財務諸表監査のための逐次検定

SIG-FIN-035

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1. 1 財務諸表監査のための逐次検定 https://www.jstage.jst.go.jp/article/jsaisigtwo/2025/FIN-035/2025_117/_article/-char/ja/ 試査手続の統計学的な定式化と理論保証 SIG-FIN-035 2025年10月12日 加藤真大 1,2 中川慧 1,2 1大阪公立大学 2みずほ第一フィナンシャルテクノロジー https://www.jstage.jst.go.jp/article/jsaisigtwo/2025/FIN-035/2025_117/_article/-char/ja/
2. 2 財務諸表監査 ◼ 財務諸表監査の目的 • 財務諸表監査項目を構成する勘定科目明細の書類の検証 • 企業の経営状態や財務情報の信頼性を評価 ◼ 項目内に問題があった場合を逸脱と呼ぶ • 逸脱が全くないことは必ずしも想定しない 些細なレシートの紛失や記載ミスなど • 逸脱の割合がある一定の数を超える場合，その企業には問題があると判断 ◼ 調査項目は膨大 but 調査リソースは有限 • リスクアプローチ • リスクが高いと判断される調査項目に重点的に配分して監査を行うという考え方
3. 3 財務諸表監査 ◼ 母逸脱率と許容逸脱率 • 母逸脱率𝑝0 = 逸脱の数 / 項目全体の数 • 許容逸脱率𝑟： 監査人が許容できる逸脱率 ◼ 母逸脱率𝑝0 が許容逸打率𝑟を超える場合 → その企業には問題があると判断する ◼ 母逸脱率𝑝0 が許容逸打率𝑟を超えない場合 → その企業には問題がないと判断する ◼ 監査人が調査をすれば項目の逸脱はわかる • すべての項目の調査は難しい 母逸脱率𝑝0 = 𝑚/𝑛
4. 4 全数調査とサンプル調査（試査） ◼ 全数調査： 監査項目をすべて調査する • 調査項目が多いとコストが膨大 • 企業に問題があるかどうかは決定的（非確率的）に分かる ◼ サンプル調査（試査）：項目の一部を調査 • リスクアプローチに基づく方針 • 母集団から一部の項目をサンプルし、 その調査から母集団に対して推論 • 全数調査と異なり，企業に問題があるか どうかの判断には不確実性を伴う 母逸脱率𝑝0 = 𝑚/𝑛 （未知）
5. 5 試査における慣習 ◼ 一度のサンプルで自信のある判断ができなかった場合 → 追加でサンプリングを行う • 自信のある判断ができるようになるまでサンプリングを続ける ◼ 「大吉がでるまでおみくじを引き続ける問題」 • 例えば，検定を行なっている場合，多重性の問題を生じさせている • 95%信頼区間でも100回に5回は帰無仮説を誤って棄却する • なんども検定を行えばいつかは棄却できてしまう
6. 6 課題 ◼ 自信のある判断ができるまでサンプリングを続ける ＝多重性の問題（ 「大吉がでるまでおみくじを引き続ける問題」） • 誤って判断する確率を正しく制御できていない可能性が生じる ◼ 逐次検定 • サンプルサイズを事前に定めずに逐次的に検定とサンプルを繰り返すアプローチ • 誤判断確率の制御のもとでの最適停止問題として定式化できる ◼ 本研究 • 有限母集団に対する逐次検定の提案 ✓ 誤判断確率の制御 ✓ 自信をもって判断ができる場合の早期停止 ✓ いろいろな検定方式への拡張可能性
