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Integração numérica e o L2(a,b)

Integração numérica e o L2(a,b)

Paulo Bordoni

June 21, 2018
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  1. Surfistas e Loirinhas: Passaremos a estudar os métodos de integração

    numérica da scipy, que são muito eficientes. A integração numérica é um tópico tradicional em Cálculo Numérico.
  2. 0 1 0 E na trapezoidal composta usamos vários trapézios.

    Na regra trapezoidal (simples), aproximamos a função f a integrar por uma reta – uma polinomial p do 1º grau e integramos a p (calculando a área do trapézio). 1
  3. Os valores aproximados de = ׬ −/4 /2 cos foram

    ቐ 5 = 1.67539 … 10 = 1.69920 … 20 = 1.70513 … Tornei a repetir para = 30, obtendo 30 = 1.706229 … Assim consigo garantir 3 casa decimais corretas após a vírgula.
  4. Bem Mestre, pensei no algoritmo iterativo abaixo: Uma pergunta que

    se coloca é: Como garantir a precisão na aproximação? 1. Entro com a precisão , e um limite superior de iterações, . 2. Escolho ∈ ℕ, calculo e guardo como . 3. Em seguida repito: 1. Incremento o valor de . 2. Calculo um novo . 3. E a diferença ∆= − . Até que ∆< ou > . 4. Informo o resultado obtido no item 3.
  5. A primitiva ∶ , → ℝ, definida para ∈ [,

    ] por = න 2 cos . Usamos os 96 subintervalos da partição de [− 3 , 4 ] que fornecem a precisão de ε = 5.× 10−7 obtida no exemplo anterior.
  6. Calcularemos primeiramente = න −2 2 −2 com os dados

    abaixo. Em seguida obteremos a primitiva dessa função.
  7. É conhecido na literatura que não é possível obter de

    forma algébrica a primitiva: = න −∞ 2 . Isto é possível numericamente e é a curva em vermelho abaixo.
  8. 0 1 0 Na regra de Simpson (simples) aproximaremos a

    função f a integrar efetuando interpolação por uma polinomial p do 2º grau (uma parábola) e integraremos a p. Acabamos de conferir que na regra trapezoidal (simples), aproximamos a função f a integrar por uma reta – uma polinomial p do 1º grau e integramos a p (calculando a área do trapézio). 1
  9. 0 = 0 = 0 2 + 0 + 1

    = 1 = 1 2 + 1 + 2 = 2 = 2 2 + 2 + 0 1 2 0 1 2 f Uma parábola genérica possui equação = 2 + + . Naturalmente, a parábola que passa pelos pontos de coordenadas 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 é a solução do sistema linear abaixo:
  10. Na forma matricial esse sistema fica 0 2 0 1

    1 2 1 1 2 2 2 1 = 0 1 2 . Ele é conhecido como sistema de Vandermonde e tem solução única quando 0 , 1 , 2 são pontos distintos.
  11. Sim, pois para definir parábolas precisamos de 3 pontos. No

    total uma quantidade ímpar de pontos. A regra de Simpson composta segue a mesma ideia da trapezoidal composta – repetição da simples. A diferença é que, então, precisaremos repetir para pares de sub intervalos.
  12. O código do 1º programa do Mestre só muda onde

    marquei. Bem mais eficiente que a trapezoidal! Lá foram usados 46 pontos e aqui só 19. A função, o intervalo e a precisão são os mesmos.
  13. Passaremos agora a estudar um dos tópicos mais importantes da

    Álgebra Linear e da Análise Numérica. Os espaços ℒ2(, ).
  14. Os elementos do espaço (vetorial) ℒ2(, ), são as funções

    de quadrado integrável. Em outras palavras, ℒ2 , = { : , → ℝ | ׬ 2 ∈ ℝ }. Para enfatizar os aspecto fundamentais: a 2 é integrável e ׬ 2 é um número real.
  15. Definiremos uma função ∙ ∶ ℒ2 , ⟶ 0, +∞

    ⟼ 2 pela expressão 2 = ׬ ()2 .
  16. Para um vetor ∈ ℝ, = 0 1 ⋮ temos

    2 = σ =1 2 Trata-se de uma extensão muito natural da 2 dos espaços ℝ para os espaços de funções. Pensem comigo: Para uma função ∈ ℒ2(, ) ∈ [, ] ↦ temos 2 = ׬ 2 . Soma discreta de n parcelas Soma contínua de , parcelas
  17. 3 n 1 x1 2 x2 x3 xn Soma discreta

    de n parcelas x b f(x) a Soma contínua de , parcelas Repetindo, é uma passagem do discreto ao contínuo! A contrapartida gráfica é a seguinte:
  18. Essa função ∙ 2 : ∈ ℒ2(, ) ⟶ ℝ

    é uma norma em ℒ2(, ). É a extensão natural da ideia de tamanho para funções. Para provar essa afirmação do Mestre, precisamos garantir que para , ∈ ℒ2(, ) e α ∈ ℝ: 1. 2 ≥ 0, 2. 2 = 0 ⇒ = 0, 3. 2 = ∙ 2 - o fator de escala, 4. + 2 ≤ 2 + 2 - a desigualdade triangular.
  19. Todas essas afirmações são decorrência imediata das propriedades da integral.

