電気工学II第13回 /eleceng2_13

電気⼯学2第13回加算回路，減算回路，アクティブフィルタ，同相除去⽐公⽴⼩松⼤学藤⽥⼀寿 Ver. 20240717

加算回路

加算回路 • 複数の⼊⼒の電圧を加算する回路 • 反転増幅回路に複数の⼊⼒がある回路になっている． - + <latexit sha1_base64="dXI0nens/V/Jrq2+2b86swEezZg=">AAACZnichVHLSsNAFD2Nr1ofrYoouCmWiqsyLaLiqujGZR/2AbWUJE5raJqEJC3U4g8Ibu3ClYKI+Blu/AEX/QPFZQU3LrxJA6JFvcPMnDlzz50zM5KhKpbNWM8njIyOjU/4JwNT0zOzwdDcfN7Sm6bMc7Ku6mZREi2uKhrP2Yqt8qJhcrEhqbwg1fec/UKLm5aiawd22+DlhljTlKoiizZR2UylWglFWIy5ER4GcQ9E4EVKD93iEEfQIaOJBjg02IRViLColRAHg0FcGR3iTEKKu89xigBpm5TFKUMktk5jjVYlj9Vo7dS0XLVMp6jUTVKGEWVP7I712SO7Zy/s49daHbeG46VNszTQcqMSPFvOvv+ratBs4/hL9adnG1Vsu14V8m64jHMLeaBvnXT72Z1MtLPGrtkr+b9iPfZAN9Bab/JNmmcuEaAPiP987mGQT8Tim7FEeiOS3PW+wo8VrGKd3nsLSewjhRydW8M5LtD1PQuzwqKwNEgVfJ5mAd9CCH8CgnmKsg==</latexit> Rf
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加算回路の増幅度 • イマジナリショートを考えると反転⼊⼒端⼦は0Vと⾒なせるから，⼊⼒の各抵抗に流れる電流は - + <latexit sha1_base64="dXI0nens/V/Jrq2+2b86swEezZg=">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</latexit> Rf <latexit
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加算回路の増幅度 • 理想オペアンプの⼊⼒には電流は⼊っていかないので，電流はすべてRfに流れる（電流保存則）． • よって出⼒電圧Voは - + <latexit sha1_base64="dXI0nens/V/Jrq2+2b86swEezZg=">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</latexit>
Rf <latexit sha1_base64="KKMMeSpBVdArWsob8SOFbOL0jU0=">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</latexit> Vo <latexit 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加算回路の増幅度 • 加算回路の出⼒電圧は • となる．これは，それぞれの⼊⼒電圧がそれぞれの抵抗によって異なった倍率で増幅され，それが加算されることを意味する． • もし，とすると，出⼒電圧Voは -
+ <latexit sha1_base64="dXI0nens/V/Jrq2+2b86swEezZg=">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</latexit> Rf <latexit 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問題 • 図の回路の出⼒電圧Vo[V]はどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とする．(第42回ME2種) 1. -5.5 2. -5.0 3. 0
4. 5.0 5. 5.5

4. 5.0 5. 5.5 イマジナリショートより，各⼊⼒の抵抗に加わる電圧は⼊⼒電圧と等しい．よって，それぞれの⼊⼒の抵抗を流れる電流は 𝐼! = 1/10𝑘 𝐼" = 0.2/20𝑘 となる．オペアンプの⼊⼒インピーダンスは無限⼤なので，⼊⼒の抵抗を流れる電流の全てが50kΩの抵抗に流れる．よって， 50kΩ の抵抗を流れる電流は 𝐼 = 𝐼! + 𝐼" = 1 10𝑘 + 0.2 20𝑘 = 2.2 20𝑘 = 1.1 10𝑘 よって，50kΩの抵抗にかかる電圧は 𝑉# = 50𝑘𝐼 = 50𝑘× 1.1 10𝑘 = 5.5 である．出⼒電圧は−𝑉# なので出⼒はV$ = −5.5Vである． 𝑉#

4. 5.0 5. 5.5 別解：⼊⼒側の抵抗を⼀つづつ考える． 10kΩの抵抗のみがある場合を考える．抵抗に流れる電流は，イマジナリショートから 𝐼! = 1 10𝑘 𝐴 ⼊⼒端⼦はインピーダンスが無限⼤なので，これが50kΩにも流れる．よって出⼒電圧は 𝑣%! = −5𝑉 20kΩの抵抗のみがある場合を考える．先程と同様に計算すると出⼒電圧は 𝑣%" = − 0.2 20𝑘 ×50k = −0.5V よって，出⼒電圧は 𝑣% = 𝑣%! + 𝑣%" = −5.5𝑉 1 10𝑘 𝐴 0.1 10𝑘 𝐴 -5V -0.5V

問題解説 • 図の回路の出⼒電圧Vo[V]はいくらか．(第37回ME2種) 1. -4 2. -1 3. 1 4.
2 5. 4 - + <latexit sha1_base64="KKMMeSpBVdArWsob8SOFbOL0jU0=">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</latexit> Vo -1V 1V 1V 20kΩ 40kΩ 80kΩ 80kΩ

2 5. 4 - + <latexit sha1_base64="KKMMeSpBVdArWsob8SOFbOL0jU0=">AAACZnichVG7SgNBFD1ZXzFqEhVRsAmGiFWYBFGxCtpY5mEeEEPYXce4ZF/sbgIx+AOCrSmsFETEz7DxByzyB4plBBsLbzYLokG9w8ycOXPPnTMzkqkqtsNY1yeMjI6NT/gnA1PTM8FQeHauYBsNS+Z52VANqySJNlcVnecdxVF5ybS4qEkqL0r13f5+scktWzH0fadl8oom1nTlSJFFh6hcoWpUw1EWZ25EhkHCA1F4kTbCtzjAIQzIaEADhw6HsAoRNrUyEmAwiaugTZxFSHH3OU4RIG2DsjhliMTWaazRquyxOq37NW1XLdMpKnWLlBHE2BO7Yz32yO7ZC/v4tVbbrdH30qJZGmi5WQ2dLeXe/1VpNDs4/lL96dnBEbZcrwp5N12mfwt5oG+edHq57Wysvcqu2Sv5v2Jd9kA30Jtv8k2GZy8RoA9I/HzuYVBIxhMb8WRmPZra8b7Cj2WsYI3eexMp7CGNPJ1bwzku0PE9C0FhQVgcpAo+TzOPbyFEPgGcgYq/</latexit> Vo -1V 1V 1V 20kΩ 40kΩ 80kΩ 80kΩ イマジナリショートから，反転⼊⼒端⼦の電圧は⾮反転⼊⼒端⼦と同じなと⾒なせるので0Vである．つまり⼊⼒につながる各抵抗にかかる電圧は，それぞれがつながっている⼊⼒電源の電圧そのものである．よって，20kΩ，40kΩ，80kΩの抵抗を流れる電流はオームの法則から，それぞれ 𝐼! = − ! "#$ A，𝐼" = ! %#$ A， 𝐼& = ! '#$ Aである．オペアンプの⼊⼒インピーダンスは無限⼤なので，電流 𝐼! , 𝐼" , 𝐼& は80kΩの電流に流れる．よって，80kΩの抵抗に流れる電流𝐼 は，𝐼 = 𝐼! + 𝐼" + 𝐼& にかかる電圧は， 𝑉( = 80𝑘𝐼 = 80𝑘× − 1 20𝑘 + 1 40𝑘 + 1 80𝑘 = −4 + 2 + 1 = −1𝑉 出⼒電圧𝑉 ) は80kΩにかかる電圧に−1かければよいから， 𝑉 ) = 1 ⻩⾊の回路を時計回りにを考えると，⼊⼒端⼦は0V，80kΩの抵抗で−1V下がる，最後に0Vにならなければならないので出⼒電圧は1Vである．また電流は反時計回りに回っているので，出⼒電圧を電池と⾒なすと上向きを+にしなければならない（つまり正である）．⻩⾊の回路の電圧降下の図

2 5. 4 - + <latexit sha1_base64="KKMMeSpBVdArWsob8SOFbOL0jU0=">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</latexit> Vo -1V 1V 1V 20kΩ 40kΩ 80kΩ 80kΩ 別解加算回路は重ね合わせで考えることができる． 20kΩの⼊⼒のみに考えると，出⼒は 4Vである（⻩⾊の回路）． 40kΩの⼊⼒のみに考えると，出⼒は − 2Vである（緑⾊の回路）． 80kΩの⼊⼒のみに考えると，出⼒は − 1Vである（⽔⾊の回路）．よって出⼒は 𝑉 % = 4 − 2 − 1 = 1𝑉

問題 • 図の電⼦回路の⼊⼒端⼦にそれぞれ1Vを印加した．出⼒電圧𝑉 ! が − 10Vであった．抵抗𝑅" の値は何kΩか． 1. 1
2. 5 3. 10 4. 15 5. 20

問題 • 図の電⼦回路の⼊⼒端⼦にそれぞれ1Vを印加した．出⼒電圧𝑉 ! が − 10Vであった．抵抗𝑅" の値は何kΩか． 1. 1
2. 5 3. 10 4. 15 5. 20 イマジナリショートから，⼊⼒端⼦につながる1kΩの抵抗にかかる電圧は1V である．抵抗に流れる電流はオームの法則から ! !+ Aである．⼊⼒インピーダンスは無限⼤なので， 1kΩに流れる電流は全て𝑅# に流れる．よって，𝑅# に流れる電流は " !+ Aである．よって出⼒電圧は𝑅# にかかる電圧𝑉# に − 1かければよいから −𝑉# = −𝑅# × 2 1𝑘 = −10 となるので 𝑅# = 5𝑘

問題 • 図の回路の𝑉# に5Vを⼊⼒したとき，𝑉 ! [V]はどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とする．(臨床⼯学技⼠国家試験35) 1. −14 2.
−7 3. 0 4. 7 5. 14

問題 • 図の回路の𝑉# に5Vを⼊⼒したとき，𝑉 ! [V]はどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とする．(臨床⼯学技⼠国家試験35) 1. −14 2.
−7 3. 0 4. 7 5. 14 2Vの⼊⼒により⽣じる電流は " !,, = 0.02Aである．よって，この電流により200Ωの抵抗に⽣じる電圧は4Vである。 5Vの⼊⼒により⽣じる電流は - !,, = 0.05Aである．よって，この電流により200Ωの抵抗に⽣じる電圧は10Vである。反転増幅回路であることを考慮すると，出⼒電圧は− 4 + 10 = −14Vである．

