Alexandre Skrzypczak - Analyse du PAPR pour les modulations multiporteuses avec forme d'onde

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1. Access Networks France Telecom Research & Development 1 Analyse du PAPR pour les modulations multiporteuses avec forme d'onde 9 Novembre 2006 Alexandre SKRZYPCZAK - RESA/BWA/IRI alexandre.skrzypczak@orange-ftgroup.com Le présent document contient des informations qui sont la propriété de France Télécom. L'acceptation de ce document par son destinataire implique, de la part de ce dernier, la reconnaissance du caractère confidentiel de son contenu et l'engagement de n'en faire aucune reproduction, aucune transmission à des tiers, aucune divulgation et aucune utilisation commerciale sans l'accord préalable écrit de France Télécom R&D Access Networks France Telecom Research & Development 2 Généralités sur les MCM ÎLes études sur les modulations multiporteuses (MCM) ont commencé vers la fin des années 50 (FDM). ÎIdée: transmettre des données en parallèle en utilisant plusieurs fréquences porteuses. 9La transmission est faite sur des bandes de fréquence plus étroites. 9Adaptée sur des canaux sélectifs en fréquence. ÎLa plus connue des MCM reste l'OFDM. 9Multiplex orthogonal de fréquences. 9Présent dans de nombreux standards (ADSL, DAB, DVB-T, Home Plug, …). 9Possède de nombreuses variantes: OFDM-IG, PRP-OFDM, VOFDM, …
2. Access Networks France Telecom Research & Development 3 Quelques rappels sur l'OFDM ÎLe signal OFDM en formalisme continu s'écrit: 9Π T0 est la fonction porte de durée T 0 centrée en 0. 9M est le nombre de porteuses. 9T 0 et F 0 sont respectivement la durée symbole OFDM et l'écart interporteuse, avec T 0 F 0 = 1. 9 c m,n sont des symboles complexes (issus par exemple d'une constellation MAQ ou MDP). ÎCe système est orthogonal: ÎOn démodule le signal simplement: Access Networks France Telecom Research & Development 4 Quelques rappels sur l'OFDM (2) ÎLe signal discret est obtenu en échantillonnant le signal s à la cadence critique T 0 /M. Ainsi pour le premier temps symbole: On génère ainsi facilement un symbole OFDM discret par une simple IFFT. ÎLes propriétés d'orthogonalité sont conservées en utilisant le produit scalaire discret. La démodulation revient donc à faire une FFT. IFFT FFT s
3. Access Networks France Telecom Research & Development 5 OFDM-IG: une variante de l'OFDM ÎL'OFDM reste sensible aux canaux multitrajets. 9Adjonction d'un intervalle de garde de durée Δ qui absorbe les échos. 9T t = T 0 + Δ: le temps symbole est allongé. 9L'efficacité spectrale diminue d'autant plus que Δ augmente. ÎBilan: 9Les points positifs: z Système orthogonal. z Schéma de réalisation simple et efficace. z Egalisation simple (ZF). 9Les points négatifs: z Perte d'efficacité spectrale due à l'intervalle de garde. z Porte en temps → sinc en fréquence (mauvaise localisation fréquentielle). Access Networks France Telecom Research & Development 6 Théorème de Balian-Low ÎDéfinition: famille de Gabor On appelle famille de Gabor toute famille de fonctions f m,n (t) telles que: d=1/T 0 F 0 est appelé densité et f est la fonction prototype. ÎThéorème de Balian-Low: Il n'existe pas de famille de Gabor formant une base orthonormée de densité 1 ayant une fonction prototype f à la fois bien localisée en temps et en fréquence. Traduction: en OFDM, on ne peut pas remplacer la fonction porte par une meilleure forme d'onde sans perdre l'orthogonalité et l'efficacité spectrale maximale ! Î2 solutions possibles: 9On relache la contrainte d'efficacité spectrale maximale: OFDM suréchantillonné. 9On sort du formalisme de Gabor (OFDM): OFDM/OQAM.
