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2024年度秋学期 画像情報処理 第6回 ベクトルと行列について,高速フーリエ変換 (2024...
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Akira Asano
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October 14, 2024
Education
0
25
2024年度秋学期 画像情報処理 第6回 ベクトルと行列について,高速フーリエ変換 (2024. 10. 25)
関西大学総合情報学部 画像情報処理(担当・浅野晃)
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2024a/IPPR/
Akira Asano
PRO
October 14, 2024
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Transcript
関西大学総合情報学部 浅野 晃 画像情報処理 2024年度秋学期 第2部・画像情報圧縮 / 第6回 ベクトルと行列について 高速フーリエ変換
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルと行列の考え方 2 たくさんの数の組を,ひとまとめに計算する ひとつの組がいくつの数でできていても, 同じように計算できるようにする 組の中身を意識せずにすむことによって, さらに複雑な計算を考えることができる
(現代のプログラミングも同じ考えかた)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算 3 z = a1x1 + a2x2
この計算を
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算 3 z = a1x1 + a2x2
この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算 3 z = a1x1 + a2x2
この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算 3 z = a1x1 + a2x2
この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算 3 行ベクトル z = a1x1 +
a2x2 この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算 3 行ベクトル z = a1x1 +
a2x2 この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く 列 ベ ク ト ル
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算 3 行ベクトル z = a1x1 +
a2x2 この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く 列 ベ ク ト ル
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算 3 行ベクトル z = a1x1 +
a2x2 この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く 列 ベ ク ト ル
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題1 4 問題 1 次のベクトルの計算をしてください。 1 2
3 4 Pause ⏸
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題1 5 問題 1 次のベクトルの計算をしてください。 1 2
3 4 (解答例) 1 2 3 4 = 1 × 3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11 ▪
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算が2つ 6 z(1) = a1(1) a2(1) x1
x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算が2つ 6 この計算をまとめて z(1) = a1(1) a2(1)
x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算が2つ 6 この計算をまとめて と書く z(1) = a1(1)
a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算が2つ 6 この計算をまとめて と書く z(1) = a1(1)
a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算が2つ 6 この計算をまとめて と書く z(1) = a1(1)
a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算が2つ 6 この計算をまとめて と書く z(1) = a1(1)
a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算が2つ 6 この計算をまとめて と書く z(1) = a1(1)
a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ベクトルの計算が2つ 6 この計算をまとめて と書く z(1) = a1(1)
a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 行列
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題2 7 Pause ⏸ 問題 2 次の行列とベクトルの計算をしてください。 0
1 1 2 2 1
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題2 8 問題 2 次の行列とベクトルの計算をしてください。 0 1
1 2 2 1 (解答例) 0 1 1 2 2 1 = 0 × 2 + 1 × 1 1 × 2 + 2 × 1 = 1 4 ▪
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 図形的意味 9 原点O X 点(x1, x2)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 図形的意味 9 原点O X 点(x1, x2)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 図形的意味 9 原点O X 点(x1, x2) ベクトル
x1 x2
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 図形的意味 9 原点O X 点(x1, x2) ベクトル
x1 x2 行列をかける a1(1) a2(1) a1(2) a2(2)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 図形的意味 9 原点O X 点(x1, x2) ベクトル
x1 x2 行列をかける a1(1) a2(1) a1(2) a2(2)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 図形的意味 9 原点O X 点(x1, x2) ベクトル
x1 x2 行列をかける a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) z(1) z(2) 別のベクトルに変換
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題3 10 Pause ⏸ 問題 3 問題 2
のベクトル 2 1 と,問題 2 の計算結果のベクトルを,座標平面に図示してください。
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題3 11 点(2,1) 行列 点(1,4) 0 1
