電気工学II第13回 /eleceng2_13

電気⼯学2第13回
公⽴⼩松⼤学
藤⽥⼀寿

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反転増幅回路

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反転増幅回路
• ⼊⼒は反転⼊⼒端⼦へ
• ⾮反転⼊⼒端⼦はGNDに接続
-
+
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
Rf
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
Rs
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
Vo
AAACZnichVG7SgNBFD1ZXzE+EhVRsAkGxSrcBFGxEm0sE2MSQSXsrmMcstlddjeBGPwBwVYLKwUR8TNs/AEL/0CxjGBj4c1mQVTUO8zMmTP33Dkzo9mGdD2ix5DS1d3T2xfujwwMDg1HYyOjBdeqObrI65ZhOVua6gpDmiLvSc8QW7Yj1KpmiKJWWWvvF+vCcaVlbnoNW+xW1bIp96WuekzlCiVZiiUoSX7Ef4JUABIIImPFrrGDPVjQUUMVAiY8xgZUuNy2kQLBZm4XTeYcRtLfFzhChLU1zhKcoTJb4bHMq+2ANXndrun6ap1PMbg7rIxjhh7ohlp0T7f0TO+/1mr6NdpeGjxrHa2wS9Hjydzbv6oqzx4OPlV/evawjyXfq2Tvts+0b6F39PXDs1ZueWOmOUuX9ML+L+iR7vgGZv1Vv8qKjXNE+ANS35/7Jyikk6mFZDo7n1hZDb4ijClMY47fexErWEcGeT63jBOc4iz0pAwr48pEJ1UJBZoxfAkl/gGQgYq5
Vi

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反転増幅回路の増幅度
• 𝑅!
に加わる電圧𝑉"!
はイマジナリショートより
• 𝑉!!
= 𝑉"
• 𝑅!
を流れる電流𝐼"!
は
• 𝐼"!
= #"!
"!
= ##
"!
• ⼊⼒端⼦には電流は⼊っていかないため，それぞれの抵抗を流れる電
流𝐼"!
と𝐼"$
は等しい．よって
• 𝐼"!
= 𝐼"$
= ##
"!
• よって抵抗𝑅$
に加わる電圧𝑉"$
は
• 𝑉"$
= ##
"!
×𝑅$ = "$
"!
×𝑉%
-
+
Rf
Rs
Vo
Vi
IRs
IRf

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反転増幅回路の増幅度
• 𝑅$
に流れる電流は出⼒⽅向なので𝑉
&
はGND側が＋極の電源だと考える
ことができる．つまり，負となる．
• また，出⼒電圧は𝑅$
にかかる電圧と等しいので
• 𝑉
& = −𝑉"$
= − "$
"!
×𝑉%
• よって，増幅度は
• 𝐴'$ = #%
##
= − "$
"!
-
+
Rf
Rs
Vo
Vi
0V
𝐼!!
𝐼!!
𝑉
#
= 𝑉"
− 𝐼!"
𝑅$
− 𝑉!#
= −𝑉!#

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問題解説
• 図の回路で電流計の指⽰値は何mAか．ただし，演算増幅器と電流計は
理想的に働くこととする．(第34回ME2種)
1. 1
2. 2
3. 3
4. 6
5. 12
-
+
A
I
6V
2kΩ 1kΩ

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問題解説
• 図の回路で電流計の指⽰値は何mAか．ただし，演算増幅器と電流計は
理想的に働くこととする．(第34回ME2種)
1. 1
2. 2
3. 3
4. 6
5. 12
-
+
A
I
6V
2kΩ 1kΩ
バーチャルショートを適⽤すると，オペア
ンプのそれぞれの⼊⼒端⼦の電圧は等しいと
⾒なせるので，反転⼊⼒端⼦に加わる電圧は
0Vである．つまり，R1に加わる電圧は6Vと
なる．よって，R1に流れる電流は6/2k=3mA
である．
また，⼊⼒インピーダンスは無限⼤なので
，電流は⼊⼒端⼦に⼊らない．つまり，R1に
流れる電流のすべてがR2に流れる．よって，
Iは3mAである．
R1
R2
0V
6V
3mA

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問題
• 図の回路の電圧増幅度を20dBとするとき，抵抗𝑅に流れる電流𝐼[mA]
はどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とする．（国家試験25）
1. 0.01
2. 0.1
3. 1
4. 10
5. 100

