Funções polinomiais

Os espaços Pn das polinomiais de grau menor ou igul a n. O espaço P das polinomiais, O pacote polynomials da NumPy e a base canônica de Pn. Utilização do pacote: gráficos e polinomiais, derivadas, primitivas, raízes. Ordem de convergência. A base de Lagrange de Pn.

Transcript

1. Polinomiais e Numpy Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
3. Sou brasileiro, com muito orgulho!
4. SIM: • Saúde • Educação • Segurança • Transporte NÃO: • Corrupção • PEC 37 • Impunidade • Violência
5. Loirinha e Surfista, tenho muito orgulho desse movimento que vocês, jovens, começaram!
6. O conceito de base de um espaço vetorial desempenha um papel fundamental para operar com as polinomiais. Mas, voltando ao Cálculo numérico.
7. Vetores 1 , 2 , ⋯ , são linearmente independentes (LI) quando: 1 1 + 2 2 + … + = 0 ⟹ 1 = 0 2 = 0 ⋮ = 0 Lembrem, a definição de base utiliza a ideia de combinação linear de vetores e de independência linear:
8. Um subconjunto B de um espaço vetorial V é uma base de V se satisfaz as duas condições abaixo: 1. B gera V no sentido que qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear de elementos de B. 2. B é um subconjunto linearmente independente de V.
9. A base canônica dos vetores-coluna de ordem 3, o ℝ3, é 1 = 1 0 0 , 2 = 0 1 0 , 3 = 0 0 1 , É ela que permite escrevermos 2.1 −0.7 1.5 = 2.11 + (−0.7)2 + 1.53
10. A base canônica do espaço ℙ2, das funções polinomiais de grau menor ou igual a 2 é constituída pelas polinomiais: 0 () = 0 = 1, 1 () = 1 = , 2 () = 2 . A ideia é a mesma. Para = 2.1 + −0.7 + 1.52 temos = 2.10 + −0.7 1 + 1.52
11. 1 1 1 1 2 4 1 3 9 0 1 2 = 0 0 0 0 + 1 + 2 = 0 0 + 1 2 + 2 4 = 0 0 + 1 3 + 2 9 = 0 Mestre, que 0 , 1 , 2 geram o ℙ2 é óbvio. Mas, como faço para provar que elas são LI ? Ora, a igualdade = 0 0 + 1 1 + 2 2 independe do valor de x. Então de 0 0 + 1 1 + 2 2 = 0 e escolhendo = 1,2,3 obteremos o sistema linear 3x3 sob meus pés (de Vandermonde), cuja solução é 0 = 1 = 2 = 0.
12. Portanto, para definir uma função polinomial de ℙ2 basta especificar suas coordenadas 0 , 1 , 2 na base canônica: = 0 0 + 1 1 + 2 2 É exatamente essa a ideia utilizada para definir a classe polynomial da Numpy. Basta dar as coordenadas da polinomial p na base canônica.
13. Você encontrará as funções polinomiais em Rotinas, na Referência do Numpy. Clique em Polynomials.
14. Após clicar você verá que as informações sobre o Pacote Polynomials começam aqui. Agora clique em Polynomial Package!
15. Antes, quero lembrar que a estruturação padrão em Python é: pacotes (pastas) são constituídos por módulos (arquivos tipo .py) que possuem classes, compostas por atributos e métodos. Atributos • aaa • ⋅⋅⋅ Métodos • f( ) • ⋅⋅⋅ Classe Xyz Atributos • aaa • ⋅⋅⋅ Métodos • f( ) • ⋅⋅⋅ Classe Abc
16. Fiz um recorte do help para resumir a estruturação do pacote polynomial. Percebam que ele é constituído por seis módulos, cada um com uma classe homônima.
17. numpy . polynomial . polynomial . Polynomial numpy . polynomial . chebyshev . Chebyshev ... ... ... ... numpy . polynomial . hermite_e . HermiteE pacote sub-pacote módulos classes Tornando a repetir:
18. Caro Manual, é aqui que chegamos pós clicar em Polynomial Package. Por enquanto veremos apenas o 1ª deles - o módulo Polynomial. Pularemos a introdução.
19. Estudaremos todos tópicos indicados no Módulo, exceto o “Fitting”, que ficará para mais tarde,
20. O 1º passo é criar uma função polinomial.
21. 1. Importar o módulo polynomial (dentro de numpy.polinomial) 2. Criar p chamando o construtor Polynomial( ), da classe polynomial passando os parâmetros coef, domain e window. Os passos envolvidos na criação de uma função polinomial p: 1 2
22. Uma execução do programa do Mestre. Experimentem executá-lo com outros parâmetros.
23. Este outro programa recebe os parâmetros e retorna o gráfico da polinomial.
24. Pelo gráfico percebemos que a função polinomial possui 3 raízes reais, um ponto de máximo local, outro de mínimo local e um ponto de inflexão. Também fica evidente seu comportamento para → ±∞. = −2 − 3 + 2 + 3
25. Grau da polinomial an > 0 Par lim →+∞ = +∞ lim →−∞ = +∞ Ímpar lim →+∞ = +∞ lim →−∞ = −∞ O comportamento das funções polinomiais para → ±∞ depende apenas do termo de maior grau da polinomial (se n é ímpar ou par) e do sinal do seu coeficiente, o a n : Se an < 0 é só trocar o sinal dos limites
26. Mestre, eu realmente não entendi o parâmetro “window” Pois é, a explicação está aqui:
27. 1. Quando = o 2º e 3º gráficos se superpõe. 2. Para outros valores de k, isto não acontece. Confiram nas duas próximas transparências. Fizemos um programa que mostra 3 gráficos: 1. O de uma polinomial p com Window = Domain, 2. O da mesma polinomial p, mas com Window ≠ Domain, 3. Um 3º da mesma polinomial p, com o mesmo Domain, mas substituindo a variável x por ∗ , onde k um fator de escala para a variável x.
28. Escolhemos primeiro = 0.5 ≠ || || . NÃO há superposição do 2º e 3º gráficos.
29. Agora, escolhemos = || || = 0.75 . O 2º e 3º estão superpostos e para visualizá- los, foi necessário desenhar o 2º tracejado em negro e o 3º pontilhado em vermelho.
30. 0 x 0 |x| s(x) |k∗x| x Portanto quando usamos ≠ estamos, na verdade, trabalhando com uma polinomial composta ∘ , onde s é a função translação mais fator de escala, definida por = 0 + ∗ , com = || ||
31. Este é o programa que permitiu a visualização, na 2ª execução.
32. As funções polinomiais são fáceis de derivar e integrar. = =0 [] = −1 =1 () = + 1 +1 =0 + .
33. As funções polinomiais são contínuas e infinitamente diferenciáveis. Elas também integráveis (pq. são contínuas) Infinitamente diferenciáveis só porque derivada de ordem n de uma polinomial de grau n é uma constante e a derivada de ordem n+1 é zero: x = cte , +1 = 0
34. Estes são os métodos do Módulo Polynomial, que permitem derivar e integrar funções polinomiais.
35. Para derivar uma função polinomial p fornecemos seus coeficientes (e, se desejarmos, o número m de vezes a derivar).
36. Minha ajuda sobre integração de polinomiais.
37. A continuação.
38. Neste programa eu mostro como utilizar esses métodos para derivar e integrar uma função polinomial.
39. A parte do código que gera o gráfico e o texto gerado na saída.
40. Os gráficos, da polinomial p, de sua derivada Dp e de sua integral indefinida Ip (anti-derivada), gerados pelo meu programa.
41. Ao expandirmos um produto como − 0 − 1 − 2 − 3 Obteremos, obviamente, uma polinomial de grau 4 em x, cujas raízes são 0 , 1 , 2 , 3 . Essa polinomial terá a forma padrão 4 4 + 3 32 21 x + 0 cujos coeficientes são obtidos, com um bocado de algebrismo, a partir das raízes.
42. O método polyfromroots( ) gera a polinomial a partir do produto, como abaixo:
43. Este programa gera o gráfico de uma polinomial a partir de suas raízes.
44. Esse é o gráfico da polinomial, com as raízes assinaladas.
45. 1. Defina bn = an 2. Para k = n-1, n-2, ... , 1, 0 calcule bk = ak + bk+1 x Então b0 = p(x) – o valor de p em x. O algoritmo de Briot-Ruffini-Horner para calcular o valor de uma função polinomial p(x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x1 + a0 via é o seguinte: Ele também permite fatorar uma polinomial. Mostre como, Mestre.
46. Pois é Mestra, se p(x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x1 + a0 e, se q é a função polinomial definida por q(y) = b4 y3 + b3 y2 + b2 y + b1 então p(y) = (y – x)q(x) + b0
47. Carl Friedrich Gauss demonstrou o seguinte resultado em sua tese de doutorado: Se p(x) é uma função polinomial de grau n ≥ 1, então a equação p(x) = 0 Possui pelo menos uma raiz (real ou complexa). Teorema fundamental da Álgebra
48. Como as raízes complexas ocorrem aos pares (a raiz e sua complexa conjugada), se o grau da polinomial é ímpar com certeza ela possui uma raiz real. Segue do Teorema fundamental da Álgebra que: uma função polinomial p = p(x) de grau n possui n raízes reais ou complexas.
49. Surfista, faremos um programa que permite determinar as raízes de uma equação polinomial p(x) = 0. Loirinha, faça outro programa que permita achar os pontos de inflexão dessa mesma polinomial.
50. Muito simples Mestra, basta usar o método polyroots( ). Veja:
51. Estou apreciando sua performance, Surfista. Continue assim!
52. Ficou bom mesmo!
53. Mais adiante no curso, veremos vários métodos para obter raízes aproximadas de equações, não apenas para equações polinomiais.
54. Este programa mostra o gráfico das funções polinomiais da base canônica de ℙ5 .
55. Mestre, são lindos, esses gráficos das funções polinomiais básicas de ℙ5.
56. Observem que para k = 0,1,2, ... • p k (1) = 1, • p k (0) = 0, k ≠ 0 E também para ∈ (0, 1) 0 > 1 () > 2 () > ⋯
57. O programa do último gráfico.
58. Naturalmente, para k > 0, lim →0 = 0. e, maior o k, mais rápida a convergência.
59. Seja f uma função tal que lim →0 = 0. Se existir alguma constante M > 0 tal que ℎ ≤ ℎ, ℎ ∈ [0, ), para suficientemente pequeno, escreveremos = ℴ(ℎ) e diremos que f converge a zero com ordem k (polinomialmente).
60. Portanto se = ℴ ℎ2 e = ℴ(ℎ) então f converge mais rapidamente a zero do que g. Confiram na figura!
61. Torna a enfatizar que as funções polinomiais de grau menor ou igual a 3 constituem um espaço vetorial anotado ℙ3 . Sim Mestra, se definirmos a soma e a multiplicação de escala por: ( + )() = () + (), ( ∗ )() = ∙ (), para cada valor x do domínio.
62. A soma + de duas funções polinomiais p e q é calculada para cada valor de x. Observe isso em cada linha da tabela, Surfista ( + )() = () + ().
63. Este é o programa que faz a tabela! Vou mostrar a adição e a multiplicação de escala com gráficos.
64. Os gráficos das funções polinomiais p, q e + . A adição é feita para cada valor de x. Indiquei a soma para x = -0.5, 0.2 e 1.0.
65. Escolhi = −1.0, = 0.5, = 1.2. Também marquei dois pontos = −1.4, = −0.5 para insistir no fato que a multiplicação de escala é feita ponto a ponto.
66. Quando um matemático escreve ( + )() = () + () ou ( ∗ )() = ∗ (), a ideia que ele pretende passar é que o lado esquerdo é definido pela soma do lado direito, para cada valor de x. Mas é uma taquigrafia altamente hermética. Precisa ser explicado para quem não é iniciado - que rima com viciado (em matemática) !
67. Antes de continuar, eis o programa que mostra os gráficos de duas funções polinomiais p e q e da soma delas, + .
68. E este é o que mostra o gráfico de uma polinomial p e outras três, obtidas multiplicando p por fatores de escala.
69. Passaremos a analisar uma forma de construir polinomiais conhecida como “fórmula de Lagrange”. É uma forma alternativa à da scipy.polinomial.
70. O aspecto importante reside no fato da polinomial ser construída como uma combinação linear de uma base de ℙ[, ], o espaço vetorial das polinomiais de grau menor ou igual a n. Em ℙ1[, ], que tem dimensão 2, as funções básicas serão nomeadas 0 () 1 () e são polinomiais de grau 1.
71. A 0 () é a polinomial de grau 1 que satisfaz: 0 ( 0 ) = 1 0 ( 1 ) = 0. A 1 () por sua vez satisfaz: 1 ( 0 ) = 0 1 ( 1 ) = 1. É trivial confirmar que: 0 () = ( − 1 )/( 0 − 1 ), 1 () = ( − 0 )/( 1 – 0 ).
72. Este programa mostra: L 0 (x), L 1 (x), y 0 L 0 (x), y 1 L 1 (x) p(x) =y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x)
73. Veja, p(x) é uma combinação linear das polinomiais básicas!
74. Em ℙ2[a,b], que tem dimensão 3, as funções básicas (também) serão nomeadas L 0 (x), L 1 (x) e L 2 (x). Elas são polinomiais de grau 2. Elas são definidas pelas 9 condições: • L 0 (x 0 ) = 1, L 0 (x 1 ) = 0, L 0 (x 2 ) = 0 • L 1 (x 0 ) = 0, L 1 (x 1 ) = 1, L 1 (x 2 ) = 0 • L 2 (x 2 ) = 0, L 2 (x 1 ) = 0, L 2 (x 2 ) = 1
75. As expressões para as outras duas funções básicas são: 1 = ( − 0 )( − 2 ) (1 − 0 )(1 − 2 ) 2 = ( − 0 )( − 1 ) (2 − 0 )(2 − 1 ) Confira que, se definirmos L 0 (x) pela expressão 0 = ( − 1 )( − 2 ) (0 − 1 )(0 − 2 ) teremos 0 0 = 1, 0 1 = 0, 0 2 = 0
76. Este programa gera as polinomiais da base de Lagrange do espaço das funções polinomiais de grau menor ou igual a 2.
77. Para fazer “L 0 (x) passar pelo ponto” de coordenadas (0.3, 1.4) é só multiplicá-la por 1.4. Vejam na próxima transparência.
78. A mesma ideia se aplica às outras duas funções básicas: • Multiplicando L 1 (x) por um número y 1 , a função escalada y 1 L 1 (x) passará pelo ponto (x 1 , y 1 ); • Multiplicando L 2 (x) por um número y 2 , a função escalada y 2 L 2 (x) passará pelo ponto (x 2 , y 2 ).
79. Este programa gera a polinomial de grau 2 que passa pelos pontos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) utilizando a base de Lagrange do espaço das funções polinomiais de grau menor ou igual a 2.
80. Marquei em vermelho a parte que gera os gráficos das 3 funções básicas escaladas e da polinomial.
81. Esse é o resultado de uma execução do programa.
82. A Mestra tem um pequeno desafio para você, Surfista. ℙ[, ] possui entre seus elementos as polinomiais lineares e as constantes. Quero ver você construir uma polinomial linear e outra constante, usando a base de Lagrange!
83. Outras base para o espaço das polinomiais ℙ[, ].
84. Tchau, até a próxima aula!