1 2 をかける O 図 2: 問題 3 の解答例. 問題 3 問題 2 のベクトル 2 1 と,問題 2 の計算結果のベクトルを,座標平面に図示してください。
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 定数倍の計算 12 s11 s12 s21 s22 a1
a2 = λ a1 a2
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 定数倍の計算 12 s11 s12 s21 s22 a1
a2 = λ a1 a2
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 定数倍の計算 12 の意味 s11 s12 s21 s22
a1 a2 = λ a1 a2 λa1 λa2
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 s11 s12 s21 s22 a1(1)
a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) 行列とベクトルの計算が2つ
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が2つ
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が2つ λ(1) に関する計算
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が2つ λ(1) に関する計算
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が2つ λ(1) に関する計算
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が2つ λ(1) に関する計算
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が2つ λ(1) に関する計算
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が2つ λ(1) に関する計算
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22
a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が2つ λ(1) に関する計算
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題4 14 Pause ⏸ 問題 4 次の行列と行列の計算をしてください。 0
1 1 2 2 1 1 0
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題4 15 問題 4 次の行列と行列の計算をしてください。 0 1
1 2 2 1 1 0 (解答例)右側の行列を, 2 1 と 1 0 の 2 つのベクトルに分けます。 ひとつめのベクトルに対しては 0 1 1 2 2 1 = 0 × 2 + 1 × 1 1 × 2 + 2 × 1 = 1 4
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題4 16 となり,ふたつめのベクトルに対しては 0 1 1 2
1 0 = 0 × 1 + 1 × 0 1 × 1 + 2 × 0 = 0 1 となります。よって,これらの 2 つのベクトルを並べて 0 1 1 2 2 1 1 0 = 1 0 4 1 となります。▪
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題4 16 となり,ふたつめのベクトルに対しては 0 1 1 2
1 0 = 0 × 1 + 1 × 0 1 × 1 + 2 × 0 = 0 1 となります。よって,これらの 2 つのベクトルを並べて 0 1 1 2 2 1 1 0 = 1 0 4 1 となります。▪ 0 1 1 2 2 1 1 0
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 要素がp個の場合 17 s11 s12 s21 s22 a1
a2 = λ a1 a2 は,
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 要素がp個の場合 17 s11 s12 s21 s22 a1
a2 = λ a1 a2 s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp a1 a2 . . . ap = λ a1 a2 . . . ap は,
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 要素がp個の場合 18 s11 s12 s21 s22 a1(1)
a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) は,
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 要素がp個の場合 18 s11 s12 s21 s22 a1(1)
a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) = a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) (10) は,
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 要素がp個の場合 18 s11 s12 s21 s22 a1(1)
a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) = a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) (10) は, なんのために???
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列を1文字で表す 19
s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) = a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) (10)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列を1文字で表す 19
s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) = a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) (10) S
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列を1文字で表す 19
s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) = a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) (10) S P
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列を1文字で表す 19
s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) = a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) (10) S P P
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列を1文字で表す 19
s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) = a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) (10) S P P Λ
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列を1文字で表す 19
s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) = a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) (10) SP = PΛ S P P Λ
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列を1文字で表す 19
s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) = a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) (10) SP = PΛ 複雑な計算を,あたかも数の 計算のように単純に考える S P P Λ
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ただし 20 行列の積は,交換ができない ABとBAが等しいとは限らない
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 転置行列・対称行列 21 a b c d 講義
プリ 行列A
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 転置行列・対称行列 21 a b c d 講義
プリ 行列A a b c d 講義 プリ
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 転置行列・対称行列 21 a b c d 講義
プリ 行列A a b c d 講義 プリ
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 転置行列・対称行列 21 a b c d 講義
プリ 行列A a b c d 講義 プリ a c b d を使
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 転置行列・対称行列 21 a b c d 講義
プリ 行列A 転置行列 a b c d 講義 プリ a c b d を使
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 転置行列・対称行列 21 a b c d 講義
プリ 行列A 転置行列 a b c d 講義 プリ a c b d を使 tA, At, AT , A
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 転置行列・対称行列 21 ある行列とその転置行列が同じとき,対称行列という a b c d
講義 プリ 行列A 転置行列 a b c d 講義 プリ a c b d を使 tA, At, AT , A
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題5 22 Pause ⏸ 問題 5 1. 1
2 0 1 の転置行列を求めてください。 2. 1 2 0 1 と 1 0 0 1 は,それぞれは対称行列ですか。
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題5 23 (解答例) 1. 1 0 2
1 です。 2. 1 2 0 1 の転置行列は 1 0 2 1 で,もとの行列とは異なるので,対称行列ではありません。一方, 1 0 0 1 の転置行列は 1 0 0 1 で,もとの行列と同じなので,これは対称行列です。▪
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆行列 24 行列には割り算はない
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆行列 24 行列には割り算はない となるA-1を,Aの逆行列という AA−1 = A−1A
= I
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆行列 24 行列には割り算はない となるA-1を,Aの逆行列という AA−1 = A−1A
= I 単位行列 (かけ算をしても何もおこらない)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆行列 24 行列には割り算はない となるA-1を,Aの逆行列という AA−1 = A−1A
= I 単位行列 (かけ算をしても何もおこらない) 1 0 0 1
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆行列 24 行列には割り算はない となるA-1を,Aの逆行列という AA−1 = A−1A
= I 単位行列 (かけ算をしても何もおこらない) 1 0 0 1 数の場合は 行列の場合は a × 1 a (逆元) = 1 (単位元) AA−1 (逆行列) = I(単位行列)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 直交行列 25 a b c d 講義
プリ 直交行列の列ベクトルどうしは直交している 逆行列が転置行列と同じであるような行列を直交行列という
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 直交行列 25 a b c d 講義
プリ 直交行列の列ベクトルどうしは直交している 直交した2つのベクトルは, 直交行列で変換されても直交している 逆行列が転置行列と同じであるような行列を直交行列という
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 直交行列 25 a b c d 講義
プリ 直交行列の列ベクトルどうしは直交している 直交した2つのベクトルは, 直交行列で変換されても直交している 逆行列が転置行列と同じであるような行列を直交行列という
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 直交行列 25 a b c d 講義
プリ 直交行列の列ベクトルどうしは直交している 直交行列で変換 直交行列で変換 直交した2つのベクトルは, 直交行列で変換されても直交している 逆行列が転置行列と同じであるような行列を直交行列という
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題6 26 Pause ⏸ 問題 6 R =
1 √ 2 1 1 −1 1 が直交行列であることを確かめてください。
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題6 27 (解答例)次のとおりです。 R R = 1
√ 2 1 −1 1 1 1 √ 2 1 1 −1 1 = 1 2 1 × 1 + (−1) × (−1) 1 × 1 + (−1) × 1 1 × 1 + 1 × (−1) 1 × 1 + 1 × 1 = 1 0 0 1 = I RR = 1 √ 2 1 1 −1 1 1 √ 2 1 −1 1 1 = 1 2 1 × 1 + 1 × 1 (−1) × 1 + 1 × 1 1 × (−1) + 1 × 1 (−1) × (−1) + 1 × 1 = 1 0 0 1 = I ▪
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題7 28 Pause ⏸ 問題 7 1. ベクトル
1 √ 2 1 −1 と 1 √ 2 1 1 が直交していることを,図に描いて確認してください。 2. 座標軸の x 軸はベクトル 1 0 で,y 軸はベクトル 0 1 で,それぞれ表されます。これらのベク トルを直交行列 1 √ 2 1 1 −1 1 で変換して,変換後のベクトルも直交していることを図で確認して ください。
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題7 29 (解答例) 1.
図 4 のとおりで,この 2 つのベクトルは直交しています。 点 O 点 ( 1 2 , 1 2 ) ( 1 2 , − 1 2 ) 図 4: 問題 7-1.
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題7 30 行列 をかけると 直交のまま回転 O 1
2 ( 1 1 1 −1) ( 1 0) ( 0 1) 図 5: 問題 7-2. 2. x 軸をこの行列で変換すると 1 √ 2 1 1 −1 1 1 0 = 1 √ 2 − 1 √ 2 で,y 軸をこの行列で変換すると 1 √ 2 1 1 −1 1 0 1 = 1 √ 2 1 √ 2 です。つまり,この行列の 2 つの列ベクトルがそのまま取り出されます(上で出てきた「単位行 列」を思い出してください) 。したがって,図 5 のように,x, y 軸が,直交したまま 45 度回転した ものに変換されたということができます。▪
20 31
20 31 高速フーリエ変換🤔🤔
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 「高速」フーリエ変換とは 32 高速フーリエ変換(Fast Fourier Transformation, FFT) 離散フーリエ変換の計算に含まれる掛け算の回数を減らす工夫
コンピュータでは,掛け算は足し算に比べて時間がかかるので 掛け算を減らすと全体の計算にかかる時間を短くできる 例えば 5 × 4 + 3 × 5 5 × (4 + 3) 掛け算は2回 掛け算は1回
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 4点だけの信号の離散フーリエ変換 33 4点だけの信号(N = 4)の離散フーリエ変換を これを行列で書いてみる 離散フーリエ変換の式は
1つの を計算するのに,掛け算を4回 U( ) 全部で 回の掛け算😵😵 42 = 16 U(k) = 3 n=0 u(n) exp −i2π k 4 n (k = 0, 1, . . . , 3)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 行列で表すと 34 行列で表すと とおいて W ≡ exp
−i 2π 4 U(0) U(1) U(2) U(3) = W0·0 W0·1 W0·2 W0·3 W1·0 W1·1 W1·2 W1·3 W2·0 W2·1 W2·2 W2·3 W3·0 W3·1 W3·2 W3·3 u(0) u(1) u(2) u(3) すなわち U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6 W0 W3 W6 W9 u(0) u(1) u(2) u(3)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 順序を入れ替える 35 右辺のベクトルで,要素の順序を入れ替える
U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6 W0 W3 W6 W9 u(0) u(1) u(2) u(3) U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W4 W2 W6 W0 W6 W3 W9 u(0) u(2) u(1) u(3)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 順序を入れ替える 35 右辺のベクトルで,要素の順序を入れ替える
U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6 W0 W3 W6 W9 u(0) u(1) u(2) u(3) U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W4 W2 W6 W0 W6 W3 W9 u(0) u(2) u(1) u(3)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 順序を入れ替える 35 右辺のベクトルで,要素の順序を入れ替える
U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6 W0 W3 W6 W9 u(0) u(1) u(2) u(3) U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W4 W2 W6 W0 W6 W3 W9 u(0) u(2) u(1) u(3)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 順序を入れ替える 35 右辺のベクトルで,要素の順序を入れ替える
U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6 W0 W3 W6 W9 u(0) u(1) u(2) u(3) U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W4 W2 W6 W0 W6 W3 W9 u(0) u(2) u(1) u(3)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 順序を入れ替える 35 右辺のベクトルで,要素の順序を入れ替える
U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6 W0 W3 W6 W9 u(0) u(1) u(2) u(3) U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W4 W2 W6 W0 W6 W3 W9 u(0) u(2) u(1) u(3)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 指数関数/三角関数の性質を使って 36 という周期関数の性質があるので W4 = exp −i2π
4 4 = 1 = W0 U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W0 W2 W2 W0 W2 W3 W5 u(0) u(2) u(1) u(3) U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W4 W2 W6 W0 W6 W3 W9 u(0) u(2) u(1) u(3) は, と表せる
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 2つの行列の積に分ける 37 の右辺の行列を,2つに分ける
U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W0 W2 W2 W0 W2 W3 W5 u(0) u(2) u(1) u(3) と表せる U(0) U(1) U(2) U(3) = W0 W0 W0W0 W0W0 W0 W2 W1W0 W1W2 W0 W0 W2W0 W2W0 W0 W2 W3W0 W3W2 u(0) u(2) u(1) u(3) = 1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3 W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2 u(0) u(2) u(1) u(3)
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 後半の「行列×ベクトル」は 38 の後半の 行列×ベクトルは
U(0) U(1) U(2) U(3) = 1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3 W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2 u(0) u(2) u(1) u(3) W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) この2つの「分割された行列」の 計算になっている
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 後半の「行列×ベクトル」は 38 の後半の 行列×ベクトルは
U(0) U(1) U(2) U(3) = 1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3 W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2 u(0) u(2) u(1) u(3) W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) この2つの「分割された行列」の 計算になっている Wの掛け算4回
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 後半の「行列×ベクトル」は 38 の後半の 行列×ベクトルは
U(0) U(1) U(2) U(3) = 1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3 W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2 u(0) u(2) u(1) u(3) W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) この2つの「分割された行列」の 計算になっている Wの掛け算4回 掛け算4回
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 後半の「行列×ベクトル」は 38 の後半の 行列×ベクトルは
U(0) U(1) U(2) U(3) = 1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3 W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2 u(0) u(2) u(1) u(3) W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) この2つの「分割された行列」の 計算になっている Wの掛け算4回 掛け算4回 掛け算4回
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 後半の「行列×ベクトル」は 38 の後半の 行列×ベクトルは
U(0) U(1) U(2) U(3) = 1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3 W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2 u(0) u(2) u(1) u(3) W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) この2つの「分割された行列」の 計算になっている Wの掛け算4回 掛け算4回 掛け算4回 掛け算の回数は 回 4 + 4 × 2 = 12
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 後半の「行列×ベクトル」は 38 の後半の 行列×ベクトルは
U(0) U(1) U(2) U(3) = 1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3 W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2 u(0) u(2) u(1) u(3) W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) この2つの「分割された行列」の 計算になっている Wの掛け算4回 掛け算4回 掛け算4回 掛け算の回数は 回 4 + 4 × 2 = 12 元の 回から減った💡💡 42 = 16
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 N=8の場合は 39 これらは,N=2のフーリエ変換 W0 W0 W0 W2
u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) N=8 のときは N=8 のフーリエ変換 → 掛け算8回 + 2 × ( N=4 のフーリエ変換) → 掛け算8回 + 2 × (掛け算4回 + 2 × ( N=2 のフーリエ変換 ) ) → 掛け算8回 + 掛け算8回 + 2 × 2 × 掛け算4回
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 N=8の場合は 39 これらは,N=2のフーリエ変換 W0 W0 W0 W2
u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) N=8 のときは N=8 のフーリエ変換 → 掛け算8回 + 2 × ( N=4 のフーリエ変換) → 掛け算8回 + 2 × (掛け算4回 + 2 × ( N=2 のフーリエ変換 ) ) → 掛け算8回 + 掛け算8回 + 2 × 2 × 掛け算4回 元々 回の掛け算が必要 82 = 64
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 N=8の場合は 39 これらは,N=2のフーリエ変換 W0 W0 W0 W2
u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) N=8 のときは N=8 のフーリエ変換 → 掛け算8回 + 2 × ( N=4 のフーリエ変換) → 掛け算8回 + 2 × (掛け算4回 + 2 × ( N=2 のフーリエ変換 ) ) → 掛け算8回 + 掛け算8回 + 2 × 2 × 掛け算4回 掛け算の回数は 回💡💡 8 + 8 + 4 × 4 = 32 元々 回の掛け算が必要 82 = 64
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 「分割統治戦略」 40 このように,問題を半分,半分,半分,…に分けていく方法は, 他にもいろいろなところで使われている (「クイックソート」等) 一般に,N点のフーリエ変換には掛け算が 回必要だったのが,
段階に分割され,それぞれで 回の掛け算を行うので(概ね), に比例した回数で済む N2 log2 N N N log2 N
20 41
20 41 さて,第2部の本題へ💡💡
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 第2部の本題へ 42 第2部は画像データ圧縮
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 第2部の本題へ 42 第2部は画像データ圧縮 画像を,各画像で大きく異なる部分と どの画像でもあまりかわらない部分にわける
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 第2部の本題へ 42 第2部は画像データ圧縮 画像を,各画像で大きく異なる部分と どの画像でもあまりかわらない部分にわける どの画像でもあまり変わらない部分
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 第2部の本題へ 42 第2部は画像データ圧縮 画像を,各画像で大きく異なる部分と どの画像でもあまりかわらない部分にわける どの画像でもあまり変わらない部分 なんて,ある?
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 第2部の本題へ 42 第2部は画像データ圧縮 画像を,各画像で大きく異なる部分と どの画像でもあまりかわらない部分にわける どの画像でもあまり変わらない部分 なんて,ある?
直交変換すると, 「大まかな部分」「細かい部分」が別に なるように組み替えられる
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 第2部の本題へ 42 第2部は画像データ圧縮 画像を,各画像で大きく異なる部分と どの画像でもあまりかわらない部分にわける どの画像でもあまりかわらない部分は,ごまかす どの画像でもあまり変わらない部分
なんて,ある? 直交変換すると, 「大まかな部分」「細かい部分」が別に なるように組み替えられる
42 2024年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 第2部の本題へ 42 第2部は画像データ圧縮 画像を,各画像で大きく異なる部分と どの画像でもあまりかわらない部分にわける どの画像でもあまりかわらない部分は,ごまかす フーリエ変換も,行列で表すと直交変換の一種
どの画像でもあまり変わらない部分 なんて,ある? 直交変換すると, 「大まかな部分」「細かい部分」が別に なるように組み替えられる