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問題
• 図の回路の電圧増幅度を20dBとするとき，抵抗𝑅に流れる電流𝐼[mA]
はどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とする．（国家試験25）
1. 0.01
2. 0.1
3. 1
4. 10
5. 100
イマジナリショートより反転端⼦は0Vである．よって，10kΩの抵抗にかかる電圧は1Vである．
さらに，⼊⼒インピーダンスは無限⼤なので電流𝐼が10kΩの抵抗に流れる．
よって
𝐼 =
1
10𝑘
= 10!"𝐴 = 0.1𝑚𝐴

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ボルテージフォロア

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• 図の回路をボルテージフォロアという．
• ⾮反転増幅回路の変形と⾒ることもできる．
• 電圧を増幅しない．
• 増幅度は1．
• イマジナリショートを適⽤すると，VI=Voとなることから分かる．
-
+
Vo
Vi

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ボルテージフォロアは何の役に⽴つのか
• ボルテージフォロアは増幅度1であるため，信号を増幅しない．何の役
に⽴つのだろうか．
• ボルテージフォロアは⼊⼒インピーダンスが⼤きく，出⼒インピーダ
ンスが⼩さいため，バッファとして使⽤される．
• オペアンプが電流を供給する．
• ボルテージフォロアを追加すると出⼒インピーダンスが⼩さくなるので，
インピーダンスを変換しているとも⾔える．
-
+
Vo
Vi
補⾜：出⼒インピーダンスが⼩さいとは，アンプの電
流供給⼒が⾼いことを意味します．オームの法則
(V=RI)を考えれば，電流を供給できないと電圧が上が
らないことはすぐ分かります．電圧が上がらないのは
アンプで電圧降下が起こっているからだと考える事が
できます．電圧降下は出⼒に抵抗があるからだと考え
られます．その抵抗のインピーダンスが出⼒インピー
ダンスです．

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演習
• 図の回路について誤っているのはどれか．ただし，Aは理想演算増幅
器である．(第40回ME2種)
1. 電圧増幅度は１倍である．
2. インピーダンス変換機として使⽤される．
3. ⼊⼒インピーダンスは無限⼤である．
4. 正帰還が⽤いられている．
5. 電圧フォロアである．
-
+
Vo
Vi

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演習
• 図の回路について誤っているのはどれか．ただし，Aは理想演算増幅
器である．(第40回ME2種)
1. 電圧増幅度は１倍である．
2. インピーダンス変換機として使⽤される．
4. 正帰還が⽤いられている．
5. 電圧フォロアである．
-
+
Vo
Vi
負帰還です．
オペアンプの⼊⼒端⼦に⼊⼒が⼊っているから．
出⼒インピーダンスの⾼い機器にボルテージフォロアをつ
なぎ，ボルテージフォロアに電流を供給させることで出⼒
インピーダンスを下げます．
回路の名前そのままです．
バーチャルショートを考えれば当然です．

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加算回路

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加算回路
• 複数の⼊⼒の電圧を加算する回路
• 反転増幅回路に複数の⼊⼒がある回路になっている．
-
+
Rf
Vo
AAACZnichVHLSsNAFD2Nr1q1rYoouCmWiqsyKaLiqujGZR/2AbWUJI41NE1CkhZq8QcEt3bhSkFE/Aw3/oCL/oHisoIbF96mAdGi3mFmzpy5586ZGdnUVNthrOsTRkbHxif8k4Gp6ZlgKDw7l7eNhqXwnGJohlWUJZtrqs5zjupovGhaXKrLGi/Itd3+fqHJLVs19H2nZfJyXarq6pGqSA5R2XxFrISjLM7ciAwD0QNReJEywrc4wCEMKGigDg4dDmENEmxqJYhgMIkro02cRUh19zlOESBtg7I4ZUjE1mis0qrksTqt+zVtV63QKRp1i5QRxNgTu2M99sju2Qv7+LVW263R99KiWR5ouVkJnS1l3/9V1Wl2cPyl+tOzgyNsuV5V8m66TP8WykDfPOn0stuZWHuVXbNX8n/FuuyBbqA335SbNM9cIkAfIP587mGQT8TFjXgivR5N7nhf4ccyVrBG772JJPaQQo7OreIcF+j4noWgsCAsDlIFn6eZx7cQIp8ggYqB
V1
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
V2
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
V3
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
R1
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
R2
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
R3
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
I1
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
I2
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
I3
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
I

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加算回路の増幅度
• イマジナリショートを考えると反転⼊⼒端⼦は0Vと⾒なせるから，⼊
⼒の各抵抗に流れる電流は
-
+
Rf
Vo
V1
V2
V3
R1
R2
R3
I1
I2
I3
I

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• 理想オペアンプの⼊⼒には電流は⼊っていかないので，電流はすべて
Rfに流れる（電流保存則）．
• よって出⼒電圧Voは
-
+
Rf
Vo
V1
V2
V3
R1
R2
R3
I1
I2
I3
I
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
I = I1 + I2 + I3
重ね合わせの原理が成り⽴つので，それぞれの抵
抗のみの回路で計算した結果を⾜し合わせれば良
い．

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• 出⼒電圧は
• となる．これは，それぞれの⼊⼒電圧がそれぞれの抵抗によって異な
った倍率で増幅されたものが⾜し合わされることを意味する．
• もし，とすると，出⼒電圧Voは
-
+
Rf
Vo
V1
V2
V3
R1
R2
R3
I1
I2
I3
I

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問題
• 図の回路の出⼒電圧Vo[V]はどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とす
る．(第42回ME2種)
1. -5.5
2. -5.0
3. 0
4. 5.0
5. 5.5

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問題
• 図の回路の出⼒電圧Vo[V]はどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とす
る．(第42回ME2種)
1. -5.5
2. -5.0
3. 0
4. 5.0
5. 5.5
⼊⼒側の抵抗を⼀つづつ考える．
10kΩの抵抗のみがある場合を考える．
抵抗に流れる電流は，イマジナリショートから
𝐼#
=
1
10𝑘
𝐴
⼊⼒端⼦はインピーダンスが無限⼤なので，これ
が50kΩにも流れる．よって出⼒電圧は
𝑣$#
= −5𝑉
20kΩの抵抗のみがある場合を考える．
先程と同様に計算すると出⼒電圧は
𝑣$%
= −
0.2
20𝑘
×50k = −0.5V
よって，出⼒電圧は
𝑣$
= 𝑣$#
+ 𝑣$%
= −5.5𝑉
1
10𝑘
𝐴
0.1
10𝑘
𝐴
-5V
-0.5V

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問題解説
• 図の回路の出⼒電圧Vo[V]はいくらか．(第37回ME2種)
1. -4
2. -1
3. 1
4. 2
5. 4
-
+
Vo
-1V
1V
1V
20kΩ
40kΩ
80kΩ
80kΩ

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問題解説
1. -4
2. -1
3. 1
4. 2
5. 4
-
+
Vo
-1V
1V
1V
20kΩ
40kΩ
80kΩ
80kΩ
加算回路は重ね合わせで考えることが
できる．
20kΩの⼊⼒のみに考えると，出⼒は
4Vである．
− 2Vである．
− 1Vである．
よって出⼒は
𝑉
$
= 4 − 2 − 1 = 1𝑉

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問題解説
1. -4
2. -1
3. 1
4. 2
5. 4
-
+
Vo
-1V
1V
1V
20kΩ
40kΩ
80kΩ
80kΩ
別解
バーチャルショートを適⽤すると，反転⼊
⼒端⼦の電圧は⾮反転⼊⼒端⼦と同じなと⾒
なせるので0Vである．よって，抵抗に流れる
電流I1
，I2
，I3
は
I1
=-1V/20kΩ= −0.05mA
I2
=1V/40kΩ=0.025mA
I3
=1V/80kΩ=0.0125mA
となる．電流は⼊⼒端⼦に⼊らないので，す
べて出⼒とつながる80kΩの抵抗へ流れる．
よってIは，
I=I1
+I2
+I3
= −0.0125mA
となる．反転⼊⼒は0Vなので，出⼒とつなが
る80kΩの抵抗に加わる電圧が出⼒電圧Voと
なる．また，電流は電圧の⾼い⽅から低い⽅
に流れるため，Voは正である．よって
Vo=0.0125mA*80kΩ=1V
I1
I2
I3
I=I1
+I2
+I3

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問題
• 図の電⼦回路の⼊⼒端⼦にそれぞれ1Vを印加した．出⼒電圧𝑉
&
が
− 10Vであった．抵抗𝑅$
の値は何kΩか．
1. 1
2. 5
3. 10
4. 15
5. 20

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問題
• 図の電⼦回路の⼊⼒端⼦にそれぞれ1Vを印加した．出⼒電圧𝑉
&
が
− 10Vであった．抵抗𝑅$
の値は何kΩか．
1. 1
2. 5
3. 10
4. 15
5. 20
𝑅+
に流れる電流は #
#,
×2Aである．よっ
て出⼒は
𝑅+
×
1
1𝑘
×2 = 10
となるので
𝑅+
= 5𝑘