減算回路

減算回路 • 減算回路は2つの⼊⼒電圧の差に⽐例した電圧を出⼒する． - + <latexit sha1_base64="KKMMeSpBVdArWsob8SOFbOL0jU0=">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</latexit> Vo <latexit sha1_base64="fF4U4ZWhw3WUSn6dPzDO0REzEek=">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</latexit>
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減算回路 • また，$. $/ = $0 $1 である場合，𝑉% = $.
$/ 𝑉& − 𝑉' となり，出⼒は⼊⼒の差の定数倍となる． - + <latexit sha1_base64="KKMMeSpBVdArWsob8SOFbOL0jU0=">AAACZnichVG7SgNBFD1ZXzFqEhVRsAmGiFWYBFGxCtpY5mEeEEPYXce4ZF/sbgIx+AOCrSmsFETEz7DxByzyB4plBBsLbzYLokG9w8ycOXPPnTMzkqkqtsNY1yeMjI6NT/gnA1PTM8FQeHauYBsNS+Z52VANqySJNlcVnecdxVF5ybS4qEkqL0r13f5+scktWzH0fadl8oom1nTlSJFFh6hcoWpUw1EWZ25EhkHCA1F4kTbCtzjAIQzIaEADhw6HsAoRNrUyEmAwiaugTZxFSHH3OU4RIG2DsjhliMTWaazRquyxOq37NW1XLdMpKnWLlBHE2BO7Yz32yO7ZC/v4tVbbrdH30qJZGmi5WQ2dLeXe/1VpNDs4/lL96dnBEbZcrwp5N12mfwt5oG+edHq57Wysvcqu2Sv5v2Jd9kA30Jtv8k2GZy8RoA9I/HzuYVBIxhMb8WRmPZra8b7Cj2WsYI3eexMp7CGNPJ1bwzku0PE9C0FhQVgcpAo+TzOPbyFEPgGcgYq/</latexit> Vo <latexit 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減算回路の出⼒ • ⾮反転⼊⼒端⼦の電圧𝑉' (は，𝑅) に加わる電圧なので • 𝑉' ( = $0
$1*$0 𝑉' • イマジナリーショートを考慮すると，⾮反転⼊⼒端⼦の電圧と反転⼊⼒端⼦の電圧は等しい．よって，𝑅& にかかる電圧𝑉& (は • 𝑉& ( = 𝑉& − 𝑉' ( • したがって，𝑅& に流れる電流𝐼は， • 𝐼 = +/,+. 2 $/ - + <latexit sha1_base64="KKMMeSpBVdArWsob8SOFbOL0jU0=">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</latexit> Vo <latexit 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減算回路の出⼒ • ⼊⼒インピーダンスは無限⼤なので，𝑅' に流れる電流は𝐼である． • よって出⼒電圧𝑉 ! は⻩⾊の回路を考えれば， • 𝑉&
− 𝑉 ! = 𝐼𝑅& + 𝐼𝑅' = +/,+. 2 $/ 𝑅& + 𝑅' = $/*$. $/ 𝑉& − 𝑉' ( • 𝑉 ! = − $/*$. $/ 𝑉& − 𝑉' ( + 𝑉& = $/*$. $/ − $. $/*$. 𝑉& + 𝑉' ( • さらに，𝑉' ( = $0 $1*$0 𝑉' を代⼊すると • 𝑉 ! = $/*$. $/ $0 $1*$0 𝑉' − $. $/*$. 𝑉& - + <latexit sha1_base64="KKMMeSpBVdArWsob8SOFbOL0jU0=">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</latexit> Vo <latexit 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減算回路の出⼒ • また，$. $/ = $0 $1 である場合， • となり，𝑉&
と𝑉' の差が求められる． - + <latexit sha1_base64="KKMMeSpBVdArWsob8SOFbOL0jU0=">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</latexit> Vo <latexit sha1_base64="fF4U4ZWhw3WUSn6dPzDO0REzEek=">AAACZnichVHLSsNAFD2Nr1q1rYoouCmWiqsyKaLiqujGZR/2AbWUJI41NE1CkhZq8QcEt3bhSkFE/Aw3/oCL/oHisoIbF96mAdGi3mFmzpy5586ZGdnUVNthrOsTRkbHxif8k4Gp6ZlgKDw7l7eNhqXwnGJohlWUJZtrqs5zjupovGhaXKrLGi/Itd3+fqHJLVs19H2nZfJyXarq6pGqSA5R2XxFrISjLM7ciAwD0QNReJEywrc4wCEMKGigDg4dDmENEmxqJYhgMIkro02cRUh19zlOESBtg7I4ZUjE1mis0qrksTqt+zVtV63QKRp1i5QRxNgTu2M99sju2Qv7+LVW263R99KiWR5ouVkJnS1l3/9V1Wl2cPyl+tOzgyNsuV5V8m66TP8WykDfPOn0stuZWHuVXbNX8n/FuuyBbqA335SbNM9cIkAfIP587mGQT8TFjXgivR5N7nhf4ccyVrBG772JJPaQQo7OreIcF+j4noWgsCAsDlIFn6eZx7cQIp8ggYqB</latexit> V1 <latexit sha1_base64="A95NPp0CSpuO9mcyOG87PD4PoLE=">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</latexit> V2 <latexit sha1_base64="Uv1aZX+6SbbobBDrSG78N7FPHkQ=">AAACZnichVHLSsNAFD2Nr1q1rYoouCmWiqsyKaLiqujGZR/2AbWUJI41NE1CkhZq8QcEt3bhSkFE/Aw3/oCL/oHisoIbF96mAdGi3mFmzpy5586ZGdnUVNthrOsTRkbHxif8k4Gp6ZlgKDw7l7eNhqXwnGJohlWUJZtrqs5zjupovGhaXKrLGi/Itd3+fqHJLVs19H2nZfJyXarq6pGqSA5R2UxFrISjLM7ciAwD0QNReJEywrc4wCEMKGigDg4dDmENEmxqJYhgMIkro02cRUh19zlOESBtg7I4ZUjE1mis0qrksTqt+zVtV63QKRp1i5QRxNgTu2M99sju2Qv7+LVW263R99KiWR5ouVkJnS1l3/9V1Wl2cPyl+tOzgyNsuV5V8m66TP8WykDfPOn0stuZWHuVXbNX8n/FuuyBbqA335SbNM9cIkAfIP587mGQT8TFjXgivR5N7nhf4ccyVrBG772JJPaQQo7OreIcF+j4noWgsCAsDlIFn6eZx7cQIp8YeYp9</latexit> R1 <latexit sha1_base64="/JKNrhreI3pIA66StGDK7GWCJoE=">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</latexit> R2 <latexit sha1_base64="J2nDiKOIxaF1nCbBwZBTTOrXMNA=">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</latexit> R3 <latexit sha1_base64="PzQOnZ40v2ecm62vLfPzYoIv3CQ=">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</latexit> R4 <latexit sha1_base64="//Bzw0R7XjLqiFXFSM8DrMOJkb8=">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</latexit> V 0 2 <latexit sha1_base64="hHesWnk/jX/rSH8+wlPSYTrXbCU=">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</latexit> I これらの計算はおまけ，読み⾶ばして良い 𝑉 % = 𝑅! + 𝑅" 𝑅! 𝑅. 𝑅/ + 𝑅. 𝑉" − 𝑅" 𝑅! + 𝑅" 𝑉! = 1 + 𝑅" /𝑅! 𝑅. /𝑅/ 1 + 𝑅. /𝑅/ 𝑉" − 𝑅" /𝑅! 1 + 𝑅" /𝑅! 𝑉! = 1 + 𝑅" /𝑅! 𝑅" /𝑅! 1 + 𝑅" /𝑅! 𝑉" − 𝑅" /𝑅! 1 + 𝑅" /𝑅! 𝑉! = 1 + 𝑅" /𝑅! 𝑅" /𝑅! 1 + 𝑅" /𝑅! 𝑉" − 𝑉! = 𝑅" 𝑅! 𝑉" − 𝑉!

問題解説 • 図の回路の⼊⼒端⼦aが開放状態であるときVaは何Vか．ただし，Aは理想演算増幅器である．(第40回ME2種) 1. 0 2. 0.5 3. 1
4. 2 5. 5 - + Va 1V 1kΩ 1kΩ 1kΩ 1kΩ a A

問題解説 • 図の回路の⼊⼒端⼦aが開放状態であるときVaは何Vか．ただし，Aは理想演算増幅器である．(第40回ME2種) 1. 0 2. 0.5 3. 1
4. 2 5. 5 - + Va 1V 1kΩ 1kΩ 1kΩ 1kΩ a A イマジナリショートを適⽤すると，⾮反転⼊⼒端⼦につながる抵抗𝑅に加わる電圧 𝑉0 と反転⼊⼒端⼦の電圧は等しいと⾒なせる．また， 𝑉0 は1Vが2つの1kΩの抵抗で分圧であるので，0.5Vである． Vaは，1kΩの抵抗とaとGND間の抵抗で分圧すれば求まる．aとGNDの間は開放なの抵抗値は無限⼤である．よって，aと GND間にすべての電圧が加わるのでVaは 0.5Vである． R VR = 0.5V 0.5V 0.5V

問題 • 図のオペアンプ回路で，𝑅- はサーミスタである．抵抗𝑅& から𝑅. はすべて10kΩである．𝑅- が10kΩのとき出⼒𝑉 ! はゼロであった．温度が上昇
し 𝑅- が9kΩに変化したとすると，出⼒電圧 𝑉 ! は何Vになるか．ただし，オペアンプは理想的とする．(第34回ME2種) 1. 10 2. 4.5 3. −0.5 4. −4.5 5. −10

問題 • 図のオペアンプ回路で，𝑅1 はサーミスタである．抵抗𝑅! から𝑅/ はすべて10kΩである．𝑅1 が10kΩのとき出⼒𝑉 % はゼロであった．温度が上昇し𝑅1
が9kΩに変化したとすると，出⼒電圧𝑉 % は何Vになるか．ただし，オペアンプは理想的とする．(第34回ME2種) 1. 10 2. 4.5 3. −𝟎. 𝟓 4. −4.5 5. −10 𝑅* = 10𝑘Ωの時𝑉 ) = 0か確認する．イマジナリショートから𝑅& にかかる電圧が反転⼊⼒端⼦にかかることになる．𝑅& にかかる電圧は𝑉+! = +! +",+! ×9 = !#$ !#$,!#$ ×9 = - " V よって𝑅* にかかる電圧は 9 − 9 2 = 9 2 V 𝑅* を流れる電流𝐼は 𝐼 = 9 2×10𝑘 A 𝑅! にも同じ電流が流れるので𝑅! に掛かる電圧は 9 2×10𝑘 ×10𝑘 = 9 2 V ⽔⾊の回路の電圧降下を考えると出⼒電圧𝑉 ) は 9 − 𝑉 ) = 9 2 + 9 2 𝑉 ) = 0

問題 • 図のオペアンプ回路で，𝑅1 はサーミスタである．抵抗𝑅! から𝑅/ はすべて10kΩである．𝑅1 が10kΩのとき出⼒𝑉 % はゼロであった．温度が上昇し𝑅1
が9kΩに変化したとすると，出⼒電圧𝑉 % は何Vになるか．ただし，オペアンプは理想的とする．(第34回ME2種) 1. 10 2. 4.5 3. −𝟎. 𝟓 4. −4.5 5. −10 𝑅/ にかかる電圧は9/2=4.5Vである．イマジナリショートから抵抗𝑅1 にかかる電圧は，9 − 4.5 = 4.5Vである．よって抵抗𝑅1 を流れる電流は 𝐼0# = 4.5 9k A である．この電流が抵抗𝑅! に流れるので，抵抗𝑅! にかかる電圧 𝑉0$ は 𝑉0$ = 4.5 9k ×10𝑘 = 5𝑉 である．⽔⾊の回路の電圧降下を考えると 9 − 𝑉 % = 4.5 + 5 𝑉 % = 9 − 9.5 = −0.5𝑉 キルヒホッフの第２法則：電圧降下の総和は電源電圧の総和に等しい．

問題 • 図1の回路において図2に⽰す電圧𝑣& と𝑣' を⼊⼒した場合，出⼒電圧𝑣! の波形で正しいのはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器である．(国家試験26)

問題 • 図1の回路において図2に⽰す電圧𝑣& と𝑣' を⼊⼒した場合，出⼒電圧𝑣! の波形で正しいのはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器である．(国家試験26) この回路は減算回路である．回路定数を⾒ると，各端⼦の抵抗値の組み合わせは等しいので，この回路は単純に⼊⼒を引き算する回路である．
よって，⼊⼒に差がない0から3秒，4秒以上の区間で出⼒は0となる．これを満たすのは3のみである．

問題 • 図１の回路において図２に⽰す電圧𝑉& と𝑉' を⼊⼒した場合，出⼒電圧 𝑉 ! の波形で正しいのはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とする．( 臨床⼯学技⼠国家試験32回) ໰୊ɹüüɹਤ
ø ͷճ࿏ʹ͓͍ͯਤ ù ʹࣔ͢ిѹ V ø ͱ Vù Λೖྗͨ͠৔߹ɺग़ྗిѹ V P ͷ೾ܗͰਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͢Δɻ ø÷ LX ø LX ø LX ø÷ LX Vù V ø + - " V P ਤ ø V ø ʦ7ʧ V ù ʦ7ʧ ÷ɽ ù ÷ɽ ù ÷ɽ ø ÷ɽ ø ÷ ÷ ø ù ú û t ʦTʧ ਤ ù øɽ ùɽ V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù úɽ ûɽ V P ʦ7ʧ ù V P ʦ7ʧ ù ú û ˖.ʕ P ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͢Δɻ ø÷ LX ø LX ø LX ø÷ LX Vù V ø + - " V P ਤ ø V ø ʦ7ʧ V ù ʦ7ʧ ÷ɽ ù ÷ɽ ù ÷ɽ ø ÷ɽ ø ÷ ÷ ø ù ú û t ʦTʧ ਤ ù øɽ ùɽ V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù úɽ ûɽ V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù üɽ V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù

問題 • 図１の回路において図２に⽰す電圧𝑉& と𝑉' を⼊⼒した場合，出⼒電圧 𝑉 ! の波形で正しいのはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とする．( 臨床⼯学技⼠国家試験32回) ໰୊ɹüüɹਤ
ø ͷճ࿏ʹ͓͍ͯਤ ù ʹࣔ͢ిѹ V ø ͱ Vù Λೖྗͨ͠৔߹ɺग़ྗిѹ V P ͷ೾ܗͰਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͢Δɻ ø÷ LX ø LX ø LX ø÷ LX Vù V ø + - " V P ਤ ø V ø ʦ7ʧ V ù ʦ7ʧ ÷ɽ ù ÷ɽ ù ÷ɽ ø ÷ɽ ø ÷ ÷ ø ù ú û t ʦTʧ ਤ ù øɽ ùɽ V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù úɽ ûɽ V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù ˖.ʕ ø LX ø LX ø÷ LX Vù V ø + - " V P ਤ ø V ù ʦ7ʧ ÷ɽ ù ÷ɽ ù ÷ɽ ø ÷ɽ ø ÷ ÷ ø ù ú û t ʦTʧ ਤ ù øɽ ùɽ V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù úɽ ûɽ V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù üɽ V P ʦ7ʧ ù ÷ ø ù ú û t ʦTʧ -ù これは減算回路である．さらに，回路定数を⾒ると，各端⼦の抵抗値の組み合わせは等しいので，この回路は単純に⼊⼒を引き算する回路である． 𝑉" − 𝑉! が0ではない区間は3から4秒なので，そこだけ出⼒は0でなくなる．このことから，選択肢は3か4に絞られる．出⼒は 𝑉" − 𝑉! の反転増幅となるので3から4秒間は出⼒は負となる。よって4が正しい。

アクティブフィルタ余裕がない⼈は，カットオフ周波数は 𝑓% = & '()* と覚える．

アクティブフィルタとは • オペアンプのような能動素⼦を⽤いたフィルタ ໰୊ɹüüɹਤͷճ࿏ʹ͍ͭͯਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͢Δɻ " VP VJ RJ
RG CG øɽःஅप೾਺ΑΓे෼ʹ௿͍ଳҬͰ͸ VP = - R R J G VJ Ͱ͋Δɻ ùɽःஅप೾਺ΑΓे෼ʹߴ͍ଳҬͰ͸ඍ෼ಛੑΛ༗͢Δɻ úɽःஅप೾਺͸ R C J G r Ͱ͋Δɻ ûɽೖྗΠϯϐʔμϯε͸ແݶେͰ͋Δɻ üɽग़ྗΠϯϐʔμϯε͸ແݶେͰ͋Δɻ ローパスフィルタ ໰୊ɹüùɹਤͷճ࿏ͷೖྗΠϯϐʔμϯε͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͠ɺ֯प೾਺Λ ~ɺڏ਺୯ҐΛ j ͱ͢Δɻ VJ VP Rù Rø C " - + øɽR ø ùɽRø + Rù úɽ j C ~ ûɽRø + j C ~ üɽRø + Rù + j C ~ ハイパスフィルタ 1 2𝜋𝑅# 𝐶# 1 2𝜋𝑅! 𝐶 カットオフ周波数カットオフ周波数 ೖྗΠϯϐʔμϯε𝑅% ೖྗΠϯϐʔμϯε𝑅& + & '()

反転増幅回路を元にしたアクティブフィルタ • 図は反転増幅回路を元にしたアクティブフィルタである． • このフィルタの周波数特性も，反転増幅回路と同様に，イマジナリショートを使い求められる． ໰୊ɹüüɹਤͷճ࿏ʹ͍ͭͯਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͢Δɻ "
VP VJ RJ RG CG øɽःஅप೾਺ΑΓे෼ʹ௿͍ଳҬͰ͸ VP = - R R J G VJ Ͱ͋Δɻ ùɽःஅप೾਺ΑΓे෼ʹߴ͍ଳҬͰ͸ඍ෼ಛੑΛ༗͢Δɻ ローパスフィルタ ໰୊ɹüùɹਤͷճ࿏ͷೖྗΠϯϐʔμϯε͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͠ɺ֯प೾਺Λ ~ɺڏ਺୯ҐΛ j ͱ͢Δɻ VJ VP Rù Rø C " - + øɽR ø ùɽRø + Rù úɽ j C ~ ハイパスフィルタ

ローパスフィルタ

ローパスフィルタ • イマジナリショートより，⼊⼒端⼦はそれぞれ短絡しているとみなせる．よって抵抗𝑅# にかかる電圧は𝑉$7 = 𝑉# である．． • つまり𝑅#
に流れる電流𝐼# は 𝐼# = +7 $ である． • ⼊⼒端⼦のインピーダンスは無限⼤とみなせるので，𝑅# に流れる電流 𝐼# はすべて𝑅" と𝐶" からなる並列回路に流れる． • また，この並列回路のインピーダンス𝑍は • & / = & $8 + 𝑗𝜔𝐶" , 𝑍 = $8 &*01$828 • この回路は反転増幅回路なので𝑉 ! は • 𝑉 ! = −𝑍𝑖 = − $8 $7(&*01$828) 𝑉# ໰୊ɹüüɹਤͷճ࿏ʹ͍ͭͯਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͢Δɻ " VP VJ RJ RG CG

ローパスフィルタ • ローパスフィルタの出⼒𝑉 ! は • 𝑉 ! = −𝑍𝑖
= − $8 $7(&*01$828) 𝑉# • +9 |+7| = $8 $7(&*01$828) = $8 $7 &* 1$828 . = $8 $7 & &* 1$828 . • この結果から，このフィルタはローパスフィルタである事がわかる． • ⼊⼒が⼗分低い周波数の場合， & &* 1$828 . がほぼ1となるので，反転増幅回路と同じと考えることができる． ໰୊ɹüüɹਤͷճ࿏ʹ͍ͭͯਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͢Δɻ " VP VJ RJ RG CG

カットオフ周波数 • +9 |+7| = $8 $7 & &* 1$828
. • アクティブフィルタのカットオフ周波数は & &* 1$828 . = & ' となる周波数である． • よって，カットオフ周波数fcは • 𝑓6 = & '728$8 ˖.ʕ ໰୊ɹüüɹਤͷճ࿏ʹ͍ͭͯਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͢Δɻ " VP VJ RJ RG CG øɽःஅप೾਺ΑΓे෼ʹ௿͍ଳҬͰ͸ VP = - R R J G VJ Ͱ͋Δɻ ùɽःஅप೾਺ΑΓे෼ʹߴ͍ଳҬͰ͸ඍ෼ಛੑΛ༗͢Δɻ úɽःஅप೾਺͸ R C J G r Ͱ͋Δɻ ûɽೖྗΠϯϐʔμϯε͸ແݶେͰ͋Δɻ üɽग़ྗΠϯϐʔμϯε͸ແݶେͰ͋Δɻ 𝑅# 𝑅$ 信号を通過ローパスフィルタの利得の例カットオフ周波数通過域

ハイパスフィルタ

反転増幅回路を元にしたハイパスフィルタ • イマジナリショートより，⼊⼒端⼦はそれぞれ短絡しているとみなせる． • よって抵抗𝑅& とコンデンサ𝐶にかかる電圧は𝑉# である． • つまり抵抗𝑅&
とコンデンサ𝐶 に流れる電流 • 𝑖 = +7 $/*&/012 • ⼊⼒端⼦のインピーダンスは無限⼤とみなせるので，𝑅' に流れる電流は𝑖である． • よって，Voは • 𝑉 ! = − $. $/*&/012 𝑉# ໰୊ɹüùɹਤͷճ࿏ͷೖྗΠϯϐʔμϯε͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͠ɺ֯प೾਺Λ ~ɺڏ਺୯ҐΛ j ͱ͢Δɻ VJ VP Rù Rø C " - +

ハイパスフィルタ • ハイパスフィルタの出⼒𝑉 : は • 𝑉 : = −
;3 ;4= 4 567 𝑉> = − ?@A;3 B=?@A;4 𝑉> • よって増幅度は • 𝑔 = C8 |C9| = ?@A;3 B=?@A;4 = @A;3 B=@3A3;4 3 • 分⺟分⼦をωで割ると • 𝑔 = A;3 4 63=A3;4 3 • ωが⼤きくなればなるほど分⺟が⼩さくなるので，この回路はハイパスフィルタであることがわかる． • ⼊⼒の周波数が⼗分⾼い場合， B @3 がほぼ０となるので，ゲイン𝑔は𝑅E /𝑅B とみなせる．つまり，反転増幅回路とみなせる． ໰୊ɹüùɹਤͷճ࿏ͷೖྗΠϯϐʔμϯε͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͠ɺ֯प೾਺Λ ~ɺڏ਺୯ҐΛ j ͱ͢Δɻ VJ VP Rù Rø C " - + øɽR ø ùɽRø + Rù úɽ j C ~ ûɽRø + j C ~ üɽRø + Rù + j C ~

ハイパスフィルタのカットオフ周波数 • カットオフ周波数は • 2$. / F. *2.$/ . =
& ' • 2𝐶'𝑅' ' = & 1. + 𝐶'𝑅& ' • 𝜔' = & 2.$/ . • 𝜔 = & 2$/ , 𝑓 = & '72$/ ໰୊ɹüùɹਤͷճ࿏ͷೖྗΠϯϐʔμϯε͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͠ɺ֯प೾਺Λ ~ɺڏ਺୯ҐΛ j ͱ͢Δɻ VJ VP Rù Rø C " - +

ハイパスフィルタの時定数 • 反転増幅回路なので，抵抗𝑅& とコンデンサ𝐶 を流れる電流に𝑅' をかけたものが出⼒となるので，その電流の時間変化がそのまま出⼒の時間変化に現れる． •
つまり，抵抗𝑅& とコンデンサ𝐶の直列回路を流れる電流がわかれば良い． • RC直列回路の時定数は𝐶𝑅& なので，このアクティブフィルタの時定数 𝐶𝑅& である． ໰୊ɹüùɹਤͷճ࿏ͷೖྗΠϯϐʔμϯε͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͠ɺ֯प೾਺Λ ~ɺڏ਺୯ҐΛ j ͱ͢Δɻ VJ VP Rù Rø C " - +

問題

問題 • 図のように反転増幅器にステップ電圧を⼊⼒した（𝑡 = 0でスイッチを⼊れる）．出⼒電圧𝑉 ! はどれか．ただしコンデンサCの電荷の初期値は 0とする．(第32回ME2種)

問題 • 図のように反転増幅器にステップ電圧を⼊⼒した（𝑡 = 0でスイッチを⼊れる）．出⼒電圧𝑉 ! はどれか．ただしコンデンサCの電荷の初期値は 0とする．(第32回ME2種) スイッチがオンになった瞬間からコンデンサに電荷がたまり始め
るため，電流𝑰が流れる．⼗分時間がたつと，コンデンサに⼗分電荷がたまり電流 𝑰 が流れなくなる．この電流𝐼とフィードバックの抵抗𝑅の積−𝑰𝑹が出⼒電圧𝑽𝒐 となる．よって答えは１となる．電流の変化と合致する選択肢は，１か２である．この回路は反転増幅回路なので⼊⼒と出⼒の符号は逆である．出⼒が負となっている選択肢は，1か4である．2つの条件を満たすのは1である． 𝐼 𝐼

問題 • 図の回路の⼊⼒インピーダンスはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とし，⾓周波数をω，虚数単位をjとする．（33回） 1. 𝑅& 2. 𝑅& + 𝑅'
3. & 01: 4. 𝑅& + & 012 5. 𝑅& + 𝑅' + & 012 ໰୊ɹüùɹਤͷճ࿏ͷೖྗΠϯϐʔμϯε͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͠ɺ֯प೾਺Λ ~ɺڏ਺୯ҐΛ j ͱ͢Δɻ VJ VP Rù Rø C " - + øɽR ø ùɽRø + Rù úɽ j C ~ ûɽRø + j C ~

