【力学 #5】単振り子と小角近似

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1. 単振り子と小角近似 力学シリーズ 第5回 赤神 青空 ひとり物理ゼミ
2. ▪ばねの単振動（力学 前回のおさらい #4） ばねの運動⽅程式 解（単振動） 周期‧⾓振動数 今ココ おさらい 2/13
3. ▪軽い糸（質量を無視）に、小さなおもり（点とみなす）をつるす。空気抵抗なし 単振り子 円周に沿ったおもりの位置 （最下点から測る。θ はラジアン） L は⼀定なので 今ココ 振り子の運動方程式 3/13
4. ▪重力から、円周方向の成分を取り出す 円周方向の運動方程式 円周⽅向の運動⽅程式 張⼒ 質量 × 加速度 ＝ 円周⽅向の⼒ θ ＝ ° で⼀瞬⽌まった瞬間（折り返し点） 今ココ 振り子の運動方程式 4/13
5. ▪このままでは、前回と同じ形にならない 右辺が sin θ になっている 両辺を mL で割る 前回（ばね）の形 今ココ 振り子の運動方程式 5/13
6. ▪sin θ をテイラー展開する θ が小さいとき テイラー展開 （θ はラジアン） 例えば θ が⼩さいとき 今ココ 小角近似 6/13
7. ▪角度が小さいほど、2つは近い sin θ と θ を比べる 値（θ はラジアンで測る） 10°：約 0.5% ⼩さい 30°：約 4.5% ⼩さい 今ココ 小角近似 7/13
8. ▪sin θ ≈小角近似で単振動になる θ とすると、前回と同じ形 sin θ ≈ θ とする 前回の k/m が g/L に なっただけ 解（単振動） 今ココ 小角近似 8/13
9. ▪質量にはよらない。振れ幅には、小さく揺らすときはほとんどよらない 周期は長さと g で決まる ⻑さ 1 m なら、約 2.0 秒（g = . m/s²） 質量 m が⼊っていない どんな振れ幅でも（運動⽅程式で消える） 今ココ 小角近似 振れ幅 が⼊っていない ⼩さく揺らすときは、ほとんどよらない 9/13
10. ▪周期の比大きく振ると周期は長くなる ＝ その振れ幅での周期 ÷ 2π√(L/g) 90°：約 18% ⻑い 30°：約 1.7% ⻑い 今ココ 小角近似 10/13
11. ▪一度止めて考えてみてください クイズ 単振り⼦を⼩さく揺らすとき、おもりを同じ⼤きさで 2倍の重さのものに替えると、周期は？ A ⻑くなる 今ココ クイズ B 短くなる C 変わらない D 振れ幅で変わる 11/13
12. ▪質量は、運動方程式の両辺で消える クイズの答え：C A ⻑くなる B 短くなる C 変わらない D 振れ幅で変わる 両辺に m があって消える 周期は⻑さ L と g で決まる 重さも、動かしにくさも m に⽐例 ⽷の⻑さを変えると、周期は変わる 今ココ クイズ 12/13
13. ▪今回持ち帰ってほしいこと まとめ sin θ が入る 1 振り子の運動方程式には 重力の円周方向の成分が mg sin θ なので、そのままでは単振動の形にならない sin θ ≈ θ 2 小さく揺らすときは テイラー展開の最初の項だけを残すと、前回と同じ単振動の式になる L と g だけで決まるのは小角近似の結果 3 周期が 質量にはよらないが、大きく振るほど周期は長くなる 今ココ まとめ sin θ 小角近似 周期 13/13