信息安全数学基础：第11章：布尔函数

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1. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . . . . . . . 布尔函数 广州大学数学与信息科学学院 2007-05-20 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
2. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . . . . . . . §11.1 布尔函数的表示方法 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
3. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . 定义 . . . . . . . . 以 Fn 2 表示所有 n 元组 (a1, · · · , an), ai ∈ F2 构成的集合，f 是从 Fn 2 到 F2 的映射，这里 F2 表示含有两个元素的有限 域，则称 f 是一个 n 元布尔函数，记作 f(x), x ∈ Fn 2 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
4. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . . . . . . . 真值表表示 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
5. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . . . . . . . 由于布尔函数的定义域和值域都是有限集，因此可以把函数的对 应关系意义列举出来，这样就得到布尔函数的一种表示方法—真 值表表示法。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
6. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . Example . . . . . . . . 从 F2 2 到 F2 的函数 f(x) 满足 f(0, 0) = f(1, 0) = 1, f(0, 1) = f(1, 1) = 0. 则函数 f(x) 可以用真值表表示为 x(十进制) x(二进制) f(x) 0 00 1 1 01 0 2 10 1 3 11 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
7. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . . . . . . . 小项表示 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
8. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . . . . . . . 给定了 Fn 2 到 F 的函数 f(x)，也相当与对任意向量 a ∈ Fn 2 ， 我们知道其相应的值 f(a). 是否存在一种类似 Lagrange 插值 之类的方法，可以得到 f(x) 的表达式呢？ . . . . . . . 引人 Fn 2 到 F2 的函数 bc(x) = { 1 x = c; 0 x = c. 容易验证 f(x) = ∑ c∈Fn 2 bc(x)f(c). 上述表达式就称为小项表示，一般我们把 bc(x) 记为 xc， 但其含义并非方幂。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
9. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . 记号 . . . . . . . . 在小项表示中，设 x, c ∈ Fn 2 ，则 xc 定义为： xc = { 1 x = c; 0 x = c. 若对 xi, ci ∈ F2 定义 xi ci = { 1 xi = ci; 0 xi = ci. ，有 xc = xc1 1 xc2 2 · · · xcn n 。 f(x) 的小项表示具有形式 f(x) = ∑ c∈Fn 2 f(c)xc = ∑ c∈Fn 2 f(c)xc1 1 xc2 2 · · · xcn n 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
10. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . Example . . . . . . . . 若布尔函数的真值表为： x 00 01 10 11 f(x) 1 0 1 0 写出 f(x) 的小项表示。 . . . . . . . f(x) = 1 · x0 1 x0 2 + 0 · x0 1 x1 2 + 1 · x1 1 x0 2 + 0 · x1 2 x1 2 = x0 1 x0 2 + x1 1 x0 2 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
11. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . . . . . . . 多项式表示 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
12. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . . . . . . . 在布尔函数的小项表示中，bc(x) = xc 起到了基的作用，容易 验证其具有多项式表示 xc = n ∏ i=1 (xi + ci + 1), 其中 xi 是向量 xi 的第 i 个分量，ci 是 c 的第 i 个分量。 . . . . . . . 把 f(x) = ∑ c xcf(c) 中的 xc 替换成多项式形式，并展开，化 简，我们就能得到 f(x) = f(x1, x2, · · · , xn) 的多元多项式表示。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
13. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . Example . . . . . . . . 若布尔函数的真值表为： x 00 01 10 11 f(x) 1 0 1 0 写出 f(x) 的多项式表示。 . . . . . . . 小项表示为 x0 1 x0 2 + x1 1 x0 2 ； 多项式表示为 (x1 + 0 + 1)(x2 + 0 + 1) + (x1 + 1 + 1)(x2 + 0 + 1) 化简得到 f(x) = 1 + x2 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
14. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . 定义 . . . . . . . . 布尔函数的多项式表示具有形式 f(x) =a0+ a1x1 + · · · + anxn+ a1,2x1x2 + · · · + an−1,nxnxn−1 + · · · + a1,··· ,nx1 · · · xn. 上述形式称为布尔函数的代数标准型。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
15. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 在 f(x) 的代数标准型中，非零单项的最大次数称为 f(x) 的次数，记为 deg f(x). . . . 2 一次布尔函数称为仿射函数; . . . 3 常数项为零的仿射函数称为线性函数; . . . 4 次数大于 1 的布尔函数称为非线性函数。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
16. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . . . . . . . Walsh 谱表示 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
17. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . 定义 . . . . . . . . 设 x = (x1, . . . , xn), w = (w1, . . . , wn), x 与 w 的内积定义为 x · w = x1w1 + x2w2 + · · · + xnwn. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
18. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . Example . . . . . . . . 固定 w，让 x 跑遍 Fn 2 ，w · x 中有多少次取 1，多少次取 0? . . . . . . . . . . 1 若 w = 0，则 w · x 总为 0； . . . 2 当 w = 0 时，考虑加法群 Fn 2 到 F2 上的映射 f : w → w · x . . . 3 容易验证这是一个群同态，Fn 2 /(ker f) Fn 2 . . . . 4 Fn 2 被划分成两个陪集，一个映射为 0，另一个映射为 1. . . . 5 这两个陪集的大小是相等的，都是 2n/2 = 2n−1. . . . 6 所以 w · x 在一半情况下为 0，一半情况下为 1. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
19. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . 引理 . . . . . . . . 在 Fn 2 上，有： ∑ x∈Fn 2 (−1)w·x = { 0 w = 0 2n w = 0 由于 x, w 的对称性，显然也有 ∑ w∈Fn 2 (−1)w·x = { 0 x = 0 2n x = 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
20. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . 定义 . . . . . . . . n 元函数 f(x) 的布尔函数 f(x) 的循环 Walsh 变换定义为 Sf(w) = ∑ x∈Fn 2 (−1)w·x+f(x). { Sf(w) | w ∈ Fn 2 } 称为 f(x) 的循环 Walsh 谱。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
21. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . . . . . . . . . . 1 (−1)w·x+f(x) 的值体现了线性布尔函数 L(x) = w · x 与 f(x) 的关系。 . . . 2 当 L(x0) = f(x0) 时，(−1)w·x0+f(x0) 为 1; . . . 3 当 L(x0) = f(x0) 时，(−1)w·x0+f(x0) 为 −1; . . . 4 所以当 x 跑遍 Fn 2 时，我们得到了 L(x) 与 f(x) 在 Fn 2 中每一处的关系。 . . . 5 Sf(w) 就是重合点个数减去不重合点的个数。 . 问题 . . . . . . . . 若知道布尔函数 f 在每一处的取值，则可以用小项表示求出 f 的代数表达式。如果知道了 f 的 Walsh 谱，是否存在某种形式 的反转公式，通过它，能得到 f 的代数式呢？答案是肯定的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
22. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . 定理 . . . . . . . . 设 n 元布尔函数 f(x) 的循环 Walsh 谱为 { Sf(w) | w ∈ Fn 2 } ，则 (−1)f(x) = 2−n ∑ w∈Fn 2 Sf(w)(−1)w·x. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
23. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . . . . . . . ∑ w∈Fn 2 Sf(w)(−1)w·x = ∑ w∈Fn 2 (−1)w·x ∑ y∈Fn 2 (−1)w·y+f(y) = ∑ y ∑ w (−1)w·(x+y)+f(y) = ∑ y (−1)y ∑ w (−1)w·(x+y) = ∑ y=x (−1)f(y) · 2n = (−1)f(x) · 2n 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
24. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . 定义 . . . . . . . . 设 f(x) 是 n 元布尔函数，若 f(x) 的取值中 0 的个数和 1 的 个数相等，即 { x : f(x) = 0, x ∈ Fn 2 } = { x : f(x) = 1, x ∈ Fn 2 } = 2n−1, 则称 f(x) 是平衡的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
25. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . 定理 . . . . . . . . n 元布尔函数 f(x) 是平衡的当且仅当 Sf(0) = 0. . . . . . . . . . . 1 Sf(w) 表示 w · x 与 f(x) 重合的点的个数减去不重合的点 的个数。 . . . 2 Sf(0) 表示 0 · x 与 f(x) 的重合点的个数减去不重合点的个 数。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
26. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 真值表表示法 小项表示 多项式表示 Walsh 谱表示 . Example . . . . . . . . f(x1, · · · , xn) = a0 + a1x + · · · + anxn, ai ∈ F2, ai(1 i n) 不全为零。 f(x1, · · · , xn) 是平衡的吗？ . . . . . . . 令 (a0, a1, · · · , an) = ω, 有 Sf(0) = ∑ x∈Fn 2 (−1)0·x+f(x) = ∑ x∈Fn 2 (−1)a0+(a1,··· ,an)·x = (−1)a0 ∑ x∈Fn 2 (−1)x·ω = 0 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
27. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 非线性度 Bent 函数 . . . . . . . §11.2 非线性度 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
28. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 非线性度 Bent 函数 . . . . . . . . . . 1 布尔函数可以用线性函数来逼近； . . . 2 线性度刻画了布尔函数与线性(仿射)函数的接近程度； . . . 3 非线性度则刻画了布尔函数远离线性(仿射)函数的程度。 . . . 4 为了量化上面所说的远、近，我们要引入函数接近程度的一 个度量—汉明距离。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
29. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 非线性度 Bent 函数 . 定义 . . . . . . . . 设 f(x) 和 g(x) 是两个 n 元布尔函数，定义 f, g 的 Hamming 距离为 dH f(x), g(x) = { x ∈ Fn 2 : f(x) = g(x) } . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
30. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 非线性度 Bent 函数 . . . . . . . 设 f(x) 是一个 n 元布尔函数，令 Ln = { u · x + v : u = (u1, · · · , un) ∈ Fn 2 , v ∈ F2 } , Ln 是 n 元仿射函数的集合。 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 Nf = min l(x)∈Ln dH f(x), l(x) 称为 f(x) 的非线性度. . . . 2 Cf = max l(x)∈Ln { x ∈ Fn 2 : f(x) = l(x) } 称为 f(x) 的线性 度。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
31. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 非线性度 Bent 函数 . . . . . . . . . . 1 对任一 n 元布尔函数 f(x)，总有 Nf + Cf = 2n. . . . 2 若 f(x) 是 n 元一次布尔函数，则 Nf = 0, Cf = 2n。 . . . 3 Nf 2n−1. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
32. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 非线性度 Bent 函数 . 定理 . . . . . . . . 设 f(x) 是一个 n 元布尔函数，Nf 为其非线性度，则 Nf = 2n−1 − 2−1 max w∈Fn 2 Sf(w) . . . . . . . . 2n = 2dH f(x), wx + v + ∑ x∈Fn 2 (−1)f(x)+(wx+v) = 2dH f(x), wx + v) + (−1)v ∑ x∈Fn 2 (−1)f(x)+wx = 2dH f(x), wx + v) + (−1)vSf(w) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
33. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 非线性度 Bent 函数 . . . . . . . dH f(x), wx + v = 2n−1 − (−1)vSf(w) 2 = { 2n−1 − Sf(w) 2 v = 0 2n−1 + Sf(w) 2 v = 1 . . . . . . . 因为 min{dH(f, wx + v) | v = 0, 1} = 2n−1 − |Sf(w)| 2 所以 min{dH(f, wx + v) | w ∈ Fn 2 } = 2n−1 − max |Sf(w)| 2 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
34. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 非线性度 Bent 函数 . 定理 . . . . . . . . 设 f(x) 是 n 元布尔函数，则 ∑ w∈Fn 2 S2 f (w) = 4n. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
35. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 非线性度 Bent 函数 . . . . . . . ∑ x∈Fn 2 S2 f (w) = ∑ w∈Fn 2   ∑ x∈Fn 2 (−1)w·x+f(x) · ∑ y∈Fn 2 (−1)w·y+f(y)   = ∑ x∈Fn 2 ∑ y∈Fn 2 ∑ w∈Fn 2 (−1)w·x+w·y+f(x)+f(y) = ∑ x∈Fn 2 ∑ y∈Fn 2 (−1)f(x)+f(y) ∑ w∈Fn 2 (−1)w·(x+y) = 2n ∑ x∈Fn 2 (−1)f(x)+f(x) = 4n 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
36. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 非线性度 Bent 函数 . 推论 . . . . . . . . 设 f(x) 是任一个布尔函数，则 Nf 2n−1(1 − 2n 2 ). . . . . . . . max w∈Fn 2 Sf(w) 2 ∑ w∈Fn 2 Sf(w)2 2n = 4n 2n = 2n Nf = 2n−1 − 2−1 max w∈Fn 2 Sf(w) 2n−1 − 2−1 · 2n/2 2n−1(1 − 2− n 2 ) 等号仅当 |Sf(w)| = 2n 2 , w ∈ Fn 2 时成立。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
37. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 非线性度 Bent 函数 . 定义 . . . . . . . . 非线性度达到上界 2n−1(1 − 2− n 2 ) 的函数 f(x) 称为 Bent 函 数。 . . . . . . . 如果 f(x) 是 Bent 函数，则对所有的 w ∈ Fn 2 ，均有 Sf(w) = 2n 2 ; 反之也成立。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
38. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 非线性度 Bent 函数 . Example . . . . . . . . 设 n = 2m, h(x) 是一个 m 元布尔函数，则 f(x1, · · · , xn) = h(x1, · · · , xm) + x1xm+1 + · · · + xmxn 是一个 n 元 Bent 函数。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
39. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 非线性度 Bent 函数 . . . . . . . Sf(w) = ∑ x∈Fn 2 (−1)h(x1,...,xm)+x1xm+1+···+xmx2m+wx = ∑ x1,...,xm (−1)h+w1x1+···+wmxm ∑ xm+1,...,x2m (−1)(x1+wm+1)xm+1+···+(xm+w2m)x2m = ±2m = ±2n 2 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
40. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . . . . . . . §11.3 相关免疫性 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
41. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . 定义 . . . . . . . . 设 f(x) 是一个 n 元布尔函数， 设 1 i1 < . . . < im n, 如 果对任意 (ai1 , . . . , aim ) ∈ Fm 2 , 均有 {x | x ∈ Fn 2 , f(x) = i, xi1 = ai1 , . . . , xim = aim } = {x | f(x) = i, x ∈ Fn 2 } 2m 则称 f(x) 与变元 xi1 , . . . , xim 是统计无关的。 . . . . . . . f(x) = i的点的个数 2n = f(x) = i且 m 个分量固定的点的个数 2n−m . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
42. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . 定义 . . . . . . . . 如果 f(x) 与 x1, x2, . . . , xn 中任意 m 个变元都是统计无关 的，则称 f 是 m 阶相关免疫的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
43. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . Example . . . . . . . . f(x1, x2, x3, x4) = x1x2 + x3 + x4 是一阶免疫相关，但不是二阶 免疫相关的。 . . . . . . . x1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 x2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 x3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 x4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 f 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 |{f(x) = 0 | x ∈ Fn 2 }| = |{f(x) = 1 | x ∈ Fn 2 }| = 8； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
44. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . . . . . . . x1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 x2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 x3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 x4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 f 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 |{f(x) = 0 | x ∈ Fn 2 }| = |{f(x) = 1 | x ∈ Fn 2 }| = 8； |{f(x) = 0 | xi = 0 ∈ Fn 2 }| = 4 = 8/2; |{f(x) = 0 | xi = 1 ∈ Fn 2 }| = 4 = 8/2; |{f(x) = 1 | xi = 0 ∈ Fn 2 }| = 4 = 8/2; |{f(x) = 1 | xi = 1 ∈ Fn 2 }| = 4 = 8/2; f 1 阶相关免疫。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
45. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . . . . . . . x1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 x2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 x3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 x4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 f 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 |{f(x) = 0 | x ∈ Fn 2 }| = |{f(x) = 1 | x ∈ Fn 2 }| = 8； |{f(x) = 0 | x3 = x4 = 0 ∈ Fn 2 }| = 3 = 8/4 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
46. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . 定理 . . . . . . . . 如果 Fn 2 上的布尔函数 f 是 m 阶免疫相关的，则必定也 是 m − 1 阶免疫相关的，其中 1 < m n。 . . . . . . . |{f(x) = i | xj1 = aj1 , · · · xjm−1 = ajm−1 }| = |{f(x) = i | xj1 = aj1 , · · · xjm−1 = ajm−1 , xjm = 1}|+ |{f(x) = i | xj1 = aj1 , · · · xjm−1 = ajm−1 , xjm = 0}| = |{f(x) = i | x ∈ Fn 2 }|/2m + |{f(x) = i | x ∈ Fn 2 }|/2m = |{f(x) = i | x ∈ Fn 2 }|/2m−1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
47. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . 定义 . . . . . . . . 若 w = (w1, · · · , wn) ∈ Fn 2 ，记 W(w) 为 w1, · · · , wn 中 1 的 个数，称为 w 的 Hamming 重量。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
48. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . 定理 (Xiao-massey) . . . . . . . . 以下两个条件等价： . . . 1 f(x) 与 xi1 , . . . , xim 统计无关 . . . 2 对任意 λi1 , λi2 , . . . , λim = (0, 0, . . . , 0), 有 ∑ x∈Fn 2 (−1)f(x)+ ∑ m j=1 λij xij = 0, . . . . . . . 若 (i1, i2, . . . , im) = (1, 2, . . . , m)，则第二个条件可以写成： Sf(λ, 0) = 0。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
49. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . . . . . . . 1 ⇒ 2 . . . . . . . 不失一般性，设 f(x) 与 x1, x2, . . . , xm 统计无关。 ∑ x∈Fn 2 (−1)f(x)+ ∑ m i=1 λixi = ∑ α∈Fm 2 ∑ β∈Fn−m 2 (−1)f(α,β)+λ·α= ∑ α∈Fn−m 2 (−1)λ·α ∑ β∈Fm 2 (−1)f(α,β) = ∑ α∈Fn−m 2 (−1)λ·α {β ∈ Fn−m 2 | f(α, β) = 0} − {β ∈ Fn−m 2 | f(α, β) = 1} 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
50. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . . . . . . . = ∑ α∈Fn−m 2 (−1)λ·α {x ∈ Fn 2 | f(x) = 0} − {x ∈ Fn 2 | f(x) = 1} 2m = {x ∈ Fn 2 | f(x) = 0} − {x ∈ Fn 2 | f(x) = 1} 2m ∑ α∈Fn−m 2 (−1)λ·α = 0； 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
51. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . . . . . . . 2 ⇒ 1 . . . . . . . ∑ β∈Fn−m 2 (−1)f(α,β) = 2−n ∑ β∈Fn−m 2 ∑ w∈Fn 2 Sf(w)(−1)w·(α,β) = 2−n ∑ w∈Fn 2 Sf(w)(−1)λ·α ∑ β∈Fn−m 2 (−1)µ·β = 2−m ∑ λ∈Fm 2 Sf(λ, 0)(−1)λ·α = 2−mSf(0) = 2−m ∑ x∈Fn 2 (−1)f(x), 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
52. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . . . . . . . {β ∈ Fn−m 2 | f(α, β) = 0} − {β ∈ Fn−m 2 | f(α, β) = 0} = {x | f(x) = 0} − {x | f(x) = 0} 2m {β ∈ Fn−m 2 | f(α, β) = 0} + {β ∈ Fn−m 2 | f(α, β) = 0} = {x | f(x) = 0} + {x | f(x) = 0} 2m 故 {f(x) = i | x1 = a1, . . . , xm = am} = 2−m {x | f(x) = i} 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
53. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . 定理 . . . . . . . . f(x) 是 m 阶相关免疫当且仅当对任 一 λ ∈ Fn 2 , 1 W(λ) m，有 Sf(λ) = 0。 . . . . . . . 这是 Xiao-massey 定理的一个直接推论。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
54. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . . . . . . . §11.3 严格雪崩准则 和扩散准则 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
55. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . 定义 . . . . . . . . 设 ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Fn 2 ， 若 n 元布尔函数 f(x) 对 任意 ei(1 i n), f(x + ei) + f(x) 都是平衡函数，则称 f(x) 满足严格雪崩准则. . . . . . . . . . . 1 W f(x + ei) + f(x) = 2n−1; . . . 2 f(x) 的输入有一个比特的改变，会导致其一半的输出值发 生改变。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
56. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . Example . . . . . . . . 3 元布尔函数 f(x1, x2, x3) = x1x2 + x3 满足雪崩准则吗？ . . . . . . . . . . 1 f(x1 + 1, x2, x3) + f(x1, x2, x3) = x2 是平衡的； . . . 2 f(x1, x2 + 1, x3) + f(x1, x2, x3) = x1 是平衡的； . . . 3 f(x1, x2, x3 + 1) + f(x1, x2, x3) = 1 不是平衡的； . . . 4 f 不满足严格雪崩准则。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
57. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . Example . . . . . . . . 3 元布尔函数 f(x1, x2, x3) = x1x2 + x2x3 + x1x3 满足雪崩准则 吗？ . . . . . . . . . . 1 f(x1 + 1, x2, x3) + f(x1, x2, x3) = x2 + x3 是平衡的； . . . 2 f(x1, x2 + 1, x3) + f(x1, x2, x3) = x1 + x3 是平衡的； . . . 3 f(x1, x2, x3 + 1) + f(x1, x2, x3) = x1 + x2 是平衡的； . . . 4 f 满足严格雪崩准则。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
58. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . 定义 . . . . . . . . 若 f(x) 是 n 元布尔函数，f(x) 的自相关函数定义为 Cf(s) = ∑ x∈Fn 2 (−1)f(x+s)+f(x). . . . . . . . f 满足严格雪崩准则当且仅当 Cf(ei) = 0, i = 1, 2, . . . , n。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
59. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . 引理 . . . . . . . . Cf(s) = 2−n ∑ λ∈Fn 2 S2 f (λ)(−1)λ·s. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
60. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . . . . . . . Cf(s) = ∑ x∈Fn 2 (−1)f(x+s)+f(x) = 2−2n ∑ x∈Fn 2 ∑ w∈Fn 2 Sf(w)(−1)w·(x+s) ∑ λ∈Fn 2 Sf(λ)(−1)λ·x = 2−2n ∑ w∈Fn 2 ∑ λ∈Fn 2 Sf(w)Sf(λ)(−1)w·s ∑ x∈Fn 2 (−1)(λ+w)·x = 2−n ∑ λ∈Fn 2 S2 f (λ)(−1)λ·s 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
61. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . 定理 . . . . . . . . ∑ s∈Fn 2 Cf(s)(−1)λ·s = S2 f (λ)。 . . . . . . . ∑ s∈Fn 2 Cf(s)(−1)λ·s = 2−n ∑ s∈Fn 2 (−1)λ·s ∑ w∈Fn 2 S2 f (w)(−1)w·s = 2−n ∑ w∈Fn 2 S2 f (w) ∑ s∈Fn 2 (−1)(w+λ)·s = 2−n ∑ λ∈Fn 2 S2 f (λ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
62. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . 定义 . . . . . . . . 设 α ∈ Fn 2 , 若 f(x + α) + f(x) 是平衡的，则称 f 关于 α 满 足扩散准则，若对任意适合 1 W(α) k 的 α, f 都满足扩 散准则，则称 f 满足 k 次扩散准则。 . . . . . . . 严格雪崩准则就是 1 次扩散准则。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
63. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 . 定理 . . . . . . . . 设 f(x) 是 n 元布尔函数，则 f 满足 k 次扩散准则当且仅当 对 任意 α, 1 W(α) k, 有 ∑ λ∈Fn 2 S2 f (λ)(−1)λ·α = 0。 . . . . . . . 满足 k 次扩散准则等价于 Cf(α) = 0, W(α) = k； 等价于 ∑ λ∈Fn 2 S2 f (λ)(−1)λ·α = 0。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
64. 布尔函数的表示方法 非线性度 相关免疫性 严格雪崩准则和扩散准则 本节完，谢谢！ 磊张 印晓 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》