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減算回路

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減算回路
• 減算回路は2つの⼊⼒電圧の差に⽐例した電圧を出⼒する．
-
+
Vo
V1
V2
R1
R2
R3
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
R4
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
V 0
2
I

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減算回路の出⼒
• ⾮反転⼊⼒端⼦の電圧Vʼ2は，R4に加わる電圧なので
• イマジナリーショートを考慮すると，⾮反転⼊⼒端⼦の電圧と反転⼊
⼒端⼦の電圧は等しい．
• したがって，R1に流れる電流Iは，
-
+
Vo
V1
V2
R1
R2
R3
R4
V 0
2
I
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
I =
V 0
2
V1
R1
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
V 0
2
=
R4
R3 + R4
V2
これらの計算はおまけ，読み⾶ばして良い

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• よって出⼒電圧Voは
-
+
Vo
V1
V2
R1
R2
R3
R4
V 0
2
I
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
Vo V1 = R1I + R2I
= (R1 + R2)
V 0
2
V1
R1
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
Vo =
R1 + R2
R1
(V 0
2
V1 +
R1
R1 + R2
)
=
R1 + R2
R1
(
R4
R3 + R4
V2
R2
R1 + R2
V1)

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• また，とすると，
• となり，v1とv2の差が求められる． -
+
Vo
V1
V2
R1
R2
R3
R4
V 0
2
I
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
Vo =
R1 + R2
R1
(
R4
R3 + R4
V2
R2
R1 + R2
V1)
= (1 + R2/R1)(
R4/R3
1 + R4/R3
V2
R2/R1
1 + R2/R1
V1)
= (1 + R2/R1)(
R2/R1
1 + R2/R1
V2
R2/R1
1 + R2/R1
V1)
=
R2
R1
(V2 V1)

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問題解説
• 図の回路の⼊⼒端⼦aが開放状態であるときVaは何Vか．ただし，Aは
理想演算増幅器である．(第40回ME2種)
1. 0
2. 0.5
3. 1
4. 2
5. 5
-
+
Va
1V 1kΩ
1kΩ
1kΩ 1kΩ
a
A

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問題解説
• 図の回路の⼊⼒端⼦aが開放状態であるときVaは何Vか．ただし，Aは
理想演算増幅器である．(第40回ME2種)
1. 0
2. 0.5
3. 1
4. 2
5. 5
-
+
Va
1V 1kΩ
1kΩ
1kΩ 1kΩ
a
A
バーチャルショートを適⽤すると，⾮反
転⼊⼒端⼦につながる抵抗Rに加わる電圧
VR
と⾮反転⼊⼒端⼦の電圧は等しいと⾒
なせる．また，VR
は1Vが2つの1kΩの抵抗
で分圧であるので，0.5Vである．
Vaは，1kΩの抵抗とaとGND間の抵抗で
分圧すれば求まる．aとGND間の抵抗値は
開放なので無限⼤であるため，aとGND間
にすべての電圧が加わる．よって，Vaは
0.5Vである．
R
VR
= 0.5V
0.5V

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問題
• 図のオペアンプ回路で，𝑅(
はサーミスタである．抵抗𝑅)
から𝑅*
はすべ
て10kΩである．𝑅(
が10kΩのとき出⼒𝑉
&
はゼロであった．温度が上昇
し 𝑅(
が9kΩに変化したとすると，出⼒電圧 𝑉
&
は何Vになるか．ただし，
オペアンプは理想的とする．(第34回ME2種)
1. 10
2. 4.5
3. −0.5
4. −4.5
5. −10

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問題
• 図のオペアンプ回路で，𝑅-
はサーミスタである．抵抗𝑅#
から𝑅.
はすべて10kΩである．𝑅-
が10kΩの
とき出⼒𝑉
$
はゼロであった．温度が上昇し𝑅-
が9kΩに変化したとすると，出⼒電圧𝑉
$
は何Vになるか．
ただし，オペアンプは理想的とする．(第34回ME2種)
1. 10
2. 4.5
3. −0.5
4. −4.5
5. −10
𝑅.
にかかる電圧は9/2=4.5Vである．
イマジナリショートから抵抗𝑅-
にかかる電
圧は，9 − 4.5 = 4.5である．
よって抵抗𝑅-
を流れる電流は
𝐼/!
=
4.5
9k
A
である．この電流が抵抗𝑅#
に流れるので，
抵抗𝑅#
にかかる電圧 𝑉/"
は
𝑉/"
=
4.5
9k
×10𝑘 = 5𝑉
である．よって出⼒電圧は
𝑉
$
= 9 − 4.5 − 𝑉/"
= −0.5V
出⼒電圧=⼊⼒電圧ーRtの電圧降下ーR1の電圧降下