7. 7 定式化
8. 8 試査の統計学的定式化 ◼ 逐次検定 • サンプルサイズが固定されていない • 適当な基準で実験を停止するルールと意思決定のルールが事前に定められている ◼ 保証すること • 誤判断確率の制御 • 早期停止 𝑡 = 𝑛 𝑡 = 1 自信を持って判断できるタイミングで停止
9. 9 定式化 ◼ 有限母集団 • 監査における母集団（調査項目全体）は有限 • すべての項目を検査すれば母逸脱率が分かる 無限母集団 ◼ 𝑛個の調査項目（母集団サイズが𝑛） • データ 𝑋𝑖 𝑖=1 n 𝑋𝑡 = 1なら逸脱（項目に問題がある） 𝑋𝑡 = 0なら問題なし ◼ 有限母集団からの非復元抽出 • 赤玉と白玉が入った袋から，玉を取り出し，それを袋に戻さずに，追加でまた玉を取り出す • 全部取り出すのはコストが大きい → 一部を取り出して有限母集団に対して推論する 母逸脱率𝑝0 = 𝑚/𝑛
10. 10 仮説 ◼ 検定 = 仮説に関する意思決定問題 • 仮説を採択（棄却するかどうか） ◼ 基礎的な設定として二つの仮説を考える： 𝐻 ∶ 𝑝0 < 𝑟, 𝐾: 𝑝0 > 𝑟 • 仮説𝐻を採択： 母逸脱率𝑝0 が許容逸脱率𝑟を下回る → 企業には問題がない • 仮説𝐾を採択 母逸脱率𝑝0 が許容逸脱率𝑟を上回る → 企業に問題がある ◼ 問題設定に応じて柔軟に設定できる （例） 帰無仮説と対立仮説（ネイマン・ピアソンの検定） 母逸脱率𝑝0 = 𝑚/𝑛（未知）
11. 11 誤判断確率 ◼ 母逸脱率が𝑝である世界での確率法則をℙ𝑝 とする． • 仮説𝐻が正しい場合は𝑝 ∈ [0, 𝑟]． • 仮説𝐾が正しい場合は𝑝 ∈ [𝑟, 1]． ◼ 誤判断： • 仮説𝐻が正しい場合に仮説𝐾を採択 • 仮説𝐾が正しい場合に仮説𝐻を採択 ◼ 誤判断確率 • 事前に定めた𝛼 ∈ (0,1/2)と𝛽 ∈ (0,1/2)のもとで • ℙ𝑝 仮説𝐾を採択 ≤ 𝛼 for all 𝑝 ∈ [0, 𝑟] • ℙ𝑝 仮説𝐻を採択 ≤ 𝛽 for all 𝑝 ∈ [𝑟, 1] 母逸脱率𝑝0 = 𝑚/𝑛 （未知）
12. 12 無関心領域 ◼ 誤判断確率 • 事前に定めた𝛼 ∈ (0,1/2)と𝛽 ∈ (0,1/2)のもとで • ℙ𝑝 仮説𝐾を採択 ≤ 𝛼 for all 𝑝 ∈ [0, 𝑟] • ℙ𝑝 仮説𝐻を採択 ≤ 𝛽 for all 𝑝 ∈ [𝑟, 1] ◼ 厳密に𝑟より上か下かを決定することは困難 ◼ そこで「仮説𝐻と仮説𝐾のどちらを採択しても構わない」無関心領域を定める • 無関心領域𝜃𝐾 , 𝜃𝐻 ∈ (0, 1/2) • ℙ𝑝 仮説𝐾を採択 ≤ 𝛼 for all 𝑝 ∈ [0, 𝑟 − 𝜃𝐻 ] • ℙ𝑝 仮説𝐻を採択 ≤ 𝛽 for all 𝑝 ∈ [𝑟 + 𝜃𝐾 , 1] • 許容逸脱率からの許容逸脱率？ 母逸脱率𝑝0 = 𝑚/𝑛 （未知）
13. 13 提案アルゴリズム
14. 14 逐次監査 ◼ 前述の仮説を試査を通じて検証する • どの程度のサンプルサイズにするか • 一度のサンプルで自信のある判断が できなかった場合 → 追加でサンプルして良いか • より少ないサンプルサイズにできないか ◼ 逐次検定 • 何度も検定を行う • 事前にサンプルサイズを固定しない • 早く意思決定できる場合は途中で検定を止める ◼ 逐次監査アルゴリズム = 停止ルール + 決定ルール • 停止ルール： いつ検定を停止するか．決定ルール： どの仮説を採択するか 母逸脱率𝑝0 = 𝑚/𝑛 （未知）
15. 15 停止ルールと決定ルール ◼ 全部で𝑛個の項目 • 一つずつサンプル • 全部で𝑛期 ◼ 各期𝑡 = 1,2, … , 𝑛のいつ停止するか • 𝑡期の観測値を𝑋𝑡 ∈ {0,1}とする • 𝑋𝑡 = 1なら逸脱（項目に問題がある） • 𝑋𝑡 = 0なら問題なし • 各期𝑡におけるサンプル平均 Ƹ 𝑝𝑡 ≔ 1 𝑡 σ𝑠=1 𝑡 𝑋𝑠 • サンプル平均 Ƹ 𝑝𝑡 は母逸脱率𝑝0 の推定値 母逸脱率𝑝0 = 𝑚/𝑛 （未知）
16. 16 停止ルールと決定ルール ◼ サンプル平均 Ƹ 𝑝𝑡 は母逸脱率𝑝0 の推定値 • Ƹ 𝑝𝑡 の大小で判断を行う • 閾値を設けてそこを超えるかどうかで判断 ◼ 閾値 • 閾値𝜅𝑟 𝑡 < 𝜅𝑟 𝑡 ∈ (0,1) • サンプル平均 Ƹ 𝑝𝑡 が𝜅𝑟 𝑡 を下回る場合： • 検定を停止して，仮説𝐻を採択． • サンプル平均 Ƹ 𝑝𝑡 が𝜅𝑟 𝑡 を上回る場合： • 検定を停止して，仮説𝐾を採択． • 閾値は期𝑡 = 1,2, … , 𝑛ごとに変えて良い 𝑡 = 𝑛 𝑡 = 1 自信を持って判断できるタイミングで停止 閾値𝜅𝑟 𝑡 閾値𝜅𝑟 𝑡 Ƹ 𝑝𝑡 ෝ 𝒑𝒕 がこの範囲内にあるときは停止しない 母逸脱率𝑝0 = 𝑚/𝑛 （未知）
17. 17 閾値の設計 ◼ 目標 • 任意の𝒕期における仮説検定において誤判断率を𝛼と𝛽で制御すること ℙ𝑝 t 期に仮説𝐾を採択 ≤ 𝛼 for all 𝑝 ∈ 0, 𝑟 − 𝜃𝐻 ℙ𝑝 t 期に仮説𝐻を採択 ≤ 𝛽 for all 𝑝 ∈ [𝑟 + 𝜃𝐾 , 1] = どの時点で停止しても誤判断確率は𝜶と𝜷で制御されている • 早く停止すること 極端な例： そもそも停止しなければ誤判断確率はゼロ
18. 18 閾値の設計 ◼ 誤判断率の制御 • 仮説𝐻が正しい場合（for all 𝑝 ∈ [0, 𝑟 − 𝜃𝐻 ]），すべての𝑡において以下が成立 ℙ𝑝 𝑡期に仮説𝐾を採択 = ℙ𝑝 Ƹ 𝑝𝑡 > 𝜅𝑟 𝑡 , ∀𝑠 ∈ 𝑡 − 1 Ƹ 𝑝𝑠 ∈ [𝜅𝑟 𝑠 , 𝜅𝑟 𝑠 ] ≤ 𝛼 • 同様に，仮説𝐾が正しい場合（for all 𝑝 ∈ [ 𝑟 + 𝜃𝐾 , 1]），すべての𝑡において以下が成立 ℙ𝑝 𝑡期に仮説𝐻を採択 = ℙ𝑝 Ƹ 𝑝𝑡 < 𝜅𝑟 𝑡 , ∀𝑠 ∈ 𝑡 − 1 Ƹ 𝑝𝑠 ∈ [𝜅𝑟 𝑠 , 𝜅𝑟 𝑠 ] ≤ 𝛼 𝑡期まで実験が停止しない 誤判断
19. 19 閾値の設計 ◼ 誤判断率の制御 • 仮説𝐻が正しい場合（for all 𝑝 ∈ [0, 𝑟 − 𝜃𝐻 ]），すべての𝑡において以下が成立 ℙ𝑝 𝑡期に仮説𝐾を採択 = ℙ𝑝 Ƹ 𝑝𝑡 > 𝜅𝑟 𝑡 , ∀𝑠 ∈ 𝑡 − 1 Ƹ 𝑝𝑠 ∈ [𝜅𝑟 𝑠 , 𝜅𝑟 𝑠 ] ≤ 𝛼 • 同様に，仮説𝐾が正しい場合（for all 𝑝 ∈ [ 𝑟 + 𝜃𝐾 , 1]），すべての𝑡において以下が成立 ℙ𝑝 𝑡期に仮説𝐻を採択 = ℙ𝑝 Ƹ 𝑝𝑡 < 𝜅𝑟 𝑠 , ∀𝑠 ∈ 𝑡 − 1 Ƹ 𝑝𝑠 ∈ [𝜅𝑟 𝑠 , 𝜅𝑟 𝑠 ] ≤ 𝛼 ◼ ある𝑡期の誤判断確率は過去の系列 𝜅𝑟 𝑠 , 𝜅𝑟 𝑠 𝑠=1 𝑡−1 に依存 • 𝑡 = 1から順番に決定すれば良い • 𝑡の時点では，過去の 𝜅𝑟 𝑠 , 𝜅𝑟 𝑠 𝑠=1 𝑡−1 を所与として， 実際に候補となる 𝜅𝑟 𝑡 , 𝜅𝑟 𝑡 のもとで誤判断確率を計算 • 誤判断確率を制御しつつ，可能な限り小さい𝜅𝑟 𝑡 と可能な限り大きい𝜅𝑟 𝑠 を選ぶ
