Raízes de equações

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1. Determinação de raízes de equações Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ Raízes de equações Prof. Paulo R. G. Bordoni
2. O número irracional 2 é o número ∈ ℝ para o qual 2 = 2. É, usando uma maquininha de calcular acho 2 = 1,414213562373095. E, elevando 1,414213562373095 ao quadrado, obtenho 2.
3. Pois é Loirinha, esse problema é um pouco mais difícil. E se eu quisesse calcular 3 2 ? Bem, aí eu uso Python:
4. Como o Surfista imagina que Python calcula 3 2 ?
5. Surfista, nossa proposta é mais abrangente. Sim, pretendemos construir algoritmos para calcular 2, 10, 3 2 , etc. Coisas que possamos usar em muitas outras situações.
6. 1. Escolher um número s ( p/ex. = 1.4 ); 2. Elevá-lo ao quadrado, obtendo s 2 ( 1.42 = 1.96 ); 3. Conferir o resultado, s 2, com 2 ( 1.96 < 2 ); 4. Se não estiver satisfeito, repetir os passos anteriores com uma escolha melhor de s ( p/ex. = 1.5 ). Pegando carona na resposta da Loirinha, uma forma de calcular 2 é ir conferindo o resultado: ... elevando 1,414213562373095 ao quadrado, obtenho 2.
7. E eu fico tentando até dar certo? 1.5 2.25 > 2 2 2 2 1.4 1.96 < 2 2 Bem, você não falhará se for cercando a resposta pelo seu efeito. Veja:
8. E porque você escolheu 1.45, Loirinha? Legal Mestre! Então 1.45 é melhor
9. 1.4 1.5 1.45 1.452 = 2.1025 1.42 = 1.96 1.52 = 2.25 Ora, porque 1.45 está na metade de 1.4 e 1.5: Valeu, Loirinha. É só ir repetindo o processo para 1.4 e 1.45, de olho no efeito!
10. 1.4 1.5 1.45 1.42 = 1.96 1.452 = 2.1025 1.4252 = 2,030625 Vejam! Já temos uma casa correta depois da vírgula no resultado!
11. N x x2 1 1.4 1.96 2 1.5 2.25 3 1.45 2.1025 4 1.425 2.030625 5 1.4125 1.99515625 6 1.41875 2.01285156 7 1.415625 2.0039941 ... ... ... 2 2.0 Podemos ir continuando, até ficarmos satisfeitos com o número de “casas decimais” corretas em x2. Eis a sequência dos 7 primeiros valores de x e x2 obtidos com esse processo.
12. • Começamos com 0 = 1.4 e 1 = 1.5, sabendo que 2 está entre os dois • Portanto para = 1 − 0 , tanto | 0 − 2 | < como | 1 − 2 | < • Em seguida dividimos o intervalo à metade com 2 e garantimos que 2 está numa das metades • Portanto | 2 − 2 | < /2 • Continuando o processo, garantimos (prove!) que | +1 − 2 | < /2 Mas e a precisão na aproximação para 2 ? Então Loirinho (...), nosso procedimento foi o seguinte:
13. Além de dar uma estimativa para o erro, essa última desigualdade garante, também, que a sequência 0 , 1 , 2 , ⋯ , , ⋯ converge para 2, isto é lim →∞ = 2. Sim Mestra, pois de | +1 − 2 | < 1/2 garantimos que lim →∞ | +1 − 2 | < lim →∞ 1/2 = 0
14. Mestra, sabemos que 210 = 1024. Assim, | 10+1 − 2 | < 1 210 = 1 1024 < 0.001, Isto garante que 11 aproxima 2 com erro menor que um milésimo. Sim. E qual será o valor de k para o qual garantimos uma aproximação com a precisão do Single, de 6~7 casas decimais corretas?
15. Bem jovens, para uma precisão de 7 casas decimais, precisamos garantir que | +1 − 2 | < 0.5 × 10−7. Sim Mestra, e como | +1 − 2 | < 1/2, basta garantirmos que 1/2 < 0.5 × 10−7. Resolvendo essa inequação obtemos k = 25.
16. Como? Ora, de 1/2 < 0.5 × 10−7, segue 107 < 2−1 e portanto 7 log 10 < log(2−1). Então − 1 0.301030 > 7 e assim k = 25.