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問題
• 図1の回路において図2に⽰す電圧𝑣)
と𝑣+
を⼊⼒した場合，出⼒電圧𝑣&
の波形で正しいのはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器である．(国
家試験26)

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問題
と𝑣+
家試験26)
A B
Aのとき
⾮反転⼊⼒にかかる電圧は
𝑉!
= 𝑣"
×
10𝑘
11𝑘
反転⼊⼒の1kΩの抵抗を流れる電流は
𝐼 = 𝑣# − 𝑣"×
10
11
/1𝑘
𝑣#
＝𝑣"
なら
𝐼 = 𝑣#
1
11
/1𝑘
反転⼊⼒の10kΩの抵抗にかかる電圧は
𝑉 = 𝑣#
1
11
1
1𝑘
×10𝑘 = 𝑣#
10
11
よって𝑣$
は
𝑣% = 𝑣# −
1
11
𝑣# −
10
11
𝑣# = 0

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問題
と𝑣+
家試験26)
A B
Bのとき
⾮反転⼊⼒にかかる電圧は
𝑉!
= 𝑣"
×
10𝑘
11𝑘
反転⼊⼒の1kΩの抵抗を流れる電流は
𝐼 = 𝑣# − 𝑣"×
10
11
/1𝑘
𝑣#
＝ − 𝑣"
なら
𝐼 = 𝑣#
21
11
/1𝑘
反転⼊⼒の10kΩの抵抗にかかる電圧は
𝑉 = 𝑣#
21
11
1
1𝑘
×10𝑘 = 𝑣#
210
11
よって𝑣$
は
𝑣$ = 𝑣# − 𝑣#
21
11
+ 𝑣#
210
11
= −𝑣#
10
11
+ 𝑣#
210
11
=
220
11
𝑣#
= 20𝑣#
よってA区間では𝑣$ = 0，B区間では𝑣$
= 2.0𝑉なので３が答え．

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アクティブフィルタ
余裕がない⼈は，カットオフ
周波数は 𝑓&
= '
()*+
と覚える．

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アクティブフィルタとは
• オペアンプのような能動素⼦を⽤いたフィルタ
໰୊ɹüüɹਤͷճ࿏ʹ͍ͭͯਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ
ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͢Δɻ
"
VP
VJ
RJ
RG
CG
øɽःஅप೾਺ΑΓे෼ʹ௿͍ଳҬͰ͸ VP
= -
R
R
J
G VJ
Ͱ͋Δɻ
ùɽःஅप೾਺ΑΓे෼ʹߴ͍ଳҬͰ͸ඍ෼ಛੑΛ༗͢Δɻ
úɽःஅप೾਺͸
R C

J G
r
Ͱ͋Δɻ
ûɽೖྗΠϯϐʔμϯε͸ແݶେͰ͋Δɻ
üɽग़ྗΠϯϐʔμϯε͸ແݶେͰ͋Δɻ
ローパスフィルタ
໰୊ɹüùɹਤͷճ࿏ͷೖྗΠϯϐʔμϯε͸ͲΕ͔ɻ
ͨͩ͠ɺ" ͸ཧ૝ԋࢉ૿෯ثͱ͠ɺ֯प೾਺Λ ~ɺڏ਺୯ҐΛ j ͱ͢Δɻ
VJ VP
Rù
Rø
C
"
-
+
øɽR ø
ùɽRø
+ Rù
úɽ
j C

~
ûɽRø
+
j C

~
üɽRø
+ Rù
+
j C

~
ハイパスフィルタ
1
2𝜋𝑅+
𝐶+
1
2𝜋𝑅#
𝐶
カットオフ周波数カットオフ周波数

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理想オペアンプの重要な性質
• 増幅度は無限⼤
• いくらでも増幅できる．
• 2つの⼊⼒端⼦の⼊⼒インピーダンスが無限⼤
• ⼊⼒端⼦に電流は⼊っていかない．
• 出⼒インピーダンスが0
• いくらでも電流を供給できる．
• どのような周波数の信号でも同じように増幅する．
• イマジナリショート（バーチャルショート，仮想短絡）
• 反転端⼦と⾮反転端⼦はショートしている（同じ電圧）と考えて良い．
重要!!
太字の2点を使いこなせればオペアンプの問題は⼤体解ける！！
+
-
⼊⼒端⼦は同じ電圧

