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Polinomiais e a NumPy

Polinomiais e a NumPy

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Paulo Bordoni

July 07, 2016
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Transcript

  1. Conjuntos permitem agrupar coisas mediante propriedades. Algumas delas permitem subclassificar

    seus elementos. Subespaços vetoriais incorporam essa ideia.
  2. As funções polinomiais em ℝ constituem um subespaço de ℱ.

    E ele é anotado . Sim: • A soma de polinomiais também é uma função polinomial. • A múltipla de uma função polinomial não perde a sua qualidade.
  3. O conceito de base de um espaço vetorial desempenha um

    papel fundamental para operar com as polinomiais.
  4. Lembrem-se, uma base B de um espaço vetorial V é

    um subconjunto linearmente independente maximal. Maximal significa: se ∉ então ∪ será LD.
  5. A base canônica dos vetores-coluna de ordem 3, o ℝ3,

    é 1 = 1 0 0 , 2 = 0 1 0 , 3 = 0 0 1 , É. Ela que permite escrevermos 2.1 −0.7 1.5 = 2.11 + (−0.7)2 + 1.53
  6. A base canônica do espaço ℙ2, das funções polinomiais de

    grau menor ou igual a 2 é constituída pelas polinomiais: 0 () = 0 = 1, 1 () = 1 = , 2 () = 2 . A ideia é a mesma. Para = 2.1 + −0.7 + 1.52 temos = 2.10 + −0.7 1 + 1.52
  7. É o aspecto dual das funções atacando de novo: elas

    são vetores construídos ponto-a- ponto.
  8. Com este programa desenhei a polinomial de grau 3, dada

    por () = 2 − x − 22 + 3. Veja na próxima transparência.
  9. Ora, a igualdade = 0 0 + 1 1 +

    2 2 independe do valor de x. Ela é uma igualdade de vetores! Mestra, que 0 , 1 , 2 geram o ℙ2 é óbvio. Mas, como faço para provar que elas são LI ?
  10. 1 1 1 1 2 4 1 3 9 0

    1 2 = 0 0 0 ቐ 0 + 1 + 2 = 0 0 + 1 2 + 2 4 = 0 0 + 1 3 + 2 9 = 0 Portanto, essa igualdade vale para qualquer valor particular de . Escolhendo = 1,2,3 obteremos o sistema linear 3x3 sob meus pés (de Vandermonde), cuja solução é 0 = 1 = 2 = 0.
  11. Repetindo a fala do Surfista. Para definir uma função polinomial

    de ℙ2 basta especificar suas coordenadas 0 , 1 , 2 na base canônica: = 0 0 + 1 1 + 2 2 É exatamente essa a ideia utilizada para definir a classe polynomial da Numpy. Basta dar as coordenadas da polinomial p na base canônica.
  12. Após clicar você verá que as informações sobre o Pacote

    Polynomials começam aqui. Agora clique em Polynomial Package!
  13. Antes, quero lembrar que a estruturação padrão em Python é:

    pacotes (pastas) são constituídos por módulos (arquivos tipo .py) que possuem classes, compostas por atributos e métodos. Atributos • aaa • ⋅⋅⋅ Métodos • f( ) • ⋅⋅⋅ Classe Xyz Atributos • aaa • ⋅⋅⋅ Métodos • f( ) • ⋅⋅⋅ Classe Abc
  14. Fiz um recorte do help para resumir a estruturação do

    pacote polynomial. Percebam que ele é constituído por seis módulos, cada um com uma classe homônima.
  15. numpy . polynomial . polynomial . Polynomial numpy . polynomial

    . chebyshev . Chebyshev ... ... ... ... numpy . polynomial . hermite_e . HermiteE pacote sub-pacote módulos classes Tornando a repetir:
  16. Caro Manual, é aqui que chegamos pós clicar em Polynomial

    Package. Por enquanto veremos apenas o 1ª deles - o módulo Polynomial. Pularemos a introdução.
  17. 1. Importar o módulo polynomial (dentro de numpy.polinomial) 2. Criar

    p chamando o construtor Polynomial(), da classe polynomial passando os parâmetros coef, domain e window. Os passos envolvidos na criação de uma função polinomial p: 1 2
  18. Pelo gráfico percebemos que a função polinomial possui 3 raízes

    reais, um ponto de máximo local, outro de mínimo local e um ponto de inflexão. Também fica evidente seu comportamento para → ±∞. = −2 − 3 + 2 + 3
  19. Grau da polinomial an > 0 Par lim →+∞ =

    +∞ lim →−∞ = +∞ Ímpar lim →+∞ = +∞ lim →−∞ = −∞ O comportamento das funções polinomiais para → ±∞ depende apenas do termo de maior grau da polinomial (se n é ímpar ou par) e do sinal do seu coeficiente, o an : Se an < 0 é só trocar o sinal dos limites
  20. 0 x 0 |x| s(x) |k∗x| x Em outras palavras,

    quando usamos ≠ estamos, na verdade, trabalhando com uma polinomial composta ∘ , onde s é a função afim, translação mais fator de escala, definida por = 0 + ∗ , com = || ||
  21. 1. Quando = o 2º e 3º gráficos se superpõe.

    2. Para outros valores de k, isto não acontece. Confiram nas duas próximas transparências. Fizemos um programa que mostra 3 gráficos: 1. O de uma polinomial p com Window = Domain, 2. O da mesma polinomial p, mas com Window ≠ Domain, 3. Um 3º da mesma polinomial p, com o mesmo Domain, mas substituindo a variável x por ∗ , onde k um fator de escala para a variável x.
  22. Escolhemos primeiro = 0.5 ≠ || || . NÃO há

    superposição do 2º e 3º gráficos.
  23. Agora, escolhemos = || || = 0.75 . O 2º

    e 3º estão superpostos e para visualizá- los, foi necessário desenhar o 2º tracejado em negro e o 3º pontilhado em vermelho.
  24. As funções polinomiais são fáceis de derivar e integrar. =

    ෍ =0 [] = ෍ =1 −1 () = ෍ =0 + 1 +1 + .
  25. As funções polinomiais são contínuas e infinitamente diferenciáveis. Elas também

    integráveis (pq. são contínuas) Infinitamente diferenciáveis só porque derivada de ordem n de uma polinomial de grau n é uma constante e a derivada de ordem n+1 é zero: x = cte , +1 = 0
  26. Para derivar uma função polinomial p fornecemos seus coeficientes (e,

    se desejarmos, o número m de vezes a derivar).
  27. Os gráficos, da polinomial p, de sua derivada Dp e

    de sua integral indefinida Ip (anti-derivada), gerados pelo meu programa.
  28. Ao expandirmos um produto como − 0 − 1 −

    2 − 3 Obteremos, obviamente, uma polinomial de grau 4 em x, cujas raízes são 0 , 1 , 2 , 3 . Essa polinomial terá a forma padrão 4 4 + 3 32 21 x + 0 , 4 = 1, cujos coeficientes são obtidos, com um bocado de algebrismo, a partir das raízes.
  29. Ele é uma consequência trivial e imediata da fatoração: =

    0 + 1 + 2 + 3 + 4 . São só 4 adições e 4 multiplicações. O algoritmo de Briot-Ruffini-Horner é o algoritmo mais rápido para calcular o valor de uma função polinomial como = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4
  30. Mestre, ensine como implementar o algoritmo. Surfista, construa recursivamente um

    vetor 4 3 2 1 0 como o da nossa frente. Confira que 0 = () comparando com a nuvem! 4 = 4 3 = 3 + 4 2 = 2 + 3 1 = 1 + 1 0 = 0 + 1 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4
  31. Se () é uma função polinomial de grau ≥ 1,

    então a equação () = 0 Possui pelo menos uma raiz (real ou complexa). Teorema fundamental da Álgebra Carl Friedrich Gauss demonstrou o seguinte resultado em sua tese de doutorado:
  32. Como as raízes complexas ocorrem aos pares (a raiz e

    sua complexa conjugada), se o grau da polinomial é ímpar com certeza ela possui uma raiz real. Segue do Teorema fundamental da Álgebra que: uma função polinomial = () de grau n possui n raízes reais ou complexas.
  33. Surfista, faremos um programa que permite determinar as raízes de

    uma equação polinomial () = 0. Loirinha, faça outro programa que permita achar os pontos de inflexão dessa mesma polinomial.
  34. Já vimos vários métodos para obter raízes aproximadas de equações,

    não apenas para equações polinomiais. O polyroots() é específico para polinomiais. O Mestre fez um programa para mostrar o gráfico de uma polinomial () e assinalar seus pontos de máximo, mínimo e inflexão. Mostra também os gráficos das derivadas de ordem 1 e 2 da ().
  35. Observem que para k = 0,1,2, ... • p k

    (1) = 1, • p k (0) = 0, k ≠ 0 E também para ∈ (0, 1) que: 0 > 1 () > 2 () > ⋯
  36. Naturalmente, para k > 0, lim →0 = 0. e,

    maior o k, mais rápida a convergência.
  37. Seja f uma função tal que lim →0 = 0.

    Se existir alguma constante M > 0 tal que ℎ ≤ ℎ, ℎ ∈ [0, ), para suficientemente pequeno, escreveremos = ℴ(ℎ) e diremos que f converge a zero com ordem k (polinomialmente).
  38. Portanto se = ℴ ℎ2 e = ℴ(ℎ) então f

    converge mais rapidamente a zero do que g. Confiram na figura!
  39. Provaremos mais adiante que as DDF avançadas e retardadas aproximam

    a derivada linearmente, e que a DDF centrada aproxima quadraticamente. Mas Mestra, os gráficos lá obtidos mostram convergência exponencial. Obtives retas em escala logarítmica!
  40. É porque lá usamos ℎ = ൗ 1 2 Que

    decai exponencialmente a zero com k, colega! Surfista, mostre graficamente que a convergência do método de Newton- Raphson é quadrática. Compare (também graficamente) a velocidade de convergência dos métodos da secante, ponto-fixo e bisseção.
  41. Esses módulos/classes, em última análise, apresentam outras bases do espaço

    das polinomiais. Elas surgem de forma natural na resolução, por separação de variáveis, de problemas de valor de contorno onde o domínio apresenta algum tipo de simetria. Infelizmente, em nosso curso, não teremos oportunidade de trabalhar com esses problemas.
  42. Mas vejam os 6 primeiros elementos da base de Chebyshev

    e suas expansões na base canônica: