Sunday Math Party vol. 13 - Prime Number Table

自然数を数え上げられる「数表」として、「物智配列」「ワイソフ配列」などを研究してきました。それとは別に、素数が1列目に現れる数表をいくつか考えたので紹介します。特に、最近発見した数表は「エラトステネスの篩」と表裏一体となっています。
参考: https://www.slideshare.net/yuukiiwabuchi9/ss-65380433

Transcript

1. 1列目に素数が現れる数表 岩淵 夕希 (@butchi_y)
2. 「数表」とは • 数列の2次元版 • その中でも特に自然数が1度ずつ現れるものを扱う 1 3 6 10 15 2 5 9 14 20 4 8 13 19 26 7 12 18 25 33 例:
3. 「物智配列」 • 縦は等差数列 • 横は等比数列 • 2進数で表すとわかりやすい 1 2 4 8 16 32 3 6 12 24 48 96 5 10 20 40 80 160 7 14 28 56 112 224 9 18 36 72 144 288 1 10 100 1000 10000 11 110 1100 11000 110000 101 1010 10100 101000 1010000 111 1110 11100 111000 1110000 1001 10010 100100 1001000 10010000
4. 「ワイソフ配列」 • 1行目はフィボナッチ数 • 2行目はリュカ数 • 「フィボナッチ記数法」と 深い関わりがある 1 2 3 5 8 13 4 7 11 18 29 47 6 10 16 26 42 68 9 15 24 39 63 102 12 20 32 52 84 136
5. 今回の研究 • 素数が1列目に現れる数表をいろいろ考えてみた
6. 素因数個数表 • n列目の素因数の個数がn個 • 1行目は2べき • 行の公比は2に収束する？ 2 4 8 16 32 64 128 256 3 6 12 24 48 96 192 384 5 9 18 36 72 144 288 576 7 10 20 40 80 160 320 640 11 14 27 54 108 216 432 864 13 15 28 56 112 224 448 896
7. 最大素因数表 • n行目の最大の素因数がp(n)で あるような数表 • 1行目は2べき • 1行目が指数関数的に増えるの で列は単調増加ではない • 対角成分はn × p(n) 2 4 8 16 32 64 128 256 3 6 9 12 18 24 27 36 5 10 15 20 25 30 40 45 7 14 21 28 35 42 49 56 11 22 33 44 55 66 77 88 13 26 39 52 65 78 91 104
8. 最小素因数表 • n行目の最小の素因数がp(n)で あるような数表 • n行目にはp(n)未満の素数の倍 数が現れない • 1行目は偶数 • 2列目は平方数 2 4 6 8 10 12 14 16 3 9 15 21 27 33 39 45 5 25 35 55 65 85 95 115 7 49 77 91 119 133 161 203 11 121 143 187 209 253 319 341 13 169 221 247 299 377 403 481
9. 最小素因数表の各行を素数で割る 2 4 6 8 10 12 14 16 3 9 15 21 27 33 39 45 5 25 35 55 65 85 95 115 7 49 77 91 119 133 161 203 11 121 143 187 209 253 319 341 13 169 221 247 299 377 403 481 ÷ 2 ÷ 3 ÷ 5 ÷ 7 ÷ 11 ÷ 13
10. →篩通過数表 • エラトステネスの篩（ふるい）と 関係する • n行目の数はp(n)までの篩を 通ってる数 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 5 7 9 11 13 15 1 5 7 11 13 17 19 23 1 7 11 13 17 19 23 29 1 11 13 17 19 23 29 31 1 13 17 19 23 29 31 37
11. 数え上げの数表をつくっていたら エラトステネスの篩が出てきた！
12. 興味 数表を使って「半熟素数」（not 半素数）を定義できないか？ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 5 7 9 11 13 15 1 5 7 11 13 17 19 23 1 7 11 13 17 19 23 29 1 11 13 17 19 23 29 31 1 13 17 19 23 29 31 37
13. ご清聴ありがとうございました