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Sunday Math Party vol. 15 - Rinne Number

Sunday Math Party vol. 15 - Rinne Number

第15回 日曜数学会「輪廻数 〜記数法のさらに彼方に〜」

第8回の日曜数学会で「記数法の彼方」に行きましたが、それよりさらに彼方、記数法の果てに到達しました。
複素数平面での剰余を考えることにより、新しい世界が広がります。

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IWABUCHI Yu(u)ki butchi

June 29, 2019
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Transcript

  1. mod 16: 上位桁が無視される2進数 1 00000001 2 00000010 4 00000100 8

    00001000 16≡0 00010000 32≡0 00100000 64≡0 01000000 128≡0 10000000 (mod 16) mod 16の2進数では 下5桁目以上は無視される
  2. mod 15: ループする2進数 1 00000001 2 00000010 4 00000100 8

    00001000 16≡1 00010000 32≡2 00100000 64≡4 01000000 128≡8 10000000 (mod 15) mod 15の2進数では 4回のビットシフトで元に戻る ⇒ 輪廻
  3. 輪廻の中に生まれる負数、虚数 4: 2乗すると16≡1になる ⇒ -1として扱える 2: 2乗すると4≡-1になる ⇒ iとして扱える 8:

    2乗すると64≡4≡-1になる ⇒ -iとして扱える 1 00000001 ⇒ 1 2 00000010 ⇒ i 4 00000100 ⇒ -1 8 00001000 ⇒ -i 1 00010000 ⇒ 1
  4. 輪廻の一般化 24N≡1 (mod 22N+1) ⇒ i≡2Nともいえる 22N: 2乗すると24N≡1になる ⇒ -1として扱える

    2N: 2乗すると22N≡-1になる ⇒ iとして扱える 23N: 2乗すると26N≡-1になる ⇒ -iとして扱える 20 0...0 0...0 0...0 0...0 0...1 ⇒ 1 2N 0...0 0...0 0...0 0...1 0...0 ⇒ i 22N 0...0 0...0 0...1 0...0 0...0 ⇒ -1 23N 0...0 0...1 0...0 0...0 0...0 ⇒ -i 24N 0...1 0...0 0...0 0...0 0...0 ⇒ 1 N→∞として考えた世界が 輪廻環(∋輪廻数)
  5. N=2のとき→i≡2 (mod 5)の複素平面 四則演算は加法と乗法に還元可 能 左ビットシフト: 左回転 右ビットシフト: 右回転 0

    1 2 4 3 3 1 2 4 2 4 0 3 0 1 1 0 2 3 4 4 3 0 1 2 (mod 5) ×i: ×2 ÷i: ×3 +1: +1 +i: +2 -i: +3 -1: +4 ×(-1): ×4
  6. i≡2N (mod 22N+1)の複素平面 0 1 4 3 2 N=1: i≡2

    (mod 5) 0 2 8 15 9 1 16 13 4 N=2: i≡4 (mod 17) 0 2N/2 23N/2 22N-2N/2+1 22N-23N/2+1 1 22N 22N-2N+1 2N i≡2N (mod 22N+1)
  7. 輪廻数の特殊性 同値のビット列が無数に存在する 1 = 0...0 0...0 0...0 0...0 0...1 =

    0...1 0...0 0...0 0...0 0...0 0 = 0...0 0...0 0...0 0...0 0...0 = 0...0 0...0 0...1 0...0 0...1 = 0...0 0...1 0...0 0...1 0...0 = 0...0 0...1 0...1 0...1 0...1 ex: ω + ω3 + ω5 = 0
  8. 輪廻環の未解決問題 n倍して1(=0...1 0...0 0...0 0...0 0...0)になる輪廻数のビット列を求められるか? (1/nの存在) 2乗して22N+1(=0...0 0...1 0...0

    0...1≡0)になる輪廻数のビット列を求められるか? (もうひとつの0の存在) 桁数が非可算無限の数体系での計算法則はどうなるか?