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CG学習向けの高校数学+α

 CG学習向けの高校数学+α

YouTubeでの説明はこちら。
https://youtu.be/U31fEl3Lotc

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Takashi Imagire

August 07, 2021
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Transcript

  1. CG学習向けの 高校数学+α ここで紹介していない内容が大事でないとは言ってません @imagire

  2. 数学 I, II, III • 数 • 関数 • 方程式と線

    • 指数関数・対数関数 • 三角関数 • 微分 • 積分
  3. 数学 I, II, III • 数 • 関数 • 方程式と線

    • 指数関数・対数関数 • 三角関数 • 微分 • 積分
  4. 絶対値 • 0からの距離が等しい正の数 𝑎𝑎 = � 𝑎𝑎 −𝑎𝑎 (0 ≤

    𝑎𝑎) (𝑎𝑎 < 0)
  5. 平方根 • 2乗するとその数になるもの • 複素数:虚数単位𝑖𝑖(-1の平方根)の定数倍と実数の和による数 • 2次方程式の解はいずれかの複素数 ( 𝑎𝑎)2= 𝑎𝑎

    𝑖𝑖2 = −1 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
  6. 累乗 • 累乗根 𝑛𝑛 𝑎𝑎 :n乗するとその数(a)になるもの(=𝑎𝑎 1 𝑛𝑛) 𝑎𝑎𝑛𝑛 =

    𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 ∗ ⋯ ∗ 𝑎𝑎 𝑛𝑛個 指数 (𝑛𝑛 𝑎𝑎)𝑛𝑛= 𝑎𝑎
  7. 数学 I, II, III • 数 • 関数 • 方程式と線

    • 指数関数・対数関数 • 三角関数 • 微分 • 積分
  8. 関数 • 2つの変数x, yがあって、xの値を決めると、それに対応してy の値がをただ一つ定めるもの 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

  9. 直線の方程式 (1/2) • 傾きが 𝑎𝑎 でy軸上の切片が 𝑏𝑏 の直線 • 傾きaと通る点が既知の場合

    𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 1 𝑏𝑏 𝑎𝑎
  10. 直線の方程式 (1/2) • 傾きが 𝑎𝑎 でy軸上の切片が 𝑏𝑏 の直線 • 傾き𝑎𝑎と通る点(𝑥𝑥0

    , 𝑦𝑦0 )が既知の場合 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 1 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 ) (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 )
  11. 直線の方程式 (2/2) • 通る2点 𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 , (𝑥𝑥2 ,

    𝑦𝑦2 )が既知の場合 • ただし、 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 の際は、発散するので 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 ) 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 (𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ) (𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ) 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 (𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦2 ) (𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 )
  12. 不等式 • 方程式は、xとyが釣り合う場所を示す • yがそれよりも大きい(小さい)場合は、 直線の上側(下側)を示す 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 1

    𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑦𝑦 > 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑦𝑦 < 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
  13. 2次関数 • 平方完成した際に 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 が極値となり、 その頂点から1ずれた際の変化が 𝑎𝑎となる放物線 • 媒介変数表示

    𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 𝑦𝑦 − 𝑞𝑞 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 𝑝𝑝 2 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑝𝑝 𝑞𝑞 𝑎𝑎 1 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 + 𝑝𝑝, 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 = − 𝑏𝑏 2𝑎𝑎 , − 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 4𝑎𝑎 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑡𝑡2 + 𝑞𝑞
  14. 円 • 原点からの距離が等しい点の集合 • ずらして、中心が 𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 にある場合 𝑥𝑥

    𝑦𝑦 0 𝑟𝑟 𝑦𝑦 = ± 𝑟𝑟2 − 𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 𝑟𝑟2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 2 + 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 2 = 𝑟𝑟2 𝜃𝜃 𝑥𝑥 𝑦𝑦 0 𝑟𝑟 𝜃𝜃 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 )
  15. 楕円 • 2点 𝑐𝑐 からの距離の和が等しい点の集合 • 焦点𝑐𝑐と長軸、短軸の関係 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑎𝑎

    𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑥𝑥2 𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦2 𝑏𝑏2 = 1 𝑎𝑎2 = 𝑐𝑐2 + 𝑏𝑏2 𝑦𝑦 = ± 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2 0
  16. 双曲線 • 2点からの距離の差が一定な点の集合 • 距離の差:2𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑎𝑎 𝑐𝑐 −𝑐𝑐

    0 𝑥𝑥2 𝑎𝑎2 − 𝑦𝑦2 𝑏𝑏2 = 1 𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 𝑏𝑏 漸近線 焦点 頂点 𝑦𝑦 = ± 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎2
  17. 分数関数 • yがxについての分数で表された関数 • 直角双曲線 • 双曲線の𝑎𝑎と𝑏𝑏が等しい 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0

    𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 = 𝑘𝑘 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 (𝑥𝑥0 , 𝑥𝑥0 ) 𝑘𝑘 1 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 + 𝑦𝑦0
  18. 数学 I, II, III • 数 • 関数 • 方程式と線

    • 指数関数・対数関数 • 三角関数 • 微分 • 積分
  19. 方程式の解の視覚化 • 方程式𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 0の解は、関数𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 のx軸との交点となる

    𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 1 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 0
  20. 方程式の解の視覚化 • 方程式𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 0の解は、関数𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 のx軸との交点となる

    𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 1 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 0 解 = − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 1: 𝑎𝑎 = −解: 𝑏𝑏
  21. 2次方程式 • 2次関数のx軸との交点が解となる • 解の公式 • 解が存在する条件 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦

    𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥+ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥− = 0 𝑥𝑥+ 𝑥𝑥− 𝑥𝑥± = −𝑏𝑏 ± 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 2𝑎𝑎
  22. 2次方程式 • 2次関数のx軸との交点が解となる • 解の公式 • 解が存在する条件 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦

    𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥+ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥− = 0 𝑥𝑥+ 𝑥𝑥− 𝑥𝑥± = −𝑏𝑏 ± 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 2𝑎𝑎 0 ≤ 𝐷𝐷 = 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑦𝑦 0 解が存在しない場合 : 判別式 x軸との交点がない
  23. 高次方程式 • 𝑛𝑛 − 1個の極値を持つ • 無限大での値 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦

    𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝑥𝑥𝑛𝑛−1+. . +𝑎𝑎2 𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎1 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 0 < 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 < 0 0 < 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 < 0 ∞: −∞: = � 𝑖𝑖=0 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖
  24. 連立方程式 • それぞれの線の交点が解 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓1 (𝑥𝑥) 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓2

    (𝑥𝑥) 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓1 (𝑥𝑥) 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓2 (𝑥𝑥) 解
  25. 直線の交点 • 連立一次方程式の解 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑦𝑦 =

    𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 𝑥𝑥 = − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 , 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐
  26. 放物線と直線の交点 • 1次方程式と2次方程式の連立解 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥+ 𝑥𝑥− 𝑦𝑦 =

    𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 − 𝑒𝑒 = 0 𝑥𝑥± = − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 ± 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 2 − 4𝑎𝑎 𝑐𝑐 − 𝑒𝑒 2𝑎𝑎 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐
  27. 接点 • 1次方程式と2次方程式の係数が 特別な関係にあると解は一つになる • 接点:解が1つの場合の解の点 • 接線:1次方程式が接点で交わる際の直線 0 𝑥𝑥

    𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 𝐷𝐷 = 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 2 − 4𝑎𝑎 𝑐𝑐 − 𝑒𝑒 = 0 𝑥𝑥± = − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 2𝑎𝑎 𝑑𝑑 − 𝑏𝑏 2𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 2𝑎𝑎 (𝑑𝑑 − 𝑏𝑏) + 𝑒𝑒 𝑥𝑥±
  28. 数学 I, II, III • 数 • 関数 • 方程式と線

    • 指数関数・対数関数 • 三角関数 • 微分 • 積分
  29. 指数関数 • 累乗を連続した数に拡張したもの 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 1 𝑎𝑎 1 𝑦𝑦

    𝑥𝑥 0
  30. 対数関数 • 指数関数の逆関数(定義域と値域を反転) • 定義域は正 • 底の変換 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑦𝑦

    𝑦𝑦 = log𝑎𝑎 𝑥𝑥 log𝑎𝑎 𝑏𝑏 = log𝑐𝑐 𝑏𝑏 log𝑐𝑐 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑥𝑥 1 𝑎𝑎 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑦𝑦 = log𝑎𝑎 𝑥𝑥 0
  31. 数学 I, II, III • 数 • 関数 • 方程式と線

    • 指数関数・対数関数 • 三角関数 • 微分 • 積分
  32. 弧度法 • 𝜋𝜋ラジアン = 180° • 扇形の弧の長さ • 扇形の面積 𝜃𝜃

    0 𝑆𝑆 𝑟𝑟 𝑙𝑙 𝑙𝑙 = 𝑟𝑟𝜃𝜃 S = 1 2 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 1 2 𝜃𝜃𝑟𝑟2
  33. 三角比 • 直角三角形の各辺と角度との関係 𝜃𝜃 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 =

    𝑥𝑥 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 = 𝑦𝑦 𝑟𝑟 tan 𝜃𝜃 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥 正弦 余弦 正接 cos 𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃 1
  34. 正弦・余弦のグラフ • 周期 2𝜋𝜋 の周期関数 • 位相が𝜋𝜋/2ずれている • 𝜃𝜃 =

    0での値 • sin:0 • cos:1 • 対称性 • sin:奇関数 • cos:偶関数 cos 𝜃𝜃 = sin 𝜃𝜃 + 𝜋𝜋 2 𝑦𝑦 𝜃𝜃 𝑦𝑦 = cos 𝜃𝜃 𝑦𝑦 = sin 𝜃𝜃 𝑦𝑦 𝜃𝜃 0 0 +1 −1 +1 −1 𝜋𝜋 2 𝜋𝜋 2𝜋𝜋 3 2 𝜋𝜋 5 2 𝜋𝜋 𝜋𝜋 2 𝜋𝜋 2𝜋𝜋 3 2 𝜋𝜋 5 2 𝜋𝜋
  35. 正接のグラフ • 周期 𝜋𝜋 の周期関数 • 1 2 𝜋𝜋 +

    𝑛𝑛𝜋𝜋で発散 • 奇関数 𝑦𝑦 𝜃𝜃 0 𝜋𝜋 2 𝜋𝜋 +1 −1 3 4 𝜋𝜋 3 2 𝜋𝜋 𝜋𝜋 4 2𝜋𝜋 𝑦𝑦 = tan 𝜃𝜃 5 4 𝜋𝜋
  36. 三角比の公式 • 加法定理 tan 𝜃𝜃 = sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃

    cos2 𝜃𝜃 + sin2 𝜃𝜃 = 1 1 + tan2 𝜃𝜃 = 1 cos2 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃1 + 𝜃𝜃2 = cos 𝜃𝜃1 cos 𝜃𝜃2 − sin 𝜃𝜃1 sin 𝜃𝜃2 sin 𝜃𝜃1 + 𝜃𝜃2 = sin 𝜃𝜃1 cos 𝜃𝜃2 + cos 𝜃𝜃1 sin 𝜃𝜃2
  37. 媒介変数表示 • 円 • 楕円 𝑥𝑥 𝑦𝑦 0 𝑟𝑟 𝑥𝑥

    − 𝑥𝑥0 2 + 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 2 = 𝑟𝑟2 � 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 + 𝑥𝑥0 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 + 𝑦𝑦0 𝜃𝜃 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 ) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 2 𝑎𝑎2 + 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 2 𝑏𝑏2 = 1 � 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 cos 𝜃𝜃 + 𝑥𝑥0 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 sin 𝜃𝜃 + 𝑦𝑦0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 0 (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 ) 𝑎𝑎 𝑏𝑏
  38. 数学 I, II, III • 数 • 関数 • 方程式と線

    • 指数関数・対数関数 • 三角関数 • 微分 • 積分
  39. 微分 • 定義域が限りなく小さく 変化した際の関数の変化量 lim ∆𝑎𝑎→0 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ∆𝑎𝑎

    − 𝑓𝑓(𝑎𝑎) ∆𝑎𝑎 = 𝑓𝑓𝑓(𝑎𝑎) = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥=𝑎𝑎 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑎𝑎 ∆𝑎𝑎 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ∆𝑎𝑎 − 𝑓𝑓(𝑎𝑎) 𝑎𝑎 + ∆𝑎𝑎 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ∆𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑎𝑎) 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑎𝑎 1 𝑓𝑓(𝑎𝑎) 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 ∗ 1
  40. 導関数 • 微分係数を与える関数: 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 • 性質 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥 +

    𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥) ′ = 𝑘𝑘𝑘𝑘′ 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑙𝑙′(𝑥𝑥) 𝑓𝑓 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ′ = 𝑓𝑓′ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑔𝑔’(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ′ = 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔’(𝑥𝑥)
  41. べき乗の導関数 • 𝑛𝑛 ≠ 0 • 𝑛𝑛 = 0 (定数)

    𝑥𝑥𝑛𝑛 ′ = 𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−1 𝐶𝐶 ′ = 0
  42. 三角関数の導関数 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃 = cos 𝜃𝜃 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜃𝜃

    cos 𝜃𝜃 = − sin 𝜃𝜃 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜃𝜃 1 cos 𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜃𝜃 1 cos 𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃 + 1 cos 𝜃𝜃 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃 = −1 cos2 𝜃𝜃 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃 + 1 cos 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 = sin2 𝜃𝜃 cos2 𝜃𝜃 + 1 = sin2 𝜃𝜃 + cos2 𝜃𝜃 cos2 𝜃𝜃 = 1 cos2 𝜃𝜃
  43. 指数関数の導関数 •𝑒𝑒: ネイピア数 (2.71828…) 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 1 𝑒𝑒 1

    𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (log𝑒𝑒 𝑎𝑎)𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 0 −1 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 2
  44. 対数関数の導関数 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 log𝑒𝑒 𝑥𝑥 = 1 𝑥𝑥 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

    log𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 1 𝑥𝑥 log𝑒𝑒 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑥𝑥 1 𝑎𝑎 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑦𝑦 = log𝑎𝑎 𝑥𝑥 0
  45. 数学 I, II, III • 数 • 関数 • 方程式と線

    • 指数関数・対数関数 • 三角関数 • 微分 • 積分
  46. 積分 • 微分すると期待する関数𝑓𝑓 𝑥𝑥 になるもの • 関数𝑓𝑓 𝑥𝑥 を積分しても、定数部分は決まらない(不定積分) •

    積分の範囲を決めることで定数を確定できる(定積分) 𝐹𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 � 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 � 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝐹𝐹 𝑏𝑏 − 𝐹𝐹(𝑎𝑎)
  47. 不定積分 • 性質 • 具体例(べき乗) � 𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)

    𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 � 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑙𝑙 � 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 𝑛𝑛 + 1 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 + 𝐶𝐶 𝑛𝑛 ≠ 1
  48. いくつかの不定積分 • 三角関数 � cos 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 = sin 𝜃𝜃

    + 𝐶𝐶 � sin 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 = − cos 𝜃𝜃 + 𝐶𝐶 � 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 � 1 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = log 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
  49. 難しい積分は? • 公式集 • オンラインサービス • WolframAlpha (Mathematica) • Integral

    Calculator • 微分:Derivative Calculator
  50. 微積とグラフ • 微分:関数の傾き • 積分:面積 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑎𝑎 𝑓𝑓

    𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑎𝑎) 𝑓𝑓′(𝑎𝑎) 1 0 𝑥𝑥 𝑆𝑆 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑆𝑆 = � 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹 𝑏𝑏 − 𝐹𝐹(𝑎𝑎) 𝑦𝑦 𝑓𝑓 𝑥𝑥
  51. 媒介変数表示された曲線について • 曲線の長さは各軸の変化量で作る 直角三角形の斜辺の長さで近似 できる • 変化量の極限を取ると • この線密度を合算したのが線の長さ 曲線の長さ

    0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 ∆𝑥𝑥 ∆y 𝑦𝑦 𝑡𝑡 + ∆𝑡𝑡 𝑦𝑦(𝑡𝑡) 𝑃𝑃(𝑥𝑥 𝑡𝑡 , 𝑦𝑦(𝑡𝑡)) ∆𝑠𝑠 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑥𝑥 𝑡𝑡 + ∆𝑡𝑡 ∆𝑠𝑠 = ∆𝑥𝑥 2 + ∆𝑦𝑦 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 + 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝐿𝐿 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑑𝑑𝑑𝑑
  52. 数学A, B • 場合の数 • ベクトル • ベクトルと図形

  53. 数学A, B • 場合の数 • ベクトル • ベクトルと図形

  54. 階乗 • 𝑛𝑛 個の異なる対象を1列に並べる方法の総数 • 一つ目:どれもありうる • 二つ目:最初に取り出したものは選ばれない • 三つ目:その前取り出した2つは選ばれない