    Só a desigualdade triangular que dá mais trabalho. Para a desigualdade triangular precisaremos antes da desigualdade de Cauchy- Scharwz.
  20. Agora passarei a explicar como é possível calcular o ângulo

    entre vetores de um espaço vetorial abstrato.
  21. Definir ângulo entre duas funções ? Acho esquisito! Como faremos

    isto? Again, with abstraction my dear Blonde, with abstraction!
  22. Definiremos também a função ∙ , ∙ ∶ ℒ2 ,

    × ℒ2 , ⟶ ℝ , ⟼ , pela expressão , = ׬ .
  23. Ela estende o conceito de produto interno , de vetores

    , ∈ ℝ para funções. O argumento é o mesmo: Para vetores , ∈ ℝ, = 0 1 ⋮ , = 0 1 ⋮ , temos , = σ =1 Para funções , ∈ ℒ2(, ) ൠ ∈ [, ] ↦ ∈ [, ] ↦ temos , = ׬ () . Soma discreta de n parcelas Soma contínua de , parcelas
  24. O Mestre está afirmando que a função , de duas

    variáveis , ∈ ℒ2(, ) × ℒ2(, ), calculável através da expressão , = ׬ define um produto interno em ℒ2(, ).
  25. Sim Filósofo, e para provar a afirmação do Mestre, basta

    provar que: Para , , ℎ ∈ ℒ2(. ) e ∈ ℝ valem: 1. , ≥ 0, 2. , = 0 ⇒ = 0, 3. , = , , 4. , = , , 5. + , ℎ = , ℎ + , ℎ . Todas elas seguem diretamente das propriedades da integral.
  26. Sherlock, precisamos antes garantir que , = න está bem

    definida para , ∈ ℒ2(, ). Bem, isto é uma decorrência imediata da desigualdade de Cauchy-Schwartz, , ≤ 2 2 , que provaremos a seguir.
  27. Sejam , ∈ ℒ2(, ) e : ℝ → ℝ

    a função ↦ − , − . Temos que F é uma polinomial do 2º grau em : = − , − = 2 22 − 2 , + 2 2. Ao mesmo tempo, = − 2 2 ≥ 0. Portanto o discriminante ∆ da fórmula de Baskhara para calcular os zeros de () satisfaz ∆ = (2 , )2 − 4 2 2 2 2 ≤ 0. Desta é imediato que | , | ≤ 2 2 .
  28. Muito boa pergunta Loirinha! Que vantagens teremos com isso? Mestres

    vocês acabaram de definir conceitos altamente abstratos de norma e produto interno para funções. O que pretendem com isso?
  29. A vingança demorou, mas chegou! A grande vantagem é que:

    Vocês poderão transportar para mundo das ideias (Platão), toda a intuição (Aristóteles) que temos nos espaços euclidianos ℝ.
  30. Por exemplo, transportaremos para o o ℒ2(. ), nosso conceito

    usual de tamanho através da ∙ 2 e os conceitos de ângulo entre vetores e de ortogonalidade através do ∙ ,∙ .
  31. Surfista, então quando calculamos ׬ 0 1 para duas funções

    f e g conhecidas, o número obtido corresponde ao produto interno delas em ℒ2(0,1) ? Sim Loirinha! Vou fazer um programa para calcular , = ׬
  32. A precisão é de 8 casas decimais, e mostro os

    gráficos de f, g e de , como área.
  33. Para = , = cos() o produto interno é ,

    = 0. Como a função produto f g é uma função ímpar, eu nem precisava ter usado seu programa, Surfista.
  34. Meu programa também calcula 2 = , = න −

    ()2 . Para = () obtive 2 2 = , = , i.é, 2 = .
  35. Fiz o cálculo para = sen(2) e também obtive 2

    = . Será um resultado geral?
  36. Vocês dois acabaram de mostrar que 2 = 2 =

    ℎ 2 = para ൞ = = (2) ℎ = (3) . De fato Loirinha, é um resultado geral.
  37. , = න − () = ቊ 0 ≠ =

