Espaços de funções

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1. Espaços de funções Prof. Paulo R. G. Bordoni LNCC UFRJ
2. O Mestre e a Mestra farão, a seguir, um bate-bola envolvendo comentários fundamentais amarrando coisas que estudamos até agora.
3. A Álgebra se ocupa das operações entre entes matemáticos, como os números. Os inteiros, naturais, racionais, reais e complexos. Não apenas. Criada no século XX, ela constitui um dos grandes campos de estudo da Matemática, envolvendo entidades mais sofisticadas que números.
4. Sim, entes como os quaternions, vetores, matrizes, funções e operadores. As estruturas algébricas como anéis, grupos, corpos, espaços vetoriais, álgebras e álgebras linear resumem propriedades comuns das operações entre esses entes abstratos.
5. Elas são constituídas por um ou mais conjuntos e uma ou mais operações definidas entre os elementos desses conjuntos satisfazendo um determinado grupo de propriedades. Estruturas algébricas são entidades matemáticas altamente abstratas
6. Por exemplo, números reais, números complexos, matrizes e polinômios constituem álgebras com as operações de adição e multiplicação entre seus elementos. O computador (leia: processador) só vem munido das operações elementares básicas: +, −,×,÷ .
7. Essas operações elementares são realizadas no computador através do padrão IEEE 754, revisado em 2008. Já vimos, e isso. É parte fundamental do aprendizado de Cálculo Numérico, que elas NÃO satisfazem todas as propriedades de uma álgebra.
8. Todas as operações nas Estruturas Algébricas são definidas através de funções! Função, é um conceito matemático abstrato fundamental e omnipresente na matemática, na ciência e na tecnologia.
9. Sim, nos Cálculos aprende-se a derivar e integrar funções, de uma ou mais variáveis. E também a analisar o comportamento de uma função, traçar seu gráfico, etc. Funções são o objeto de estudo/trabalho do Cálculo Diferencial e Integral.
10. A medida de tamanho (norma) de um vetor é definida através de funções. Lembrem-se há mais de uma forma de medir tamanho de vetor.
11. A ação de matrizes em vetores é descrita olhando a matriz como um operador linear entre espaços vetoriais. O Teorema da decomposição em valores singulares, SVD, interpreta essa ação.
12. A norma (tamanho) de uma matriz é definida como uma medida da deformação máxima causada pela matriz como um operador linear (uma função). Para matrizes, assim como para os vetores, é possível definir mais de uma norma. As NumPy e SciPy fornecem formas de calculá-las.
13. Essas normas são funções (programas) que recebem vetores ou matrizes e devolvem números. Funções!
14. Neste conjunto de transparências vamos apresentar uma classe de espaços vetoriais realmente importantes: os espaços de funções.
15. Se tudo sobre espaços vetoriais se resumisse ℝ, ℂ e ℳ×, o mundo seria pobre. As mais belas instâncias de espaços vetoriais serão apresentados pela Mestra, que se vestiu apropriadamente para mostrá-los!
16. São os espaços de funções : → ℝ, cujo domínio é um conjunto qualquer X e a valores reais, anotado ℱ(, ℝ).
17. Algumas funções do conjunto ℱ(, ℝ), quando = [−1,1]. São vetores abstratos Loirinha!
18. O programa que mostra algumas funções (vetores) de ℱ([−1, 1], ℝ).
19. Mas funções são vetores?! Esqueça as flechas, Loirinha!
20. Sim, minha filha! Podemos somar funções e também multiplicá-las por números. Esqueça as flechas, Loirinha!
21. E a soma é definida ponto-a-ponto. Repetindo: podemos somar funções de ℱ(, ℝ).
22. Ponto-a-ponto como? Para , ∈ ℱ , ℝ , a soma + é a nova função definida por + = + (), para cada ponto ∈
23. Esse é o caráter dual das funções: são vetores de ℱ , ℝ definidos ponto a ponto. Never forget it!
24. Numericamente, podemos ver a soma e a multiplicação por fator de escala através de tabelas, para uns poucos valores de . É preciso olhar linha por linha, isto é, ponto a ponto!