17. Jovens, vocês perceberam que acabamos de descrever, em detalhes, como resolver a equação 2 − 2 = 0.
18. Um problema importante em Computação Científica é a resolução de equações. É o que passaremos a estudar. No 2º grau aprendemos a resolver equações do 1º e do 2º grau. Nas quadráticas usávamos a fórmula de Bhaskara.
19. No século XVI matemáticos italianos como Cardano e Tartaglia investiram muito na obtenção de fórmulas para calcular raízes de equações de grau maior que dois.
20. Deve-se a P. Ruffini (1799) e N. H. Abel (1824), a prova do Teorema que hoje leva seus nomes: Para ≥ 5, não há uma fórmula geral, envolvendo os coeficientes da equação polinomial + ⋯ + 1 1 + 0 = 0 que permita calcular suas raízes, como no caso das equações de 1º e 2º graus.
21. Antes aprender a resolver equações, Mestres, respondam-me: O que é uma equação? Ah Loirinha, a fórmula de Bhaskara resolve a equação do 2º grau 2 + + = 0.
22. Surfista querido, ela é só um exemplo de equação. Sempre fiquei intrigada em saber o que é, de fato, uma equação. Sendo breve, uma equação como () = 0 é uma sentença aberta numa variável x .
23. Valores de x que tornam a sentença () = 0 verdadeira são raízes (soluções) da equação. Sim, 2 e − 2 tornam verdadeira a sentença 2 − 2 = 0.
24. Passaremos a analisar alguns métodos clássicos para a obtenção de soluções de equações. Os métodos clássicos mais conhecidos são o da bisseção, o de Newton-Raphson, o do ponto-fixo e algumas variantes deles.
25. Todos eles fazem parte de uma classe mais ampla de métodos, chamados métodos iterativos, que se aplicam aos mais diversos tipos de equações. E pensar que a famosa fórmula de Bhaskara , que demoramos tanto tempo para aprender no 2º grau, só se aplica a equações do 2° grau, 2 + + = 0.
26. Consideraremos equações já na forma padrão = 0, onde : , → ℝ é uma função contínua, calculável através da expressão = (). Vamos assumir que r é uma raiz dessa equação, isto é, que = 0 é uma sentença lógica verdadeira.
27. Um método iterativo para achar r envolve a criação de uma sequência , , , ⋯ , , ⋯ que converge para r, isto é lim →∞ = .
28. Ih, ferrou! Funções contínuas, sequências e limites. É o Cálculo nos atacando de novo! Pois é, vocês estão estudando Cálculo numérico!
29. Na realidade, nos métodos iterativos, vamos achar aproximações r* para a raiz r. Em outras palavras acharemos números ∗ tais que − ∗ < para ε bem pequeno. A bem da verdade épsilons minúsculos, por exemplo = 10−7, 10−10, 10−15, etc.
30. A aproximação r* para a raiz r será obtida a partir da sequência , , , ⋯ , , ⋯ quando ela converge para r. Quando ela converge, para algum k suficientemente grande, teremos − < . Então escolhemos ∗ = .
31. Mestres, agora algo mais prático, por favor! Vamos começar refazendo o método da bisseção para o caso geral, uma equação na forma padrão = 0.
32. Onde : [, ] → ℝ é uma função calculável através da expressão () e é contínua em [a, b]. é o valor de f em . ()
33. () () () Pelo Teorema do Valor Intermediário, se f possui sinais contrários nos extremos a e b então existe pelo menos um ponto (, ) tal que = 0. Dito de outra forma, a equação = 0 possui pelo menos uma raiz em (a, b). Num ponto , () poderá ser positiva, negativa ou nula:
34. = = Como 1º passo do processo, definimos o extremo esquerdo fazendo ↤ (leia: receber a) e o extremo direito fazendo ↤ . Descoberto um intervalo (, ) no qual f possui sinais contrários, podemos começar o processo iterativo. • Em programação: ↤ • Em matemática: =
35. O 2º passo é calcular o ponto médio do intervalo, ↤ ( + )/2. O 3º passo é calcular calcular ( ) e compará-lo com ( ). ( ) ( )
36. São três as possibilidades: i. Se × = 0, a raiz já é . é, = . () ii iii ii. Senão, se × ( ) < 0, a raiz r está na metade da esquerda. Nesse caso o novo será (i. é, ↤ ). iii. Caso contrário, a raiz r está na metade da direita. Nesse caso ↤ ( passa a ser ).
37. No caso i, encerramos o processo, informando: A raiz é = . Nos outros dois casos, precisamos testar a precisão para decidir: A. Se | − | < e < , então colocamos ∗ ↤ e encerramos; B. Senão, retornamos ao 2º passo para mais uma iteração.
38. São duas condições de parada para anunciar ∗: • Proximidade da raiz: | − | < • Anulação aproximada do valor da função: < Um lembrete: não adianta pedir maior precisão que a “máquina” pode fornecer.
39. Esta é a função que implementa o método da bisseção. Assinalei em vermelho as condições de parada.
40. O programa é para uma equação genérica () = 0. Os dados são: • Domínio de f • Expressão de f • Máximo de iterações • O limite para o erro Dados Chamada da função Resultados Gráfico
41. Aqui testamos para achar 2, com a equação 2 − 2 = 0.
42. Agora vamos obter as raízes (se houver alguma) da equação 33 − 52 + 2 = 0 E como começamos Mestre? Não tenho a mínima ideia do lugar onde estão as raízes dessa equação!
43. Esse é um bom primeiro passo, meu Surfista! Bem Loirinha, uma ideia é subdividir um intervalo grande em pedacinhos e verificar se há variação de sinal nos pedacinhos. a b
44. Fiz uma função troca_sinal( ) para indicar os sub-intervalos:
45. Aqui estou chamando a troca_sinal( ) para a função = 33 − 52 + 2. Primeiro chamei com 50 sub-intervalos e depois repetí com 100. Minha conclusão é que ela só tem uma raiz real.
46. É, você só localizou uma raiz real. Entretanto, pela teoria, toda polinomial de grau 3 tem 3 raízes reais ou complexas. Pode ser que as outras duas sejam complexas conjugadas. Será que sua busca está certa?
47. Os resultados do método da bisseção, feito pelo Mestre, para a equação 33 − 52 + 2 = 0 e 4 casas após a vírgula, no intervalo [−1.6, −0.5].
48. Bem jovens, uma outra possibilidade é examinar o gráfico da função. O Professor fez um programa com o MatPlotLib que gera o gráfico de uma função num intervalo. Surfista, fiquei intrigada com a possibilidade de existirem mais raízes reais para aquela equação polinomial de grau 3. Como poderemos decidir?
49. Eis meu programa:
50. Observem o detalhe da utilização da função eval( ), uma função de Python, que transforma uma string num código executável.
51. Testando a função graf_func( ) com = 2 − 2.
52. Agora vamos utilizar a função construída pelo Professor para localizar as raízes da equação 33 – 52 + 2 = 0 e tirar a dúvida da Loirinha!
53. Vou mostrar apenas uma vez como chamar a função graf_func( ) para desenhar o gráfico da função () = 33 – 52 + 2. Depois é igual.
54. Obtivemos este gráfico. Dele não concluo nada! Comece observando a diferença enorme entre as escalas horizontal e vertical.
55. Olhando para o gráfico, concluímos que não existem raízes fora do intervalo [-10. , 10.] É verdade Mestre. Vou traçar o gráfico nesse intervalo [-10. , 10.]
56. A diferença entre as escalas ainda é muito grande. Vejam! Reduza para o intervalo [-5. , 5.]. Não existem raízes fora dele, Loirinha
57. Reduzi, Mestre. E podemos reduzir ainda mais. Vemos que não há raízes fora de [-2. , 2.].
58. Ok Mestre. Agora podemos afirmar que as raízes estão no intervalo [-1. , 1.5]. Vou conferir!
59. Puxa! O Surfista localizou a raiz negativa, mas perdeu as duas positivas! Vou examinar o intervalo [0.5 , 1.5] .
60. Agora vemos que uma das raízes positivas provavelmente é 1.0. A outra está entre 1.2 e 1.3.
61. 3 ∗ (1 ∗∗ 3) – 5 ∗ (1 ∗∗ 2) + 2 = 3 – 5 + 2 = 0 Substituindo e fazendo as contas, conferimos que 1.0 é, de fato, raiz da equação 33 – 52 + 2 = 0. Veja só:
62. Para a 3ªraiz apliquei o método da bisseção feito pelo Mestre, entre 1.2 e 1.3 e obtive:
63. Pois é, só quando usei meu programa para 150 subintervalos é que localizei todas as trocas de sinal...
64. Sir Isaac Newton 25/12/1642 – 20/03/1727 “Se enxerguei mais longe, é porque estava nos ombros de gigantes”.
65. Ele foi um dos maiores presentes de “Papai Noel” para a humanidade!
66. Sempre que falam do Newton, lembro da derivada e da reta tangente. Sim Loirinha, ela “cola” na função perto do ponto de tangência! E o valor numérico da derivada é o coeficiente angular da reta tangente.
67. O método de Newton –Rhapson usa essa propriedade da reta tangente para gerar uma sequência 0 , 1 , 2 , … , , … de aproximações para a raiz.
68. ( ) f r raiz Veja como na figura, Loirinha. E, dado , como eu calculo +1 , Mestre? +1
69. ( ) f r Confira, Surfista, que equação da reta tangente por ( , ) é = ′( )( − ) + ( ) . E, como a Mestra mostrou, +1 = 0. +1
70. ( ) f r raiz Assim, fazendo = +1 na expressão da reta tangente, obtemos 0 = ′( )(+1 − ) + ( ). Então é só isolar +1 : +1 = − ( )/′( ), se ′( ) ≠ 0 +1
71. O processo iterativo é o seguinte: 1. Como antes, 0 é um “chute inicial”, próximo da raiz; 2. Dado definimos +1 como o ponto onde a reta tangente por ( , ) corta o eixo-x; 3. Paramos quando a precisão for satisfatória; senão voltamos ao passo 2.
72. Portanto, o método de Newton-Raphson é definido por: +1 = − ′ , = 0,1, ⋯ 0 dado No caso de , temos = 2 − e o processo iterativo fica: +1 = − ( 2−)/2 , = 0,1, ⋯ 0 =
73. Meu programa para calcular para um número real dado a, pelo método de Newton-Raphson.
74. A continuação dele.
75. Os resultados para = 7 e = 785.4.
76. Agora o Método de Newton-Raphson para uma função genérica.
77. O código é maior.
78. O final do código.
79. Exemplos:
80. Um exemplo final:
81. Vamos mostrar uma aplicação do Método de Newton-Raphson envolvendo as raízes sextuplas da unidade no plano complexo. Não lembro mais o que é uma raiz sextupla da unidade, Mestre.
82. ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3 4 5 Elas são as raízes (complexas) da equação 6 = 1. São os números complexos dados por = 2 /6, para = 0,1, ⋯ , 5.
83. Cacilda! Quando eu crescer quero ser como você, Mestre. Lembre-se, Surfista, que = cos + sen(). Então, para = 2 /, com > 0 e = 0,1, ⋯ , − 1, ambos inteiros, temos: ( 2 / ) = 2 = = cos 2 + sen 2 = 1.
84. Este programa mostra as propriedades das raízes da unidade.
85. Confira: ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3
86. Novamente: ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3 4 5
87. Vamos construir uma linda fractal pintando o quadrado [0,1]x[0,1] do plano complexo com 6 cores. Uma cor para cada raiz da unidade. Agora, vamos à aplicação prometida.
88. Usaremos estas cores.
89. Cada um deles receberá a cor corresponde à raiz para qual o método convergir, graduada pelo número de iterações em tons de cinza. Limitaremos a 40 o número de iterações. Dividiremos o quadrado complexo em 500x500 pixeis. Cada pixel será um chute inicial para o método de Newton-Raphson, assim teremos 250.000 chutes iniciais.
90. O código do programa é o seguinte:
91. Continuação do código: Na última linha estamos medindo o tempo de execução do código.
92. A fractal das raízes triplas da unidade.
93. A fractal das raízes quádruplas da unidade.
94. A fractal das raízes quíntuplas da unidade.
95. A fractal das raízes sextuplas da unidade.
96. Este exemplo mostra, de forma artística e fantástica a instabilidade do método de Newton-Rhapson com relação ao “chute inicial”. Lembrem-se marcamos um ponto com vermelho quando, a partir dele, o método de Newton-Rhapson converge para a “raiz vermelha”. Definam agora, na figura, o conjunto constituído pelas regiões pintadas de vermelho ...
97. Tchau, até a próxima aula!