    , = න − () = ቊ 0 ≠ = , = න − () = 0, ∀, ∈ ℕ 1 2 3 As funções • () para = 0,1,2, … e • () para = 1,2, … são funções de ℒ2[−, ] e satisfazem: (∗) Para = = 0, troque por 2. Os resultados que vocês obtiveram podem ser generalizados para:
  38. Surfista, para provar a afirmação da Mestra, utilize as identidades

    trigonométricas • + = cos + sen (), • cos + = cos cos − (). E também que o produto de funções pares e ímpares obedece as regras correspondentes para números pares e ímpares .
  39. Vamos explorar o fato que podemos usar a intuição geométrica

    dos espaços euclidianos ℝ2 e ℝ3 para os espaços ℒ2(, ).
  40. A primeira delas é a ideia de ortogonalidade. Lembre-se Loirinha,

    que dois vetores , ∈ ℝ2 são ortogonais quando , = 0. Quando, além de serem ortogonais, = 1 e = 1, dizemos que eles são ortonormais.
  41. Da mesma forma, duas funções , ∈ ℒ2 , são

    ortogonais quando , = න = 0. E ortonormais quando, além disso, = ׬ 2 = 1 e = ׬ 2 = 1.
  42. Estou achando essas ideias incríveis Loirinha. Funções ortogonais e ortonormais!

    Eu também Surfista e a Mestra mostrou, a pouco, que as funções ൞ 0 = 1 = , = 1,2, … = , = 1,2, … são todas ortogonais!
  43. 1 2 Outra ideia a ser copiada é a de

    base canônica de ℝ2. O par de vetores 1 = 1 0 , 2 = 0 1 é ortonormal. Sim, e eu mostrei que as funções 0 = 1 2 = 1 , = 1,2, … = 1 , = 1,2, … constituem conjunto ortonormal de ℒ2 , .
  44. Na verdade dizemos que = 0 , , , =

    1,2, … é um conjunto ortonormal completo em ℒ2 , . Esta é a extensão da ideia de base em ℝ para ℒ2 , . Aliás esta é uma afirmação bem mais forte e difícil de provar.
  45. Trocando em miúdos, Mestres, posso entender que o conjunto de

    funções = 0 , , , = 1,2, … é a base canônica de ℒ2 , ? Pode sim, Surfista. Para efeitos operacionais a ideia de base está presente em , apesar de envolver conceitos de convergência.
  46. Uma outra ideia a copiar dos espaços euclidianos ℝ para

    ℒ2 , , que envolve o produto interno, é a de projeção ortogonal de um vetor u em um vetor unitário e.
  47. A projeção de u em e é o vetor p

    dado por = , . Note Surfista, que = | , |. • Quando o ângulo entre u e e é agudo (0 < α < /2) o sinal de , é positivo. • Quando esse ângulo e é obtuso ( Τ 2 < α < ), o sinal de , é negativo.
  48. Físicos e engenheiros costumam dizer que, quando e é um

    vetor unitário, o produto interno , quantifica a dose de e que o vetor v possui.
  49. Muito bem pensado, Surfista, mas bebidas alcoólicas estão proibidas no

    curso! Em outras palavras, ∙ , é um aparelho medidor de doses de e – um dosador de e.
  50. Portanto, para descobrir a dose de oscilação, na frequência 3,

    de uma ∈ ℒ2(−, ), basta calcular , 3 = 1 ׬ − 3 .
  51. Jean-Baptiste Joseph Fourier Nasceu: 21/03/1768 Morreu: 16/05/1830 Dada ∈ ℒ2(−,

    ), os números 0 , , , = 1, … , , obtidos das integrais 0 = Τ , 1 2 , = , , = , , são chamados de coeficientes de Fourier da f. E o conjunto 0 , , , = 1,2, … é o espectro da f.
  52. Surfista, bebidas alcoólicas continuam proibidas no curso! Se eu pensar

    numa função ∈ ℒ2(−, ) como um cocktail, o espectro de f é a medida dos componentes do cocktail.
  53. O espectro de f mostra que ela é constituída por

    uma dose positiva grande da função constante Τ 1 2 e doses alternadas de 1 cos() que diminuem rapidamente com a frequência k.
  54. Duas observações são pertinentes: • A dose constante é dada

    pelo o valor médio, 0 = 1 2 ׬ − , da função f em −, , multiplicado por 2; • O espectro é constituído apenas por doses de cos porque f é uma função par.
  55. O espectro de f mostra que ela é constituída apenas

    por doses alternadas de 1 sen() que decaem mais lentamente com a frequência k.
  56. De novo, duas observações são pertinentes: • O espectro é

    constituído apenas por doses de sen porque f é uma função ímpar. • A dose constante ainda é dada pelo o valor médio, da função f em −, , multiplicado por 2, pois 1 2 ׬ − = 0.
  57. Neste 3º caso: • O espectro é constituído por doses

    de sen e cos porque f não é par nem ímpar; • A dose constante também é dada pelo o valor médio, da função f em −, , multiplicado por 2.
  58. Um 4º exemplo, o espectro de = ቐ ( 2