25. Sim! E em cada linha da tabela, vemos que: ( + )() = () + () e ( ∙ ) = ∙ ().
26. Sim Loirinha, você acabou de enunciar o caráter dual das funções: vetores calculados em cada ponto do domínio.
27. Mestre, agora mostre a soma de funções, graficamente. Seu pedido é uma ordem! Mostrarei a soma de duas funções , ∈ ℱ( , , ℝ) , com expressões genéricas para e .
28. Observem o caráter dual: para cada ponto ∈ [−1,1], a coordenada y em vermelho é a soma das coordenadas y em azul e verde: + = + (). E fazendo isso para cada ponto ∈ [−1,1] obtemos + .
29. Nesta página: A. Entrada do intervalo [. ] e vetorização de sua partição; B. Entrada da expressão de e difusão para ; C. Entrada da expressão de g e difusão para ; D. Entrada do valor de e cálculo de () e (); E. Cálculos de valores máximos e mínimos para o gráfico; Destaquei cada passo do programa A B C D E
30. Aqui o código da parte gráfica. Os gráficos de , , + e do ponto e de seus valores , , + () estão marcados em vermelho. A parte marcada em azul é embelezamento. F G Nesta página: F. Plotagem dos gráficos; G. Embelezamento
31. Para enfatizar o caráter dual, fiz um outro programa que mostra a “evolução” da soma + quando avança sobre o eixo-.
32. Sim, as imagens mostram o intervalo [0, ] marcado em vermelho pelo “slider” e instantâneos de + (em vermelho) sobre o intervalo [0, ], para 3 valores distintos de .
33. Nas figuras, vemos claramente que + é uma soma de segmentos orientados: 0: ( + )() = 0: () + 0: ().
34. O programa que gera o gráfico da soma, ponto-a-aponto, com o “slider”.
35. Sim, se ∈ ℱ(, ℝ) e ∈ ℝ o produto ∙ é a nova função de ℱ(, ℝ) definida para cada ∈ por ∙ = ∙ Também podemos escalar uma função ∈ ℱ(, ℝ).
36. O Mestre fez um programa que mostra os gráficos de uma função em vermelho e, em azul, a função 2 (a escalada de = 2). = np. sin(np. pi ∗ ) 2.∗ ()
37. Observem o caráter dual = 2 ∙ : significa que para cada ponto ∈ [−1,1], a coordenada y em azul é o dobro da coordenada y em vermelho. = np. sin(np. pi ∗ ) 2.∗ ()
38. Este é início do programa. Nesta parte pedimos o intervalo [a, b], a expressão () da f e o fator de escala L. Então devolvemos os gráficos da f e da escalada ∙ da f.
39. Esta é a parte do código que permite exibir graficamente a função f e sua escalada ∙ .
40. O Mestre também fez um programa com o “slider”que mostra a “evolução” (ao longo do eixo-) da multiplicação por um fator de escala A.
41. As imagens mostram fotos de A ∙ desenhada, em vermelho, nos intervalos [0, ] marcados em vermelho pelo “slider”, para vários valores de
42. Agora, vemos claramente que A ∙ é um múltiplo do segmento orientado: 0: (A ∙ )() = A ∙ 0: ()
43. O programa que gera o gráfico da multiplicação por fator de escala, ponto-a- ponto, com o slider:
44. Vamos fazer um pouco de Cálculo Numérico: construir a regra trapezoidal para aproximar a integral definida.
45. Lembrem-se, a área de um trapézio é dada por: = (+)∗ℎ 2 . h
46. a b f(a) f(b) Para uma função linear (cujo gráfico é uma reta), temos ATrap = f a +f b ∗(b−a) 2 . Naturalmente, ׬ = .