20. 20 モンテカルロシミュレーションによる近似 ◼ ℙ𝑝 𝑡期に仮説𝐾を採択 とℙ𝑝 𝑡期に仮説𝐻を採択 は未知 • モンテカルロシミュレーションを用いて近似可能 • 適当な母逸脱率𝑝の有限母集団から実際に非復元抽出を行う • 定めた閾値のもとで仮説を採択する回数の平均を計算 = 確率の近似値 ◼ すべての𝑝を検証する必要はない • 仮説𝐻が正しい場合 𝑝 = 𝑟 − 𝜃𝐻 • 仮説𝐾が正しい場合 𝑝 = 𝑟 + 𝜃𝐾 • 上の二事例で十分 最悪事例だけ検証すれば良い ランダム化推論と同じアイデア
21. 21 閾値の設計 ℙ𝑝 𝑡期に仮説𝐾を採択 = ℙ𝑝 Ƹ 𝑝𝑡 > 𝜅𝑟 𝑡 , ∀𝑠 ∈ 𝑡 − 1 Ƹ 𝑝𝑠 ∈ [𝜅𝑟 𝑠 , 𝜅𝑟 𝑠 ] ℙ𝑝 𝑡期に仮説𝐻を採択 = ℙ𝑝 Ƹ 𝑝𝑡 < 𝜅𝑟 𝑡 , ∀𝑠 ∈ 𝑡 − 1 Ƹ 𝑝𝑠 ∈ [𝜅𝑟 𝑠 , 𝜅𝑟 𝑠 ] ◼ 以下の要素を活用して閾値を設計 • ある𝑡期の誤判断確率は過去の系列 𝜅𝑟 𝑠 , 𝜅𝑟 𝑠 𝑠=1 𝑡−1 と， • 仮説𝐻が正しい場合は𝜅𝑟 𝑡 • 仮説𝐾が正しい場合は𝜅𝑟 𝑡 のみに依存． • ℙ𝑝 𝑡期に仮説𝐾を採択 とℙ𝑝 𝑡期に仮説𝐻を採択 はモンテカルロシミュレーションで近似 • 𝑡 = 1から順に，誤判断確率が𝛼と𝛽で抑えられている範囲内で，可能な限り小さい𝜅𝑟 𝑡 と可 能な限り大きい𝜅𝑟 𝑠 を選ぶ • 最悪時の母逸脱率のもとで計算すれば良い（ランダム化推論）
22. 22 閾値の設計 ◼ 𝑡 = 1のとき • 仮説𝐻が正しい場合，𝑝 = 𝑟 − 𝜃𝐻 のもとでのサンプルを生成 • 各シミュレーションごとに， Ƹ 𝑝1 は0か1の値をとる • Ƹ 𝑝1 のシミュレーションの平均は確率1で𝑝 = 𝑟 − 𝜃𝐻 に収束 • 𝜅𝑟 (1)は0か1だけ考えればよい • 𝜅𝑟 1 = 0ならℙ𝑝 Ƹ 𝑝1 > 𝜅𝑟 1 = 0 • 𝜅𝑟 1 = 1ならℙ𝑝 Ƹ 𝑝1 > 𝜅𝑟 1 = 𝑟 − 𝜃𝐻 • 𝑟 − 𝜃𝐻 < 𝛼なら𝜅𝑟 1 = 1， 𝑟 − 𝜃𝐻 > 𝛼なら𝜅𝑟 1 = 0 • 同様に， 𝑝 = 𝑟 + 𝜃𝐾 のもとで，𝜅𝑟 𝑡 を定める ◼ 𝜅𝑟 𝑠 , 𝜅𝑟 𝑠 𝑠=1 𝑡−1 を所与として 𝜅𝑟 𝑡 , 𝜅𝑟 𝑡 を決めていく • 誤判断確率の計算は𝑡 = 1の場合と違って陽にはできないが，シミュレーションで計算可能
23. 23 数値実験
24. 24 数値実験 ◼ 母集団サイズ𝑛 = 100 ◼ 許容逸脱率𝑟 = 0.2 ◼ 無関心領域𝜃𝐻 = 𝜃𝐾 = 0.05 ◼ 誤判断確率の制御水準𝛼 = 𝛽 = 0.05 ◼ モンテカルロシミュレーション数5000 ◼ さまざまな𝑝に対して，提案法の • 誤判断確率 • 期待停止時刻 を数値実験を通じて調査
25. 25 関連研究 誤判断確率が水準を超えない 全く逸脱がないなら15回だけ調査 期待停止時刻は最悪時で45 ◼ 母集団サイズ𝑛 = 100 ◼ 許容逸脱率𝑟 = 0.2 ◼ 無関心領域𝜃𝐻 = 𝜃𝐾 = 0.05 ◼ 誤判断確率の制御水準𝛼 = 𝛽 = 0.05 ◼ さまざまな𝑝に対して，提案法の • 誤判断確率 • 期待停止時刻 を数値実験を通じて調査
