Polinomiais e a NumPy

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1. Polinomiais e a NumPy Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Conjuntos permitem agrupar coisas mediante propriedades. Algumas delas permitem subclassificar seus elementos. Subespaços vetoriais incorporam essa ideia.
3. As funções polinomiais em ℝ constituem um subespaço de ℱ. E ele é anotado . Sim: • A soma de polinomiais também é uma função polinomial. • A múltipla de uma função polinomial não perde a sua qualidade.
4. O conceito de base de um espaço vetorial desempenha um papel fundamental para operar com as polinomiais.
5. Lembrem-se, uma base B de um espaço vetorial V é um subconjunto linearmente independente maximal. Maximal significa: se ∉ então ∪ será LD.
6. A base canônica dos vetores-coluna de ordem 3, o ℝ3, é 1 = 1 0 0 , 2 = 0 1 0 , 3 = 0 0 1 , É. Ela que permite escrevermos 2.1 −0.7 1.5 = 2.11 + (−0.7)2 + 1.53
7. A base canônica do espaço ℙ2, das funções polinomiais de grau menor ou igual a 2 é constituída pelas polinomiais: 0 () = 0 = 1, 1 () = 1 = , 2 () = 2 . A ideia é a mesma. Para = 2.1 + −0.7 + 1.52 temos = 2.10 + −0.7 1 + 1.52
8. É o aspecto dual das funções atacando de novo: elas são vetores construídos ponto-a- ponto.
9. Desenhei abaixo as 4 polinomiais (vetores) da base canônica de ℙ3 .
10. Com este programa desenhei a polinomial de grau 3, dada por () = 2 − x − 22 + 3. Veja na próxima transparência.
11. Mestre, basta passar os coeficientes da polinomial, como as coordenadas para vetores coluna!
12. Ora, a igualdade = 0 0 + 1 1 + 2 2 independe do valor de x. Ela é uma igualdade de vetores! Mestra, que 0 , 1 , 2 geram o ℙ2 é óbvio. Mas, como faço para provar que elas são LI ?
13. Lembre-se do aspecto dual das funções: elas são vetores construídos ponto-a-ponto.
14. 1 1 1 1 2 4 1 3 9 0 1 2 = 0 0 0 ቐ 0 + 1 + 2 = 0 0 + 1 2 + 2 4 = 0 0 + 1 3 + 2 9 = 0 Portanto, essa igualdade vale para qualquer valor particular de . Escolhendo = 1,2,3 obteremos o sistema linear 3x3 sob meus pés (de Vandermonde), cuja solução é 0 = 1 = 2 = 0.
15. Repetindo a fala do Surfista. Para definir uma função polinomial de ℙ2 basta especificar suas coordenadas 0 , 1 , 2 na base canônica: = 0 0 + 1 1 + 2 2 É exatamente essa a ideia utilizada para definir a classe polynomial da Numpy. Basta dar as coordenadas da polinomial p na base canônica.
16. Vamos tornar a utilizar a NumPy para fazer Cálculo Numérico. Pois é, Mestre, já estava demorando!
17. Você encontrará as funções polinomiais em Rotinas, na Referência do Numpy. Clique em Polynomials.
18. Após clicar você verá que as informações sobre o Pacote Polynomials começam aqui. Agora clique em Polynomial Package!
19. Antes, quero lembrar que a estruturação padrão em Python é: pacotes (pastas) são constituídos por módulos (arquivos tipo .py) que possuem classes, compostas por atributos e métodos. Atributos • aaa • ⋅⋅⋅ Métodos • f( ) • ⋅⋅⋅ Classe Xyz Atributos • aaa • ⋅⋅⋅ Métodos • f( ) • ⋅⋅⋅ Classe Abc
20. Fiz um recorte do help para resumir a estruturação do pacote polynomial. Percebam que ele é constituído por seis módulos, cada um com uma classe homônima.
21. numpy . polynomial . polynomial . Polynomial numpy . polynomial . chebyshev . Chebyshev ... ... ... ... numpy . polynomial . hermite_e . HermiteE pacote sub-pacote módulos classes Tornando a repetir:
22. Caro Manual, é aqui que chegamos pós clicar em Polynomial Package. Por enquanto veremos apenas o 1ª deles - o módulo Polynomial. Pularemos a introdução.
