Sunday Math Party vol. 15 - Rinne Number

第15回 日曜数学会「輪廻数 〜記数法のさらに彼方に〜」

第8回の日曜数学会で「記数法の彼方」に行きましたが、それよりさらに彼方、記数法の果てに到達しました。
複素数平面での剰余を考えることにより、新しい世界が広がります。

1. 輪廻数 〜記数法のさらに彼方に〜 第15回 日曜数学会 2019-06-29 岩淵夕希（物智） @butchi_y
2. 記数法の彼方 • N進数でN→∞にした世界 • 乗算は畳み込みとして2進数同様に計算可能 • 基本的には多項式と同じようなもの 第8回 日曜数学会 (2017-01-07) 「記数法の彼方に」
3. 地球の果ては？ 無限遠？同じ場所に戻ってくる？
4. 宇宙の果ては？ 球面？トーラス？
5. それでは、記数法の果ては？
6. mod 16: 上位桁が無視される2進数 1 00000001 2 00000010 4 00000100 8 00001000 16≡0 00010000 32≡0 00100000 64≡0 01000000 128≡0 10000000 (mod 16) mod 16の2進数では 下5桁目以上は無視される
7. mod 15: ループする2進数 1 00000001 2 00000010 4 00000100 8 00001000 16≡1 00010000 32≡2 00100000 64≡4 01000000 128≡8 10000000 (mod 15) mod 15の2進数では 4回のビットシフトで元に戻る ⇒ 輪廻
8. 輪廻の中に生まれる負数、虚数 4: 2乗すると16≡1になる ⇒ -1として扱える 2: 2乗すると4≡-1になる ⇒ iとして扱える 8: 2乗すると64≡4≡-1になる ⇒ -iとして扱える 1 00000001 ⇒ 1 2 00000010 ⇒ i 4 00000100 ⇒ -1 8 00001000 ⇒ -i 1 00010000 ⇒ 1
9. 輪廻の一般化 24N≡1 (mod 22N+1) ⇒ i≡2Nともいえる 22N: 2乗すると24N≡1になる ⇒ -1として扱える 2N: 2乗すると22N≡-1になる ⇒ iとして扱える 23N: 2乗すると26N≡-1になる ⇒ -iとして扱える 20 0...0 0...0 0...0 0...0 0...1 ⇒ 1 2N 0...0 0...0 0...0 0...1 0...0 ⇒ i 22N 0...0 0...0 0...1 0...0 0...0 ⇒ -1 23N 0...0 0...1 0...0 0...0 0...0 ⇒ -i 24N 0...1 0...0 0...0 0...0 0...0 ⇒ 1 N→∞として考えた世界が 輪廻環（∋輪廻数）
10. N=2のとき→i≡2 (mod 5)の複素平面 四則演算は加法と乗法に還元可 能 左ビットシフト: 左回転 右ビットシフト: 右回転 0 1 2 4 3 3 1 2 4 2 4 0 3 0 1 1 0 2 3 4 4 3 0 1 2 (mod 5) ×i: ×2 ÷i: ×3 +1: +1 +i: +2 -i: +3 -1: +4 ×(-1): ×4
11. i≡2N (mod 22N+1)の複素平面 0 1 4 3 2 N=1: i≡2 (mod 5) 0 2 8 15 9 1 16 13 4 N=2: i≡4 (mod 17) 0 2N/2 23N/2 22N-2N/2+1 22N-23N/2+1 1 22N 22N-2N+1 2N i≡2N (mod 22N+1)
12. 輪廻環の正体 輪廻環は単位円そのもの！ 0 1 -1 -i i
13. 一体どこまで 来たんだろう・・・？
14. それぞれの立ち位置 彼方の数（幽数）: 有限値よりは大きいが何乗しても増え続ける さらに彼方の数（輪廻数）: 有限値より大きく、何乗かしたら1に戻る ...0000 1000... 1 1000... 1 -1 -i i ...0000 00...00 1 10 10100 1010000 ... 00...00
15. 今までいたところ 1 1 -1 -i i 有限値 幽数 輪廻数
16. 今までいたところ 輪廻数は記数法の彼方のさらに、さらにいくらもの彼方にあった！ 1 1 -1 -i i 有限値 （有限桁） 幽数 （可算無限桁） 輪廻数 （非可算無限桁）
17. そう、ここが 記数法の行き着く先。
19. 輪廻数の特殊性 同値のビット列が無数に存在する 1 = 0...0 0...0 0...0 0...0 0...1 = 0...1 0...0 0...0 0...0 0...0 0 = 0...0 0...0 0...0 0...0 0...0 = 0...0 0...0 0...1 0...0 0...1 = 0...0 0...1 0...0 0...1 0...0 = 0...0 0...1 0...1 0...1 0...1 ex: ω + ω3 + ω5 = 0
20. 輪廻環の未解決問題 n倍して1(=0...1 0...0 0...0 0...0 0...0)になる輪廻数のビット列を求められるか？ （1/nの存在） 2乗して22N+1(=0...0 0...1 0...0 0...1≡0)になる輪廻数のビット列を求められるか？ （もうひとつの0の存在） 桁数が非可算無限の数体系での計算法則はどうなるか？