Upgrade to Pro
— share decks privately, control downloads, hide ads and more …
Speaker Deck
Features
Speaker Deck
PRO
Sign in
Sign up for free
Search
Search
2023年度秋学期 応用数学(解析)第7回 2階線形微分方程式(1) (2023. 10. 26)
Search
Akira Asano
PRO
October 14, 2023
Education
0
140
2023年度秋学期 応用数学(解析)第7回 2階線形微分方程式(1) (2023. 10. 26)
関西大学総合情報学部 応用数学(解析)(担当・浅野晃)
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2023a/AMA/
Akira Asano
PRO
October 14, 2023
Tweet
Share
More Decks by Akira Asano
See All by Akira Asano
2024年度秋学期 統計学 第15回 分布についての仮説を検証する - 仮説検定(2) (2025. 1. 15)
akiraasano
PRO
0
80
2024年度秋学期 統計学 第14回 分布についての仮説を検証する - 仮説検定(1) (2025. 1. 8)
akiraasano
PRO
0
83
2024年度秋学期 統計学 第13回 不確かな測定の不確かさを測る - 不偏分散とt分布 (2024. 12. 18)
akiraasano
PRO
0
97
2024年度秋学期 画像情報処理 第11回 逆投影法による再構成 (2024. 12. 13)
akiraasano
PRO
0
50
2024年度秋学期 統計学 第12回 分布の平均を推測する - 区間推定 (2024. 12. 11)
akiraasano
PRO
0
130
2024年度秋学期 統計学 第11回 分布の「型」を考える - 確率分布モデルと正規分布 (2024. 12. 4)
akiraasano
PRO
0
120
2024年度秋学期 画像情報処理 第10回 Radon変換と投影切断面定理 (2024. 12. 6)
akiraasano
PRO
0
53
2024年度秋学期 画像情報処理 第8回 行列の直交変換と基底画像 (2024. 11. 29)
akiraasano
PRO
0
42
2024年度秋学期 画像情報処理 第9回 離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2024. 11. 29)
akiraasano
PRO
0
56
Other Decks in Education
See All in Education
Initiatives on Bridging the Gender Gap in the Technology Sector
codeforeveryone
0
130
ビジネススキル研修紹介(株式会社27th)
27th
PRO
1
680
複式簿記から純資産を排除する/eliminate_net_assets_from_double-entry_bookkeeping
florets1
1
320
(元)教育担当がお伝えする、若手社員が成長しまくるOJTポイント
masakiokuda
0
230
付箋を使ったカラオケでワイワイしましょう / Scrum Fest Okinawa 2024
bonbon0605
0
140
CV_1_Introduction
hachama
0
170
ヘイトスピーチがある世界のコミュニケーション
ktanishima
0
1k
プログラミング基礎#4(名古屋造形大学)
yusk1450
PRO
0
120
保育士チームが実践している連続的な観察と多面的な観察を共有するための振り返り / Reflection to share “continuous and multifaceted observations” as practiced by a team of childcare professionals
psj59129
0
3.4k
COO's Perspective : Code for Everyone 2020-2024
codeforeveryone
0
270
いにしえの国産データベース~桐~って知っていますか?
masakiokuda
2
110
小学校プログラミング教育、次の5年に向けて 〜つくること・学ぶことの歓びへ〜 /NextGenerationOfProgrammingEducation
kiriem
2
390
Featured
See All Featured
Speed Design
sergeychernyshev
27
810
The Web Performance Landscape in 2024 [PerfNow 2024]
tammyeverts
4
430
Documentation Writing (for coders)
carmenintech
67
4.6k
XXLCSS - How to scale CSS and keep your sanity
sugarenia
248
1.3M
Done Done
chrislema
182
16k
Understanding Cognitive Biases in Performance Measurement
bluesmoon
27
1.6k
Product Roadmaps are Hard
iamctodd
PRO
50
11k
GraphQLとの向き合い方2022年版
quramy
44
14k
Optimising Largest Contentful Paint
csswizardry
34
3.1k
"I'm Feeling Lucky" - Building Great Search Experiences for Today's Users (#IAC19)
danielanewman
226
22k
Writing Fast Ruby
sferik
628
61k
Design and Strategy: How to Deal with People Who Don’t "Get" Design
morganepeng
129
19k
Transcript
浅野 晃 関西大学総合情報学部 2023年度秋学期 応用数学(解析) 第2部・基本的な微分方程式 2階線形微分方程式(1) 第7回
25 2
25 2 2階線形微分方程式とは🤔🤔
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ +
Q(t)x = R(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ +
Q(t)x = R(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ +
Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが[斉次] そうではないのが[非斉次]
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ +
Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが[斉次] そうではないのが[非斉次] 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には x′′ + P(t)x′ +
Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが[斉次] そうではないのが[非斉次] 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には とりあえず, x ≡ 0
は解[自明解] x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが[斉次] そうではないのが[非斉次] 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式 3 一般には とりあえず, x ≡ 0
は解[自明解] x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) ここが恒等的に0なのが[斉次] そうではないのが[非斉次] 一番簡単なのは x′′ + ax′ + bx = 0 定数係数の斉次方程式 それ以外には?
