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2023年度秋学期 応用数学(解析)第7回 2階線形微分方程式(1) (2023. 10. 26)
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Akira Asano
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October 14, 2023
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130
2023年度秋学期 応用数学(解析)第7回 2階線形微分方程式(1) (2023. 10. 26)
関西大学総合情報学部 応用数学(解析)(担当・浅野晃)
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2023a/AMA/
Akira Asano
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October 14, 2023
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Transcript
浅野 晃 関西大学総合情報学部 2023年度秋学期 応用数学(解析) 第2部・基本的な微分方程式 2階線形微分方程式(1) 第7回
25 2
25 2 2階線形微分方程式とは🤔🤔
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ +
Q(t)x = R(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ +
Q(t)x = R(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ +
Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが[斉次] そうではないのが[非斉次]
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ +
Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが[斉次] そうではないのが[非斉次] 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ +
Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが[斉次] そうではないのが[非斉次] 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には とりあえず, x ≡ 0
は解[自明解] x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが[斉次] そうではないのが[非斉次] 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には とりあえず, x ≡ 0
は解[自明解] x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが[斉次] そうではないのが[非斉次] 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 それ以外には?
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 x′′ + ax′ + bx
= 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 x′′ + ax′ + bx
= 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解,その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解,その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の2次方程式だから,みたす λ はたいてい2つ λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解,その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の2次方程式だから,みたす λ はたいてい2つ λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解,その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の2次方程式だから,みたす λ はたいてい2つ λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t x ≡ 0 を含む
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解,その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の2次方程式だから,みたす λ はたいてい2つ λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t x ≡ 0 を含む
25 5
25 5 おわり😪😪
25 6
25 6 こんなんでいいのか?🌀🌀
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 7 x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは,
以下の2項目が正しいことと同じ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 7 1.解が一意 x = C1eλ1t +
C2eλ2t が本当に一般解であることは, 以下の2項目が正しいことと同じ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 7 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは, 以下の2項目が正しいことと同じ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 7 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは, 以下の2項目が正しいことと同じ 初期値はこの2つ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 7 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは, 以下の2項目が正しいことと同じ 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 初期値はこの2つ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 7 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは, 以下の2項目が正しいことと同じ 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば, 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 初期値はこの2つ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 8 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 8 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 2つの関数が1次独立とは
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 8 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 2つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても なりたつのは,C1 = C2 = 0 のときだけ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 8 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 2つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても なりたつのは,C1 = C2 = 0 のときだけ x1 x2 x1 x2 ◯ ×
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 8 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 2つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても なりたつのは,C1 = C2 = 0 のときだけ x1 x2 x1 x2 ◯ × 解全体は 2次元ベクトル空間をなす
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 9 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる さっきの例では eλ1t, eλ2t は
λ1 ≠ λ2 なら1次独立 1.解が一意 一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで,他にはない
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 9 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる さっきの例では eλ1t, eλ2t は
λ1 ≠ λ2 なら1次独立 1.解が一意 一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで,他にはない 一般の斉次形 n 階線形微分方程式 (定数係数でない場合も含む)についてなりたつ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 9 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる さっきの例では eλ1t, eλ2t は
λ1 ≠ λ2 なら1次独立 1.解が一意 一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで,他にはない 一般の斉次形 n 階線形微分方程式 (定数係数でない場合も含む)についてなりたつ 定数係数の場合に,証明してみる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t) 1階線形微分方程式の形になる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t) 1階線形微分方程式の形になる 何階線形微分方程式でも,この形にできる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 11
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 11 1.解が一意
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 11 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 11 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
リプシッツ条件をつかう
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 12 一意性の十分条件のひとつ「リプシッツ条件」 初期値がひとつ定まったときに,解がひとつだけに決まることを, 解が一意(unique)であるという 微分方程式が のとき,初期値のまわりでどんな
x1, x2 についても x′ (t) = f(t, x) |f(t, x1) − f(t, x2)| L|x1 − x2| となる定数 L があるなら,その初期値について一意 x のわずかな変化について, f がいくらでも大きく変化する,ということはない
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
リプシッツ条件をつかう
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x′ = A(t)x + b(t) の右辺について,関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x′ = A(t)x + b(t) の右辺について,関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり,
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x′ = A(t)x + b(t) の右辺について,関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり, ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在する
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x′ = A(t)x + b(t) の右辺について,関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり, ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在する ユークリッドノルムならそうなる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x′ = A(t)x + b(t) の右辺について,関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり, ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在する ノルムが連続なら,任意の有界閉区間で上限が存在する ユークリッドノルムならそうなる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x′ = A(t)x + b(t) の右辺について,関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり, ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在する ノルムが連続なら,任意の有界閉区間で上限が存在する リプシッツ条件が成り立ち,一意 ユークリッドノルムならそうなる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが, ここでは2階の場合を示す
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが, ここでは2階の場合を示す まず,
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが, ここでは2階の場合を示す を x(t) 一般解を とするとき まず,
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが, ここでは2階の場合を示す を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 +の形で表せる t = t0 の まず,
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが, ここでは2階の場合を示す を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 +の形で表せる t = t0 の まず, は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 15 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 15 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 15 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる は,2次元の基本ベクトル e1 =
(1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 15 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる は,2次元の基本ベクトル e1 =
(1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 15 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立。本当?
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2つの関数が1次独立とは 16 2つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) =
0 がどんな t についても なりたつのは,C1 = C2 = 0 のときだけ x1 x2 x1 x2 ◯ ×
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2つの関数が1次独立とは 16 2つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) =
0 がどんな t についても なりたつのは,C1 = C2 = 0 のときだけ x1 x2 x1 x2 ◯ ×
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0 e1, e2,は1次独立だから
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0 e1, e2,は1次独立だから
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0 e1, e2,は1次独立だから これがなりたつのは c1 = c2 = 0 に限る
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0 e1, e2,は1次独立だから これがなりたつのは c1 = c2 = 0 に限る 👌👌
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) どちらも同じ初期値をもつ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) どちらも同じ初期値をもつ 一意だから,それらは同じ解である
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) どちらも同じ初期値をもつ 一意だから,それらは同じ解である x(t) = x1ξ1(t) + x2ξ2(t)
25 19
25 19 定数係数の 斉次形2階線形微分方程式を解く💡💡
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式を解く 20 定数係数の 斉次形2階線形微分方程式 x′′ + ax′
+ bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式を解く 20 定数係数の 斉次形2階線形微分方程式 x′′ + ax′
+ bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式を解く 20 定数係数の 斉次形2階線形微分方程式 特性方程式の解の形によって,3パターン x′′ +
ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式を解く 20 定数係数の 斉次形2階線形微分方程式 特性方程式の解の形によって,3パターン x′′ +
ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という 異なる2つの実数解の場合 異なる2つの虚数解の場合 重解の場合
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数解が2つの場合 21 特性方程式の 異なる2つの実数解 λ1, λ2 eλ1t,
eλ2t 微分方程式の 1次独立な解 一般解は x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t 解 表
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数解が2つの場合 21 特性方程式の 異なる2つの実数解 (つまり,最初のとおり) λ1, λ2
eλ1t, eλ2t 微分方程式の 1次独立な解 一般解は x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t 解 表
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が2つの場合 22 一般解は x(t) = C1e(α+iβ)t
+ C2e(α−iβ)t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が2つの場合 22 さらに計算すると 一般解は x(t) =
C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が2つの場合 22 さらに計算すると 一般解は x(t) =
C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは, また先で
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が2つの場合 22 さらに計算すると 一般解は x(t) =
C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは, また先で x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 定数を置き直して,一般解は
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が2つの場合 22 さらに計算すると 一般解は x(t) =
C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは, また先で x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 定数を置き直して,一般解は 振動を表している
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が2つの場合 22 さらに計算すると 一般解は x(t) =
C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは, また先で x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 定数を置き直して,一般解は 振動を表している これも先で
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t teλ1t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t teλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる 微分方程式の左辺に代入すると
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると,微分方程式の解は
しか出て来ない C1 eλ1 t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると,微分方程式の解は
しか出て来ない C1 eλ1 t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると,微分方程式の解は
しか出て来ない C1 eλ1 t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると,微分方程式の解は
しか出て来ない C1 eλ1 t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0 C1eλ1t + C2teλ1t 一般解は
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると,微分方程式の解は
しか出て来ない C1 eλ1 t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0 見つけ方はテキストで(定数変化法) C1eλ1t + C2teλ1t 一般解は
25 24
25 24 例題🤔🤔
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 λ = 2, 3 その解は
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 λ = 2, 3 その解は 異なる2つの実数解なので,微分方程式の一般解は x(t) = C1e2t + C2e3t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 λ = 2, 3 その解は 異なる2つの実数解なので,微分方程式の一般解は x(t) = C1e2t + C2e3t 初期条件から x(0) = C1 + C2 = 1 x′(0) = 2C1 + 3C2 = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 λ = 2, 3 その解は 異なる2つの実数解なので,微分方程式の一般解は x(t) = C1e2t + C2e3t 初期条件から x(0) = C1 + C2 = 1 x′(0) = 2C1 + 3C2 = 0 C1 = 3, C2 = −2
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 λ = 2, 3 その解は 異なる2つの実数解なので,微分方程式の一般解は x(t) = C1e2t + C2e3t 初期条件から x(0) = C1 + C2 = 1 x′(0) = 2C1 + 3C2 = 0 C1 = 3, C2 = −2 よって,求める特殊解は x(t) = , 3e2t − 2e3t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 今日のまとめ 26 定数係数・斉次形の 2階線形微分方程式 次回は非斉次形 (右辺が0でない)をやります x′′
+ ax′ + bx = 0