23. Estudaremos todos os tópicos indicados no Módulo, exceto o “Fitting”, que ficará para mais tarde,
24. O 1º passo é criar uma função polinomial.
25. 1. Importar o módulo polynomial (dentro de numpy.polinomial) 2. Criar p chamando o construtor Polynomial(), da classe polynomial passando os parâmetros coef, domain e window. Os passos envolvidos na criação de uma função polinomial p: 1 2
26. Uma execução do programa do Mestre. Experimentem executá-lo com outros parâmetros.
27. Este outro programa recebe os parâmetros e retorna o gráfico da polinomial.
28. Pelo gráfico percebemos que a função polinomial possui 3 raízes reais, um ponto de máximo local, outro de mínimo local e um ponto de inflexão. Também fica evidente seu comportamento para → ±∞. = −2 − 3 + 2 + 3
29. Grau da polinomial an > 0 Par lim →+∞ = +∞ lim →−∞ = +∞ Ímpar lim →+∞ = +∞ lim →−∞ = −∞ O comportamento das funções polinomiais para → ±∞ depende apenas do termo de maior grau da polinomial (se n é ímpar ou par) e do sinal do seu coeficiente, o an : Se an < 0 é só trocar o sinal dos limites
30. Mestre, eu realmente não entendi o parâmetro “window” Pois é, a explicação está aqui:
31. 0 x 0 |x| s(x) |k∗x| x Em outras palavras, quando usamos ≠ estamos, na verdade, trabalhando com uma polinomial composta ∘ , onde s é a função afim, translação mais fator de escala, definida por = 0 + ∗ , com = || ||
32. 1. Quando = o 2º e 3º gráficos se superpõe. 2. Para outros valores de k, isto não acontece. Confiram nas duas próximas transparências. Fizemos um programa que mostra 3 gráficos: 1. O de uma polinomial p com Window = Domain, 2. O da mesma polinomial p, mas com Window ≠ Domain, 3. Um 3º da mesma polinomial p, com o mesmo Domain, mas substituindo a variável x por ∗ , onde k um fator de escala para a variável x.
33. Escolhemos primeiro = 0.5 ≠ || || . NÃO há superposição do 2º e 3º gráficos.
34. Agora, escolhemos = || || = 0.75 . O 2º e 3º estão superpostos e para visualizá- los, foi necessário desenhar o 2º tracejado em negro e o 3º pontilhado em vermelho.
35. Este é o programa que permitiu a visualização, na 2ª execução.
36. As funções polinomiais são fáceis de derivar e integrar. = ෍ =0 [] = ෍ =1 −1 () = ෍ =0 + 1 +1 + .
37. As funções polinomiais são contínuas e infinitamente diferenciáveis. Elas também integráveis (pq. são contínuas) Infinitamente diferenciáveis só porque derivada de ordem n de uma polinomial de grau n é uma constante e a derivada de ordem n+1 é zero: x = cte , +1 = 0
38. Estes são os métodos do Módulo Polynomial, que permitem derivar e integrar funções polinomiais.
39. Para derivar uma função polinomial p fornecemos seus coeficientes (e, se desejarmos, o número m de vezes a derivar).
40. Minha ajuda sobre integração de polinomiais.
41. A continuação.
42. Neste programa eu mostro como utilizar esses métodos para derivar e integrar uma função polinomial.
43. A parte do código que gera o gráfico e o texto gerado na saída.
44. Os gráficos, da polinomial p, de sua derivada Dp e de sua integral indefinida Ip (anti-derivada), gerados pelo meu programa.
45. Ao expandirmos um produto como − 0 − 1 − 2 − 3 Obteremos, obviamente, uma polinomial de grau 4 em x, cujas raízes são 0 , 1 , 2 , 3 . Essa polinomial terá a forma padrão 4 4 + 3 32 21 x + 0 , 4 = 1, cujos coeficientes são obtidos, com um bocado de algebrismo, a partir das raízes.