    • … 4*3*2*1=24通り 2 3 2 3 1 1 1 2 3 4 4 4 2 3 2 3 1 1 1 2 3 4 4 4 3 2 1 1 1 3 2 3 2 4 4 4 4 1 2 3 1 1 1 2 3 4 4 4 1 1 1 2 3 4 4 4 2 3 2 3 2 3 2 3 𝑛𝑛! = 𝑛𝑛 ∗ 𝑛𝑛 − 1 ∗ 𝑛𝑛 − 2 ∗ ⋯ ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 2 4 3 1 4個のボールを一列にならべる際の総数
  55. 順列 • 𝑛𝑛 個ある物から順番に 𝑟𝑟 個取り出す場合の総数 • 一つ目:どれもありうる • 二つ目:最初に取り出したものは選ばれない

    • 三つ目:その前取り出した2つは選ばれない • … • 𝑟𝑟個目:その前取り出した(𝑟𝑟 − 1)個は選ばれない 4個のボールから2個取り出す際の順列 𝑛𝑛 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 𝑛𝑛 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 − 2 … 𝑛𝑛 − 𝑟𝑟 + 1 𝑛𝑛 − 𝑟𝑟 … 2.1 = 𝑛𝑛! (𝑛𝑛 − 𝑟𝑟)! 2 3 2 3 1 1 1 2 3 4 4 4 2 3 2 3 1 1 1 2 3 4 4 4 1 1 1 2 3 4 4 4 1 1 1 2 3 4 4 4 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 1 1 1 3 2 3 2 4 4 4 4 1 2 3 2 4 3 1 4*3=12通り
  56. 3 2 1 1 1 3 2 3 2 4

    4 4 4 1 2 3 組み合わせの数 • 𝑛𝑛個から𝑟𝑟個取る組み合わせの総数 • 取り出す順番は問わない 𝑛𝑛 𝐶𝐶𝑟𝑟 = 𝑛𝑛 𝑃𝑃𝑟𝑟 𝑟𝑟! = 𝑛𝑛! 𝑟𝑟! (𝑛𝑛 − 𝑟𝑟)! 4個のボールから 2個取り出す際の組み合わせ 4*3/2=6通り 2 3 2 3 1 1 1 2 3 4 4 4 2 3 2 3 1 1 1 2 3 4 4 4 1 1 1 2 3 4 4 4 1 1 1 2 3 4 4 4 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 1
  57. 数学A, B • 場合の数 • ベクトル • ベクトルと図形

  58. ベクトル • 向きと大きさだけで決まる量 • 書き方 • ベクトルの長さ: • ベクトルの相等 •

    ベクトルが等しい: • ベクトルの大きさが同じで向きが等しい • 平行移動して重ね合わせることができる 始点 終点 A B AB ⃑ 𝑎𝑎 ⃑ 𝑎𝑎 ⃑ 𝑎𝑎 ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ⃗ 𝑎𝑎 𝒂𝒂 𝑎𝑎
  59. 特別なベクトル • 零ベクトル • 大きさが0のベクトル • 単位ベクトル • 大きさが1のベクトル •

    ベクトルの正規化 • ベクトルの向きを変えずに単位ベクトルにすること (大きさを1にすること) ⃑ 𝑒𝑒 ⃑ 𝑒𝑒 = 1 0
  60. ベクトルの演算 • ベクトルの和 • 矢印をつなげる ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏

  61. ベクトルの演算 • ベクトルの和 • 矢印をつなげる ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 ⃑

    𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
  62. ベクトルの演算 • ベクトルの和 • 矢印をつなげる • ベクトルの実数倍 • 同じ向きで大きさを実数倍する ⃑

    𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎
  63. ベクトルの演算 • ベクトルの和 • 矢印をつなげる • ベクトルの実数倍 • 同じ向きで大きさを実数倍する •

    𝑘𝑘が負の場合は、向きは反対になる ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ⃑ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ⃑ 𝑎𝑎 = 𝑘𝑘 ⃑ 𝑎𝑎
  64. ベクトルの内積 (ドット積) • 2つのベクトルの向きの直線間の角度 の余弦と各ベクトルの長さを掛けた値 ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎

    � 𝑏𝑏 = ⃑ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 = ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 cos 𝜃𝜃
  65. ベクトルの内積 (ドット積) • 2つのベクトルの向きの直線間の角度 の余弦と各ベクトルの長さを掛けた値 ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎

    𝑏𝑏 𝜃𝜃 ⃑ 𝑎𝑎 � 𝑏𝑏 = ⃑ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 = ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 cos 𝜃𝜃
  66. 内積の性質 • ベクトルのなす角 • ベクトルの長さ cos 𝜃𝜃 = ⃑ 𝑎𝑎

    � 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏
  67. 内積の性質 • ベクトルのなす角 • ベクトルの長さ cos 𝜃𝜃 = ⃑ 𝑎𝑎

    � 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 cos 𝜃𝜃 = ⃑ 𝑎𝑎 � 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎、𝑏𝑏が単位ベクトルの場合
  68. 内積の性質 • ベクトルのなす角 • ベクトルの長さ cos 𝜃𝜃 = ⃑ 𝑎𝑎

    � 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑ 𝑎𝑎 = ⃑ 𝑎𝑎 2 ⃑ 𝑎𝑎 = ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑ 𝑎𝑎 cos 𝜃𝜃 = ⃑ 𝑎𝑎 � 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎、𝑏𝑏が単位ベクトルの場合
  69. [範囲外]ベクトルの外積 (クロス積) • 2つのベクトルに右手系で直交するベクトルで 長さは2つのベクトルがなす平行四辺形の面積 • 向きは右手系の3つ目のベクトルの向き ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏

  70. • 2つのベクトルに右手系で直交するベクトルで 長さは2つのベクトルがなす平行四辺形の面積 • 向きは右手系の3つ目のベクトルの向き ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎

    𝑏𝑏 𝜃𝜃 ⃑ 𝑎𝑎 × 𝑏𝑏 ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑒𝑒3 [範囲外]ベクトルの外積 (クロス積) ⃑ 𝑎𝑎 × 𝑏𝑏 = ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 sin 𝜃𝜃
  71. [範囲外]ベクトルの外積 (クロス積) • 2つのベクトルに右手系で直交するベクトルで 長さは2つのベクトルがなす平行四辺形の面積 • 向きは右手系の3つ目のベクトルの向き ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏

    ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝜃𝜃 ⃑ 𝑎𝑎 × 𝑏𝑏 = ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 sin 𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃 = ⃑ 𝑎𝑎 × 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 ⃑ 𝑎𝑎 × 𝑏𝑏 ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑒𝑒3
  72. ベクトルの分解 • 任意のベクトルは複数の ベクトルの和で一意に表現できる • 表現するベクトルは異なる向きの 零ベクトルでないベクトル • 表現するベクトルの数はベクトルが 表現している次元の数

    • 2次元であれば2つ ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑒𝑒1
  73. ベクトルの分解 • 任意のベクトルは複数の ベクトルの和で一意に表現できる • 表現するベクトルは異なる向きの 零ベクトルでないベクトル • 表現するベクトルの数は ベクトルが表現している次元の数

    • 2次元であれば2つ • ベクトルの分解の表現(ベクトルの成分) 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑎𝑎 ⃑ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑒𝑒1
  74. • 分解するベクトルが単位ベクトルでそれぞれの軸への垂線が直 行しているベクトル(基底ベクトル・基本ベクトル)の集まり • 基底ベクトルがx軸、y軸を 向いている場合は、 x成分、y成分という 正規直交基底 ⃑ 𝑎𝑎

    = 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑒𝑒1 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑎𝑎
  75. 正規直交基底での特徴 • 長さは成分の二乗和となる • 任意の次元で ⃑ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎1 2

    + 𝑎𝑎2 2 ⃑ 𝑎𝑎 = � 𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑖𝑖 2 ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑒𝑒1 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑎𝑎 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2
  76. 極座標 • 極 0 からの距離 𝑟𝑟と偏角 𝜃𝜃 による表現 • 局所正規直交座標系

    • ⃑ 𝑒𝑒𝑟𝑟 = 𝑥𝑥 𝑥𝑥2+𝑦𝑦2 , 𝑦𝑦 𝑥𝑥2+𝑦𝑦2 • ⃑ 𝑒𝑒𝜃𝜃 = −𝑦𝑦 𝑥𝑥2+𝑦𝑦2 , 𝑥𝑥 𝑥𝑥2+𝑦𝑦2 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑃𝑃 𝑟𝑟, 𝜃𝜃 𝑟𝑟 𝜃𝜃 ⃑ 𝑒𝑒𝑟𝑟 ⃑ 𝑒𝑒𝜃𝜃 𝑟𝑟 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 𝜃𝜃 = arctan 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃
  77. 正規直交基底と内積 • ベクトルの成分 𝑎𝑎𝑖𝑖 = ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑ 𝑒𝑒𝑖𝑖

    (𝑖𝑖 = 1,2) ⃑ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2
  78. 正規直交基底と内積 • ベクトルの成分 • ベクトル同士の内積 ⃑ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎1 ⃑

    𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 𝑎𝑎𝑖𝑖 = ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑ 𝑒𝑒𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,2) ⃑ 𝑎𝑎 � 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 + 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2
  79. 数学A, B • 場合の数 • ベクトル • ベクトルと図形

  80. 位置ベクトル • 原点からのベクトルの成分と座標値を同一視する ⃑ 𝑒𝑒𝑦𝑦 ⃑ 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑦𝑦 ⃑ 𝑒𝑒𝑦𝑦

    𝑥𝑥 ⃑ 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑦𝑦 ⃑ 𝑝𝑝 = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 0 ⃑ 𝑝𝑝 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 ⃑ 𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ⃑ 𝑒𝑒𝑦𝑦
  81. ある座標から別の座標へのベクトル • 目標点への位置ベクトル(⃑ 𝑞𝑞)から 開始点への位置ベクトル( ⃑ 𝑝𝑝)の差 𝑥𝑥 𝑦𝑦 ⃑

    𝑝𝑝 = (𝑝𝑝𝑥𝑥 , 𝑝𝑝𝑦𝑦 ) 0 𝑝𝑝𝑞𝑞 = ⃑ 𝑞𝑞 − ⃑ 𝑝𝑝 ⃑ 𝑞𝑞 = (𝑞𝑞𝑥𝑥 , 𝑞𝑞𝑦𝑦 )
  82. 線分 • 線分上の一点と方向から • 線分上の2点 A 𝑂𝑂 ⃑ 𝑑𝑑 𝑡𝑡

    ⃑ 𝑑𝑑 ⃑ 𝑥𝑥 ⃑ 𝑥𝑥 = ⃑ 𝐴𝐴 + 𝑡𝑡 ⃑ 𝑑𝑑 𝑡𝑡 = ⃑ 𝑥𝑥 − ⃑ 𝐴𝐴 ⃑ 𝑑𝑑
  83. 線分 • 線分上の一点と方向から • 線分上の2点から A 𝐵𝐵 𝑂𝑂 ⃑ 𝑑𝑑