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 x′′ + ax′ + bx
= 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 x′′ + ax′ + bx
= 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解,その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解,その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の2次方程式だから,みたす λ はたいてい2つ λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解,その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の2次方程式だから,みたす λ はたいてい2つ λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解,その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の2次方程式だから,みたす λ はたいてい2つ λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t x ≡ 0 を含む
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式の解 4 ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解,その定数倍も解 x′′ + ax′ + bx = 0 λ の2次方程式だから,みたす λ はたいてい2つ λ1, λ2 x(t) = eλt とりあえず に を代入すると λ2eλt + aλeλt + beλt = 0 λ2 + aλ + b eλt = 0 一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t x ≡ 0 を含む
25 5
25 5 おわり😪😪
25 6
25 6 こんなんでいいのか?🌀🌀
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 7 x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは,
以下の2項目が正しいことと同じ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 7 1.解が一意 x = C1eλ1t +
C2eλ2t が本当に一般解であることは, 以下の2項目が正しいことと同じ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 7 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは, 以下の2項目が正しいことと同じ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 7 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは, 以下の2項目が正しいことと同じ 初期値はこの2つ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 7 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは, 以下の2項目が正しいことと同じ 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 初期値はこの2つ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 7 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは, 以下の2項目が正しいことと同じ 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば, 一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 初期値はこの2つ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 8 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 8 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 2つの関数が1次独立とは
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 8 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 2つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても なりたつのは,C1 = C2 = 0 のときだけ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 8 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 2つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても なりたつのは,C1 = C2 = 0 のときだけ x1 x2 x1 x2 ◯ ×
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 8 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 2つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても なりたつのは,C1 = C2 = 0 のときだけ x1 x2 x1 x2 ◯ × 解全体は 2次元ベクトル空間をなす
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 9 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる さっきの例では eλ1t, eλ2t は
λ1 ≠ λ2 なら1次独立 1.解が一意 一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで,他にはない
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 9 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる さっきの例では eλ1t, eλ2t は
λ1 ≠ λ2 なら1次独立 1.解が一意 一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで,他にはない 一般の斉次形 n 階線形微分方程式 (定数係数でない場合も含む)についてなりたつ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当に一般解であるためには 9 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる さっきの例では eλ1t, eλ2t は
λ1 ≠ λ2 なら1次独立 1.解が一意 一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで,他にはない 一般の斉次形 n 階線形微分方程式 (定数係数でない場合も含む)についてなりたつ 定数係数の場合に,証明してみる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t) 1階線形微分方程式の形になる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表現する 10 を, とおいて x′′ + P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) x1 = x, x2 = x′ x′ 1 = x2 x′ 2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t) と表す x′ 1 x′ 2 = 0 1 −Q(t) −P(t) x1 x2 + 0 R(t) 行列で x′ = A(t)x + b(t) 1階線形微分方程式の形になる 何階線形微分方程式でも,この形にできる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 11
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 11 1.解が一意
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 11 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 11 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
リプシッツ条件をつかう
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 特異解と解の一意性 12 一意性の十分条件のひとつ「リプシッツ条件」 初期値がひとつ定まったときに,解がひとつだけに決まることを, 解が一意(unique)であるという 微分方程式が のとき,初期値のまわりでどんな
x1, x2 についても x′ (t) = f(t, x) |f(t, x1) − f(t, x2)| L|x1 − x2| となる定数 L があるなら,その初期値について一意 x のわずかな変化について, f がいくらでも大きく変化する,ということはない
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
リプシッツ条件をつかう
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x′ = A(t)x + b(t) の右辺について,関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x′ = A(t)x + b(t) の右辺について,関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり,
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x′ = A(t)x + b(t) の右辺について,関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり, ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在する
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x′ = A(t)x + b(t) の右辺について,関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり, ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在する ユークリッドノルムならそうなる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x′ = A(t)x + b(t) の右辺について,関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり, ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在する ノルムが連続なら,任意の有界閉区間で上限が存在する ユークリッドノルムならそうなる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件1の証明の概略 13 1.解が一意 初期値 x(t0), x′(t0) を定めると,特殊解はひとつに定まる
x′ = A(t)x + b(t) の右辺について,関数 x, y を考えると リプシッツ条件をつかう ∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ であり, ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ となるようなノルムが存在する ノルムが連続なら,任意の有界閉区間で上限が存在する リプシッツ条件が成り立ち,一意 ユークリッドノルムならそうなる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが, ここでは2階の場合を示す
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが, ここでは2階の場合を示す まず,
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが, ここでは2階の場合を示す を x(t) 一般解を とするとき まず,
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが, ここでは2階の場合を示す を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 +の形で表せる t = t0 の まず,
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 14 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる 1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば,
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される 斉次形の場合を考える x′ = A(t)x テキストは n 階の場合を示しているが, ここでは2階の場合を示す を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 +の形で表せる t = t0 の まず, は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 15 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 15 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 15 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる は,2次元の基本ベクトル e1 =
(1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 15 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる は,2次元の基本ベクトル e1 =
(1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 15 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立。本当?
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2つの関数が1次独立とは 16 2つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) =
0 がどんな t についても なりたつのは,C1 = C2 = 0 のときだけ x1 x2 x1 x2 ◯ ×
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2つの関数が1次独立とは 16 2つの関数が1次独立とは C1x1(t) + C2x2(t) =
0 がどんな t についても なりたつのは,C1 = C2 = 0 のときだけ x1 x2 x1 x2 ◯ ×
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0 e1, e2,は1次独立だから
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0 e1, e2,は1次独立だから
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0 e1, e2,は1次独立だから これがなりたつのは c1 = c2 = 0 に限る
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 17 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる この特殊解 ξ1(t), ξ2(t), は,1次独立である
は,2次元の基本ベクトル e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , x(t0) = e1 の特殊解を,2つ考える x′ = A(t)x をみたすもの ξ1(t) をみたすもの x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0 が任意の t についてなりたつとする t = t0 のときも当然なりたつ ∵ c1ξ1(t0) + c2ξ2(t0) = 0 c1e1 + c2e2 = 0 e1, e2,は1次独立だから これがなりたつのは c1 = c2 = 0 に限る 👌👌
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t)
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) どちらも同じ初期値をもつ
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) どちらも同じ初期値をもつ 一意だから,それらは同じ解である
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 条件2の証明の概略 18 2.1次独立な特殊解の1次結合で一般解が表せる , x(t0) =
e1 をみたす ξ1(t) をみたす x(t0) = e2 ξ2(t) 初期値 初期値 を x(t) 一般解を とするとき のときの初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 + の形で表せる t = t0 の 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) 特殊解の1次結合 を考えると t = t0 の のとき x1e1 + x2e2 を x(t) ・一般解で表された ・特殊解の1次結合 合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) どちらも同じ初期値をもつ 一意だから,それらは同じ解である x(t) = x1ξ1(t) + x2ξ2(t)
25 19
25 19 定数係数の 斉次形2階線形微分方程式を解く💡💡
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式を解く 20 定数係数の 斉次形2階線形微分方程式 x′′ + ax′
+ bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式を解く 20 定数係数の 斉次形2階線形微分方程式 x′′ + ax′
+ bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式を解く 20 定数係数の 斉次形2階線形微分方程式 特性方程式の解の形によって,3パターン x′′ +
ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2階線形微分方程式を解く 20 定数係数の 斉次形2階線形微分方程式 特性方程式の解の形によって,3パターン x′′ +
ax′ + bx = 0 λ2 + aλ + b = 0 をみたす λ について x = eλt は解 特性方程式という 異なる2つの実数解の場合 異なる2つの虚数解の場合 重解の場合
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数解が2つの場合 21 特性方程式の 異なる2つの実数解 λ1, λ2 eλ1t,
eλ2t 微分方程式の 1次独立な解 一般解は x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t 解 表
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 実数解が2つの場合 21 特性方程式の 異なる2つの実数解 (つまり,最初のとおり) λ1, λ2
eλ1t, eλ2t 微分方程式の 1次独立な解 一般解は x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t 解 表
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が2つの場合 22 一般解は x(t) = C1e(α+iβ)t
+ C2e(α−iβ)t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が2つの場合 22 さらに計算すると 一般解は x(t) =
C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が2つの場合 22 さらに計算すると 一般解は x(t) =
C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは, また先で
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が2つの場合 22 さらに計算すると 一般解は x(t) =
C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは, また先で x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 定数を置き直して,一般解は
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が2つの場合 22 さらに計算すると 一般解は x(t) =
C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは, また先で x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 定数を置き直して,一般解は 振動を表している
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 虚数解が2つの場合 22 さらに計算すると 一般解は x(t) =
C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t = eαt C1eiβt + C2e−iβt = eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt))) = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt)) なぜ三角関数になるのかは, また先で x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 定数を置き直して,一般解は 振動を表している これも先で
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1 t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t teλ1t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t teλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる 微分方程式の左辺に代入すると
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は ふつうにやると,微分方程式の解は しか出て来ない C1 eλ1
t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると,微分方程式の解は
しか出て来ない C1 eλ1 t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると,微分方程式の解は
しか出て来ない C1 eλ1 t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると,微分方程式の解は
しか出て来ない C1 eλ1 t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると,微分方程式の解は
しか出て来ない C1 eλ1 t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0 C1eλ1t + C2teλ1t 一般解は
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 重解の場合 23 これと1次独立なもうひとつの解は λ1 は特性方程式の解 だから0 ふつうにやると,微分方程式の解は
しか出て来ない C1 eλ1 t teλ1t (teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t 確かめるため,解を微分して,微分方程式に代入してみる (λ2 1 t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t = {λ2 1 + aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t 微分方程式の左辺に代入すると 特性方程式の 解と係数の関係により0 見つけ方はテキストで(定数変化法) C1eλ1t + C2teλ1t 一般解は
25 24
25 24 例題🤔🤔
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 λ = 2, 3 その解は
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 λ = 2, 3 その解は 異なる2つの実数解なので,微分方程式の一般解は x(t) = C1e2t + C2e3t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 λ = 2, 3 その解は 異なる2つの実数解なので,微分方程式の一般解は x(t) = C1e2t + C2e3t 初期条件から x(0) = C1 + C2 = 1 x′(0) = 2C1 + 3C2 = 0
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 λ = 2, 3 その解は 異なる2つの実数解なので,微分方程式の一般解は x(t) = C1e2t + C2e3t 初期条件から x(0) = C1 + C2 = 1 x′(0) = 2C1 + 3C2 = 0 C1 = 3, C2 = −2
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 例題 25 を解いて, x′′ − 5x′ +
6x = 0 値 x(0) = 1, x′(0) = 0 初期値 での特殊解を求めよ。 特性方程式は は λ2 − 5λ + 6 = 0 λ = 2, 3 その解は 異なる2つの実数解なので,微分方程式の一般解は x(t) = C1e2t + C2e3t 初期条件から x(0) = C1 + C2 = 1 x′(0) = 2C1 + 3C2 = 0 C1 = 3, C2 = −2 よって,求める特殊解は x(t) = , 3e2t − 2e3t
25 2023年度秋学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 今日のまとめ 26 定数係数・斉次形の 2階線形微分方程式 次回は非斉次形 (右辺が0でない)をやります x′′
+ ax′ + bx = 0