問題 • 図の回路の⼊⼒インピーダンスはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とし，⾓周波数をω，虚数単位を jとする．（33回） 1. 𝑅! 2. 𝑅! + 𝑅"
3. ! ;<= 4. 𝑅! + ! ;<> 5. 𝑅! + 𝑅" + ! ;<> ໰୊ɹüùɹਤͷճ࿏ͷೖྗΠϯϐʔμϯε͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͠ɺ֯प೾਺Λ ~ɺڏ਺୯ҐΛ j ͱ͢Δɻ VJ VP Rù Rø C " - + øɽR ø ùɽRø + Rù úɽ j C ~ ûɽRø + j C ~ イマジナリショートを考えれば，オペアンプの⼊⼒端⼦はそれぞれ接地していると考えられる．つまり，⼊⼒から⾒れば，この回路はR1と Cの直列回路に⾒える．よって，⼊⼒インピーダンスは 𝑅! + 1 𝑗𝜔𝐶 イマジナリショートより，⼊⼒端⼦は短絡している，と考える．

問題 • 図の回路について，正しいのはどれか．Aは理想演算増幅器とする．( 国家試験27) a. 時定数は20msである． b. 通過域での増幅度は20dBである． c. 直流成分はカットされる．
d. コンデンサ𝐶# と抵抗𝑅$ に流れる電流は等しい． e. ⼊⼒インピーダンスは抵抗𝑅# と𝑅$ で決まる．

問題 • 図の回路について，正しいのはどれか．Aは理想演算増幅器とする．( 国家試験27) a. 時定数は20msである． b. 通過域での増幅度は20dBである． c. 直流成分はカットされる．
d. コンデンサ𝐶# と抵抗𝑅$ に流れる電流は等しい． e. ⼊⼒インピーダンスは抵抗𝑅# と𝑅$ で決まる． a. 時定数は10×10/×1×10?@ = 1×10?"𝑠 = 10𝑠なので間違い． b. 通過域ではコンデンサは無視できる．反転増幅回路の増幅度は 20 log!, ",,+ !,+ = 20 log!, 20である．よって間違い． c. コンデンサは直流を通さないので直流はカットされる．よって正しい． d. ⼊⼒インピーダンスは無限⼤なので，コンデンサに流れる電流が R2にも流れる．よって正しい． e. ⼊⼒インピーダンスは𝑅! と𝐶! で決まるので間違い．

問題 • 図の回路について正しいのはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とする．（34回） 1. 遮断周波数より⼗分低い帯域では𝑉 ! = − $8
$7 𝑉# である． 2. 遮断周波数より⼗分低い帯域では微分特性を有する． 3. 遮断周波数は & '7$728 である． 4. ⼊⼒インピーダンスは無限⼤である． 5. 出⼒インピーダンスは無限⼤である． ໰୊ɹüüɹਤͷճ࿏ʹ͍ͭͯਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͢Δɻ " VP VJ RJ RG CG øɽःஅप೾਺ΑΓे෼ʹ௿͍ଳҬͰ͸ VP = - R R J G VJ Ͱ͋Δɻ ùɽःஅप೾਺ΑΓे෼ʹߴ͍ଳҬͰ͸ඍ෼ಛੑΛ༗͢Δɻ

問題 • 図の回路について正しいのはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とする．（34回） 1. 遮断周波数より⼗分低い帯域では𝑉 ) = − +% +&
𝑉. である． 2. 遮断周波数より⼗分⾼い帯域では微分特性を有する． 3. 遮断周波数は ! "/+&0% である． 4. ⼊⼒インピーダンスは無限⼤である． 5. 出⼒インピーダンスは無限⼤である． ໰୊ɹüüɹਤͷճ࿏ʹ͍ͭͯਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͢Δɻ " VP VJ RJ RG CG øɽःஅप೾਺ΑΓे෼ʹ௿͍ଳҬͰ͸ VP = - R R J G VJ Ͱ͋Δɻ ùɽःஅप೾਺ΑΓे෼ʹߴ͍ଳҬͰ͸ඍ෼ಛੑΛ༗͢Δɻ úɽःஅप೾਺͸ R C J G r Ͱ͋Δɻ ûɽೖྗΠϯϐʔμϯε͸ແݶେͰ͋Δɻ üɽग़ྗΠϯϐʔμϯε͸ແݶେͰ͋Δɻ 1. ⼗分低い周波数の波の場合，Cfは開放とみなせるので，この回路は反転増幅回路とみなせる．つまり，出⼒電圧は 𝑉 % = −0* 0+ 𝑉A となる．よって正しい． 2. イマジナリショートから，VoはCfに加わる電圧とみなすことができる．コンデンサは電荷を蓄えながら徐々に電圧を上げていく．つまり，積分しているとみなせる．よって間違い．（ローパスフィルタなので積分） 3. 遮断周波数は， ! "B0*>* である．よって間違い． 4. イマジナリショートを考えれば，オペアンプの⼊⼒端⼦はそれぞれグランドに接続しているとみなせる．つまり，⼊⼒から⾒れば，抵抗Riのみ負荷がかかっている．よって，⼊⼒インピーダンスはRiである．よって間違い． 5. 出⼒インピーダンスはオペアンプの出⼒インピーダンスと同じなので，0である．よって間違い．

積分回路

オペアンプを⽤いた積分回路 • イマジナリショートを考慮すると，抵抗かかる電圧は𝑉> だから抵抗を流れる電流は • 𝐼 = C9 ; •
⼊⼒インピーダンスが無限⼤なので，コンデンサに流れる電流は抵抗に流れる電流 𝐼と同じである．また電流は定義から • 𝐼 = GH GI • 𝑄 = 𝐶𝑉A より • 𝐶 GC7 GI = C9 ; • 両辺積分すると • 𝑉A = B A; ∫ 𝑉> 𝑑𝑡 • よって 𝑉A は𝑉> を積分したものである．このため，この回路を積分回路という． • また，出⼒電圧𝑉 : = −𝑉A = − B A; ∫ 𝑉> 𝑑𝑡となる． - + 𝑉& 𝑉' 𝐼 𝑅 イマジナリショート 𝑉 (

問題 • 図の回路において時刻𝑡 = 0sでスイッチを閉じた．出⼒電圧𝑉 ! の経過を表す式はどれか．ただし，コンデンサの初期電荷はゼロとし，Aは理想演算増幅器とする．(国家試験26) 1.
𝑉 ! = 2𝑡 2. 𝑉 ! = −2𝑡 3. 𝑉 ! = 0 4. 𝑉 ! = & ' 𝑡 5. 𝑉 ! = − & ' 𝑡