    ⃑ 𝑥𝑥 ⃑ 𝑥𝑥 = ⃑ 𝐴𝐴 + 𝑡𝑡 ⃑ 𝑑𝑑 ⃑ 𝑥𝑥 = (1 − 𝑠𝑠) ⃑ 𝐴𝐴 + 𝑠𝑠𝐵𝐵 � ⃑ 𝑥𝑥 = ⃑ 𝐴𝐴 (𝑠𝑠 = 0) ⃑ 𝑥𝑥 = 𝐵𝐵 (𝑠𝑠 = 1) 𝑡𝑡 ⃑ 𝑑𝑑 𝑡𝑡 = ⃑ 𝑥𝑥 − ⃑ 𝐴𝐴 ⃑ 𝑑𝑑
  84. 法線ベクトル • 0でない直線に垂直なベクトル: 𝑛𝑛 • 線分上の2点 A 𝑂𝑂 ⃑ 𝑥𝑥

    = ⃑ 𝐴𝐴 + 𝑡𝑡 ⃑ 𝑑𝑑 𝑛𝑛 ⃑ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 � ⃑ 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 � ⃑ 𝐴𝐴 + 𝑡𝑡 ⃑ 𝑑𝑑 = 𝑛𝑛 � ⃑ 𝐴𝐴 ⃑ 𝑑𝑑 𝑡𝑡 ⃑ 𝑑𝑑 𝑛𝑛 � ⃑ 𝑥𝑥 − ⃑ 𝐴𝐴 = 0 : 直線の方程式
  85. 点と直線の距離 • 直線に一番近い点は直線へ垂線を引いた点 ⃑ 𝑝𝑝′ • ⃑ 𝑝𝑝′は直線上の点のため直線の方程式を満たす • 線分上の2点

    A 𝑛𝑛 ⃑ 𝑝𝑝 𝑛𝑛 � ⃑ 𝑝𝑝′ − ⃑ 𝐴𝐴 = 0 𝑑𝑑 ⃑ 𝑝𝑝′ 𝑛𝑛 � ⃑ 𝑝𝑝 − 𝑑𝑑𝑛𝑛 − ⃑ 𝐴𝐴 = 0 𝑑𝑑 = 𝑛𝑛 � ⃑ 𝑝𝑝 − ⃑ 𝐴𝐴 𝑛𝑛 � 𝑛𝑛 ⃑ 𝑝𝑝 = ⃑ 𝑝𝑝′ + 𝑑𝑑𝑛𝑛
  86. 円(2次元)・球(3次元) • 中心からの距離が等しい点の集合 • 絶対値は時として扱いが面倒なので 2乗した式がよく用いられる ⃑ 𝑐𝑐 ⃑ 𝑥𝑥

    𝑟𝑟 ⃑ 𝑥𝑥 − ⃑ 𝑐𝑐 = 𝑟𝑟 ⃑ 𝑥𝑥 − ⃑ 𝑐𝑐 � ⃑ 𝑥𝑥 − ⃑ 𝑐𝑐 = 𝑟𝑟2
  87. 平面 • A を含み 𝑛𝑛 に垂直な平面 • 平面上の点、 ⃑ 𝐴𝐴,

    𝑃𝑃, 𝑄𝑄が分かっている場合 ⃑ 𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝑛𝑛 � ⃑ 𝑥𝑥 − ⃑ 𝐴𝐴 = 0 : 平面の方程式 c.f. よく見る形: 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = 0
  88. 平面 • A を含み 𝑛𝑛 に垂直な平面 • 平面上の点、 ⃑ 𝐴𝐴,

    𝑃𝑃, 𝑄𝑄が分かっている場合 ⃑ 𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝑛𝑛 � ⃑ 𝑥𝑥 − ⃑ 𝐴𝐴 = 0 : 平面の方程式 ⃑ 𝑥𝑥 = ⃑ 𝐴𝐴 + 𝑙𝑙𝑇𝑇 + 𝑚𝑚𝐵𝐵 𝑇𝑇 = 𝑃𝑃 − ⃑ 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 = 𝑄𝑄 − ⃑ 𝐴𝐴 𝑄𝑄 𝐵𝐵 𝑇𝑇 ⃑ 𝑥𝑥 𝒎𝒎𝑩𝑩 l𝑻𝑻 ⃑ 𝐴𝐴 𝑃𝑃 : 接ベクトル c.f. よく見る形: 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = 0
  89. その他必要な数学 • 行列 • 偏微分

  90. その他必要な数学 • 行列 • 偏微分

  91. 行列 • 数字を2次元に並べたもの • 次元:列と行の数が同じ際の行や列の数 𝑚𝑚11 𝑚𝑚12 𝑚𝑚21 𝑚𝑚22 𝑚𝑚11

    𝑚𝑚12 𝑚𝑚13 𝑚𝑚21 𝑚𝑚22 𝑚𝑚23 𝑚𝑚31 𝑚𝑚32 𝑚𝑚33 𝑚𝑚11 𝑚𝑚12 𝑚𝑚13 𝑚𝑚14 𝑚𝑚21 𝑚𝑚22 𝑚𝑚23 𝑚𝑚24 𝑚𝑚31 𝑚𝑚32 𝑚𝑚33 𝑚𝑚34 𝑚𝑚11 𝑚𝑚12 𝑚𝑚13 𝑚𝑚14 𝑚𝑚21 𝑚𝑚22 𝑚𝑚23 𝑚𝑚24 𝑚𝑚31 𝑚𝑚32 𝑚𝑚33 𝑚𝑚34 𝑚𝑚41 𝑚𝑚42 𝑚𝑚43 𝑚𝑚44 𝑚𝑚11 𝑚𝑚12 𝑚𝑚21 𝑚𝑚22 𝑚𝑚11 𝑚𝑚12 𝑚𝑚13 𝑚𝑚21 𝑚𝑚22 𝑚𝑚23 𝑚𝑚31 𝑚𝑚32 𝑚𝑚33 𝑚𝑚11 𝑚𝑚12 𝑚𝑚13 𝑚𝑚14 𝑚𝑚21 𝑚𝑚22 𝑚𝑚23 𝑚𝑚24 𝑚𝑚31 𝑚𝑚32 𝑚𝑚33 𝑚𝑚34 𝑚𝑚41 𝑚𝑚42 𝑚𝑚43 𝑚𝑚44 2次元行列 3次元行列 4次元行列 3行4列の行列
  92. 特別な行列 • 単位行列 • 対角成分が1、それ以外が0 • 零行列 • 全ての成分が0 1