26. 26 拡張 ◼ 母逸脱率が無関心領域内にある場合は誤判断確率を制御できない ◼ 母逸脱率が無関心領域内にある場合は停止するのが遅い • 強制終了も可能 任意の時刻で停止するのではなく，ある時点で強制的に終了して検定させる ◼ 仮説の設定の仕方や実験の方法については拡張が可能 • 今後，拡張方法も明示した原稿を公開予定
27. 27 関連文献 ◼ 逐次検定 • 初期の研究： Wald (1945) • 二値の有限母集団に対する逐次検定 ≒ 超幾何分布のもとでの逐次検定 • Lai (1979) や Xiong (1993, 1995) など • Lai (1979) は解析解を導出 モンテカルロ・シミュレーションを必要としないが， r = 1/2 の場合にのみ適用可能 ◼ 解析解の必要性 • 仮定や漸近近似が必要．得られたとしても複雑な形式で使いづらい • そもそも必要か？ モンテカルロシミュレーションすれば良い？ 推測： 1970年代-1990年代は高性能のコンピュータの利用が限られていた 現在は一般的に利用可能．𝑛 = 100程度なら一瞬でモンテカルロシミュレーション可能
28. 28 まとめ ◼ 監査における試査（サンプル調査）手続きの統計学的精緻化 • 従来の慣行： 自信がない場合にはサンプリングを継続 • 逐次検定として定式化 • 利点（１）誤判断確率を保証，（２）停止時刻（サンプルサイズ）を最小化 ◼ 知見 • 有限母集団なのでモンテカルロシミュレーションで確率を近似可能 • 近似された確率を用いて適切な実験を設計 • 対象が100程度の場合，項目に全く問題がなければ，標準的な許容逸脱率と誤判断確率の もとで，おおよそ15の項目を調査するだけで良い！ ◼ 原稿にはタイポがあったので & 説明が分かりづらいので，修正して早めに再公開します ◼ 今後公開予定の改訂版では，拡張方法と実装方法をより明示します ◼ コードも近日中に公開します（体力切れ）
29. 29 関連文献 • Tze Leung Lai. Sequential Tests for Hypergeometric Distributions and Finite Populations. The Annals of Statistics, 7(1):46 – 59, 1979. • Abraham Wald. Sequential Tests of Statistical Hypotheses. The Annals of Mathematical Statistics, • 16(2):117 – 186, 1945. • Xiaoping Xiong. Sequential tests for hypergeometric distribution. PhD thesis, Purdue University, 1993. Ph.D. dissertation. • Xiaoping Xiong. A class of sequential conditional probability ratio tests. Journal of the American Statistical Association, 90(432):1463–1473, 1995