Randomized experiments (Causal inference: What if, Chapter 2)

Keywords: 因果推論, Randomization（ランダム化）, Conditional randomization（条件付きランダム化）, Standardization（標準化）, Inverse probability weighting（逆確率重み付け）

Transcript

1. Chapter 2
   RANDOMIZED EXPERIMENTS
   komuRa
   Twitter: @hizakayu
   1
   

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2. Table of contents
   • 2.1 Randomization
   • 2.2 Conditional randomization
   • 2.3 Standardization
   • 2.4 Inverse probability weighting
   • Fine Points
   • 2.1 Crossover experiments
   • 2.2 Risk period
   • Technical Points
   • 2.1 Full exchangeability and mean exchangeability
   • 2.2 Formal definition of IP weights
   • 2.3 Equivalence of IP weighting and standardization
   2
   

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3. 2.1
   Randomization
   3
   

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4. Randomized experiment
   理想的なデータ(Table1.1)
   Effect measureが計算できる。
   現実的なデータ(Table2.1)
   Association measureしか計算できない。
   4
   Randomized experimentsでは、Table2のようなmissing valueを含むデー
   タしか手に入らないにもかかわらず、effect measureを計算できる。
   ∵missing valueがランダムに起きることが保証されている。
   

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5. “exchangeable”な2群
   A=１
   Pr[Y=1|A=1]=0.3
   A=０
   Pr[Y=1|A=0]=0.6
   assoc/ risk ratio = 0.3/0.6 = 0.5
   assoc/ risk diff = 0.3 – 0.6 = -0.3
   A=１
   Pr[Y=1|A=1]=0.3
   A=０
   Pr[Y=1|A=0]=0.6
   assoc/ risk ratio = 0.3/0.6 = 0.5
   assoc/ risk diff = 0.3 – 0.6 = -0.3
   5
   別の群が治療に割り当てられてもassociation measureが同じ。
   このような場合に、2群は“exchangeable”という。
   

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6. Exchangeabilityの表し方
   • Exchangeabilityとは、
   Pr Ya = 1 A = 1 = Pr Ya = 1 A = 0 = Pr Ya = 1 ,
   for both a=0 and a=1
   • また、Exchangeabilityは
   , for all values a
   6
   

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7. Exchangeabilityの意義
   • Exchangeabilityの下では、それぞれ、
   Pr Y=1 = 1 = Pr Y = 1 A = 1 ,
   Pr Y=0 = 1 = Pr Y = 1 A = 0
   が成り立つ。
   • 現実の値から counterfactual risk が計算できる。
   • 現実の値から causal risk ratio / diff が計算できる。
   • 理想的なランダム化試験では、“Association is causation.”
   7
   

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8. Couterfactual outcome, Ya について
   • Yaは、治療が割り付けられる前から決まっているもの。
   • Yaは、治療aに割り当てられたときの起こるであろうアウトカ
   ムのことをエンコードするもの。
   • Yaは、実際に割り当てられる治療とは独立。
   • そういう点で、 Yaは遺伝子構成のようなもの。
   • Yaと遺伝子構成と違うのは、 Yaが治療が割り当てられた後にし
   か判明せず、かつ、治療Aがaであったときにしか判明しないこ
   と。
   8
   

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9. と の違い
   • は、治療群と非治療群を入れ替えても同じリスクにな
   ること。
   • が成り立つからといって、 とは限らない。
   例えば、
   • ランダム化試験では である。
   • しかし、治療に効果がある場合、治療はアウトカムと関連する
   ため、 とはならない。
   9
   

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10. Table2.1ではExchangeabilityは成立？
    理想的なデータ(Table1.1)
    現実的なデータ(Table2.1)
    • a = 0について
    Pr Y=0 = 1| = 1 = 7
    13 ≓ 0.54
    Pr Y=0 = 1| = 0 = 3
    7 ≓ 0.43
    • a = 1について
    Pr Y=0 = 1| = 1 = 7
    13 ≓ 0.54
    Pr Y=0 = 1| = 0 = 3
    7 ≓ 0.43
    以上から、
    は成立しない。
    10
    

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11. Exchangeabilityが成立しなければ、
    Randomized experimentでないといえる？
    仮に理想的なデータ（Table1.1）があったとしても、二つの理
    由から結論付けられない。
    • サンプルサイズが小さい。
    • Exchangeabilityが成立していなくても、randomized
    experimentであり得る。
    • 二つ以上のコインを使う場合→conditional randomization
    11
    

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12. 2.2
    Conditional randomization
    12
    

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13. Marginal experiments と
    conditional randomized experiments
    予後因子Lを加えたデータ
    （Table2.2）
    Design1
    [marginally randomized experiments]
    • Design2
    [conditionally randomized experiments]
    13
    

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14. Design 1
    marginal experiments
    • Marginally randomized experiment なら、
    Pr Ya = 1 A = 1 = Pr Ya = 1 A = 0 (= Pr Ya = 1 ) or
    , for all a
    が成り立つはず。
    • しかし、今回は治療群と非治療群とで予後因子Lの分布が違う
    （69%(=9/13) vs 43%(=3/7)）。
    • 治療AがYaを予測しているため、 が成立しない。
    14
    

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15. Design 2
    conditionally randomized experiments①
    • Critical condition かどうかで分けた後、subset ごとにmarginally
    randomized experiments を行っている。
    • Critical condition(L=1)である人に限れば、Yaのリスクは同じになるので、
    Pr Ya = 1 A = 1, L = 1 = Pr Ya = 1 A = 0, L = 1
    or
    |L=1
    が成り立つ。
    15
    

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16. Design 2
    conditionally randomized experiments②
    • Non critical condition（L=0）の subset でも同様なので、
    |L=l, for all l.
    が成り立つ。
    • シンプルに表すと
    |L
    • これをconditional exchangeabilityという。
    16
    

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17. Conditinally randomized experimentsでの
    二つの計算。
    Causal effectsの計算にあたって、選択肢が二つある。
    • Subset ごとにcausal effect計算（= Stratification）
    L=1のとき Pr Ya = 1 A = 1, L = 1 / Pr Ya = 1 A = 0, L = 1
    L=0のとき Pr Ya = 1 A = 1, L = 0 / Pr Ya = 1 A = 0, L = 0
    • 平均のcaucal effectを計算
    • Standardization
    • Inverse probability weighting
    17
    

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18. 2.3
    Standardization
    18
    

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19. Standardization①
    ∵ |L
    • 今知りたいのは、
    Pr[Ya=1 = 1] / Pr[Ya=0 = 1] ⋯ ★
    19
    Pr Y = 1 A = 1, L = 0 =
    1
    4
    = Pr[Y=1 = 1|L = 0]
    Pr Y = 1 A = 0, L = 0 =
    1
    4
    = Pr[Y=0 = 1|L = 0]
    Pr Y = 1 A = 1, L = 1 =
    2
    3
    = Pr[Y=1 = 1|L = 1]
    Pr Y = 1 A = 0, L = 1 =
    2
    3
    = Pr[Y=0 = 1|L = 1]
    

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20. Standardization②
    ★の分子= Pr[Ya=1 = 1]
    = 全員が治療された（A=1）ときのリスク
    = subsetのサイズに比例した重みをもつ加重平均
    = Pr Y=1 = 1 L = 0 ∗ 0.4 + Pr Y=1 = 1 L = 1 ∗ 0.6
    = 1
    4
    ∗ 0.4 + 2
    3
    ∗ 0.6 = 0.5
    • 同様にして
    ★の分母= Pr[Ya=0 = 1] = 0.5
    • よって、
    Pr[Ya=1 = 1] / Pr[Ya=0 = 1] = 1
    20
    

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21. Standardization③
    • Marginal counterfactural riskというのは、
    Pr[Ya = 1]
    = Pr = 1 = 0 Pr = 0 + Pr = 1 = 1 Pr = 1
    =
    
    Pr = 1 = Pr =
    =
    
    Pr = 1 = , = Pr =
    • 観察データの分布の関数でcounterfactural quarityが表せられ
    るとき、”identified” または “identifiable”という。
    21
    

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22. 2.4
    Inverse probability weighting
    22
    

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23. Fully randomized causally
    interpreted
    structured tree
    graph
    FRCISTG
    Table2.2
    23
    これを使って、Pr[Ya=1 = 1] / Pr[Ya=0 = 1] ⋯ ★ を算出する
    

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24. 仮に全員がA=0だったとしたもの
    分母（Pr[=0 = 1]）の計算
    観察したもの
    24
    ∴Pr Ya=0 = 1 = 2+8
    20
    = 0.5 ⋯ ☽
    

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25. 仮に全員がA=1だったとしたもの
    分子（Pr[=1 = 1]）の計算
    観察したもの
    25
    ∴Pr Ya=1 = 1 = 2+8
    20
    = 0.5 ⋯ ☀
    

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26. Pseudo-population
    Pseudo-population と
    Inverse probability weighting
    26
    |L のもとでは、Pseudo-population の associational risk ratio と
    もともとの populationの causal risk ratio は等しくなる。
    

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27. Standardization と
    Inverse probability weighting
    • どちらの過程も、すべての人が治療 a を受けたときのシミュ
    レーションを行っているとみなせる。
    • Inverse probability weightingでは、共変量Lで条件づけたと
    きの治療Aの条件付確率を使っている。
    • Pr = | =
    • Standardizationでは、共変量Lの確率とAとLで条件づけたとき
    のYの条件付確率を使っている。
    • Pr = と Pr = 1 = , =
    27
    

