2024年度春学期 応用数学（解析）第6回 変数分離形の変形 (2024. 5. 16)

関西大学総合情報学部　応用数学（解析）（担当・浅野晃）
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Transcript

1. 関西大学総合情報学部 浅野　晃 応用数学（解析） 2024年度春学期 第２部・基本的な微分方程式 ／ 第6回 変数分離形の変形
3. 変数分離形（復習）🤔🤔
4. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 変数分離形 3 一般には 両辺それぞれを 積分すると g(x)x′ = f(t) とすると x′ = dx dt g(x)dx = f(t)dt g(x)dx = f(t)dt + C 一般解に含まれる積分定数 C は， 初期値を代入して定まり，特殊解が得られる 今日は，変形によって変数分離形に持ち込める方程式です
6. １．同次形🤔🤔
7. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ).
8. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている
9. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　
10. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　この両辺を微分
11. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u この両辺を微分
12. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u この両辺を微分 積の微分
13. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u この両辺を微分 積の微分
14. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u この両辺を微分 積の微分
15. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u よって この両辺を微分 積の微分
16. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = f(u) この両辺を微分 積の微分
17. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = f(u) 1 f(u) − u du = 1 t dt この両辺を微分 積の微分
18. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次形 5 一般には 変数分離形になった dx dt = f( x t ). x/t の式になっている とおくと x t = u x = ut 　 dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = f(u) 1 f(u) − u du = 1 t dt この両辺を微分 積の微分
19. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次関数 6 M(x, t) M(ut, t) = tkM(u, 1) 関数 が k 次の同次関数であるとは の形になっていること
20. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次関数 6 M(x, t) M(ut, t) = tkM(u, 1) 関数 が k 次の同次関数であるとは の形になっていること tk をくくり出せる
21. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次関数 6 M(x, t) M(ut, t) = tkM(u, 1) 関数 が k 次の同次関数であるとは の形になっていること 微分方程式が M, N がどちらも k 次の同次関数なら，x = ut とおいて ( , ) dx dt = M(x, t) N(x, t) の形で tk をくくり出せる
22. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次関数 6 M(x, t) M(ut, t) = tkM(u, 1) 関数 が k 次の同次関数であるとは の形になっていること 微分方程式が M, N がどちらも k 次の同次関数なら，x = ut とおいて ( , ) dx dt = M(x, t) N(x, t) の形で tk をくくり出せる dx dt = M(x, t) N(x, t) = tkM(u, 1) tkN(u, 1) = M(u, 1) N(u, 1) = M(x t , 1) N(x t , 1)
23. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 同次関数 6 前ページの形になる M(x, t) M(ut, t) = tkM(u, 1) 関数 が k 次の同次関数であるとは の形になっていること 微分方程式が M, N がどちらも k 次の同次関数なら，x = ut とおいて ( , ) dx dt = M(x, t) N(x, t) の形で tk をくくり出せる dx dt = M(x, t) N(x, t) = tkM(u, 1) tkN(u, 1) = M(u, 1) N(u, 1) = M(x t , 1) N(x t , 1)
24. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x
25. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t
26. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t 【同次形】
27. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t 【同次形】 とおくと x t = u x = ut より dx dt = t du dt + u
28. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t 【同次形】 とおくと x t = u x = ut より dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = 1 − u 1 + u
29. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t 【同次形】 とおくと x t = u x = ut より dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = 1 − u 1 + u 1 1−u 1+u − u du = 1 t dt
30. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t 【同次形】 とおくと x t = u x = ut より dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = 1 − u 1 + u 1 1−u 1+u − u du = 1 t dt t と u を分離
31. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 7 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 分母分子を t でわると dx dt = 1 − x t 1 + x t 【同次形】 とおくと x t = u x = ut より dx dt = t du dt + u よって t du dt + u = 1 − u 1 + u 1 1−u 1+u − u du = 1 t dt u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt t と u を分離
32. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　
33. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　
34. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　
35. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 微分の関係に なっている
36. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている
37. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている
38. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C
39. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A
40. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A
41. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A
42. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A
43. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A 対数の和 → 真数の積
44. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A 対数の和 → 真数の積 対数の◯倍 → 真数の◯乗
45. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A 対数の和 → 真数の積 対数の◯倍 → 真数の◯乗 定数は任意なので，絶対値が外れる
46. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題（続き） 8 を解いて，一般解を求めよ。 x′ = t − x t + x 上の式の両辺を積分すると u + 1 u2 + 2u − 1 du = − 1 t dt 　 　 ここで の微分が になるから， u2 + 2u − 1 2(u + 1) 微分の関係に なっている 1 2 log(|u2 + 2u − 1|) = − log |t| + C log(|u2 + 2u − 1|) = log(A|t|−2) t2(u2 + 2u − 1) = A 対数の和 → 真数の積 対数の◯倍 → 真数の◯乗 定数は任意なので，絶対値が外れる u = x t に戻すと x2 + 2tx − t2 = A
48. ２．１階線形🤔🤔
49. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 １階線形微分方程式 10 一般には の形になっているもの dx dt + P(t)x = Q(t)
50. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 １階線形微分方程式 10 一般には の形になっているもの dx dt + P(t)x = Q(t) とおくと，一般解は p(t) = exp P(t)dt x = 1 p(t) p(t)Q(t)dt + C
51. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 １階線形微分方程式 10 一般には の形になっているもの dx dt + P(t)x = Q(t) とおくと，一般解は p(t) = exp P(t)dt x = 1 p(t) p(t)Q(t)dt + C なぜならば (p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′ = exp P(t)dt ′ x + p(t)x′ = p(t)P(t)x + p(t)x′ = p(t) P(t)x + x′ = p(t)Q(t)
52. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 １階線形微分方程式 10 一般には の形になっているもの dx dt + P(t)x = Q(t) とおくと，一般解は p(t) = exp P(t)dt x = 1 p(t) p(t)Q(t)dt + C なぜならば (p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′ = exp P(t)dt ′ x + p(t)x′ = p(t)P(t)x + p(t)x′ = p(t) P(t)x + x′ = p(t)Q(t) 積の微分
53. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 １階線形微分方程式 10 一般には の形になっているもの dx dt + P(t)x = Q(t) とおくと，一般解は p(t) = exp P(t)dt x = 1 p(t) p(t)Q(t)dt + C なぜならば (p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′ = exp P(t)dt ′ x + p(t)x′ = p(t)P(t)x + p(t)x′ = p(t) P(t)x + x′ = p(t)Q(t) 積の微分 指数の合成関数の微分
54. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 １階線形微分方程式 10 一般には の形になっているもの dx dt + P(t)x = Q(t) とおくと，一般解は p(t) = exp P(t)dt x = 1 p(t) p(t)Q(t)dt + C なぜならば (p(t)x)′ = (p(t))′x + p(t)x′ = exp P(t)dt ′ x + p(t)x′ = p(t)P(t)x + p(t)x′ = p(t) P(t)x + x′ = p(t)Q(t) 積の微分 指数の合成関数の微分 p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって，両辺を積分して
55. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　
56. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると
57. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　
58. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 よって p(t) = exp P(t)dt とすると
59. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 よって p(t) = exp P(t)dt とすると p(t) = exp 1dt 　 　
60. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 p(t) = exp 1dt 　 　
61. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　
62. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　
63. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　
64. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　
65. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　
66. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　
67. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et p(t) = exp 1dt 　 　
68. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 p(t) = exp 1dt 　 　
69. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 p(t) = exp 1dt 　 　
70. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 C3 C2 = C p(t) = exp 1dt 　 　
71. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 etx = ettdt + C = ett − etdt + C = ett − et + C C3 C2 = C p(t) = exp 1dt 　 　
72. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 etx = ettdt + C = ett − etdt + C = ett − et + C C3 C2 = C p(t) = exp 1dt 　 　
73. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 etx = ettdt + C = ett − etdt + C = ett − et + C C3 C2 = C p(t) = exp 1dt 　 　
74. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると 部分積分 = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 etx = ettdt + C = ett − etdt + C = ett − et + C C3 C2 = C p(t) = exp 1dt 　 　
75. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 11 を解いて，一般解を求めよ。 x′ + x = t 　 　 dx dt + P(t)x = Q(t) にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t 　 　 前ページの式から p(t)x = p(t)Q(t)dt + C よって p(t) = exp P(t)dt とすると 部分積分 = et+C1 = eC1 et 　 　 = C2et C2etx = C2ettdt + C3 　 　 etx = ettdt + C = ett − etdt + C = ett − et + C C3 C2 = C x = t − 1 + Ce−t よって p(t) = exp 1dt 　 　
77. ２′．ベルヌーイの微分方程式🤔🤔
78. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1)
79. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1)
80. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n
81. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n
82. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1
83. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1
84. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x
85. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 両辺を微分する dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x
86. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 両辺を微分する dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x u′ u = (1 − n) x′ x
87. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 両辺を微分する dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x u′ u = (1 − n) x′ x 代入
88. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 両辺を微分する dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x u′ u = (1 − n) x′ x 1 1 − n u′ u + P(t) = Q(t) 1 u u′ + (1 − n)P(t)u = (1 − n)Q(t) 代入
89. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 両辺を微分する dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x u′ u = (1 − n) x′ x 1 1 − n u′ u + P(t) = Q(t) 1 u u′ + (1 − n)P(t)u = (1 − n)Q(t) 代入
90. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベルヌーイの微分方程式 13 一般には なぜならば の形 両辺を微分する dx dt + P(t)x = Q(t)xn (n ≠ 1) とおくと１階線形微分方程式に変形できる u = x1−n 1 x x′ + P(t) = Q(t)xn−1 log u = (1 − n) log x u′ u = (1 − n) x′ x 1 1 − n u′ u + P(t) = Q(t) 1 u u′ + (1 − n)P(t)u = (1 − n)Q(t) 代入 １階線形
91. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2
92. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1
93. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x
94. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x
95. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x 両辺を で割ると x x′ x + t = tx 　 　
96. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x 両辺を で割ると x x′ x + t = tx 　 　
97. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x 両辺を で割ると x x′ x + t = tx 　 　 − u′ u + t = t u
98. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x 両辺を で割ると x x′ x + t = tx 　 　 − u′ u + t = t u 倍 −u
99. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x 両辺を で割ると x x′ x + t = tx 　 　 − u′ u + t = t u u′ − tu = −t 倍 −u
100. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 例題 14 が1階線形微分方程式で表せることを示せ。 x′ + tx = tx2 とおく u = x−1 両辺の対数をとると log u = − log x 両辺を で微分すると t u′ u = − x′ x 両辺を で割ると x x′ x + t = tx 　 　 − u′ u + t = t u u′ − tu = −t 倍 −u 1階線形
102. 演習問題の解説🤔🤔
103. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1) 16 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t 与式の右辺の分母分子を で割ると， となるので， 同次形の微分方程式 t x′ = x t − 1 2
104. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1) 16 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t 与式の右辺の分母分子を で割ると， となるので， 同次形の微分方程式 t x′ = x t − 1 2 とおくと x t = u
105. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1) 16 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t 与式の右辺の分母分子を で割ると， となるので， 同次形の微分方程式 t x′ = x t − 1 2 とおくと x t = u dx dt = u − 1 2
106. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1) 16 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t 与式の右辺の分母分子を で割ると， となるので， 同次形の微分方程式 t x′ = x t − 1 2 とおくと x t = u dx dt = u − 1 2 なので x = ut dx dt = t du dt + u
107. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1) 16 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t 与式の右辺の分母分子を で割ると， となるので， 同次形の微分方程式 t x′ = x t − 1 2 とおくと x t = u dx dt = u − 1 2 なので x = ut dx dt = t du dt + u t du dt + u = u − 1 2
108. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 17 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より なので t du dt + u = u − 1 2 t du dt = − u + 1 2
109. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 17 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より なので t du dt + u = u − 1 2 t du dt = − u + 1 2 と変数分離できる du u + 1 = − dt 2t
110. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 17 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より なので t du dt + u = u − 1 2 t du dt = − u + 1 2 と変数分離できる du u + 1 = − dt 2t 両辺を積分すると ∫ du u + 1 = − 1 2 ∫ dt t
111. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 18 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より ∫ du u + 1 = − 1 2 ∫ dt t （ は定数） log|u + 1| = − 1 2 log|t| + C C
112. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 18 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より ∫ du u + 1 = − 1 2 ∫ dt t （ は定数） log|u + 1| = − 1 2 log|t| + C C と表せる log|t|−1 2
113. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 18 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より ∫ du u + 1 = − 1 2 ∫ dt t （ は定数） log|u + 1| = − 1 2 log|t| + C C と表せる log eC と表せる log|t|−1 2
114. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 18 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より ∫ du u + 1 = − 1 2 ∫ dt t （ は定数） log|u + 1| = − 1 2 log|t| + C C と表せる log eC u + 1 = ± eC |t|−1 2 と表せる log|t|−1 2
115. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 18 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より ∫ du u + 1 = − 1 2 ∫ dt t （ は定数） log|u + 1| = − 1 2 log|t| + C C と表せる log eC u + 1 = ± eC |t|−1 2 と表せる log|t|−1 2 とおくと ±eC = A u + 1 = A|t|− 1 2
116. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 19 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より u + 1 = A|t|− 1 2 u = − 1 + A 1 |t|
117. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 19 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より u + 1 = A|t|− 1 2 u = − 1 + A 1 |t| とおいていたので，これを代入すると u = x t x t = − 1 + A 1 |t|
118. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(1)（続き） 19 の一般解を求めよ x′ = x − t 2t より u + 1 = A|t|− 1 2 u = − 1 + A 1 |t| とおいていたので，これを代入すると u = x t x t = − 1 + A 1 |t| すなわち，一般解は x = − t + A |t|
119. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2) 20 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 与式より x′ − x t = 1 t 1階線形方程式の一般形 にあてはめると x′ + P(t)x = Q(t) P(t) = − 1 t , Q(t) = 1 t
120. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2) 20 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 与式より x′ − x t = 1 t 1階線形方程式の一般形 にあてはめると x′ + P(t)x = Q(t) P(t) = − 1 t , Q(t) = 1 t
121. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2) 20 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 与式より x′ − x t = 1 t 1階線形方程式の一般形 にあてはめると x′ + P(t)x = Q(t) P(t) = − 1 t , Q(t) = 1 t とおくと， p(t) = exp ∫ P(t)dt
122. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2) 20 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 与式より x′ − x t = 1 t 1階線形方程式の一般形 にあてはめると x′ + P(t)x = Q(t) P(t) = − 1 t , Q(t) = 1 t とおくと， p(t) = exp ∫ P(t)dt p(t) = exp(− 1 t dt) = exp(− log t + C1) = exp(log t−1) + C1) = exp(log t−1) exp(C1) = C2 1 t （ は定数） C1 , C2
123. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2)（続き） 21 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 となることから （ は定数） p(t)x = ∫ p(t)Q(t)dt + C C より Q(t) = 1 t
124. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2)（続き） 21 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 となることから （ は定数） p(t)x = ∫ p(t)Q(t)dt + C C （ は定数） C3 , C4 , C より Q(t) = 1 t C2 1 t x = C2 1 t · 1 t dt + C3 1 t x = 1 t2 dt + C4 1 t x = − 1 t + C x = −1 + Ct
125. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題(2)（続き） 21 の一般解を求めよ tx′ − x = 1 となることから （ は定数） p(t)x = ∫ p(t)Q(t)dt + C C （ は定数） C3 , C4 , C より Q(t) = 1 t C2 1 t x = C2 1 t · 1 t dt + C3 1 t x = 1 t2 dt + C4 1 t x = − 1 t + C x = −1 + Ct すなわち，一般解は x = − 1 + Ct
126. 19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 22 同次形 １階線形 ベルヌーイ