47. b = xn+1 f(x0 ) f(x1 ) f(xn ) f(xn+1 ) xn a = x0 x1 x2 T0 T1 Tn-1 Tn Podemos aproximar a ׬ somando as áreas dos trapézios, como na figura abaixo: න ≅ 0 + 1 + ⋯ + −1 + Confiram, que fazendo a continha obtemos: න ≅ ℎ 2 0 + +1 + 2 ෍ =1 ( ) onde ℎ = +1 − , para = 0, 1, ⋯ , .
48. b = xn+1 f(x0 ) f(x1 ) f(x n ) f(xn+1 ) xn a = x0 x1 x2 T0 T1 Tn-1 Tn Farei um programa para calcular uma aproximação, via regra trapezoidal composta, para a integral definida de uma função usando a NumPy. Quero sua ajuda Manuel!
49. A ajuda da NumPy sobre uma função para somar os elementos de um vetor, a função sum( ).
50. Os detalhes da função sum( ).
51. O retorno da função sum( ).
52. Vou mostrar primeiro os resultados do programa. Tanto os numéricos como o gráfico.
53. Primeiramente, vou analisar, passo-a-passo, o código dos cálculos numéricos. Ótimo Mestre, assim ficará mais fácil de acompanhar e entender.
54. Entrando com: 1. o intervalo de integração 2. o número de subintervalos para a regra trapezoidal. 1 2
55. 3. Definindo a função () a integrar. 4. Criando a partição do intervalo , e pegando o passo h. 3 4
56. 5. Calculando os valores = ( ) para ∈ , por difusão. 6. Calculando a aproximação Trap para a integral ׬ ≅ ℎ 2 0 + +1 + 2 σ=1 . 5 6
57. Dados de entrada (input): 1. O intervalo [, ] de integração. 2. O tamanho N+1 da partição [, ]. 3. A função () a integrar. Cálculos efetuados: 4. Geração da partição [, ] (usando a função linspace( ) da NumPy geramos uma partição uniforme, obtendo o vetor X e o passo h). 5. Cálculo dos valores = , ∈ (usando vetorização/difusão, obtendo o vetor Y1). 6. Cálculo da soma ℎ 2 0 + +1 + 2 σ=1 (usando a função sum( ) da NumPy) das áreas dos trapézios. Resultados exibidos: 7. A aproximação Trap para a integral ׬ . 8. O valor exato da integral, dado por ln − ln(). Portanto o algoritmo construído para calcular uma aproximação Trap para a integral ׬ é:
58. Agora vou analisar, passo-a-passo, o código da parte gráfica. Tornamos a agradecer Mestre. Assim nossa vida ficará mais fácil.
59. 1. Começamos gerando um vetor Y2 como o vetor X (e o Y1) com todas as componentes nulas. 2. Depois calculamos uma folga f_h de 5% do tamanho do intervalo [a,b]. 4. usando a função sum() 1 2 f_h f_h
60. 4. usando a função sum() 3 4 f_v f_v 3. Calculamos os valores máximo - M e mínimo - m, do vetor Y1 (usando as funções amax( ) e amin( ) da NumPy). 4. Depois calculamos uma folga f_v de 5% do tamanho do intervalo [m,M].
61. 4. usando a função sum() 5 6 5. Geramos o gráfico (em vermelho) da função f (usando a função plot( ) da MatPlotLib, com o label f(t), conforme já vimos). 6. Pintamos de amarelo a região entre a curva f e o eixo-x, do início ao fim do intervalo (usando a função fill_betwen( ) da MatPlotLib). Veja mais sobre a fill_betwen a seguir.
62. 4. usando a função sum() 7 8 7. Desenhamos os segmentos verticais tracejados e em preto pelos pontos a e b, até a curva f (usando a função plot( ) da MatPlotLib, já vista). 8. Escrevemos o título, posicionamos a legenda e nomeamos os eixos (usando as funções correspondentes da MatPlotLib, já vistas).
63. 4. usando a função sum() 9 9. Posicionamos e desenhamos os eixos x e y(usando as funções correspondentes da MatPlotLib, já vistas). 10. Acrescentamos uma grade ao gráfico(usando a função grid() da MatPlotLib, já vista). 9 10
64. 4. usando a função sum() 11 11. Calculamos os extremos A, B e Ym, YM da região para desenhar o gráfico (para dar um aspecto visual agradável). 12. Desenhamos a região que contém o gráfico. 12 A Ym B YM
65. Fui buscar ajuda na API da MatPlotLib. Escolha a aba pyplot e depois clique no que você procura.
66. Aí estão as explicações sobre fill_betwen( ).
67. Lembrem-se, para a > 0, න 1 = ln − ln()
68. Executamos o programa para N = 100 e N = 200. Uma forma de conferir a precisão obtida, sem conhecer a expressão algébrica da integral.
69. Mestra, vejo uma função trapz( ) no help da NumPy!
70. A ajuda da NumPy sobre a função trapz( ):
71. Aproveitei o programa da Mestra para mostrar a utilização da função trap( ) da NumPy. Mudei também o integrando para = (2)
72. Agora só mudei os limites de integração.
73. Usando a fill_between( ) para delimitar a área entre duas funções f(t) e g(t)
74. Usando a fill_between( ) para delimitar a área entre a f(t) - g(t) e o eixo-x.
75. Lembrem-se o operador de integração é linear, assim a integral da soma é a soma das integrais: න − = න − න 2ª figura (em ouro) 1ª figura (em canário)
76. Vou mostrar agora como calcular o tamanho de uma função.
77. Destacaremos os aspectos fundamentais da medição de tamanho de vetores “flechinha” e os transportaremos para as funções. Lembre-se das flechinhas, Loirinha!
78. Como para as flechinhas, Loirinha! O tamanho de qualquer vetor de um espaço vetorial será indicado por .
79. Nenhuma flecha tem tamanho negativo! Tamanho nunca é negativo. Mais que isso, se o tamanho de um vetor é zero ele tem que ser o vetor nulo.
80. A forma matemática de descrever esse fato é: • ≥ 0 • = 0 ⇒ = 0 Em particular para funções (lembre-se, do caráter dual: funções são vetores definidos ponto-a-ponto): • ≥ 0, significa que () ≥ 0, ∀ ∈ , • = 0 ⇒ = 0, significa que = 0, ∀ ∈ .
81. Escalar uma flecha significa aumentar ou diminuir seu tamanho. O tamanho da escalada é o escalado do tamanho! A tradução matemática deste fato é: = ∙ , ∀ ∈ .
82. Em particular para funções, dizer que = ∙ significa, pura e simplesmente, dizer que: () = ∙ , ∀ ∈ . Novamente o caráter dual atacando!
83. A 3ª propriedade da medição de tamanho das flechinhas tem a ver com triângulos. É a famosa desigualdade triangular: + ≤ + , ∀, ∈ .
84. Lembrem-se, só pode existir um triângulo ABC quando cada lado tem tamanho menor que a soma dos tamanhos dos outros dois: ≤ + , (p/. ex.) A B C
85. Em particular, para funções, dizer que + ≤ + , ∀, ∈ ℱ(, ℝ), significa, pura e simplesmente, dizer que: + () ≤ + , ∀ ∈ . O caráter dual novamente!
86. Uma função ∙ ∶ → ℝ definida num espaço vetorial V é uma norma quando satisfaz: I. ≥ 0 II. = 0 ⟺ = 0. III. = - a escala IV. + ≤ + - a desigualdade triangular para , ∈ e α ∈ ℝ. Mestre, relembre ao Surfista a definição abstrata de norma de um vetor!
87. Sim colega, elas definem diversas formas de medir tamanho dos vetores flechinha e de matrizes. Inclusive aprendemos a calculá-las usando a NumPy. Já vimos que nos espaços ℝ, ℂ e para as matrizes ℳ× existem diversas normas: 1 , 2 , , ∞ .
88. Espaços em que é possível definir uma norma são chamados espaços normados. Portanto os espaços ℝ, ℂ e ℳ× são exemplos de espaços normados.
89. Os espaços normados completos são chamados de espaços de Banach. Um espaço normado é completo quando toda sequência de Cauchy é convergente (para um vetor do próprio espaço). É o caso dos ℝ , ℂ e ℳ× com qualquer uma das normas.
90. E como eu posso calcular o tamanho de uma função : [, ] → ℝ ? Como já vimos nos ℝ, ℂ e em ℳ× existem diversas formas de medir o tamanho de uma vetor. O mesmo se dará para funções!
91. Aproveitarei tua pergunta, Loirinha, para introduzir um novo espaço vetorial. Trata-se de ℬ(, ℝ) o subespaço das funções de ℱ , ℝ que são limitadas.
92. Lembre-se, Loirinha, uma função de ℱ , ℝ é limitada num conjunto quando existe algum número > 0 tal que () < , ∀ ∈ . É o caráter dual atacando mais uma vez!
93. É muito fácil confirmar que ℬ(, ℝ) é um espaço vetorial pois: • a soma de funções limitadas é uma função limitada, • o produto de uma função limitada por qualquer número real resulta numa função limitada.
94. Bem Mestres, respondam a pergunta da Loirinha! Em geral, como faremos para descobrir o tamanho de uma função : [, ] → ℝ ? Mestres, estou curiosíssima em saber qual será tamanho de = 2cos( ) ?
95. A expressão ∞ = () , ∈ , define uma norma no conjunto ℬ(, ℝ) das funções limitadas num conjunto . Assim ℬ(, ℝ) é um espaço vetorial normado. As propriedades I, II , III e IV da definição abstrata de norma são facílimas de provar. Faça isto como exercício, Surfista!
96. A resposta à sua pergunta, Loirinha, depende do conjunto no qual ela está definida. Mesmo quando é um intervalo com extremos , ∈ ℝ , poderemos ter = , , , , , e (, ]. Loirinha, essa sua função é limitada qualquer desses tipos de intervalos.
97. Imaginando que ela está definida no intervalo 0,2 , é só calcular o valor máximo de () em [0, 2]. Veja graficamente: E, pelo programa, ∞ = 36,198 …
98. Atenção para o detalhe neste outro exemplo, Surfista. Já vi, Mestre, o valor máximo de () é um ponto de mínimo global da função .
99. Loirinha, esse é o programa. Ele permite que você escolha o domínio e a expressão da função.
100. Já vimos que num espaço vetorial normado com uma norma uma bola aberta de centro em ∈ e raio > 0 é o conjunto = ∈ . . − <
101. A − 2 < − 1 < − ∞ < Em ℝ2, as bolas abertas centradas em = (, ), nas normas 1 , 2 e ∞ , são os conjuntos desenhados abaixo
102. Bem, Loirinha, já sabemos que essa bola é o seguinte subconjunto de ℬ 0,1 , ℝ : = ∈ ℬ 0,1 , ℝ . . − ∞ < . Como será, Galileu, “a cara” de uma bola aberta (), centrada numa função ∈ ℬ [0,1], ℝ , com essa norma ∞ ?
103. Pensando no caráter dual, significa impor que − () < para variando no intervalo [0,1]. Mestra, para , ∈ ℬ( 0,1 , ℝ) o que significa − ∞ < ?