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28. Fine Points
    28
    

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29. Fine Point 2.1
    Crossover experiment
    • ライトニングボルトと血圧
    • 同一の個人の異なるtreatment下でのアウトカムを比較するような研究デ
    ザインを crossover experiment という。
    29
    yesterday today
    

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30. Fine Point 2.1
    Crossover experiment
    個人の因果効果を同定するためには3つの仮定が必要。
    1) Carryover effect がない。
    
    =1
    
    0
    ,
    1 = =1
    
    1
    2) Individual causal effect が時間に寄らない。
    
    
    
    =1 −
    
    
    =0 =
    , for t = 0, 1
    3) 治療しない場合の counterfactual outcome が時間に寄らない。
    
    
    
    =0 =
    , for t = 0, 1
    30
    

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31. Fine Point 2.1
    Crossover experiment
    1
    − 0
    = 1
    
    1
    =1 − 0
    
    0
    =0 ∵consistensy
    = 1
    
    1
    =1 − 1
    
    1
    =0 + 1
    
    1
    =0 − 0
    
    0
    =0
    =
    +
    − ∵(2), (3)
    =
    31
    

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32. Fine Point 2.2
    Risk Period
    • リスク：一定期間内にアウトカムを発生した人の割合。
    • 期間が重要。
    例えば、
    • 同じ研究データに基づいていても、
    RR of 1 year = 0.05, RR of 100 year = 1
    となることはあり得る。
    • 治療が死亡に関して因果的効果を持つというのは、死亡を防ぐことを意味
    するのではなくて、死亡を遅らせることを意味する。
    32
    

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33. Technical Points
    33
    

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34. Technical Point 2.1
    Full exchangeability and mean exchangeability
    • Full exchangeability:
    The set of all treatment values:
    The set of all counterfactual outcome:
    • Mean exchangeability: E = = E[]
    • Exchangeability ならば mean exchangeability は成り立つが、逆
    は成り立たない（例えば、分散などの平均以外のパラメータが
    treatment と独立にならないため）。
    34
    

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35. Technical Point 2.1
    Full exchangeability and mean exchangeability
    • 因みに、E = E[| = ]を証明するにはmean exchangeabilityで十分。
    右辺 = E[| = ]
    = E | = ∵consistensy
    = E ∵mean exchangeability
    = 左辺
    • アウトカムが二値変数の場合、exch/とmean exch/ は同じになる。
    35
    

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36. Technical Point 2.2
    Formal definition of IP weights
    • IP weights: = 1
    
    • 確率ではなくて、確率密度関数で定義される。
    • 離散変数では、 = Pr[ = | = ]
    • 各個人に対する重みがそれぞれの個人のA, Lの値で決まるため、ある特定
    の値a, lではなくて確率変数A, Lで表す。
    • Pr[ = | = ]という表現が不適切なため、確率密度関数で定義する。
    36
    

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37. Technical Point 2.3
    Equivalence of IP weighting and standardization
    Standardized mean =
    
    Pr = 1 = , = Pr =
    IP weighted mean = E[ =
    [|]
    ]
    Standardized mean = IP weighted mean の証明。
    証明）
    IP weighted mean = E[ =
    [|]
    ]
    IP weighted mean =
    
    1
    [|]
    {E = , = Pr[ = ]}
    IP weighted mean =
    
    Pr = 1 = , = Pr =
    IP weighted mean = Standardized mean
    37
    

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38. Technical Point 2.3
    Equivalence of IP weighting and standardization
    更にconditional exchangeabilityを仮定すれば IPW mean と Std/ mean
    が counterfactual outcome と同じになる。
    Standardized meanについて
    E =
    
    Pr = Pr =
    E =
    
    Pr = , = Pr = ∵conditional exchangeability, positivity
    E =
    
    Pr = , = Pr = ∵consistency
    E = Standardized mean
    38
    

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39. Technical Point 2.3
    Equivalence of IP weighting and standardization
    IPW meanについて
    IP weighted mean = E[ =
    [|]
    ]
    IP weighted mean = E[ =
    [|]
    ] ∵consistensy
    IP weighted mean = E{E =
    
    | } ∵条件付期待値の公式
    IP weighted mean = E{E =
    
    | E[|]} ∵condiditional exchangeability
    IP weighted mean = E{E | } ∵E =
    
    | = 1
    IP weighted mean = E
    IP weighted mean = counterfactual outcome
    39
    

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40. Reference
    • Hernán MA, Robins JM (2020). Causal Inference: What If.
    Boca Raton: Chapman & Hall/CRC.
    • 条件付期待値, 分散の意味と有名公式 from
    https://mathtrain.jp/condexpectation.
    • Icons made by Freepik, Those Icons and Smashicons
    from www.flaticon.com.
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