Interpolação unidimensional

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1. Interpolação Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Vou procurar resumir o conteúdo interpolação.
3. Na aula passada vimos que as quatro funções polinomiais (vetores) 0 = 1, 1 = , 2 = 2, 3 = 3 constituem uma base (a base canônica) do espaço vetorial 3[−1,1].
4. Uma outra base é a “base de Lagrange” Em ℙ1[, ], que tem dimensão 2, as funções básicas de Lagrange serão nomeadas 0 1 e 1 1 e são polinomiais de grau 1.
5. A 0 1 é a polinomial de grau 1 que satisfaz: 0 1 0 = 1 0 1 ( 1 ) = 0. A 1 1 por sua vez satisfaz: 1 1 0 = 0 1 1( 1 ) = 1. Torno a lembrar o aspecto dual das funções. Definiremos 0 1 e 1 1 ponto-a-ponto.
6. Para simplificar, “esqueceremos” o índice superior, escrevendo 0 e 1 . Assim: • 0 () = ( − 1 )/( 0 − 1 ) • 1 () = ( − 0 )/( 1 – 0 ) . Sim, basta substituir por 0 e por 1 nessas expressões para confirmar.
7. Fiz um programinha para construir e desenhar as duas:
8. Marquei as definições de L_0(x) e L_1(x).
9. Um fator de escala multiplicando a 0 ()
10. A combinação linear 0 0 + 1 1 é a reta que passa pelos pontos 0 , 0 e 1 , 1 . Confirme analisando a figura:
11. O programa que mostra 0 , 1 , 0 0 , 1 1 e 0 0 () + 1 1 ()
12. Bem, uma função polinomial de grau dois, responde tua pergunta. Isto se os pontos já não estiverem alinhados. Mestra, qual a função que passa por três pontos dados?
13. Em ℙ2[, ], que tem dimensão três, as funções básicas (também) serão nomeadas 0 2 , 1 2 2 2(). Elas são polinomiais de grau 2. Elas são definidas pelas 9 condições: • 0 2 0 = 1, 0 2 1 = 0, 0 2( 2 ) = 0 • 1 2 0 = 0, 1 2 1 = 1, 1 2( 2 ) = 0 • 2 2 2 = 0, 2 2 1 = 0, 2 2( 2 ) = 1
14. Assim o grau 2 das 3 funções básicas 2 ficará sub-entendido e a definição anterior se reescreve: • 0 0 = 1, 0 1 = 0, 0 ( 2 ) = 0 • 1 0 = 0, 1 1 = 1, 1 ( 2 ) = 0 • 2 2 = 0, 2 1 = 0, 2 ( 2 ) = 1 Novamente , para simplificar, vamos deixar de indicar o índice superior 2 das 2 .
15. Assim a definição anterior se resume em: • 0 = 0, , = 1,2,3, • 1 = 1, , = 1,2,3, • 2 = 2, , = 1,2,3, 3 igualdades em cada linha, ou ainda mais: = , , = 1,2,3 e = 1,2,3 6 igualdades numa linha só ! Físicos costumam resumir todas essas igualdades usando o “delta de Dirac”, definido por , = ቊ 1 = 0 ≠
16. As expressões para as outras duas funções básicas são: 1 = ( − 0 )( − 2 ) (1 − 0 )(1 − 2 ) , 2 = ( − 0 )( − 1 ) (2 − 0 )(2 − 1 ) . Confira que, definindo 0 () pela expressão 0 = ( − 1 )( − 2 ) (0 − 1 )(0 − 2 ) teremos 0 = 0 . Claramente 1 = 1 e 2 = 2 .
17. Este programa gera as polinomiais da base de Lagrange do espaço das funções polinomiais de grau menor ou igual a 2.
18. Para fazer 0 () passar pelo ponto = (0.3,1.4) basta multiplicá-la por 1.4. Vejam no desenho:
19. O programa da transparência anterior.
20. • Multiplicando 1 () por um número 1 , a função escalada 1 1 () passará pelo ponto ( 1 , 1 ); • Multiplicando 2 () por um número 2 , a função escalada 2 2 () passará pelo ponto ( 2 , 2 ). A mesma ideia se aplica às outras duas funções básicas:
21. Este programa gera a polinomial de grau dois (≤ 2) que passa pelos pontos ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), ( 2 , 2 ) utilizando a base de Lagrange do espaço das funções polinomiais de grau ≤ 2.
22. Marquei em vermelho a parte que gera os gráficos das 3 funções básicas escaladas e da polinomial.
23. Esse é o resultado de uma execução do programa.
24. Estas ideias tem sido usadas, a séculos, para aproximar funções por retas e por parábolas. Vou passear um pouco pela história.
25. http://locomat.loria.fr Parte de uma página do “Canon mathematicus” de Viète (1579). Nela estão tabelados valores de senos, cossenos, tangentes, etc de 4º à 4º30’
26. Em 1614, no livro “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio”, J. Napier descreve um método para calcular produtos em termos de somas. Nasciam os logaritmos. O livro apresenta ainda 90 páginas com tabelas para utilização do seu método
27. () () a b () () A figura ilustra uma forma de aproximar o valor de () a partir dos valores conhecidos (tabelados) () e (). = + aproxima () com erro = − () . Interpolação linear é o nome técnico para isto!
28. () () () () () Na interpolação quadrática, o erro = − () é bem menor. Agora a interpoladora = 2 + + é uma polinomial do 2º grau.
29. Houve um tempo em que engenheiros utilizavam réguas de cálculo para fazer contas rapidamente.
30. log(x∗y) = log(x) + log(y) log(x/y) = log(x) - log(y) A régua de cálculo foi um instrumento analógico largamente utilizado pelos engenheiros até surgirem as máquinas de calcular científicas nos anos 70. Elas utilizavam escalas logarítmicas e as duas propriedades abaixo:
31. f Aproximar! A norma ∙ ∞ mede a proximidade de funções de forma uniforme, em todo um intervalo. De fato, sejam , ∈ ℬ , . Afirmar que − ∞ < corresponde a assegurar que g fica dentro de uma faixa com largura uniforme envolta de f . Na figura a faixa rosa, de a até b.
32. f p Se f é uma função contínua num intervalo fechado [, ] então, para qualquer precisão > 0, existe uma polinomial ∈ ℙ tal que − ∞ < . O teorema de aproximação de Weierstrass é um resultado de existência de aproximações polinomiais globais fundamental:
33. Nessa fórmula, cada polinomial de Lagrange é definida, para = 0,1, ⋯ , , por = ෑ =1,≠ ( − ) ( − ) , ∈ [, ] Formalizando (Teor.3.2 de Burden & Fayres) : Dada uma função : [, ] → ℝ, ∈ +1[, ], e uma partição , = {0 = , 1 , ⋯ , = } existe uma única polinomial ∈ ℙ[, ] que interpola nos pontos da partição, dada por = ෍ =0 ( ) () .
34. Ah Loirinha, já vimos esse produtório antes. Quando = 2 temos: 0 2 = ( − 1 )( − 2 ) (0 − 1 )(0 − 2 ) , 1 2 = ( − 0 )( − 2 ) (1 − 0 )(1 − 2 ) , 2 2 = ( − 0 )( − 1 ) (2 − 0 )(2 − 1 ) . Juro que não entendi nada !
35. f 0.2 f 0.5 Arrochando o abraço!
36. Então, como lá teremos − ≤ +1 ∞ + 1 ! − 0 ⋯ − . E, se os pontos forem igualmente espaçados de ℎ, +1 − () ≤ +1 ∞ ℎ+1 + 1 ! . Se a derivada de ordem + 1, (+1), de for contínua no intervalo [, ], ela será limitada. Então (Teor.3.3 de Burden & Fayres) podemos calcular (+1) ∞ = max ∈[,] (+1) () , como na polinomial de Taylor!
37. Vejam onde está a função lagrange( ) lá no final da scipy.interpolate
38. Os detalhes da rotina lagrange( ) da scipy.interpolate.
39. • Recebe: 1. Um intervalo [, ], 2. A expressão () de uma função, 3. Um número de pontos para criar uma partição uniforme de , . • Constrói a interpoladora de Lagrange da função usando a rotina lagrange() da SciPy. • E devolve: 1. Uma tabela dos pares dos pares , ( ) , 2. Os gráficos de e da interpoladora de Lagrange da função sobre a partição , . Faremos um programa que:
40. Uma execução do programa, com os dados abaixo:
41. Marquei no programa onde usamos a lagrange()
42. Com 7 pontos melhorou muito, visualmente!
43. O pacote de interpolação da SciPy é grande. Precisaríamos de várias aulas explorá-lo por completo.
44. No início da scipy.interpolate temos:
45. Por enquanto vamos examinar as duas que marquei.
46. Mestres! Por que a interpolação de Lagrange só aparece lá no final da scipy.interpolate e não no logo no início lista? Na verdade ela está escondida nas duas que o Mestre marcou!
47. Para entender o KroghIntgerpolator( ) é necessário ler o artigo do Fred Krogh.
48. Não deixem de acessar e ler o artigo. Lá estão detalhados os algoritmos de Krogh empregados pela scipy.interpolate Inclusive o artigo compara número de operações com os algoritmos de Lagrange e Aitken/Neville, mostrando que os propostos por Krogh tem melhor performance.
49. • = ( ) • , +1 = +1 − +1− • , +1 , +2 = +1, +2 − , +1 +1− • , +1 , +2 , +3 = +1, +2 , +3 − , +1, +2 +1− • E assim por diante Os algoritmos de Krogh usam as fórmulas de diferenças divididas finitas (DDF) de Newton, definidas recursivamente por: Não entendi essas diferenças divididas!
50. Repito, não entendi! Vai explicar ou não ?!...?! Morri de medo, meu Kruguinho querido! Mestre, faça um programa que constrói uma tabela de diferenças divididas finitas.
51. Eis a tabela de DDFs.
52. Mestra, por quê a escadaria no final da tabela ? Devido à recursividade, minha filha!
53. Veja Loirinha: para calcular uma DDF3 precisamos duas DDF2, três DDF1, quatro valores de f.
54. Uma colega que não foi aprovada em Cálculo Numérico no período anterior disse que o professor exigia que essas tabelas de DDF fossem feitas à mão. Já ouvi falar dessa besteira. São mestres da idade da pedra.
55. Mestra, a DDF2 de uma polinomial de grau 2 é constante, e igualzinha à derivada 2ª e a DDF3 é identicamente nula.
56. Não resisti e acrescentei os gráficos para comparar com as derivadas:
57. Pois é Surfista, compare os gráficos da função e suas derivadas com os gráficos das DDFs e conclua.
58. Kruguinho, repeti tudo para a função = (). Já vimos no curso que as diferenças finitas são aproximações para as derivadas!
59. A polinomial interpoladora de Lagrange, pelos n+1 pontos (0 , 0 ), (1 , 1 ) ⋯ , ( , ), é dada pela: = 0 + 0 , 1 1 + 0 , 1 , 2 2 + ⋯ ⋯ + 0 , 1 , ⋯ , (), onde = ( − 0 )( − 1 ) ⋯ ( − −1 ) Fórmula de interpolação com as DDFs de Newton
60. Com alguma manipulação algébrica é possível mostrar que as fórmulas de Newton e de Lagrange são iguais. Loirinha e Surfista, façam essas continhas para as interpoladoras de grau 1 e 2.
61. A classe do interpolador de Krogh.
62. Uma observação importante e os métodos da classe..
63. A função facilitadora da classe que realiza a interpolação de Krogh.
64. A devolução (o interpolador) da função e uma observação.
65. A entrada de dados para a interpoladora pelo algoritmo de Krogh.
66. Marquei onde usamos a interpoladora de Krogh.
67. A interpoladora, calculada através do algoritmo de Krogh. Utilizei 5 pontos-base.
68. Agora sim! Repeti com 9 pontos, Loirinha.
69. Um programa para interpolar uma função : [, ] → ℝ e sua derivada usando o algoritmo de Krogh.
70. Definindo e , o interpolador de Krogh de e de e as funções erro.
71. Plotando os gráficos.
72. Usando o programa para aproximar e pelas interpoladoras de Krogh de e de com 5 pontos.
73. Agora usando 9 pontos para aproximar e pelas interpoladoras de Krogh de e de .
74. Eis um artigo de peso! Nele os autores recuperam conceitualmente a interpolação de Lagrange como um algoritmo ótimo!
75. Após apresentar a fórmula interpoladora de Lagrange, conforme já fizemos no curso, os autores comentam:
76. A fórmula de Lagrange aperfeiçoada!
77. E, finalmente, fórmula baricêntrica!
78. A classe BarycentricInterpolator na scipy.interpolate.
79. Esta observação é importante!!
80. A função barycentric.interpolate
81. Um programa que constrói as interpoladoras com o algoritmo baricêntrico. O código é praticamente o mesmo da interpoladora de Krogh !
82. Marquei a difusão de X pela f, a construção da interpoladora e a função erro.
83. O resultado com 7 pontos não é nada bom; parece que o erro aumenta nos extremos!
84. O resultado com 9 pontos melhorou, mas o erro realmente aumenta nos extremos!
85. Como antes, está ruim, muito o erro. Vou experimentar mais pontos para ver o comportamento do erro. Experimente esta outra função, () = 1/(1 + 2), Use 7 pontos.
86. Com 9 melhorou no centro, mas o erro aumentou nos estremos. Com 15 pontos o erro disparou!
87. Loirinha, você tocou num ponto crucial. Para valores igualmente espaçados, ao aumentarmos o grau da interpoladora, surge o fenômeno de Runge! Mestres, parece que aumentar o grau da polinomial interpoladora não melhora a precisão da interpolação.
88. Aumentar o grau da interpoladora só piora a situação. Confiram. O fenômeno de Runge demonstra que a interpolação é um algoritmo mal condicionado.
89. Nem sempre. Domei o leão = −2 com 35 de chicotadas. Vejam:
90. Com 31 pontos o erro é 18 vezes maior que o valor da máximo da função Ele Ru(n)ge cada vez mais e vai devorar o Mestre! Pois é Surfista, mas para a função de Runge, = 1/(1 + 2), isto não acontece!
91. E aí Mestres, como faremos para matar esse leão? DIVIDIR PARA CONQUISTAR! Um mantra na computação.
92. Tchau, até a próxima.