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2023年度秋学期 画像情報処理 第2回 結像と空間周波数,フーリエ級数 (2023. 9. 29)

Akira Asano
September 18, 2023

2023年度秋学期 画像情報処理 第2回 結像と空間周波数,フーリエ級数 (2023. 9. 29)

関西大学総合情報学部 画像情報処理(担当・浅野晃)
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2023a/IPPR/

Akira Asano

September 18, 2023
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Transcript

  1. 2023年度秋学期 画像情報処理
    浅野 晃
    関西大学総合情報学部
    結像と空間周波数,フーリエ級数
    第2回

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  2. 第1部のトピック

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  3. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    標本化と量子化
    3

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  4. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    標本化と量子化
    3

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  5. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    標本化と量子化
    3
    画像は,離散的な点(画素,
    pixel)の集まりでできている
    [標本化]

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  6. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    標本化と量子化
    3
    画像は,離散的な点(画素,
    pixel)の集まりでできている
    [標本化]

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  7. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    標本化と量子化
    3
    画像は,離散的な点(画素,
    pixel)の集まりでできている
    [標本化]
    60 60 60
    65 65 65
    70 70 70

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  8. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    標本化と量子化
    3
    画像は,離散的な点(画素,
    pixel)の集まりでできている
    [標本化]
    60 60 60
    65 65 65
    70 70 70
    各画素は,明るさ(輝度)を表す
    整数である
    [量子化]

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  9. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    空間周波数とフーリエ変換
    4
    標本化(サンプリング)・・・どのくらいの細かさで?
       [空間周波数]
    空間周波数を求めるのが
    [フーリエ変換]

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  10. 光による画像の生成

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  11. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の性質・回折と干渉
    6
    中国・銭塘江の「大海嘯」
    こちらで見てみましょう
    https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi?
    das_id=D0009010616_00000
    (ウェブサイトの「参考リンク」で,NHKアーカイ
    ブスのプレビューを見てください。最後のほう
    に,右の図のような交差する波が映ります)

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  12. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の性質・回折と干渉
    6
    中国・銭塘江の「大海嘯」
    こちらで見てみましょう
    https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi?
    das_id=D0009010616_00000

    (ウェブサイトの「参考リンク」で,NHKアーカイ
    ブスのプレビューを見てください。最後のほう
    に,右の図のような交差する波が映ります)

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  13. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の性質・回折と干渉
    6
    中国・銭塘江の「大海嘯」
    波 ↓
    こちらで見てみましょう
    https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi?
    das_id=D0009010616_00000

    (ウェブサイトの「参考リンク」で,NHKアーカイ
    ブスのプレビューを見てください。最後のほう
    に,右の図のような交差する波が映ります)

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  14. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の性質・回折と干渉
    6
    中国・銭塘江の「大海嘯」
    波 ↓

    こちらで見てみましょう
    https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi?
    das_id=D0009010616_00000

    (ウェブサイトの「参考リンク」で,NHKアーカイ
    ブスのプレビューを見てください。最後のほう
    に,右の図のような交差する波が映ります)

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  15. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の性質・回折と干渉
    6
    中国・銭塘江の「大海嘯」

    波 ↓

    こちらで見てみましょう
    https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi?
    das_id=D0009010616_00000

    (ウェブサイトの「参考リンク」で,NHKアーカイ
    ブスのプレビューを見てください。最後のほう
    に,右の図のような交差する波が映ります)

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  16. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の性質・回折と干渉
    6
    中国・銭塘江の「大海嘯」

    波 ↓


    こちらで見てみましょう
    https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi?
    das_id=D0009010616_00000

    (ウェブサイトの「参考リンク」で,NHKアーカイ
    ブスのプレビューを見てください。最後のほう
    に,右の図のような交差する波が映ります)

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  17. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の性質・回折と干渉
    6
    中国・銭塘江の「大海嘯」
    島の裏側に
    回り込む
    波の「回折」

    波 ↓


    回折する
    こちらで見てみましょう
    https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi?
    das_id=D0009010616_00000

    (ウェブサイトの「参考リンク」で,NHKアーカイ
    ブスのプレビューを見てください。最後のほう
    に,右の図のような交差する波が映ります)

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  18. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の性質・回折と干渉
    6
    中国・銭塘江の「大海嘯」
    島の裏側に
    回り込む
    波の「回折」

    波 ↓


       

    回折する
    こちらで見てみましょう
    https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi?
    das_id=D0009010616_00000