46. O método polyfromroots() gera a polinomial a partir do produto, como abaixo:
47. Este programa gera o gráfico de uma polinomial a partir de suas raízes.
48. Esse é o gráfico da polinomial, com as raízes assinaladas.
49. Ele é uma consequência trivial e imediata da fatoração: = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 . São só 4 adições e 4 multiplicações. O algoritmo de Briot-Ruffini-Horner é o algoritmo mais rápido para calcular o valor de uma função polinomial como = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4
50. Mestre, ensine como implementar o algoritmo. Surfista, construa recursivamente um vetor 4 3 2 1 0 como o da nossa frente. Confira que 0 = () comparando com a nuvem! 4 = 4 3 = 3 + 4 2 = 2 + 3 1 = 1 + 1 0 = 0 + 1 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4
51. Se () é uma função polinomial de grau ≥ 1, então a equação () = 0 Possui pelo menos uma raiz (real ou complexa). Teorema fundamental da Álgebra Carl Friedrich Gauss demonstrou o seguinte resultado em sua tese de doutorado:
52. Como as raízes complexas ocorrem aos pares (a raiz e sua complexa conjugada), se o grau da polinomial é ímpar com certeza ela possui uma raiz real. Segue do Teorema fundamental da Álgebra que: uma função polinomial = () de grau n possui n raízes reais ou complexas.
53. Surfista, faremos um programa que permite determinar as raízes de uma equação polinomial () = 0. Loirinha, faça outro programa que permita achar os pontos de inflexão dessa mesma polinomial.
54. Muito simples Mestra, basta usar o método polyroots() Veja:
55. Estou apreciando sua performance, Surfista. Continue assim!
56. Ficou bom mesmo!
57. Já vimos vários métodos para obter raízes aproximadas de equações, não apenas para equações polinomiais. O polyroots() é específico para polinomiais. O Mestre fez um programa para mostrar o gráfico de uma polinomial () e assinalar seus pontos de máximo, mínimo e inflexão. Mostra também os gráficos das derivadas de ordem 1 e 2 da ().
58. Os resultados do meu programa:
59. O programa é longo:
60. Sua continuação:
61. Acabou!
62. As polinomiais permitem visualizar o conceito de ordem de aproximação nas vizinhanças de zero.
63. Este programa mostra o gráfico das funções polinomiais da base canônica de ℙ5 .
64. Mestre, são lindos, esses gráficos das funções polinomiais básicas de ℙ5.
65. Observem que para k = 0,1,2, ... • p k (1) = 1, • p k (0) = 0, k ≠ 0 E também para ∈ (0, 1) que: 0 > 1 () > 2 () > ⋯
66. O programa do último gráfico.
67. Naturalmente, para k > 0, lim →0 = 0. e, maior o k, mais rápida a convergência.
68. Seja f uma função tal que lim →0 = 0. Se existir alguma constante M > 0 tal que ℎ ≤ ℎ, ℎ ∈ [0, ), para suficientemente pequeno, escreveremos = ℴ(ℎ) e diremos que f converge a zero com ordem k (polinomialmente).
69. Portanto se = ℴ ℎ2 e = ℴ(ℎ) então f converge mais rapidamente a zero do que g. Confiram na figura!
70. Provaremos mais adiante que as DDF avançadas e retardadas aproximam a derivada linearmente, e que a DDF centrada aproxima quadraticamente. Mas Mestra, os gráficos lá obtidos mostram convergência exponencial. Obtives retas em escala logarítmica!
71. É porque lá usamos ℎ = ൗ 1 2 Que decai exponencialmente a zero com k, colega! Surfista, mostre graficamente que a convergência do método de Newton- Raphson é quadrática. Compare (também graficamente) a velocidade de convergência dos métodos da secante, ponto-fixo e bisseção.
72. Vou mostrar outras bases do espaço das polinomiais.
73. Quando apresentei o pacote Polynomial, mostrei os diversos módulos abaixo:
74. Esses módulos/classes, em última análise, apresentam outras bases do espaço das polinomiais. Elas surgem de forma natural na resolução, por separação de variáveis, de problemas de valor de contorno onde o domínio apresenta algum tipo de simetria. Infelizmente, em nosso curso, não teremos oportunidade de trabalhar com esses problemas.
75. Funções dessas classes de polinomiais serão utilizadas como funções peso nas fórmulas de “integração gaussiana”.
76. Mas vejam os 6 primeiros elementos da base de Chebyshev e suas expansões na base canônica:
77. O programa que mostra os gráficos e as expressões dos polinômios de Chebyshev.
78. Os 6 primeiros elementos da base de Legendre e suas expansões na base canônica:
79. O programa que mostra os gráficos e as expressões dos polinômios de Legendre.
80. Tchau até a próxima aula!