Aproximação e interpolação

...

Transcript

1. Aproximação e interpolação Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Conjuntos permitem agrupar coisas mediante propriedades. Algumas delas permitem sub-classificar seus elementos. Subespaços vetoriais incorporam essa ideia.
3. As funções polinomiais em ℝ constituem um subespaço de ℱ. E ele é anotado . Sim: • A soma de polinomiais também é uma função polinomial. • A múltipla de uma função polinomial não perde a sua qualidade.
4. O conceito de base de um espaço vetorial desempenha um papel fundamental para operar com as polinomiais.
5. Lembrem-se, uma base B de um espaço vetorial V é um subconjunto linearmente independente maximal. Maximal significa: se ∉ então ∪ será LD.
6. A base canônica dos vetores-coluna de ordem 3, o ℝ3, é 1 = 1 0 0 , 2 = 0 1 0 , 3 = 0 0 1 , É. Ela que permite escrevermos 2.1 −0.7 1.5 = 2.1 1 0 0 + (−0.7) 0 1 0 + 1.5 0 0 1
7. A base canônica do espaço vetorial 2, das funções polinomiais de grau menor ou igual a 2, é constituída pelas polinomiais: 0 () = 0 = 1, 1 () = 1 = , 2 () = 2 . A ideia é a mesma. Para a polinomial = 2.1 + 0.7 + 1.5 2 temos = 2.1 0 + 0.7 1 + 1.5 2
8. Programa que desenha a base canônica do 3:
9. As 4 polinomiais (vetores) da base canônica de 3[−1,1].
10. Este programa desenha uma polinomial definida pelos seus coeficientes.
11. Mestre, bastou passar os coeficientes da polinomial. Da mesma forma que passamos as coordenadas para vetores coluna!
12. Vamos examinar um outro tipo de base para o espaço das polinomiais.
13. Uma forma alternativa é usar a “base de Lagrange” Em ℙ1[, ], que tem dimensão 2, as funções básicas de Lagrange serão nomeadas 0 1 e são polinomiais de grau 1.
14. A 0 é a polinomial de grau 1 que satisfaz: 0 (0 ) = 1 0 ( 1 ) = 0. A 1 por sua vez satisfaz: 1 ( 0 ) = 0 1 ( 1 ) = 1. Torno a lembrar o aspecto dual das funções. Definiremos 0 , 1 , ponto-a-ponto.
15. É trivial confirmar que: 0 () = ( − 1 )/( 0 − 1 ), 1 () = ( − 0 )/( 1 – 0 ). Sim, basta substituir por 0 e por 1 nessas expressões para confirmar.
16. Fiz um programinha para construir e desenhar as duas:
17. Marquei as definições de L_0(x) e L_1(x).
18. Um fator de escala multiplicando a 0 ()
19. A combinação linear 0 0 + 1 1 é a reta que passa pelos pontos 0 , 0 e 1 , 1 . Os dados são os abaixo.
20. O programa que mostra 0 , 1 , 0 0 , 1 1 e 0 0 () + 1 1 ()
21. Bem, uma função polinomial de grau dois, responde tua pergunta. Isto se os pontos já não estiverem alinhados. Mestra, qual a função que passa por três pontos dados?
22. Em ℙ2[, ], que tem dimensão três, as funções básicas (também) serão nomeadas 0 (), 1 () 2 (). Elas são polinomiais de grau 2. Elas são definidas pelas 9 condições: • 0 ( 0 ) = 1, 0 ( 1 ) = 0, 0 ( 2 ) = 0 • 1 ( 0 ) = 0, 1 ( 1 ) = 1, 1 ( 2 ) = 0 • 2 ( 2 ) = 0, 2 ( 1 ) = 0, 2 ( 2 ) = 1
23. As expressões para as outras duas funções básicas são: 1 = ( − 0 )( − 2 ) (1 − 0 )(1 − 2 ) 2 = ( − 0 )( − 1 ) (2 − 0 )(2 − 1 ) Confira que, definindo 0 () pela expressão 0 = ( − 1 )( − 2 ) (0 − 1 )(0 − 2 ) teremos 0 0 = 1, 0 1 = 0, 0 2 = 0
24. Este programa gera as polinomiais da base de Lagrange do espaço das funções polinomiais de grau menor ou igual a 2.
25. Para fazer 0 () passar pelo ponto = (0.3,1.4) basta multiplicá-la por 1.4. Vejam no desenho:
26. O programa da transparência anterior.
27. • Multiplicando 1 () por um número 1 , a função escalada 1 1 () passará pelo ponto ( 1 , 1 ); • Multiplicando 2 () por um número 2 , a função escalada 2 2 () passará pelo ponto ( 2 , 2 ). A mesma ideia se aplica às outras duas funções básicas:
28. Este programa gera a polinomial de grau dois (≤ 2) que passa pelos pontos ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), ( 2 , 2 ) utilizando a base de Lagrange do espaço das funções polinomiais de grau ≤ 2.
29. Marquei em vermelho a parte que gera os gráficos das 3 funções básicas escaladas e da polinomial.
30. Esse é o resultado de uma execução do programa.
31. Estas ideias tem sido usadas, a séculos, para aproximar funções por retas e por parábolas. Vou passear um pouco pela história.
32. http://locomat.loria.fr Parte de uma página do “Canon mathematicus” de Viète (1579). Nela estão tabelados valores de senos, cossenos, tangentes, etc de 4º à 4º30’
33. Rheticus foi aluno de Copérnico e o apoiou na divulgação do heliocentrismo. Em particular na publicação da obra maior de Copérnico: “De revolutionibus orbium coelestium”
34. Um sextante, aparelho usado nas grandes navegações. Assim como o relógio e a corda com nós, para medir a velocidade de um barco.
35. Hoje temos o GPS, que mostra nossa posição via satélite. Inclusive ajuda a navegar nas cidades.
36. O sistema geocêntrico (Ptolomeu), a Igreja/Inquisição e o julgamento de Galileu Galilei. O heliocentrismo com Copérnico,
37. O livro de Copérnico, sobre o heliocentrismo.
38. Em 1614, no livro “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio”, J. Napier descreve um método para calcular produtos em termos de somas. Nasciam os logaritmos. O livro apresenta ainda 90 páginas com tabelas para utilização do seu método
39. Obtivemos essas informações no site do Gresham College. O texto a seguir, sobre Briggs, é parte da apresentação às minhas costas.
40. A declaração de Briggs é emocionante!
41. O livro que Briggs escreveu. Nos logaritmos de Napier, log(1) ≠ 0.
42. Briggs foi um grande matemático. Foi o 1º Professor Saviliano de Geometria em Oxford!
43. Que encadeamento fantástico! Percebam a importância de boas escolas e bons Professores! Briggs convenceu Johann Kepler sobre as vantagens da invenção de Napier. Kepler usou logaritmos para calcular as posições de Marte, o que conduziu-o a descobrir as leis do movimento planetário. A reputação de Kepler foi fundamental na disseminação do uso de logaritmos em toda a Europa. Isaac Newton usou as leis de Kepler para descobrir a lei da gravidade.
44. Elas eram usadas para efetuar multiplicações e divisões, de forma rápida, num tempo em que não haviam computadores, nem máquinas de calcular. Mestres, afinal de contas, para que eram utilizadas as tábuas de logaritmo?
45. Houve um tempo em que engenheiros utilizavam réguas de cálculo para fazer contas rapidamente.
46. log(x∗y) = log(x) + log(y) log(x/y) = log(x) - log(y) A régua de cálculo foi um instrumento analógico largamente utilizado pelos engenheiros até surgirem as máquinas de calcular científicas nos anos 70. Elas utilizavam escalas logarítmicas e as duas propriedades abaixo:
47. O foco da aula de hoje é aproximar funções por polinomiais, mas de forma global e não local, como a série de Taylor.
48. f Aproximar! A norma ∙ ∞ mede a proximidade de funções de forma uniforme, em todo um intervalo. De fato, sejam , ∈ ℬ , . Afirmar que − ∞ < corresponde a assegurar que g fica dentro de uma faixa com largura uniforme envolta de f . Na figura a faixa rosa, de a até b.
49. f p Se f é uma função contínua num intervalo fechado [, ] então, para qualquer precisão > 0, existe uma polinomial ∈ ℙ tal que − ∞ < . O teorema de aproximação de Weierstrass é um resultado de existência de aproximações polinomiais globais fundamental:
50. f p O teorema de Weierstrass não oferece uma forma construtiva para obter a polinomial p. Entretanto os polinômios de Bernstein oferecem uma forma construtiva para obter p.
51. O resultado de Bernstein.
52. Na SciPy temos as polinomiais de Berstein: Assunto da próxima aula.
53. Esse teorema de Weierstrass informa que ℙ[, ] é denso em [, ]. Ah, sim! Da mesma forma que ℚ é denso em ℝ .
54. Surfista, você acabou de dizer que: “Podemos aproximar um número real (como π, p/ex.) com qualquer número de casas decimais (i.é, com qualquer precisão ε > 0)”. Parafraseando o Mestre: “Podemos aproximar uma função contínua por uma polinomial com qualquer precisão ε > 0.”
55. f 0.2 f 0.5 Arrochando o abraço!
56. Começaremos por entender aproximação via interpolação polinomial. A interpolação é uma técnica para calcular resultados numéricos aproximados de dados não tabelados, a partir de dados funcionais de valores vizinhos tabelados.
57. () () a b () () () aproxima (). Interpolar, é o nome técnico para isto! A figura ilustra uma forma de aproximar o valor de () a partir dos valores conhecidos (tabelados) () e ().
58. Com a NumPy e a base de Lagrange, aprendemos a construir funções polinomiais que “passam” por pontos dados. É só juntar essa duas idéias?
59. Sim Loirinha, a ideia de aproximar uma função : , → ℝ através de interpolação por uma polinomial de grau n é óbvia! É só passar a polinomial pelos pontos (0 , 0 ), (1 , 1 ), ⋯ , ( , ), onde 0 = 0 1 = 1 ⋮ = , com 0 = , = .
60. Na scipy.interpolate, lá no final, temos a rotina lagrange()
61. Os detalhes da rotina lagrange() da scipy.interpolate.
62. • Recebe: 1. Um intervalo [, ], 2. A expressão () de uma função, 3. Um número de pontos para criar uma partição uniforme de , . • Constrói a interpoladora de Lagrange da função usando a rotina lagrange() da SciPy. • E devolve: 1. Uma tabela dos pares dos pares , ( ) , 2. Os gráficos de e da interpoladora de Lagrange da função sobre a partição , . Faremos um programa que:
63. Uma execução do programa, com os dados abaixo:
64. Marquei no programa onde usamos a lagrange()
65. Com 7 pontos melhorou muito, visualmente!
66. Admitindo-se que: • , e (+1) existe em , • ≤ 0 < 1 < ⋯ < ≤ então para todo [0 , ], existe um número entre 0 e tal que • = + +1 (), onde: • é a polinomial interpoladora de grau por 0 , 0 , 1 , 1 , ⋯ , , , • +1 = +1 ( ) + 1 ! − 0 − 1 ⋯ − Teorema da interpolação polinomial Vocês poderão encontrar a demonstração do teorema a seguir em livros de Análise Numérica.
67. Então, como lá teremos +1 () ≤ +1 ∞ + 1 ! − 0 ⋯ − . E, se os pontos forem igualmente espaçados de ℎ, +1 () ≤ +1 ∞ ℎ+1 + 1 ! . Se a derivada de ordem + 1, (+1), de for contínua no intervalo [0 , ], ela será limitada. Então podemos calcular (+1) ∞ = max [0,] (+1) () , como na polinomial de Taylor!
68. Mestres, está na hora de mergulhar mais fundo no conteúdo da scipy.interpolate!
69. O pacote de interpolação da SciPy é grande. Precisaríamos de várias aulas explorá-lo por completo.
70. Hoje veremos apenas alguma coisa de interpolação de uma variável.
71. A funções disponíveis em interpolação unidimensional são:
72. Vamos examinar as duas que marquei.
73. Mestres! Por que a interpolação de Lagrange não aparece nessa lista? Ela está escondida nas duas que o Mestre marcou!
74. Para entender o KroghIntgerpolator( ) é necessário ler o artigo do Fred Krogh.
75. Não deixem de acessar e ler o artigo. Lá estão detalhados os algoritmos de Krogh empregados pela scipy.interpolate Inclusive o artigo compara número de operações com os algoritmos de Lagrange e Aitken/Neville, mostrando que os propostos por Krogh tem melhor performance.
76. • = ( ) • , +1 = +1 − +1− • , +1 , +2 = +1, +2 − , +1 +1− • , +1 , +2 , +3 = +1, +2 , +3 − , +1, +2 +1− • E assim por diante Os algoritmos de Krogh usam as fórmulas de diferenças divididas finitas (DDF) de Newton, definidas recursivamente por: Não entendi essas diferenças divididas!
77. Repito, não entendi! Vai explicar ou não ?!...?! Morri de medo, meu Kruguinho querido! Mestre, faça um programa que constrói uma tabela de diferenças divididas finitas.
78. Eis a tabela de DDFs.
79. Veja Kruguinho: para calcular uma DDF3 precisamos duas DDF2, três DDF1, quatro valores de f.
80. Uma colega que não foi aprovada em Cálculo Numérico no período anterior disse que o professor exigia que essas tabelas de DDF fossem feitas à mão. Já ouvi falar dessa besteira. São mestres da idade da pedra.
81. Mestra, a DDF2 de uma polinomial de grau 2 é constante, e igualzinha à derivada 2ª e a DDF3 é identicamente nula.
82. Não resisti e acrescentei os gráficos para comparar com as derivadas:
83. Pois é Surfista, compare os gráficos da função e suas derivadas com os gráficos das DDFs e conclua.
84. Kruguinho, repeti tudo para a função = (). Já vimos no curso que as diferenças finitas são aproximações para as derivadas!
85. A polinomial interpoladora de Lagrange, pelos n+1 pontos (0 , 0 ), (1 , 1 ) ⋯ , ( , ), é dada pela: = 0 + 0 , 1 1 + 0 , 1 , 2 2 + ⋯ ⋯ + 0 , 1 , ⋯ , (), onde = ( − 0 )( − 1 ) ⋯ ( − −1 ) Fórmula de interpolação com as DDFs de Newton
86. Com alguma manipulação algébrica é possível mostrar que as fórmulas de Newton e de Lagrange são iguais. Loirinha e Surfista, façam essas continhas para as interpoladoras de grau 1 e 2.
87. A classe do interpolador de Krogh.
88. Uma observação importante e os métodos da classe..
89. A função facilitadora da classe que realiza a interpolação de Krogh.
90. A devolução (o interpolador) da função e uma observação.
91. A entrada de dados para a interpoladora pelo algoritmo de Krogh.
92. Marquei onde usamos a interpoladora de Krogh.
93. A interpoladora, calculada através do algoritmo de Krogh. Utilizei 5 pontos-base.
94. Repeti com 8 pontos, Loirinha. Agora sim!
95. Um programa para interpolar uma função : [, ] → ℝ e sua derivada usando o algoritmo de Krogh.
96. Definindo e , o interpolador de Krogh de e de e as funções erro.
97. Plotando os gráficos.
98. Usando o programa para aproximar e pelas interpoladoras de Krogh de e de .
99. Eis um artigo de peso! Nele os autores recuperam conceitualmente a interpolação de Lagrange como um algoritmo ótimo!
100. Após apresentar a fórmula interpoladora de Lagrange, conforme já fizemos no curso, os autores comentam:
101. A fórmula de Lagrange aperfeiçoada!
102. E, finalmente, fórmula baricêntrica!
103. A classe BarycentricInterpolator na scipy.interpolate.
104. Esta observação é importante!!
105. A função barycentric.interpolate
106. Um programa que constrói as interpoladoras com o algoritmo baricêntrico. O código é praticamente o mesmo da interpoladora de Krogh !
107. Marquei a difusão de X pela f, a construção da interpoladora e a função erro.
108. O resultado com 7 pontos não é bom!
109. Mas com 9 pontos já é visualmente bom! Mas o erro aumenta nos extemos!
110. Bem observado Surfista. Ao aumentar o grau da interpoladora, o erro aumenta nos extremos!
111. Aumentar ainda mais o grau da polinomial interpoladora só piorou a situação. O erro nos extremos aumentou muito!
112. Loirinha, você tocou num ponto crucial. Para valores igualmente espaçados, ao aumentarmos o grau da interpoladora, surge o fenômeno de Runge! Mestres, parece que aumentar o grau da polinomial interpoladora não melhora a precisão da interpolação.
113. Nem sempre, domei este leão com 39 de chicotadas.
114. Pois é Surfista, mas para a função de Runge, = 1/(1 + 2), isto não acontece! O erro Ru(n)ge cada vez mais!
115. Tchau, até a próxima aula.