    (ウェブサイトの「参考リンク」で,NHKアーカイ
    ブスのプレビューを見てください。最後のほう
    に,右の図のような交差する波が映ります)

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  19. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の性質・回折と干渉
    6
    中国・銭塘江の「大海嘯」
    島の裏側に
    回り込む
    波の「回折」
    山どうし・谷どうしが
    重なり合うと強めあう
    波の「干渉」

    波 ↓


       

    回折する
    こちらで見てみましょう
    https://www2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi?
    das_id=D0009010616_00000

    (ウェブサイトの「参考リンク」で,NHKアーカイ
    ブスのプレビューを見てください。最後のほう
    に,右の図のような交差する波が映ります)

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  20. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理

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  21. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    波の進行

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  22. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行

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  23. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行

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  24. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行

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  25. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行

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  26. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行
    包絡面が
    次の波面

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  27. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行
    包絡面が
    次の波面

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  28. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行
    障害物があると
    包絡面が
    次の波面

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  29. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行
    障害物があると
    包絡面が
    次の波面

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  30. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行
    障害物があると
    包絡面が
    次の波面

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  31. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行
    障害物があると
    包絡面が
    次の波面

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  32. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行
    障害物があると
    包絡面が
    次の波面

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  33. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行
    障害物があると
    包絡面が
    次の波面
    波が回り込む
    [回折]

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  34. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行
    障害物があると
    包絡面が
    次の波面
    波が回り込む
    [回折]

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  35. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行
    障害物があると 孔を通り抜けると
    包絡面が
    次の波面
    波が回り込む
    [回折]

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  36. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行
    障害物があると 孔を通り抜けると
    包絡面が
    次の波面
    波が回り込む
    [回折]

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  37. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行
    障害物があると 孔を通り抜けると
    包絡面が
    次の波面
    波が回り込む
    [回折]

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  38. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ホイヘンスの原理と波の回折
    7
    ホイヘンス(Huygens)の原理
    各点から
    球面波が出る
    波の進行
    障害物があると 孔を通り抜けると
    包絡面が
    次の波面
    波が回り込む
    [回折]
    球面波が
    広がる

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  39. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている

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  40. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている

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  41. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている

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  42. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている

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  43. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている

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  44. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光]

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  45. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光]

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  46. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光]

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  47. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光]

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  48. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光]

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  49. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光]

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  50. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光]
    この包絡面も
    現れる

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  51. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光]
    この包絡面も
    現れる

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  52. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光]
    この包絡面も
    現れる

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  53. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光] [1次回折光]
    この包絡面も
    現れる

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  54. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光] [1次回折光]
    この包絡面も
    現れる

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  55. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光] [1次回折光]
    この包絡面も
    現れる
    孔の間隔が広い

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  56. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光] [1次回折光]
    この包絡面も
    現れる
    孔の間隔が広い

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  57. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光] [1次回折光]
    この包絡面も
    現れる
    孔の間隔が広い

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  58. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光] [1次回折光]
    この包絡面も
    現れる
    孔の間隔が広い

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  59. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光] [1次回折光]
    この包絡面も
    現れる
    孔の間隔が広い

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  60. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光] [1次回折光]
    この包絡面も
    現れる
    孔の間隔が広い

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  61. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    通り抜ける
    [0次光] [1次回折光]
    この包絡面も
    現れる
    孔の間隔が広い

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  62. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    回折格子と1次回折光
    8
    [回折格子] = 孔が周期的に開いている
    →1次回折光の角度が緩い
    通り抜ける
    [0次光] [1次回折光]
    この包絡面も
    現れる
    孔の間隔が広い

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  63. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる

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  64. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,

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  65. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    光の波

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  66. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    光の波

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  67. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    光の波

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  68. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    光の波

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  69. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    光の波
    干渉縞が
    できる

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  70. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    光の波
    干渉縞が
    できる

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  71. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    光の波
    干渉縞が
    できる

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  72. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    光の波
    干渉縞が
    できる

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  73. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    光の波
    干渉縞が
    できる

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  74. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    光の波
    干渉縞が
    できる

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  75. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    光の波
    干渉縞が
    できる

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  76. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    角度が小さいと粗い縞
    光の波
    干渉縞が
    できる

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  77. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    角度が小さいと粗い縞 角度が大きいと細かい縞
    光の波
    干渉縞が
    できる