4. Access Networks France Telecom Research & Development 7 La modulation OFDM/OQAM ÎAu lieu de transmettre un symbole complexe c m,n par temps symbole et par fréquence, on retarde la partie réelle (ou imaginaire) d'un demi-temps symbole τ 0 (= T 0 /2): transmission avec Offset ("O" de OQAM). ÎOn s'arrange pour que 2 symboles adjacents (en temps et en fréquence) aient une différence de phase de π/2. Ceci impose un nombre pair de porteuses. Access Networks France Telecom Research & Development 8 La modulation OFDM/OQAM (2) ÎOn peut donc écrire le signal OFDM/OQAM en continu de la manière suivante: 9M reste le nombre de porteuses (M = 2N). 9h est la forme d'onde. 9 am,n est alternativement la partie réelle ou la partie imaginaire du symbole complexe à transmettre. 9φ m,n est nul si m et n sont de même parité. Il vaut π/2 dans le cas contraire. ÎLa famille de fonction h m,n n'est pas une famille de Gabor et donc on peut imaginer une forme d'onde h à la fois orthogonale et bien localisée en temps et en fréquence. ÎL'orthogonalité n'est alors vérifiée que dans R et non plus dans C (OFDM).
5. Access Networks France Telecom Research & Development 9 OFDM/OQAM: orthogonalité ÎLes conditions d'orthogonalité s'écrivent avec le produit scalaire réel: ÎAinsi, on démodule le signal en faisant: ÎLes contraintes d'orthogonalité réelle de l'OFDM/OQAM apparaissent au travers du mode de codage des symboles et de φ m,n . Il y a cependant des solutions possibles: Access Networks France Telecom Research & Development 10 Discrétisation du signal OFDM/OQAM ÎEn échantillonnant le signal OFDM/OQAM à la cadence critique T 0 /M, on obtient le signal discret suivant: D est un paramètre de retard égal à L h -1 pour un filtre orthogonal h (de longueur L h ) ÎL'orthogonalité est vérifiée par le produit scalaire réel et les équations de démodulation s'écrivent: ÎSchémas de réalisation efficaces ?
6. Access Networks France Telecom Research & Development 11 Modem OFDM/OQAM ÎA partir de l'expression de l'OFDM/OQAM en discret, on peut en déduire la structure du modem: modulateur démodulateur ÎLa (dé)modulation consiste en une transformée rapide de type FFT + un filtrage polyphase. 9Accroissement de complexité par rapport à l'OFDM. 9Mais d'autant plus moindre que le filtre h est court. Access Networks France Telecom Research & Development 12 OFDM/OQAM: bilan ÎEfficacité spectrale identique à l'OFDM sans intervalle de garde. 91 réel transmis par demi-temps symbole en OFDM/OQAM. 9Pas d'intervalle de garde en OFDM/OQAM. ÎChoix non limité de formes d'onde. 9Les filtres ont un support supérieur ou égal à T 0 . 9Filtres SRRC, IOTA (et plus généralement EGF) en continu. 9Filtres optimisés selon des critères de localisation temps-fréquence ou de sélectivité fréquentielle en discret. 9Meilleures performances que l'OFDM en DSP (spectre mieux confiné). ÎCependant: 9Augmentation de la complexité du modem. 9Gestion de l'estimation de canal plus complexe.
7. Access Networks France Telecom Research & Development 13 Le PAPR ÎLes signaux multiporteuses ne sont pas à enveloppe constante. 9Des pics de puissance peuvent intervenir. 9Problématique pour l'amplification de puissance. 9Génération de distorsion et remontée des lobes secondaires dans la DSP. ÎUtilisation du PAPR comme moyen d'analyse de ces effets. 9PAPR = Peak-to-Average Power Ratio. 9Rapport du pic de puissance sur la puissance moyenne. ÎDéfinitions pour l'OFDM: ÎLe PAPR est une variable aléatoire. 9L'étude statistique est préférable. 9Complementary Cumulative Density Function (CCDF): Pr(PAPR>γ). et Access Networks France Telecom Research & Development 14 Le PAPR: cas de l'OFDM/OQAM ÎEn OFDM, l'étude du PAPR est faite sur un support T 0 : c'est le support de la forme d'onde rectangulaire. ÎEn OFDM/OQAM, le support du filtre peut être plus grand que T 0 . Quelle définition prendre pour l'OFDM/OQAM ? ÎOn transmet la même quantité d'information sur T 0 dans les 2 cas. Conséquence: on garde les mêmes définitions en OFDM/OQAM. ÎDe nombreuses analyses théoriques sur le PAPR ont déjà été réalisées mais aucune sur les modulations multiporteuses avec forme d'onde. 9Trouver une expression approchée de la CCDF. 9Analyser les influences des différents paramètres de la modulation OFDM/OQAM sur la CCDF.
8. Access Networks France Telecom Research & Development 15 Analyse d'un échantillon de signal Rappel: On pose: Cette variable aléatoire a pour moyenne et variance: Par le théorème de la limite centrale, on en déduit que s[k] suit un processus gaussien complexe de moyenne nulle et de variance 2σ k 2=Mσ x 2. Enfin, on montre que les parties réelles et imaginaires de s[k] sont décorellées. Constante pour tout m Access Networks France Telecom Research & Development 16 Approximation de la CCDF Des résultats précédents, on en déduit que |s[k]| suit une loi de Rayleigh et que X = |s[k]|2 suit une loi du χ2. Posons: Comme E{|s[k]|2}=σ a 2, on en déduit la densité de probabilité de Y: Ainsi, pour un certain seuil γ fixé:
9. Access Networks France Telecom Research & Development 17 Approximation de la CCDF (2) ÎPar conséquent: ÎEt finalement: Access Networks France Telecom Research & Development 18 Approximation de la CCDF L'expression précédente nous montre l'influence: z Du nombre de porteuses M. Plus M est grand, plus l'hypothèse "s[k] suit un processus gaussien complexe" est vérifiée. L'expression précédemment trouvée est alors d'autant plus vraie. z Du filtre utilisé par l'intermédiaire des coefficients α k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10−3 10−2 10−1 100 γ (dB) Pr(PAPR>γ) M = 16 (simulation) M = 16 (approximation) M = 64 (simulation) M = 64 (approximation) M = 256 (simulation) M = 256 (approximation) Quel est l'ensemble des coefficients (α 0 , …, α M-1 ) qui génère la distribution optimale ?
10. Access Networks France Telecom Research & Development 19 CCDF minimale Î2 résultats préliminaires: ÎLe problème à résoudre est donc le suivant: ÎEcriture du Lagrangien: et Problème standard d'optimisation Lagrangienne Access Networks France Telecom Research & Development 20 CCDF minimale (2) ÎConditions nécessaires: ÎUne étude de fonction montre que la fonction est bijective sur [0, 1.59/γ]. ÎEn utilisant les contraintes sur les α k , on obtient que les CN deviennent: ÎConditions suffisantes: on montre que la matrice hessienne H L (de terme général ) est définie positive. À condition que γ · 1.59 N.
11. Access Networks France Telecom Research & Development 21 CCDF minimale: pour quels filtres ? ÎOn a montré que l'on obtient la CCDF minimale pour α k = 1. ÎCas des filtres orthogonaux: z Les conditions d'orthogonalité s'écrivent sous la forme d'un système à M équations. z Une de ces équations est: ÎThéorème: ÎLa CCDF optimale a pour expression: Pour des valeurs de PAPR contenues dans l'intervalle ]0,1.59 N], l'orthogonalité du filtre prototype h est une condition suffisante pour l'obtention d'une CCDF optimale pour un système OFDM/OQAM transmettant des symboles i.i.d. sur M porteuses. Expression de la CCDF pour l'OFDM à M porteuses. Access Networks France Telecom Research & Development 22 Ecart à l'optimum: le paramètre ε ÎOn mesure l'écart par rapport au cas optimal grâce au paramètre: ÎVérifications expérimentales (M = 64): 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10−3 10−2 10−1 100 γ (dB) Pr(PAPR>γ) ε = 0 ε = 0.2156 ε = 0.4041 ε = 0.6241 ε = 0.8308
12. Access Networks France Telecom Research & Development 23 Réduction du PAPR ÎLes signaux multiporteuses peuvent avoir des valeurs de PAPR élevées, à des probabilités non négligeables. 9Engendre de la distorsion. 9Fait remonter les lobes secondaires de la DSP. 9Nécessité de diminuer la probabilité des fortes valeurs de PAPR. ÎDe nombreuses solutions ont déjà été proposées pour l'OFDM: 9Leur validité repose sur des critères comme: z La réduction de PAPR. z La complexité de l'algorithme. z Applicabilité en pratique. 93 grandes catégories de techniques: z Techniques de codage: codes BCH ou codes de Reed-Müller … z Techniques de clipping: soft clipping + compensation, ajout de signal … z Techniques probabilistes: PTS, SLM … Access Networks France Telecom Research & Development 24 La technique SLM pour l'OFDM ÎPrincipe: 9On choisit U codes de longueur M. 9On crée U versions différentes d'un symbole OFDM grâce à ces codes. 9On calcule le PAPR pour ces U symboles. 9On transmet le symbole ayant le PAPR de plus faible valeur. ÎPlus U est grand, plus les performances sont bonnes.