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反転増幅回路を元にしたアクティブフィルタ
• 図は反転増幅回路を元にしたアクティブフィルタである．
• このフィルタの周波数特性も，反転増幅回路と同様に，イマジナリシ
ョートを使い求められる．
"
VP
VJ
RJ
RG
CG
= -
R
R
J
G VJ
Ͱ͋Δɻ

VJ VP
Rù
Rø
C
"
-
+
øɽR ø
ùɽRø
+ Rù
úɽ
j C

~

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• イマジナリショートより，⼊⼒端⼦はそれぞれ短絡しているとみなせ
る．
• よって抵抗Riにかかる電圧は𝑉"#
= 𝑉%
．
• つまりRiに流れる電流iは𝑖 = ##
"
• ⼊⼒端⼦のインピーダンスは無限⼤とみなせるので，Riに流れる電流
はすべてRfとCfからなる並列回路に流れる．
• また，この並列回路のインピーダンスZは
• )
,
= )
"$
+ 𝑗𝜔𝐶$
, 𝑍 = "$
)-./"$0$
• よって，Voは
• 𝑉
& = 𝑍𝑖 = "$
"#()-./"$0$)
𝑉%
"
VP
VJ
RJ
RG
CG
R G

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• 𝑉
& = −𝑍𝑖 = − "$
"#()-./"$0$)
𝑉%
= − "$()3./"$0$)
"#()- /"$0$
3
)
𝑉%
• #%
|##|
=
"$()3./"$0$)
"#()- /"$0$
3
)
=
"$ )- /"$0$
3
"#()- /"$0$
3
)
= "$
"# )- /"$0$
3
=
"$
"#
)
)- /"$0$
3
• この結果から，このフィルタはローパスフィルタである事がわかる．
• ⼊⼒が⼗分低い周波数の場合， )
)- /"$0$
3
がほぼ1となるので，反転
増幅回路と同じと考えることができる． ໰୊ɹüüɹਤͷճ࿏ʹ͍ͭͯਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ
"
VP
VJ
RJ
RG
CG

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カットオフ周波数
• #%
|##|
=
"$
"#
)
)- /"$0$
3
• アクティブフィルタのカットオフ周波数は
)
)- /"$0$
3
= )
+
となる周波数である．
• よって，カットオフ周波数fcは
• 𝑓5 = )
+60$"$
˖.ʕ
"
VP
VJ
RJ
RG
CG
= -
R
R
J
G VJ
Ͱ͋Δɻ
R C

J G
r
Ͱ͋Δɻ

𝑅!
𝑅"

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反転増幅回路を元にしたハイパスフィルタ
• イマジナリショートより，⼊⼒端⼦はそれぞれ短絡しているとみなせ
る．
• よって抵抗𝑅)
とコンデンサ𝐶にかかる電圧は𝑉%
である．
• つまり抵抗𝑅)
とコンデンサ𝐶 に流れる電流
• 𝑖 = ##
"4-)/./0
• ⼊⼒端⼦のインピーダンスは無限⼤とみなせるので，𝑅+
に流れる電流
は𝑖である．
• よって，Voは
• 𝑉
& = − "3
"4-)/./0
𝑉%
VJ VP
Rù
Rø
C
"
-
+

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• 𝑉
& = − "3
"4- 4
567
𝑉% = − ./0"3
)-./0"4
𝑉%
• 𝑔 = #%
|##|
= ./0"3
)-./0"4
= /0"3
)-/303"4
3
• 分⺟分⼦をωで割ると
• 𝑔 = 0"3
4
63
-03"4
3
• ωが⼤きくなればなるほど分⺟が⼩さくなるので，この回路はハイパ
スフィルタであることがわかる．
• ⼊⼒の周波数が⼗分⾼い場合， )
/3
がほぼ０となるので，ゲイン𝑔は𝑅+
/𝑅)
とみなせる．つまり，反転増幅回路とみなせる．
VJ VP
Rù
Rø
C
"
-
+
øɽR ø
ùɽRø
+ Rù
úɽ
j C

~
ûɽRø
+
j C

~
üɽRø
+ Rù
+
j C

~

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ハイパスフィルタのカットオフ周波数
• カットオフ周波数は
• 0"3
4
63
-03"4
3
= )
+
• 2𝐶+𝑅+
+ = )
/3
+ 𝐶+𝑅)
+
• 𝜔+ = )
03"3
• 𝜔 = )
0"
, 𝑓 = )
+60"
VJ VP
Rù
Rø
C
"
-
+

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ハイパスフィルタの時定数
• 反転増幅回路なので，抵抗𝑅)
とコンデンサ𝐶 を流れる電流に𝑅+
をかけ
たものが出⼒となるので，その電流の時間変化がそのまま出⼒の時間
変化に現れる．
• つまり，抵抗𝑅)
とコンデンサ𝐶の直列回路を流れる電流がわかれば良
い．
• RC直列回路の時定数はCRなので，このアクティブフィルタの時定数
CRである．
VJ VP
Rù
Rø
C
"
-
+

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問題
• 図のように反転増幅器にステップ電圧を⼊⼒した（𝑡 = 0でスイッチを
⼊れる）．出⼒電圧𝑉
&
はどれか．ただしコンデンサCの電化の初期値は
0とする．(第32回ME2種)

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問題
• 図のように反転増幅器にステップ電圧を⼊⼒した（𝑡 = 0でスイッチを
⼊れる）．出⼒電圧𝑉
&
はどれか．ただしコンデンサCの電化の初期値は
0とする．(第32回ME2種)
スイッチがオンになった瞬間からコンデンサに電荷がたまり始め
るため，電流𝑰が流れる．⼗分時間がたつと，コンデンサに⼗分電
荷がたまり電流 𝑰 が流れなくなる．この電流𝐼とフィードバックの
抵抗𝑅の積−𝑰𝑹が出⼒電圧𝑽𝒐
となる．よって答えは１となる．
電流の変化と合致する選択肢は，１か２である．この回路は反転
増幅回路なので⼊⼒と出⼒の符号は逆である．出⼒が負となって
いる選択肢は，1か4である．2つの条件を満たすのは1である．
𝐼 𝐼

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問題
• 図の回路の⼊⼒インピーダンスはどれか．ただし，Aは理想演算増幅
器とし，各周波数をω，虚数単位をjとする．（33回）
1. 𝑅)
2. 𝑅) + 𝑅+
3. )
./8
4. 𝑅) + )
./0
5. 𝑅) + 𝑅+ + )
./0
VJ VP
Rù
Rø
C
"
-
+
øɽR ø
ùɽRø
+ Rù
úɽ
j C

~
ûɽRø
+
j C

~

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問題
• 図の回路の⼊⼒インピーダンスはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とし，各周波数をω，虚数単位を
jとする．（33回）
1. 𝑅#
2. 𝑅#
+ 𝑅%
3. #
234
4. 𝑅#
+ #
235
5. 𝑅#
+ 𝑅%
+ #
235
VJ VP
Rù
Rø
C
"
-
+
øɽR ø
ùɽRø
+ Rù
úɽ
j C

~
ûɽRø
+
j C

~
ΠϚδφϦγϣʔτΛߟ͑Ε͹ɼΦϖΞϯϓͷೖྗ୺ࢠ͸ͦΕͧΕ઀஍͍ͯ͠Δͱߟ͑ΒΕΔɽ
ͭ·Γɼೖྗ͔ΒݟΕ͹ɼ͜ͷճ࿏͸3ͱ $ͷ௚ྻճ࿏ʹݟ͑Δɽ
ΑͬͯɼೖྗΠϯϐʔμϯε͸
𝑅#
+
1
𝑗𝜔𝐶
ΠϚδφϦγϣʔτ
ΑΓɼೖྗ୺ࢠ͸୹
བྷ͍ͯ͠Δɼͱߟ͑
Δɽ

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問題
• 図の回路について，正しいのはどれか．Aは理想演算増幅器とする．(
国家試験27)
a. 時定数は20msである．
b. 通過域での増幅度は20dBである．
c. 直流成分はカットされる．
d. コンデンサ𝐶%
と抵抗𝑅&
に流れる電流は等しい．
e. ⼊⼒インピーダンスは抵抗𝑅%
と𝑅&
で決まる．

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問題
• 図の回路について，正しいのはどれか．Aは理想演算増幅器とする．(
国家試験27)
a. 時定数は20msである．
b. 通過域での増幅度は20dBである．
c. 直流成分はカットされる．
d. コンデンサ𝐶%
と抵抗𝑅&
に流れる電流は等しい．
e. ⼊⼒インピーダンスは抵抗𝑅%
と𝑅&
で決まる．
a. 時定数は10×10.×1×10!6 = 1×10!%𝑠 = 10𝑠なので間違い．
b. 通過域ではコンデンサは無視できる．反転増幅回路の増幅度は
20 log#7
%77,
#7,
= 20 log#7
20である．よって間違い．
c. コンデンサは直流を通さないので直流はカットされる．よって正し
い．
d. ⼊⼒インピーダンスは無限⼤なので，コンデンサに流れる電流が
R2にも流れる．よって正しい．
e. ⼊⼒インピーダンスは𝑅#
と𝐶#
で決まるので間違い．