104. () Loirinha, fixe um valor de ∈ [0,1] e marque o ponto (, ) no plano cartesiano × . Então qualquer valor = () assumido pela em obrigatoriamente terá que satisfazer − () < . Que é um intervalo de raio centrado nesse ponto sobre a reta vertical por . Confira no meu desenho
105. Escolhi alguns valores de ∈ [0,1] e desenhei os intervalos verticais de raio centrados no ponto de coordenadas (x, ) correspondentes: 1 0
106. Surfista, tive a tentação, irresistível, de ligar os extremos deles, como fiz na figura! 1 0
107. É isso mesmo, menina! A bola de raio entorno de , , é a faixa azul claro desenhada abaixo. É o conjunto de todas as funções limitadas : [0,1] → ℝ situadas a uma distância menor do que da , quando usamos a régua ∞ 1 0 + r − r
108. Mestra, além da bola redondinha de raio r em ℝ2, vimos outras bolas, quadradas. E a pergunta inevitável é: Existirão outras bolas esquisitas nos espaços de funções?
109. Sim minha pequena! Essa bola/faixa de raio entorno de , , corresponde à bola definida pela norma ∞ em ℝ2. 1 0 + r − r
110. Aliás, Mestres como posso calcular a norma da soma, 1 , a 2 e as de uma função ? Elas envolvem uma soma. Use aquele S longo para somas contínuas ׬ no lugar de σ .
111. Que corresponde a área entre e o eixo-. Claro, com a correspondência σ ↔ ׬ , temos 1 = න | |
112. Atenção! Estamos falando da área entre a função e o eixo- e não da função . Observem a diferença:
113. De forma semelhante, temos 2 = න 2 Que, por sua vez, corresponde a área entre 2 e o eixo-.
114. Agora trata-se da área entre a função 2 e o eixo- e não da função . Notem que 2 = ׬ 2
115. Eis uma pergunta que eu também quero saber a resposta! E como eu desenho as bolas de raio centradas numa função : [, ] → ℝ?
116. Bem, observe primeiro que a bola, na 1 , de centro em uma função ∶ [, ] → ℝ e raio é o conjunto de todas as funções integráveis ∶ [, ] → ℝ tais que න − () < É uma imposição sobre o tamanho da área entre a função ℎ = − e o eixo-. Se fosse a função nula estaríamos falando do conjunto de todas as funções integráveis tais que න () < .
117. Esse conjunto de funções não pode ser desenhado pois a condição sobre a área não impõe restrições sobre a forma (o gráfico) das funções : [, ] → ℝ. Sim, pensem por exemplo, nas funções ℎ : [0, 2] → ℝ definidas por ℎ = ቊ 1/ℎ 0 < ≤ ℎ 0 ℎ < ≤ 2 , para 0 < ℎ < 2. Para todas elas, ℎ 1 = න 0 2 ℎ = 1 < .
118. ℎ Τ 1 ℎ 2 Sim Mestra, são retângulos com com base ℎ e altura 1/ℎ e mais um rabinho vermelho. Todos tem área = ℎ × Τ 1 ℎ = 1.
119. 2 Τ 1 2 2 ℎ = Τ 1 2 1 1 1 ℎ = 1 2 1 2 ℎ = 2 Desenhei vários retângulos com base ℎ e altura 1/ℎ. Todos tem área = ℎ × Τ 1 ℎ = 1.
120. ℎ Τ 1 ℎ 2 O mesmo vale para as funções “triângulo com rabo” que esbocei abaixo. Todos tem área Τ 1 2 . Sim Mestra, são “retângulos” com base ℎ e altura 1/ℎ. Todos tem área = ℎ × Τ 1 ℎ = 1.
121. Sim. Além dessas, qualquer função : [, ] → ℝ com o gráfico como abaixo também estaria nessa bola de raio 1, desde que ׬ | | ≤ 1. Todas essas funções elas estariam numa bola de raio = 1 centrada na função nula.
122. Da mesma forma, bolas na 2 , de centro em uma função ∶ [, ] → ℝ não podem ser desenhadas pois − 2 = න − () 2 Uma vez que, novamente, − 2 < é uma imposição sobre a área da função ℎ = − 2 e o eixo-.
123. Tchau, até a próxima aula!