問題 • 図の回路において時刻𝑡 = 0sでスイッチを閉じた．出⼒電圧𝑉 ! の経過を表す式はどれか．ただし，コンデンサの初期電荷はゼロとし，Aは理想演算増幅器とする．(国家試験26) 1.
𝑉 ! = 2𝑡 2. 𝑉 ! = −2𝑡 3. 𝑉 ! = 0 4. 𝑉 ! = & ' 𝑡 5. 𝑉 ! = − & ' 𝑡 𝑉 : = − 1 𝐶𝑅 ∫ 𝑉>𝑑𝑡 だから， 𝑉 : = − 1 𝐶𝑅 ∫ 𝑑𝑡 = − 𝑡 𝐶𝑅 𝐶𝑅 = 2×10J×1×10KJ = 2 よって𝑉 : = − B E 𝑡

問題 • 図1の波形を図2の回路の𝑣# に加えたときの𝑣! はどれか．(臨床⼯学技⼠国家試験35)

問題 • 図1の波形を図2の回路の𝑣# に加えたときの𝑣! はどれか．(臨床⼯学技⼠国家試験35) これは積分回路だから，選択肢は3か4のいずれかに絞られる．⾮反転増幅回路の亜種と考えられるから，⼊⼒に対し出⼒の符号は反転すると考えられる．つまり，⼊⼒が正のとき傾きが負のものを選べば良い．
よって，3が正しい．

同相除去⽐

同相除去⽐ • 差動増幅回路の各⼊⼒端⼦に⼊⼒v1，v2を与えたとき出⼒がvoだとする． 𝑣E ， 𝑣F ， 𝑣G の関係は次のように書ける． •
𝑣E = 𝐴H 𝑣F − 𝑣G + F G 𝐴I (𝑣F + 𝑣G ) • Adは差動増幅度（波形の差分を増幅） • Acは同相増幅度（同位相の波形を増幅） • 差動増幅度と同相増幅度の⽐を同相除去⽐CMRRという． • CMRR = LC LD • 同相除去⽐をdBで表すと • 𝐶𝑀𝑅𝑅 = 20 logBM LC LD • 同相除去⽐が⼤きいほど良い差動増幅回路である． • 理想オペアンプの場合 • 差動利得は無限⼤ • 同相除去⽐も無限⼤ + - 𝑣! 𝑣" 𝑣) 理想的には差動増幅回路に同相の波を⼊⼒したら出⼒が無いはずが，現実には少し波が出⼒される．同相⼊⼒出⼒波形

問題 • 同相利得が0.10倍，差動利得が200倍の差動増幅器がある。この増幅器のCMRR（同相弁別⽐）は何dBか。ただし，log10 2＝0.30とする。( 第41回ME2種) 1. 6 2. 40
3. 46 4. 60 5. 66

問題 • 同相利得が0.10倍，差動利得が200倍の差動増幅器がある。この増幅器のCMRR（同相弁別⽐）は何dBか。ただし，log10 2＝0.30とする。( 第41回ME2種) 1. 6 2. 40
3. 46 4. 60 5. 66 定義通りに計算する 𝐶𝑀𝑅𝑅 = 20 logBM 𝐴G /𝐴O = 20 logBM 200 0.1 = 20 logBM 2×1000 = 20 3 + 0.3 = 66

問題 • 同相除去⽐100dBの差動増幅器で，差動利得は60dBであった．同相利得はいくらか．(第42回ME2種) 1. 60dB 2. 40dB 3. 20dB
4. -20dB 5. -40dB

問題 • 同相除去⽐100dBの差動増幅器で，差動利得は60dBであった．同相利得はいくらか．(第42回ME2種) 1. 60dB 2. 40dB 3. 20dB
4. -20dB 5. -40dB 同相除去⽐の定義から 𝐶𝑀𝑅𝑅 = 20 logBM 𝐴G 𝐴O = 20 logBM 𝐴G − 20 logBM 𝐴O = 60 − 20 logBM 𝐴O = 100 よって 20 logBM 𝐴O = − 100 − 60 = −40

問題 • CMRR（同相除去⽐）が80dBの差動増幅器がある．差動増幅器の⼊⼒端⼦間に1mVを⼊⼒すると1Vが出⼒された．差動増幅器の2つの⼊⼒端⼦を短絡し，アースとの間に1Vを⼊⼒すると出⼒電圧は何Vになるか．（第37回ME2種） 1. 0.01 2. 0.1
3. 1 4. 10 5. 100

問題 • CMRR（同相除去⽐）が80dBの差動増幅器がある．差動増幅器の⼊⼒端⼦間に1mVを⼊⼒すると1Vが出⼒された．差動増幅器の2つの⼊⼒端⼦を短絡し，アースとの間に1Vを⼊⼒すると出⼒電圧は何Vになるか．（第37回ME2種） 1. 0.01 2. 0.1
3. 1 4. 10 5. 100 + - + - 1mV 1V 1V ? 差動増幅度はAd=1/0.001=1000 同相除去⽐は CMRR = 20 log!# 𝐴1 𝐴2 = 20 log!# 1000/𝐴2 = 80 1000/𝐴2 = 10% 同相増幅度は 𝐴2 = !### !#### = 0.1 よって出⼒電圧は0.1V 差動増幅同相増幅

問題 • 増幅率40dB，CMRR100dBの増幅器に，1.2Vの雑⾳（同相信号）が⼊⼒された．出⼒に現れる雑⾳の⼤きさはどれか．（第36回ME2種） 1. 48V 2. 30mV 3. 12mV
4. 1.2mV 5. 12μV

第36回ME2種 • 増幅率40dB，CMRR100dBの増幅器に，1.2Vの雑⾳（同相信号）が⼊⼒された．出⼒に現れる雑⾳の⼤きさはどれか．（第36回ME2種） 1. 48V 2. 30mV 3. 12mV
4. 1.2mV 5. 12μV 増幅率40dB，CMRR100dBなので 100 = 40 + 20 log#" 𝐴) 20 log#" 𝐴) = −60 𝐴) = 10*+ よって出⼒は 1.2×𝐴) = 1.2𝑚𝑉

電気工学II第13回 /eleceng2_13

電気工学II第13回 /eleceng2_13

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