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  78. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    光の干渉
    9
    回折光と0次光が重なると再び縞ができる
    細かい格子ほど大きな角度で回折光が出るから,
    角度が小さいと粗い縞 角度が大きいと細かい縞
    格子が再現される
    光の波
    干渉縞が
    できる

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  79. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    画像の生成(結像)
    10
    画像は回折格子の重ね合わせであり,
    それぞれの回折格子で回折された光が像面で干渉して,画像が再現される

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  80. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    画像の生成(結像)
    10
    画像は回折格子の重ね合わせであり,
    それぞれの回折格子で回折された光が像面で干渉して,画像が再現される
    画像は回折格子,すなわち波の重ね合わせである

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  81. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    画像の生成(結像)
    10
    画像は回折格子の重ね合わせであり,
    それぞれの回折格子で回折された光が像面で干渉して,画像が再現される
    画像は回折格子,すなわち波の重ね合わせである
    どんな波が重ね合わされているかを求める計算が[フーリエ変換]

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  82. 空間周波数とフーリエ級数

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  83. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の周波数と波長
    12
    基本的な波
    三角関数で表す
    [周波数]
    単位長さ(1mmとか)の間に
    何周期の波が入っているか
    [波長]
    波が1周期進むのにかかる
    長さはどれだけか
    1周期
    周波数は
    4 cycle/mm
    … …
    位置
    この長さが1mmとすると
    1mmの間に4周期
    入っているから
    波長は1周期の長さで
    (1/4) mm
    1周期
    1mm

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  84. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    空間周波数
    13
    空間周波数=
    平面上の「明暗の波」の細かさを表す
    単位長さの中で明暗が何回繰り返すか
    x
    y
    νx
    1
    νy
    1
    x方向・y方向の2つの空間周波数の組で,
    ひとつの平面上の波が定まる

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  85. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    空間周波数
    14
     νx
    大きい
    (細かい)
    νy
    小さい(粗い)
     νx
    小さい
     (粗い)
    νy
    大きい(細かい)

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  86. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    足されるのは,どの三角関数?

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  87. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    足されるのは,どの三角関数?

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  88. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    足されるのは,どの三角関数?

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  89. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    足されるのは,どの三角関数?

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  90. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    足されるのは,どの三角関数?

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  91. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    足されるのは,どの三角関数?

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  92. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    足されるのは,どの三角関数?

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  93. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    周期が合う→
    足されるのは,どの三角関数?

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  94. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  95. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  96. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  97. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  98. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  99. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2 合う→足す
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  100. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    波長 L/3
    合う→足す
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  101. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    波長 L/3
    合う→足す
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  102. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    波長 L/3
    合う→足す
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  103. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    波長 L/3
    合う→足す
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  104. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    波長 L/3
    合う→足す
    合う→足す
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  105. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    波長 L/3
    波長 L /(1.5)
    合う→足す
    合う→足す
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  106. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    波長 L/3
    波長 L /(1.5)
    合う→足す
    合う→足す
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  107. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    波長 L/3
    波長 L /(1.5)
    合う→足す
    合う→足す
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  108. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    波長 L/3
    波長 L /(1.5)
    合う→足す
    合う→足す
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  109. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    波長 L/3
    波長 L /(1.5)
    合う→足す
    合う→足す
    合わない
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    足されるのは,どの三角関数?

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  110. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    波長 L/3
    波長 L /(1.5)
    合う→足す
    合う→足す
    合わない
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    → 波が進むとずれていってしまうから
      足してはいけない
    足されるのは,どの三角関数?

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  111. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    波長 L/3
    … 足されるのは波長 L / n(nは整数)のものに限る。
    波長 L /(1.5)
    合う→足す
    合う→足す
    合わない
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    → 波が進むとずれていってしまうから
      足してはいけない
    足されるのは,どの三角関数?

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  112. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数を分解
    15
    ここからは1次元の波で考える
    周期関数 … …
    もし,この周期関数が,三角関数の和で
    書けるとしたら?
    周期(の長さ)L
    波長 L
    波長 L/2
    波長 L/3
    … 足されるのは波長 L / n(nは整数)のものに限る。
    無限個の波の足し合わせだが,足し算(級数)で書ける。
    波長 L /(1.5)
    合う→足す
    合う→足す
    合わない
    周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す
    → 波が進むとずれていってしまうから
      足してはいけない
    足されるのは,どの三角関数?

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  113. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    「無限個だが,足し算で書ける」
    16
    周期関数 f(x) … …
    周期関数 f(x)が,三角関数の和で書けるとしたら,足されるのは
    周期 L
    波長 L 波長 L/3
    f(x) = +
    波長 L/2
    + + … + + …
    波長 L/n

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  114. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    「無限個だが,足し算で書ける」
    16
    周期関数 f(x) … …
    周期関数 f(x)が,三角関数の和で書けるとしたら,足されるのは
    周期 L
    波長 L 波長 L/3
    … 足されるのは波長 L / n(nは整数)のものに限るから,
      無限個の三角関数を足すのだけれども
      このように「項」を並べることができる
    f(x) = +
    波長 L/2
    + + … + + …
    波長 L/n

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  115. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    「無限個だが,足し算で書ける」
    16
    周期関数 f(x) … …
    周期関数 f(x)が,三角関数の和で書けるとしたら,足されるのは
    周期 L
    波長 L 波長 L/3
    … 足されるのは波長 L / n(nは整数)のものに限るから,
      無限個の三角関数を足すのだけれども
      このように「項」を並べることができる
    f(x) = +
    波長 L/2
    + + … + + …
    波長 L/n
    「級数」という

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  116. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の進み方を「角度」で表す
    17
    L / n 波長
    n / L 単位長さあたり
    何周期ぶんの波が入っているか
    [周波数]
    L = 0.5[mm]とすると
    波長 L / 2 = 0.25[mm]
    1[mm] あたり
    2 / L = 4[周期]の波
    波長 L / 2
    ★三角関数を使うときは,角度を単位にしなければいけない

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  117. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の進み方を「角度」で表す
    17
    L / n 波長
    n / L 単位長さあたり
    何周期ぶんの波が入っているか
    [周波数]
    2π(n / L) 単位長さあたり
    位相(角度)が何ラジアン進むか
    [角周波数]
    L = 0.5[mm]とすると
    波長 L / 2 = 0.25[mm]
    1[mm] あたり
    2 / L = 4[周期]の波
    波長 L / 2
    ★三角関数を使うときは,角度を単位にしなければいけない

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  118. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の進み方を「角度」で表す
    17
    L / n 波長
    n / L 単位長さあたり
    何周期ぶんの波が入っているか
    [周波数]
    2π(n / L) 単位長さあたり
    位相(角度)が何ラジアン進むか
    [角周波数]
    L = 0.5[mm]とすると
    波長 L / 2 = 0.25[mm]
    1[mm] あたり
    2 / L = 4[周期]の波
    波長 L / 2
    ★三角関数を使うときは,角度を単位にしなければいけない
    1周=360度=2πラジアン

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  119. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の進み方を「角度」で表す
    17
    L / n 波長
    n / L 単位長さあたり
    何周期ぶんの波が入っているか
    [周波数]
    2π(n / L) 単位長さあたり
    位相(角度)が何ラジアン進むか
    [角周波数]
    L = 0.5[mm]とすると
    波長 L / 2 = 0.25[mm]
    1[mm] あたり
    2 / L = 4[周期]の波
    1[mm] あたり
    2π(2 / L) = 2π ×4[rad]
    だけ角度が進む
    波長 L / 2
    ★三角関数を使うときは,角度を単位にしなければいけない
    1周=360度=2πラジアン

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  120. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    波の進み方を「角度」で表す
    17
    L / n 波長
    n / L 単位長さあたり
    何周期ぶんの波が入っているか
    [周波数]
    2π(n / L) 単位長さあたり
    位相(角度)が何ラジアン進むか
    [角周波数]
    L = 0.5[mm]とすると
    波長 L / 2 = 0.25[mm]
    1[mm] あたり
    2 / L = 4[周期]の波
    1[mm] あたり
    2π(2 / L) = 2π ×4[rad]
    だけ角度が進む
    波長 L / 2
    ★三角関数を使うときは,角度を単位にしなければいけない
    1周=360度=2πラジアン
    ラジアン?

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  121. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ラジアン(弧度法)
    18
    半径 1
    半径1の円の
    円周の長さは 2π
    この角度を,
    対応する円周の長さで表す
    45°

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  122. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ラジアン(弧度法)
    18
    45°= 1周の1/8 だから,
    ラジアンであらわすと
    2π × (1/8) = π / 4 (rad)
    半径 1
    半径1の円の
    円周の長さは 2π
    この角度を,
    対応する円周の長さで表す
    45°

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  123. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    ラジアン(弧度法)
    18
    45°= 1周の1/8 だから,
    ラジアンであらわすと
    2π × (1/8) = π / 4 (rad)
    半径 1
    半径1の円の
    円周の長さは 2π
    この角度を,
    対応する円周の長さで表す
    1周=360度=2πラジアン
    45°

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  124. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数=三角関数の級数
    19
    f(x) = a0
    + a1
    cos(2π
    1
    L
    x) + a2
    cos(2π
    2
    L
    x) + … + an
    cos(2π
    n
    L
    x) + …
    波長 L 波長 L/2 波長 L/n

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  125. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数=三角関数の級数
    19
    なのですが…
    f(x) = a0
    + a1
    cos(2π
    1
    L
    x) + a2
    cos(2π
    2
    L
    x) + … + an
    cos(2π
    n
    L
    x) + …
    波長 L 波長 L/2 波長 L/n

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  126. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数=三角関数の級数
    19
    なのですが…
    三角関数は計算が面倒。
    f(x) = a0
    + a1
    cos(2π
    1
    L
    x) + a2
    cos(2π
    2
    L
    x) + … + an
    cos(2π
    n
    L
    x) + …
    波長 L 波長 L/2 波長 L/n
    cos x cos y =
    1
    2
    {cos(x + y) + cos(x − y)}

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  127. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数=三角関数の級数
    19
    なのですが…
    三角関数は計算が面倒。
    指数関数なら計算が簡単
    f(x) = a0
    + a1
    cos(2π
    1
    L
    x) + a2
    cos(2π
    2
    L
    x) + … + an
    cos(2π
    n
    L
    x) + …
    波長 L 波長 L/2 波長 L/n
    cos x cos y =
    1
    2
    {cos(x + y) + cos(x − y)}
    axay = ax+y

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  128. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    周期関数=三角関数の級数
    19
    なのですが…
    三角関数は計算が面倒。
    指数関数なら計算が簡単
    f(x) = a0
    + a1
    cos(2π
    1
    L
    x) + a2
    cos(2π
    2
    L
    x) + … + an
    cos(2π
    n
    L
    x) + …
    波長 L 波長 L/2 波長 L/n
    cos x cos y =
    1
    2
    {cos(x + y) + cos(x − y)}
    axay = ax+y かけ算=指数の足し算

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  129. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    三角関数と指数関数の関係
    20
    exp(iω) = cos ω + i sin ω
    オイラーの式

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  130. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    三角関数と指数関数の関係
    20
    exp(iω) = cos ω + i sin ω
    オイラーの式

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  131. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    三角関数と指数関数の関係
    20
    exp(iω) = cos ω + i sin ω
    オイラーの式
    i2 = − 1 虚数単位

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  132. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    三角関数と指数関数の関係
    20
    exp(iω) = cos ω + i sin ω
    オイラーの式
    cos ω =
    exp(iω) + exp(−iω)
    2
    , sin ω =
    exp(iω) − exp(−iω)
    2i
    i2 = − 1 虚数単位

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  133. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    三角関数と指数関数の関係
    20
    exp(iω) = cos ω + i sin ω
    オイラーの式
    cos ω =
    exp(iω) + exp(−iω)
    2
    , sin ω =
    exp(iω) − exp(−iω)
    2i
    i2 = − 1 虚数単位

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  134. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    三角関数と指数関数の関係
    20
    exp(iω) = cos ω + i sin ω
    オイラーの式
    cos ω =
    exp(iω) + exp(−iω)
    2
    , sin ω =
    exp(iω) − exp(−iω)
    2i
    i2 = − 1 虚数単位
    exp(x) = ex

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  135. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    三角関数と指数関数の関係
    20
    exp(iω) = cos ω + i sin ω
    オイラーの式
    cos ω =
    exp(iω) + exp(−iω)
    2
    , sin ω =
    exp(iω) − exp(−iω)
    2i
    i2 = − 1 虚数単位
    exp(x) = ex (ex)′ = ex

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  136. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    三角関数と指数関数の関係
    20
    exp(iω) = cos ω + i sin ω
    オイラーの式
    cos ω =
    exp(iω) + exp(−iω)
    2
    , sin ω =
    exp(iω) − exp(−iω)
    2i
    i2 = − 1 虚数単位
    exp(x) = ex (ex)′ = ex 微分しても変わらない

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  137. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    三角関数と指数関数の関係
    20
    exp(iω) = cos ω + i sin ω
    オイラーの式
    cos ω =
    exp(iω) + exp(−iω)
    2
    , sin ω =
    exp(iω) − exp(−iω)
    2i
    i2 = − 1 虚数単位
    exp(x) = ex (ex)′ = ex 微分しても変わらない
    e = 2.71828...

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  138. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    三角関数と指数関数の関係
    20
    exp(iω) = cos ω + i sin ω
    オイラーの式
    cos ω =
    exp(iω) + exp(−iω)
    2
    , sin ω =
    exp(iω) − exp(−iω)
    2i
    i2 = − 1 虚数単位
    exp(x) = ex (ex)′ = ex 微分しても変わらない
    e = 2.71828...

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  139. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    三角関数と指数関数の関係
    20
    exp(iω) = cos ω + i sin ω
    オイラーの式
    cos ω =
    exp(iω) + exp(−iω)
    2
    , sin ω =
    exp(iω) − exp(−iω)
    2i
    i2 = − 1 虚数単位
    exp(x) = ex (ex)′ = ex 微分しても変わらない
    e = 2.71828...

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  140. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    三角関数と指数関数の関係
    20
    exp(iω) = cos ω + i sin ω
    オイラーの式
    cos ω =
    exp(iω) + exp(−iω)
    2
    , sin ω =
    exp(iω) − exp(−iω)
    2i
    ひとつの三角関数=波は,
    正負の周波数をもつ指数関数の組で表される
    i2 = − 1 虚数単位
    exp(x) = ex (ex)′ = ex 微分しても変わらない
    e = 2.71828...

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  141. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    三角関数と指数関数の関係
    20
    exp(iω) = cos ω + i sin ω
    オイラーの式
    cos ω =
    exp(iω) + exp(−iω)
    2
    , sin ω =
    exp(iω) − exp(−iω)
    2i
    ひとつの三角関数=波は,
    正負の周波数をもつ指数関数の組で表される
    i2 = − 1 虚数単位
    「周波数がマイナス」というのはヘンだが,
    プラスの周波数とマイナスの周波数のペアでひとつの波になる
    exp(x) = ex (ex)′ = ex 微分しても変わらない
    e = 2.71828...

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  142. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    つづきは
    21
    周期 L の周期関数 f(x) は,波長 L / n の波を足し合わせて
    波長 L / n の波は
    f(x) =

    n=−∞
    an exp i2π
    n
    L
    x
    という級数で書ける
    exp(i2π
    n
    L
    x) exp(−i2π
    n
    L
    x)
    と の組
    プラスもマイナスも∞(プラスとマイナスの組で1つの波だから)

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  143. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    つづきは
    21
    周期 L の周期関数 f(x) は,波長 L / n の波を足し合わせて
    はず。
    波長 L / n の波は
    f(x) =

    n=−∞
    an exp i2π
    n
    L
    x
    という級数で書ける
    exp(i2π
    n
    L
    x) exp(−i2π
    n
    L
    x)
    と の組
    プラスもマイナスも∞(プラスとマイナスの組で1つの波だから)

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  144. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    つづきは
    21
    周期 L の周期関数 f(x) は,波長 L / n の波を足し合わせて
    はず。
    波長 L / n の波は
    f(x) =

    n=−∞
    an exp i2π
    n
    L
    x
    という級数で書ける
    exp(i2π
    n
    L
    x) exp(−i2π
    n
    L
    x)
    と の組
    プラスもマイナスも∞(プラスとマイナスの組で1つの波だから)
    これがフーリエ級数なんですが,

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  145. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    つづきは
    21
    周期 L の周期関数 f(x) は,波長 L / n の波を足し合わせて
    はず。
    波長 L / n の波は
    f(x) =

    n=−∞
    an exp i2π
    n
    L
    x
    という級数で書ける
    exp(i2π
    n
    L
    x) exp(−i2π
    n
    L
    x)
    と の組
    プラスもマイナスも∞(プラスとマイナスの組で1つの波だから)
    この係数はどうやって求めるの?
    これがフーリエ級数なんですが,

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  146. 21
    2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃
    つづきは
    21
    周期 L の周期関数 f(x) は,波長 L / n の波を足し合わせて
    はず。
    波長 L / n の波は
    f(x) =

    n=−∞
    an exp i2π
    n
    L
    x
    という級数で書ける
    exp(i2π
    n
    L
    x) exp(−i2π
    n
    L
    x)
    と の組
    プラスもマイナスも∞(プラスとマイナスの組で1つの波だから)
    この係数はどうやって求めるの?
    続きは次回。
    これがフーリエ級数なんですが,

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