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問題
• 図の回路について正しいのはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器と
する．（34回）
1. 遮断周波数より⼗分低い帯域では𝑉
& = − "$
"#
𝑉%
である．
2. 遮断周波数より⼗分低い帯域では微分特性を有する．
3. 遮断周波数は )
+6"$0$
である．
5. 出⼒インピーダンスは無限⼤である．
"
VP
VJ
RJ
RG
CG
= -
R
R
J
G VJ
Ͱ͋Δɻ

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問題
• 図の回路について正しいのはどれか．ただし，Aは理想演算増幅器とする．（34回）
1. 遮断周波数より⼗分低い帯域では𝑉
$ = −
&$
𝑉'
である．
2. 遮断周波数より⼗分⾼い帯域では微分特性を有する．
3. 遮断周波数は #
"(&$)#
である．
5. 出⼒インピーダンスは無限⼤である．
"
VP
VJ
RJ
RG
CG
= -
R
R
J
G VJ
Ͱ͋Δɻ
R C

J G
r
Ͱ͋Δɻ
े෼௿͍प೾਺ͷ೾ͷ৔߹ɼ$G͸։์ͱΈͳͤΔͷͰɼ͜ͷճ࿏͸൓స૿෯ճ࿏ͱΈͳͤΔɽͭ·Γɼग़ྗ
ిѹ͸ 𝑉
$
= −/#
/$
𝑉8
ͱͳΔɽΑͬͯਖ਼͍͠ɽ
ΠϚδφϦγϣʔτ͔Βɼ7P͸$GʹՃΘΔిѹͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽίϯσϯα͸ిՙΛ஝͑ͳ͕Βঃʑ
ʹిѹΛ্͍͛ͯ͘ɽͭ·Γɼੵ෼͍ͯ͠ΔͱΈͳͤΔɽΑͬͯؒҧ͍ɽʢϩʔύεϑΟϧλͳͷͰੵ෼ʣ
ःஅप೾਺͸ɼ #
%9/#5#
Ͱ͋Δɽ Αͬͯؒҧ͍ɽ
ΠϚδφϦγϣʔτΛߟ͑Ε͹ɼΦϖΞϯϓͷೖྗ୺ࢠ͸ͦΕͧΕάϥϯυʹ઀ଓ͍ͯ͠ΔͱΈͳͤΔɽͭ
·Γɼೖྗ͔ΒݟΕ͹ɼ఍߅3JͷΈෛՙ͕͔͔͍ͬͯΔɽΑͬͯɼೖྗΠϯϐʔμϯε͸3JͰ͋Δɽ Αͬͯؒ
ҧ͍ɽ
ग़ྗΠϯϐʔμϯε͸ΦϖΞϯϓͷग़ྗΠϯϐʔμϯεͱಉ͡ͳͷͰɼͰ͋Δɽ Αͬͯؒҧ͍ɽ

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問題
• 図の回路に置いて時刻𝑡 = 0sでスイッチを閉じた．出⼒電圧𝑉
&
の経過
を表す式はどれか．ただし，コンデンサの初期電荷はゼロとし，Aは
理想演算増幅器とする．(国家試験26)
1. 𝑉
& = 2𝑡
2. 𝑉
& = −2𝑡
3. 𝑉
& = 0
4. 𝑉
& = )
+
𝑡
5. 𝑉
& = − )
+
𝑡

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問題
• 図の回路において時刻𝑡 = 0sでスイッチを閉じた．出⼒電圧𝑉
&
の経過
を表す式はどれか．ただし，コンデンサの初期電荷はゼロとし，Aは
理想演算増幅器とする．(国家試験26)
1. 𝑉
& = 2𝑡
2. 𝑉
& = −2𝑡
3. 𝑉
& = 0
4. 𝑉
& = )
+
𝑡
5. 𝑉
& = − )
+
𝑡
⼊⼒インピーダンスが無限⼤なので，コンデンサに流
れる電流は抵抗に流れる電流と同じである．
抵抗に流れる電流は
𝐼 =
𝑉8
𝑅
=
1
2𝑀
=
1
2
×10!6
また電流は定義から
𝐼 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
=
1
2
×10!6
𝑄 = 𝐶𝑉より
𝐶×
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
1
2
×10!6
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
1
2
よって電流の向きを考慮すると
𝑉 = −
1
2
𝑡

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電気工学II第13回 /eleceng2_13

電気工学II第13回 /eleceng2_13

Kazuhisa Fujita

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