13. Access Networks France Telecom Research & Development 25 Application à l'OFDM/OQAM ? ÎRappel de l'expression du signal OFDM/OQAM continu: ÎProblème: la forme d'onde h a un support au moins égal à 2τ 0 . 9Existence de recouvrement entre 2 formes d'onde successives. 9Ce n'est pas le cas en OFDM. 9Nécessité de gérer ce problème de chevauchement. 9La technique SLM "brute" n'est pas applicable directement. Cas de l'OFDM temps T0 Forme d'onde rectangulaire Cas de l'OFDM/OQAM Forme d'onde h Access Networks France Telecom Research & Development 26 Notre solution: l'Overlapped SLM (OSLM) ÎPrincipe: exemple pour une forme d'onde de longueur 2T 0 =4τ 0 ÎQuelle influence: 9de U ? 9de la longueur du prototype ? 9De la forme d'onde elle-même ? Premiers symboles à déterminer calcul du PAPR Choix et mémorisation des symboles donnant le plus faible PAPR Nouveaux symboles à déterminer Calcul du PAPR Etc … Nouveaux symboles à déterminer τ 0 Génération de U versions de ces symboles grâce aux codes Mais ces symboles restent non codés Génération de U signaux grâce aux U ensembles de symboles temps Mêmes opérations de codage Ces symboles restent non codés Sur cet intervalle, les symboles sont obtenus grâce à l'étape précédente
14. Access Networks France Telecom Research & Development 27 Influence de U M=64, 4-QAM, IOTA (tronquée pour avoir une FO de longueur 8τ 0 ). En pratique, pour M=64, U=2 ou 4 est suffisant. Access Networks France Telecom Research & Development 28 Influence de la longueur du prototype Choix d'une FO de longueur 2bτ 0 . M=64, 4-QAM U=4 Résultats similaires pour des FO différentes mais de même longueur
15. Access Networks France Telecom Research & Development 29 Résumé ÎEtude théorique de la distribution du PAPR pour l'OFDM/OQAM. 9Expression analytique de la CCDF. 9Obtention d'un critère donnant la meilleure CCDF. z Ce critère est vérifié pour les filtres orthogonaux. z Définition du paramètre ε: écart par rapport au cas optimal. ÎDéveloppement d'une méthode de réduction de PAPR pour l'OFDM/OQAM. 9Calquée sur la méthode SLM. 9Mais adaptée aux particularités de l'OFDM/OQAM. 9Les performances sont d'autant meilleures que le filtre est court. ÎIl est bien sur possible d'adapter d'autres techniques conçues pour l'OFDM en tenant compte des caractéristiques de l'OFDM/OQAM. Access Networks France Telecom Research & Development 30 Cas de l'OFDM suréchantillonné ÎUne étude analogue a été réalisée pour l'OFDM suréchantillonné. ÎLe signal en continu s'écrit de la manière suivante: Îoù: 9M est le nombre de porteuses. 9F0 est l'écart inter porteuses. 9cm,n sont des symboles issus d'une constellation 22K-QAM. 9T0 est le temps symbole. 9h est la forme d'onde de support au moins égal à T0 . ÎDans ce cas de figure, on a: T 0 F 0 = η = N/M avec η>1. ÎOn parle "d'OFDM suréchantillonné" car dans la version discrète du signal, du fait de la propriété précédente, il y a plus de M échantillons de signal dans un temps symbole.
16. Access Networks France Telecom Research & Development 31 Expression théorique de la CCDF ÎOn reprend le même type de raisonnement que précédemment sauf que les calculs sont légèrement différents. ÎOn obtient ainsi l'expression suivante de la CCDF: ÎOn montre de la même manière que l'approximation est d'autant plus précise que M est grand. avec: Access Networks France Telecom Research & Development 32 Minimisation de la CCDF ÎLe problème d'optimisation reste pratiquement identique au cas de l'OQAM. ÎOn obtient la CCDF optimale si et seulement si: ÎLes différences par rapport à l'OQAM: 9Les filtres orthogonaux en OFDM suréchantillonné ne donnent pas β k = 1. 9La CCDF optimale est: 9Une condition nécessaire et suffisante pour avoir la même CCDF que l'OFDM est d'être à suréchantillonnage critique (η=1) et d'obtenir un filtre vérifiant β k = 1. 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 10−4 10−3 10−2 10−1 100 γ Pr(PAPR>γ) OFDM Optimal Distribution (η=1.25) Optimal Distribution (η=1.5) SRRC (η=1.25, ε=0.16) Loc. (η=1.25, L h =10M, ε=0.53) Energy (η=1.25, L h =10M, ε=0.20) SRRC (η=1.5, ε=0.31) Loc. (η=1.5, L h =6M, ε=0.72) Energy (η=1.5, L h =6M, ε=0.41) Loc. (η=1.5, L h =12M, ε=0.69) Energy (η=1.5, L h =12M, ε=0.29)
17. Access Networks France Telecom Research & Development 33 L'algorithme OSLM 0.19 0.27 0.21 0.19 Pr(PAPR>γ) = 0.01 0.22 0.30 0.18 0.21 Pr(PAPR>γ) = 0.1 L h /N = 4 0.91 1.01 0.77 0.87 Pr(PAPR>γ) = 0.01 1.06 1.17 0.86 0.96 Pr(PAPR>γ) = 0.1 L h /N = 2 3.08 3.02 2.37 2.36 Pr(PAPR>γ) = 0.01 2.17 2.15 1.66 1.65 Pr(PAPR>γ) = 0.1 L h /N = 1 η = 3/2 η = 5/4 η = 3/2 η = 5/4 U = 8 U = 4 Gain (en dB) apporté par l'OSLM par rapport à la CCDF originale. Système: OS OFDM avec 64 porteuses FO: SRRC Access Networks France Telecom Research & Development 34 OSLM: comparaisons avec l'OQAM ÎOn observe des similarités avec l'OFDM/OQAM dans la mesure où les meilleures performances sont obtenues pour les filtres courts. ÎMais pour les filtres plus longs, les performances se dégradent très vite. Ceci est du au fait que dans le cas de l'OFDM/OQAM, comme le temps de référence de l'algorithme est τ 0 , l'algorithme OSLM est réalisé 2 fois sur un temps symbole contre une fois seulement dans le cas de l'OFDM suréchantillonné.
18. Access Networks France Telecom Research & Development 35 Conclusions ÎRéalisation d'une étude théorique du PAPR dans le cas des modulations avec forme d'onde. 9Expression théorique de la CCDF. 9CNS d'obtention de la CCDF minimale. 9Mesure de distance par rapport au cas optimal. ÎDéveloppement d'un algorithme de réduction de PAPR. 9Nécessité de gérer le chevauchement des formes d'onde successives. 9Très bons résultats pour les formes d'ondes courtes. ÎPour ces 2 aspects, l'OFDM/OQAM présente des résultats plus intéressants: 9CNS d'obtention de la CCDF minimale directement liée à l'orthogonalité. 9La CCDF pour un filtre orthogonal est identique à l'OFDM (pour le même M). 9Les dégradations de performances de l'OSLM pour les formes d'ondes "longues" sont moins brutales. Access Networks France Telecom Research & Development 36 Questions ?
19. Access Networks France Telecom Research & Development 37 Amplification et DSP Access Networks France Telecom Research & Development 38 DSP: OFDM vs. OFDM/OQAM −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 Frequency/Subcarrier Spacing Power Spectral Density (dB) OFDM (simulation) IOTA (simulation) IOTA (theoretical expression) SRRC with r = 0.5 (simulation) −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 −50 −45 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 Frequency/Subcarrier Spacing Power Spectral Density (dB) OFDM Optimized Filter for the Time−Frequency Localization Criterion Optimized Filter for the Frequency Selectivity Criterion