    − )2/32 − ≤ < Τ 2 / Τ 2 ≤ ≤
  59. Este é o programa que calcula o espectro da função

    f, os seus coeficientes de Fourier e seu gráfico. Ele permite escolher uma função definida por expressões diferentes em [−, ) e ( , ].
  60. Nesta parte o cálculo dos coeficientes de Fourier e o

    gráfico do espectro da f . A Mestra está usando a rotina quad( ) da scipy.integrate.
  61. Tem razão, Surfista, na próxima aula examinaremos as regras de

    integração conhecidas como quadraturas de Gauss. Mas aqui ela gera o gráfico do espectro da f . O processo de obtenção do espectro da f é chamado de análise de Fourier.
  62. O processo de obtenção do espectro da é chamado de

    análise de Fourier. A partir do espectro de uma função podemos reconstruí-la; é a síntese de Fourier, mais referida como série de Fourier de f.
  63. 1 2 = [1 , 2 ] Em ℒ2(, )

    o subespaço gerado pelos vetores ortonormais 0 , , , = 1,2, … , tem dimensão 2 + 1. Também aqui usamos a notação = 0 , , , k = 1, … N Em ℝ3, o subespaço gerado por dois vetores 1 , 2 é um plano passando pela origem. Ele é indicado por = 1 , 2 . Vamos assumir que eles são ortonormais.
  64. Combinações lineares como 1 1 + 2 2 sempre estarão

    no subespaço gerado por 1 , 2 , = 1 , 2 Analogamente, combinações lineares do tipo 0 0 + σ=1 [ + () ] sempre estarão no subespaço = 0 , , , k = 1, … N .
  65. u v Da mesma forma, dada uma função ∈ ℒ2(,

    ) quando, na combinação linear = 0 0 + ෍ =1 [ + ()] ∈ = = 0 , , , = 1, … os números 0 , , são os coeficientes de Fourier 0 , , da f, temos que = (). Dado um vetor ∉ = 1 , 2 , quando na combinação linear = 1 1 + 2 2 temos 1 = , 1 e 2 = , 2 temos que = .
  66. É que no espaço euclidiano ℝ3, o vetor de um

    plano mais próximo de um vetor ∉ é a sua projeção ortogonal em , . v = (v) Mas que vantagem Loirinha leva, nessa ideia?
  67. = (f) f Da mesma forma, = = 0 0

    + σ=1 [ + ] é a melhor aproximação para uma função ∈ ℒ2(, ) em = [ 0 , , , k = 1, … N ]. Lembrem-se: 0 = , 0 , = , e = ,
  68. Agora vou mostrar os gráficos da f e de sua

    aproximação de Fourier para os mesmos quatro exemplos. Lembrem-se, a f é uma função periódica, de período = 2.
  69. O programa que mostra o gráfico de uma função f

    e da sua aproximação de Fourier.
  70. A definição de integral (de Riemman) é um belíssimo exemplo

    do poder dos conceitos de supremo e ínfimo. Vamos entender, de uma vez por todas, o que é essa integral.
  71. = 0 +1 = , , f Dada uma função

    ∈ ℬ[, ] e dada uma partição = { = 0 < 1 < … < = } de , , para cada subintervalo , +1 dela, consideramos as áreas ∆ e ∆ , onde ∆ = +1 − e nas quais: , = inf , ∈ , +1 , = sup , ∈ , +1
  72. , = ෍ =0 −1 , ∆ Soma superior Em

    seguida, consideramos as somas: , = ෍ =0 −1 , ∆ Soma inferior
  73. 4 5 6 7 8 1 2 3 f 4

    5 6 7 8 1 2 3 f , = ෍ =1 ( )∆ Soma superior , = ෍ =0 −1 ( )∆ Soma inferior Para ajudar o entendimento, quando f é monótona crescente e contínua, como na figura:
  74. Quando, na desigualdade acima, ocorre a igualdade, dizemos que f

    é Riemann integrável em [, ] e que න = sup{ (, ) ∈ [, ] } Não é muito difícil provar que sup{ (, ) ∈ [, ] } ≤ inf { (, ) ∈ , }, onde , é a coleção de todas as partições do intervalo [, ].
  75. Prova-se que toda função monótona (crescente ou decrescente) é Riemann

    integrável. Prova-se também que toda função contínua é Riemann integrável. Prova-se que ∈ ℬ[, ] é Riemann integrável se, e somente se, dada uma precisão > 0, existe uma partição ∈ [, ] para a qual , − , <
  76. ... Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma

    soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's' longo - para representar summa . Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ׬ ". ... O símbolo de integral é um S estilizado, S de Soma!
  77. O cálculo da soma inferior e da soma superior para

    uma função monótona crescente para partições uniformes de 50 a 60 pontos.
  78. 590 à 600 pontos 990 à 1000 pontos Mestra, fiz

    duas experiências. A convergência é muito lenta, pior que tartaruga!