動的計画法 / Python DP

プログラム基礎同演習

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1. 1
   動的計画法
   プログラミング基礎同演習
   慶應義塾大学理工学部物理情報工学科
   渡辺
   2019/12/17
   

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2. 2
   組み合わせ最適化問題の解法
   ・貪欲法
   ・全探索
   ・メモ化再帰による動的計画法
   

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3. 3
   レストランにいって、料理や飲み物の注文をしたい
   できることなら美味しいものを食べたい
   vs.
   でもカロリーや値段は低く抑えたい
   許容予算内、カロリー内で、「幸せ度」
   を最大化する最適化問題になっている
   

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4. 4
   一定の制約条件下で
   コストを最小化する or 価値を最大化する
   ように、何かの組み合わせや順番を決める問題
   

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5. 5
   ・スーパーで買い物をする
   ・図書館に本を返却する
   ・郵便局で手紙を出す
   あなたは以下の三つのタスクをこなす必要がある
   自宅
   図書館 郵便局
   スーパー
   スーパー、図書館、郵便局は自宅から等距離にある
   どのような順序でこなすべきか？
   

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6. 6
   もし「スーパー」「郵便局」「図書館」の順番だと・・・？
   持ち物
   買い物をする 手紙を出す 本を返す
   重い本を持ったまま3ステップ
   買い物袋を抱えたまま3ステップ
   

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7. 7
   持ち物
   買い物をする
   本を返す 手紙を出す
   もし「スーパー」「郵便局」「図書館」の順番だと・・・？
   重い本を持つのは1ステップ
   買い物袋持つのも1ステップ
   

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8. 8
   鉄板の型抜き
   (長方形詰込問題)
   配送順序
   塗装計画
   白→黒：そのまま塗装できる
   黒→白：洗浄が必要
   バイトのシフト作成
   

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9. 9
   組み合わせ最適化問題の解法
   ・貪欲法
   ・全探索
   ・メモ化再帰による動的計画法
   これをナップサック問題を題材に考えてみる
   

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10. 10
    重さ 価値
    3
    4
    3
    33
    36
    24
    持てる重さは最大「10」まで
    5 50
    持ち運べる範囲で価値を最大化したい
    制約条件
    

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11. 11
    貪欲法は組み合わせ最適化問題の近似解を与える手法
    ・選べる選択肢に、なんらかの方法で順番付けをする
    ・制約条件を満たす限り、上から順に選ぶ
    計算量は
    ※ 多くの場合、貪欲法はわりと良い解を与える
    ↑ソートが一番重い
    

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12. 12
    重さ 価値
    4
    3
    36
    24
    5 50
    重さあたりの価値
    10
    9
    8
    3 33 11 上から順番に選ぶ
    ここで重さ10を超えるため
    ストップ
    貪欲法による解 最適解
    重さ8 価値 83 重さ10 価値 93
    

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13. 13
    を入れる を入れない
    を入れる を入れない を入れる を入れない
    

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14. 14
    各品物について「入れる」か「入れない」かを選ぶ
    品物の数をNとして 通り
    計算量は
    ※ N=20なら余裕、がんばればN=30くらいまで？
    

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15. 15
    貪欲法：簡単だが近似解しか得られない
    全探索：厳密だが計算量が膨大
    動的計画法：厳密で、かつ効率的
    

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16. 16
    Dynamic Programming, DP
    動的計画法が適用できる条件
    ・大きな問題を小さな問題に分解できる(分割統治)
    ・小さな問題の結果が再利用可能である(メモ化)
    

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17. 17
    目的地になるべく安く、早く着きたい
    → 最短経路問題
    現在地から目的地まで複数の経路がある
    

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18. 18
    A
    B
    C
    D
    E
    F
    G
    H
    I
    2
    7
    8
    1
    2
    3
    15
    10
    12
    1
    3
    2
    各辺に重み(コスト)が設定されているグラフがある
    A I
    から まで行きたい
    その際、辺のコストの合計を最小にしたい
    

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19. 19
    最短経路
    コストの合計：13
    A
    B
    C
    D
    E
    F
    G
    H
    I
    2
    7
    8
    1
    2
    3
    15
    10
    12
    1
    3
    2
    この解をどうやって(効率的に)求めるか？
    

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20. 20
    A E I
    3
    10
    もし最短経路が「A – E – I 」という経路であれば
    AからIに含まれる 「AからE」への経路
    「EからI」への経路
    もそれぞれ最短
    

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21. 21
    A E I
    3
    10
    2
    もしA-Eに、より低コストな経路があったら？
    A-Eの経路としてそちらを選んだ方がトータルコストが下がる
    A-E-Iが最短経路であることに矛盾
    最短経路に含まれる任意の二点間経路は最短
    

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22. 22
    A
    B
    C
    D
    E
    F
    G
    H
    I
    1
    2
    いま、「部分問題」が解けているとする
    AからGへの最短経路
    AからHへの最短経路 がそれぞれわかっている
    

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23. 23
    「AからG」「AからH」までの最短経路のコストが
    わかっているなら、この問題を解けばよい
    A
    G
    I
    1
    2
    13
    11
    H
    「A-H-I」が最短経路であることがわかる
    A
    B
    C
    D
    E
    F
    G
    H
    I
    2
    7
    8
    1
    2
    3
    15
    10
    12
    1
    3
    2
    全体像はいったん忘れる
    

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24. 24
    A
    B
    C
    E
    F
    H
    2
    7
    1
    2
    3
    12
    3
    AからHに行く最短経路は？
    AからEに行く最短経路(3)
    AからFに行く最短経路(8)
    A
    E
    H
    12
    3
    3
    8
    F
    がわかっているなら
    全体像はいったん忘れる
    「A-F-H」が最短経路であることがわかる
    この問題↓を解けばよい
    

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25. 25
    解きたい問題の「部分問題」が全て解けているなら
    全体の最適解が得られる
    小さい部分問題から順番に解いていく
    A
    B
    C
    D
    E
    F
    G
    H
    I
    2
    7
    8
    1
    2
    3
    15
    10
    12
    1
    3
    2
    AからBへの最短経路
    AからCへの最短経路・・・
    

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26. 26
    A
    G
    I
    1
    2
    13
    11
    H
    最短経路のコストは13とわかっているとする
    最終目的地 「I」に至る経路は「G」か「H」か？
    A-H のコストと H-Iのコストの和 = 13
    A-G のコストと G-Iのコストの和 = 14
    「A-G」「A-H」までの最短コストから計算してみればよい
    H経由だった
    

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27. 27
    世の中は最適化問題に溢れている
    組み合わせ最適化問題を厳密に解くのは困難
    近似解を高速に得る方法がある(貪欲法等)
    動的計画法は
    ・大きな問題が小さな問題に分解できる
    ・小さな問題の結果が再利用できる
    ことを利用して、効果的に厳密解を得る
    

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28. 28
    N円持ってサイゼリヤに行ったら
    最大でどれだけカロリーを摂取できるか？
    ・同じメニューを二度選んではいけない
    ・ドリンクバーやガムシロップ等も禁止
    条件
    ※ メニュー「幸せ度」はカロリーに比例すると近似する
    

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29. 29
    彩りガーデンサラダ
    小エビのサラダ
    やわらかチキンのサラダ
    イタリアンサラダ
    ・・・
    299 円
    349 円
    299 円
    299 円
    130 kcal
    115 kcal
    134 kcal
    92 kcal
    0.435 kcal/円
    0.330 kcal/円
    0.448 kcal/円
    0.307 kcal/円
    ラージライス
    アーリオ・オーリオ (W)
    ・・・
    219 円
    574 円
    454 kcal
    1120 kcal
    2.07 kcal/円
    1.95 kcal/円
    「価格あたりのカロリーが高い順」に並べる
    一番上から、予算が許す限り選ぶ
    品目 価格 カロリー 価格あたりの
    カロリー
    

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30. 30
    全探索は「トーナメント式」
    「予算オーバー」なら不戦敗
    予算内なら総カロリーが高い方が勝ち
    あるメニューを選ぶ場合 選ばない場合
    

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31. 31
    n 番目までのメニューの範囲で、
    budget 円以下で最大のカロリーを返す関数
    全探索の関数はこんな形をしていた
    search(n, budget)
    同じ(n, budget)を与えられたら、同じ値を返すはず
    一回計算したら、次から再利用できる(メモ化)
    

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32. 32
    n 番目までのメニューの範囲で、
    budget 円以下で得られる最大のカロリー
    計算が終わって得られる辞書
    の情報が入っている
    dic[(n, budget)]
    には、
    

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33. 33
    もしbudget 円以下で得られる最大カロリーメニューに
    n番目のメニューが入っていなければ
    dic[(n-1, budget)]
    dic[(n, budget)]
    これらが等しくなるはず
    この事実を利用して、再帰的に「最大カロリーメニューに
    このメニューが含まれるか」を調べていく
    

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