    0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 1 1 1 1 0は空白で表記する 場合が多い
  93. 行列の計算 • 和 • 積 𝑀𝑀 + 𝑁𝑁 = 𝑚𝑚11

    𝑚𝑚12 𝑚𝑚21 𝑚𝑚22 + 𝑛𝑛11 𝑛𝑛12 𝑛𝑛21 𝑛𝑛22 = 𝑚𝑚11 + 𝑛𝑛11 𝑚𝑚12 + 𝑛𝑛12 𝑚𝑚21 + 𝑛𝑛21 𝑚𝑚22 + 𝑛𝑛22 (𝑀𝑀 + 𝑁𝑁)𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑚𝑚11 𝑚𝑚12 𝑚𝑚21 𝑚𝑚22 𝑛𝑛11 𝑛𝑛12 𝑛𝑛21 𝑛𝑛22 = 𝑚𝑚11 𝑛𝑛11 + 𝑚𝑚12 𝑛𝑛21 𝑚𝑚11 𝑛𝑛12 + 𝑚𝑚12 𝑛𝑛22 𝑚𝑚21 𝑛𝑛11 + 𝑚𝑚22 𝑛𝑛21 𝑚𝑚21 𝑛𝑛12 + 𝑚𝑚22 𝑛𝑛22 (𝑀𝑀𝑀𝑀)𝑖𝑖𝑖𝑖 = � 𝑘𝑘 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑁𝑁𝑘𝑘𝑗𝑗
  94. 行列の積 • i行j列の成分は、前の行列のi行と後ろの行列のj列のそれぞれを ベクトルと見なした時の内積の結果 (𝑀𝑀𝑀𝑀)𝑖𝑖𝑖𝑖 = � 𝑘𝑘 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑁𝑁𝑘𝑘𝑗𝑗

    (𝑚𝑚𝑛𝑛)11 (𝑚𝑚𝑚𝑚)12 (𝑚𝑚𝑚𝑚)13 (𝑚𝑚𝑚𝑚)14 (𝑚𝑚𝑚𝑚)21 (𝑚𝑚𝑚𝑚)22 (𝑚𝑚𝑚𝑚)23 (𝑚𝑚𝑚𝑚)24 (𝑚𝑚𝑚𝑚)31 (𝑚𝑚𝑚𝑚)32 (𝑚𝑚𝑚𝑚)33 (𝑚𝑚𝑚𝑚)34 (𝑚𝑚𝑚𝑚)41 (𝑚𝑚𝑚𝑚)42 (𝑚𝑚𝑚𝑚)43 (𝑚𝑚𝑚𝑚)44 = 𝑚𝑚11 𝑚𝑚12 𝑚𝑚13 𝑚𝑚14 𝑚𝑚21 𝑚𝑚22 𝑚𝑚23 𝑚𝑚24 𝑚𝑚31 𝑚𝑚32 𝑚𝑚33 𝑚𝑚34 𝑚𝑚41 𝑚𝑚42 𝑚𝑚43 𝑚𝑚44 𝑛𝑛11 𝑛𝑛12 𝑛𝑛13 𝑛𝑛14 𝑛𝑛21 𝑛𝑛22 𝑛𝑛23 𝑛𝑛24 𝑛𝑛31 𝑛𝑛32 𝑛𝑛33 𝑛𝑛34 𝑛𝑛41 𝑛𝑛42 𝑛𝑛43 𝑛𝑛44 = � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚1𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘1 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚1𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘2 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚1𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘3 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚1𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘4 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚2𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚2𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚2𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚2𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚3𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚3𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚3𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚3𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚4𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚4𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚4𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘 � 𝑘𝑘=1 4 𝑚𝑚4𝑘𝑘 𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘
  95. 行列の定数倍 • 全ての値を定数倍する • 乗算する行列の次元の単位行列に定数を掛けた行列との積を取る 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 𝑘𝑘 𝑚𝑚11

    𝑚𝑚12 𝑚𝑚21 𝑚𝑚22 = 𝑘𝑘𝑚𝑚11 𝑘𝑘𝑚𝑚12 𝑘𝑘𝑚𝑚21 𝑘𝑘𝑚𝑚22
  96. 逆行列 • 元の行列と積を取ると単位行列になる行列 𝐴𝐴−1𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴−1 = 1 𝐴𝐴 =

    𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝐴𝐴−1 = 1 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎12 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 −𝑎𝑎12 −𝑎𝑎21 𝑎𝑎11 この値が0の場合は 逆行列は存在しない
  97. 一般的な次元での逆行列 𝐴𝐴−1 = 1 det 𝐴𝐴 ̃ 𝐴𝐴 ̃ 𝐴𝐴

