programa..
76. x x I A matriz identidade I é uma matriz quadrada de ordem n com 1’s na diagonal e 0’s fora dela. A identidade, como transformação linear não faz nada! ℝ ℝ I x = x
77. Uma matriz M muito próxima da identidade = 1 0 0 1 . Se M fosse a identidade I veríamos apenas o triângulo rosa, cobrindo o azul.
78. x y A z B ℝ ℝ ℝ BA O produto BA de uma matriz B por uma matriz A corresponde à aplicação linear composta de A seguida por B:
79. Lembrem-se que a multiplicação de matrizes não é comutativa. Na aula passada exibimos um programa que mostra que, usualmente, ≠ . Por exemplo, para = 1 2 1 2 e = −1 1 1 −1 temos = 1 −1 1 −1 e = 0 0 0 0 .
80. A inversa de uma matriz quadrada A de ordem n é uma matriz quadrada B de ordem n tal que ∙ = ∙ = Existem matrizes que não possuem inversa – são não-inversíveis. Uma matriz não possui mais que uma inversa. Além disso, a inversa da inversa é a própria!
81. Prova-se que A é inversível quando, e apenas quando, é não-singular, i.é, det() ≠ 0 Entretanto, verificar se det() ≠ 0 para saber se A é inversível é uma técnica nunca utilizada em Álgebra linear computacional.
82. x y A A-1 ℝ ℝ x y A x A-1 ℝ ℝ ℝ I Pela própria definição, a inversa A-1 de uma matriz A , quando considerada como aplicação linear, desfaz a ação de A.
83. Voltando às rotinas básicas do foquemos nossa atenção no tópico “Achando a inversa”. Rotinas básicas Achando a inversa Resolvendo sistemas lineares Achando o determinante Calculando normas Resolvendo problemas lineares de mínimos quadrados e pseudo-inversas Inversa generalizada
84. Vejam o que Tutorial do scipy.linalg informa sobre a inversa de uma matriz:
85. Indo à Referência e clicando em inv( ) obtive as informações abaixo:
86. Obtendo a inversa de uma matriz A e conferindo.
87. Vejam a ação de uma matriz não-inversível M sobre um triângulo: Não há como desfazer a ação da M sobre o trtiângulo!
88. Essa matriz é quase não- inversível. Vejam como ela achata um triângulo:
89. Pedi ao Mestre para fazer um programa parecido àquele que mostra o efeito visual da ação de uma matriz num triângulo. Mas para a matriz inversa! Ele fará Loirinha, você é a queridinha dele!
90. O seu pedido satisfeito, Loirinha!
91. Verificando as ações de uma matriz e sua inversa, como transformações lineares. O deslocamento é um artifício para enxergarmos o efeito da inversa (em verde).
92. Toda esta recordação sobre o efeito sobre polígonos das transformações lineares associadas às matrizes será utilizada na próxima aula!
93. Tchau, até a próxima aula!