    :行列式 :余因子行列 ̃ 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = (−1)𝑖𝑖+𝑗𝑗det(𝑐𝑐𝑗𝑗𝑖𝑖 ) 𝑐𝑐𝑗𝑗𝑗𝑗 ∶ 𝐴𝐴のj行とi列について、 j行i列を1、 それ以外は0に置き換えた行列 det 𝐴𝐴 = � 𝜎𝜎∈𝑆𝑆𝑛𝑛 (sgn 𝜎𝜎)𝐴𝐴1𝜎𝜎(1) 𝐴𝐴2𝜎𝜎(2) … 𝐴𝐴𝑛𝑛𝜎𝜎(𝑛𝑛) 数字の入れ替え回数の偶奇 全ての数字の入れ替えパターンを試す 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 𝑎𝑎14 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23 𝑎𝑎24 𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33 𝑎𝑎34 𝑎𝑎41 𝑎𝑎42 𝑎𝑎43 𝑎𝑎44 + + + + - - - -
  98. 掃き出し法(ガウスの消去法) • 手計算で逆行列を求める際のよく使われる方法 • 逆行列を求めたい行列と単位行列を並べ、互いを同じ行基本変 形を用いて元の行列を単位行列に変形すると、単位行列の方が 逆行列になる • 行を定数倍する •

    ある行と他の行を入れ替える • ある行に他の行の定数倍を加える 𝐴𝐴 𝐼𝐼 → 𝐼𝐼 𝐴𝐴−1
  99. 掃き出し法の例 1 2 3 4 1 0 0 1 1

    2 0 −2 1 0 −3 1 2行目に1行目の-3倍を加える 1 2 0 1 1 0 3/2 −1/2 2行目を-1/2倍する 1 0 0 1 −2 1 3/2 −1/2 1行目に2行目の-2倍を加える
  100. 掃き出し法の例 1 2 3 4 1 0 0 1 1

    2 0 −2 1 0 −3 1 2行目に1行目の-3倍を加える 1 2 0 1 1 0 3/2 −1/2 2行目を-1/2倍する 1 0 0 1 −2 1 3/2 −1/2 1行目に2行目の-2倍を加える 1 2 3 4 −1 = 1 4 − 6 4 −2 −3 1 = −2 1 3/2 −1/2 公式による逆行列
  101. 行列と連立方程式 • 行列を使うと系統的に解ける 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑦𝑦 =

    𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 ? , ? 𝑑𝑑 𝑏𝑏
  102. 行列と連立方程式 • 行列を使うと系統的に解ける 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑦𝑦 =

    𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 −𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 −𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑 −𝑎𝑎 1 −𝑐𝑐 1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = −𝑎𝑎 1 −𝑐𝑐 1 −1 𝑏𝑏 𝑑𝑑 = 1 −𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 1 −1 𝑐𝑐 −𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑑𝑑 = − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 , 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑏𝑏
  103. 正規直交基底でない場合の基底の成分 行列の応用 ⃑ 𝑒𝑒1 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑎𝑎 ⃑

    𝑒𝑒2 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒2 ≠ 0 ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑ 𝑒𝑒1 = 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 � ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑ 𝑒𝑒2 = 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒2 + 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 � ⃑ 𝑒𝑒2
  104. 正規直交基底でない場合の基底の成分 ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑

    𝑒𝑒2 = ⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑒𝑒2 � ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑒𝑒2 � ⃑ 𝑒𝑒2 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑒𝑒2 � ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑒𝑒2 � ⃑ 𝑒𝑒2 −1 ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑ 𝑒𝑒2 = 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 = 1 ∆ ⃑ 𝑒𝑒2 � ⃑ 𝑒𝑒2 −⃑ 𝑒𝑒2 � ⃑ 𝑒𝑒1 −⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑ 𝑒𝑒2 ∆= ⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑒𝑒2 � ⃑ 𝑒𝑒2 − ⃑ 𝑒𝑒2 � ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒2 行列の応用 ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑ 𝑒𝑒1 = 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 � ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑎𝑎 � ⃑ 𝑒𝑒2 = 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒2 + 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 � ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑒𝑒1 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 ⃑ 𝑎𝑎 ⃑ 𝑒𝑒2 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎1 ⃑ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎2 ⃑ 𝑒𝑒2 ⃑ 𝑒𝑒1 � ⃑ 𝑒𝑒2 ≠ 0
  105. その他必要な数学 • 行列 • 偏微分

  106. 偏微分 複数のパラメータがある場合に微分をどのように定義すればよいか? • 多変数関数に対して一つの変数に関する微分 • 他の変数は微分する際の変数の値で固定する • より一般的な形式 lim ∆𝑎𝑎→0

    𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ∆𝑎𝑎, 𝑏𝑏 − 𝑓𝑓(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ∆𝑎𝑎 = 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 𝜕𝜕𝑎𝑎 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖 = lim ∆𝑥𝑥𝑖𝑖→0 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑖𝑖 + ∆𝑥𝑥𝑖𝑖 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑖𝑖 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) ∆𝑥𝑥𝑖𝑖
  107. 全微分 • パラメータが別のパラメータに依存していた際のパラメータ変化 𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜕𝜕𝑓𝑓

    𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑥𝑥 ̇ 𝑥𝑥 + 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑦𝑦 ̇ 𝑦𝑦
  108. 全微分 • パラメータが別のパラメータに依存していた際のパラメータ変化 𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜕𝜕𝑓𝑓

    𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑥𝑥 ̇ 𝑥𝑥 + 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑦𝑦 ̇ 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑦𝑦 球の置かれた高さ𝒇𝒇はどのくらいの速さで変わるのか? x, yの各方向での高さの変化(勾配)に それぞれ軸方向の速度を掛けたものを合成する (置かれた場所自体が変形するのであれば、 その変化も考慮しなくてはならない(𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑡𝑡 )) 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑥𝑥 ̇ 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑦𝑦 ̇ 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑥𝑥