Integração numérica e o L2(a,b)

Por efetuar.

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1. Integração numérica e o (, ) Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Na exposição da MatPlotLib, mostramos a “regra trapezoidal”, tanto a simples como a composta. A integração numérica é um tópico tradicional em Cálculo Numérico.
3. É Mestra, lembro-me muito bem.
4. A definição de integral (de Riemman) é um belíssimo exemplo do poder dos conceitos de supremo e ínfimo. Vamos entender, de uma vez por todas, o que é essa integral.
5. = 0 +1 = , , f Dada uma função ∈ ℬ[, ] e dada uma partição = { = 0 < 1 < … < = } de , , para cada subintervalo , +1 dela, consideramos as áreas ∆ e ∆ , onde ∆ = +1 − e nas quais: , = inf , ∈ , +1 , = sup , ∈ , +1
6. , = =0 −1 , ∆ Soma superior Em seguida, consideramos as somas: , = =0 −1 , ∆ Soma inferior
7. 4 5 6 7 8 1 2 3 f 4 5 6 7 8 1 2 3 f , = =1 ( )∆ Soma superior , = =0 −1 ( )∆ Soma inferior Para ajudar o entendimento, quando f é monótona crescente e contínua, como na figura:
8. Quando, na desigualdade acima, ocorre a igualdade, dizemos que f é Riemann integrável em [, ] e que = sup{ (, ) ∈ [, ] } Não é muito difícil provar que sup{ (, ) ∈ [, ] } ≤ inf { (, ) ∈ , }, onde , é a coleção de todas as partições do intervalo [, ].
9. ... Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's' longo - para representar summa . Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ". ... http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm O símbolo de integral é um S estilizado, S de Soma!
10. O cálculo da soma inferior e da soma superior para uma função monótona crescente para partições uniformes de 50 a 60 pontos.
11. É notória a lentidão da convergência! 590 à 600 pontos 990 à 1000 pontos
12. Prova-se que toda função monótona (crescente ou decrescente) é Riemann integrável. Prova-se também que toda função contínua é Riemann integrável. Prova-se que ∈ ℬ[, ] é Riemann integrável se, e somente se, dada uma precisão > 0, existe uma partição ∈ [, ] para a qual , − , <
13. O que há na SciPy sobre integração. Começaremos por aqui.
14. A regra trapezoidal, que já vimos em “Básico de MatPlotib”.
15. Uma execução mal sucedida. Poucos subintervalos para obter a precisão requerida.
16. Agora, com mais pontos.
17. Esse é o código. Marquei onde uso a trapezoidal. A parte gráfica vem a seguir.
18. Esse é o código da parte gráfica.
19. A cumtrap( ) permite aproximar numericamente a função integral, : [a, b] → ℝ, dada por = Para conferir calculei, também, a integral exata. Fiz os três gráficos.
20. Outro exemplo, agora com a função = exp 2 . Neste caso, = = 2[exp 2 − exp 2 ] Também fiz os três gráficos.
21. Um último exemplo, agora com a função = cos(). Neste caso, = = cos() Também fiz os três gráficos.
22. Surfista, você sabe explicar porque o erro no cálculo da integral aproximada é zero para = /2 ?
23. Vejam o programa:
24. A regra de Simpson requer um número ímpar de pontos.
25. O código só muda onde marquei. Bem mais eficiente que a trapezoidal! Usou menos da metade dos pontos para a mesma função, intervalo e precisão.
26. O grau de precisão de uma fórmula de integração numérica é o maior inteiro N para o qual ela integra = de forma exata, para = 0,1, ⋯ , . É Mestra, comprovei que a regra trapezoidal tem grau 1 de precisão e, o que achei incrível, que a regra de Simpson tem grau 3.
27. Uma regra de quadratura é uma fórmula de integração aproximada de uma função () através de alguma função de ponderação (). São fórmulas do tipo: −1 1 ≅ =1 ( )
28. Ponderar: considerar o que é importante. Quando você vai adquirir algum bem, p/ex. uma casa, você pondera diversas coisas para efetuar a compra. O coeficiente de rendimento, CR, no seu histórico escolar é uma média ponderada das notas de cada disciplina. Os pesos são proporcionais à carga horária de cada disciplina, para valorizar as disciplinas com maior carga horária.
29. Nas regras trapezoidal e Simpson, os pontos são distribuídos uniformemente (todos com o mesmo peso). A quadradura gaussiana é uma regra de quadratura construída para produzir um resultado exato para polinômios de grau 2 − 1 ou menor mediante uma escolha apropriada dos pontos e pesos para = 1, ⋯ , .
30. O que há na scipy.integrate sobre quadratura gaussiana.
31. E também:
32. Há muito mais sobre integração ...
33. Métodos de integração numérica na scipy.integrate oriundos do QUADPACK
34. No plural porque são diversos...
35. Mais detalhes sobre os parâmetros.
36. Um programa para usar a rotina quad( ) de Integração Gaussiana da Scipy.
37. A parte gráfica:
38. Um exemplo:
39. A integração de Romberg.
40. Mais sobre integração de Romberg.
41. Referências e um exemplo:
42. Agora começaremos a estudar um dos tópicos mais importantes da Álgebra Linear e da Análise Numérica. Os espaços ℒ2(, ).
43. Em outras palavras, ℒ2(, ) é o espaço das funções : , → ℝ tais que 2 ∈ ℝ. Para enfatizar os aspecto fundamentais: a 2 é integrável e 2 é um número real. Os elementos do espaço (vetorial) ℒ2(, ), são as funções de quadrado integrável.
44. Para funções ∈ ℒ2(, ) definiremos 2 = 2 . Mais adiante mostraremos que a função 2 : ℒ2 , → [0, ∞) ⟼ 2 define, de fato, uma norma.
45. A função , ∶ ℒ2(, ) × ℒ2(, ) → ℝ, definida por , = é um produto interno em ℒ2(, ).
46. Antes de provar a afirmação do Sherlock, precisamos garantir que , = está bem definida para , ∈ ℒ2(, ). Bem, isto é uma decorrência imediata da desigualdade de Cauchy-Schwartz, , ≤ 2 2 , que provaremos a seguir.
47. Sejam , ∈ ℒ2(, ) e : ℝ → ℝ a função ↦ − , − . Temos que F é uma polinomial do 2º grau em : = − , − = 2 22 − 2 , + 2 2. Ao mesmo tempo, = − 2 2 ≥ 0. Portanto o discriminante ∆ da fórmula de Baskhara para calcular os zeros de () satisfaz ∆ = (2 , )2 − 4 2 2 2 2 ≤ 0. Desta é imediato que | , | ≤ 2 2 .
48. Para provar a afirmação do Sherlock, que . , . é um produto interno em ℒ2 . , basta provar que , , ℎ ∈ ℒ2(. ) e ∈ ℝ valem: i. , ≥ 0 ii. , = 0 ⇒ = 0 iii. , = , iv. , = , v. + , ℎ = , ℎ + , ℎ
49. Na próxima transparência mostraremos, de forma ingênua, que 2 é a “tradução” para ℒ2(, ) da norma euclidiana 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + 2 em ℝ. Como assim, Mestre?
50. 4 5 6 7 8 1 2 3 2 A figura mostra uma aproximação (2) para 2 2 = 2 sobre uma malha = = 0 < 1 < … < = , igualmente espaçada de ∆. Para = ( ) temos 2 = ∆ (0 2 + 1 2 + ⋯ + 2) e portanto 2 ≅ ∆ 0 2 + 1 2 + ⋯ + 2 = ∆ 2 , onde = [ 0 1 ⋯ ].
51. Da mesma forma, o produto interno , é uma “tradução” para , ∈ ℒ2(, ) do produto interno , para , ∈ ℝ. E que vantagem temos com isso?
52. Que você poderá transportar para o ℒ2(. ) toda a intuição que temos nos espaços euclidianos ℝ. Por exemplo, nosso conceito usual de tamanho através da 2 , os conceitos de ângulo entre vetores e de ortogonalidade.
53. Surfista, então quando calculamos 0 1 para duas funções f e g conhecidas, o número obtido corresponde ao produto interno delas em ℒ2(0,1) ? Sim Loirinha! Vou fazer um programa para calcular , =
54. Meu programa calcula , = − com precisão de 8 casas decimais, mostra os gráficos de f, g e de , como área.
55. Surfista, que programão! Vou usá-lo agora.
56. Para = , = o produto interno é , = 2
57. Para = , = cos() o produto interno é , = 0. Como a função produto f g é uma função ímpar, eu nem precisava ter usado seu programa, Surfista.
58. Meu programa também calcula 2 = , = − ()2 . Para = () obtive 2 2 = , = , i.é, 2 = .
59. Fiz o cálculo para = sen(2) e também obtive 2 = . Será um resultado geral?
60. Acho que sim, pois para ℎ() = 3 , também vale 2 = .
61. Vocês dois acabaram de mostrar que 2 = 2 = ℎ 2 = para = , = (2) e ℎ = (3). E, de fato Loirinha, é um resultado geral.
62. , = − () = 0 ≠ = (∗) , = − () = 0 ≠ = , = − () = 0, ∀, ∈ ℕ 1 2 3 As funções • () para = 0,1,2, … e • () para = 1,2, … são funções de ℒ2[−, ] e satisfazem: (∗) Para = = 0, troque por 2. Os resultados que vocês obtiveram podem ser generalizados para:
63. Surfista, para provar a afirmação da Mestra, utilize as identidades trigonométricas • + = cos + sen (), • cos + = cos cos − (). E também que o produto de funções pares e ímpares obedece as regras correspondentes para números pares e ímpares .
64. Agora começaremos a explorar o fato que podemos usar a intuição geométrica dos espaços euclidianos ℝ2 e ℝ3 para os espaços ℒ2(, ).
65. A primeira delas é a ideia de ortogonalidade. Lembre-se Loirinha, que dois vetores , ∈ ℝ2 são ortogonais quando , = 0. Quando, além de serem ortogonais, = 1 e = 1, dizemos que eles são ortonormais.
66. Da mesma forma, duas funções , ∈ ℒ2 , são ortogonais quando , = = 0. E ortonormais quando, além disso, = 2 = 1 e = 2 = 1.
67. Estou achando essas ideias incríveis Loirinha. Funções ortogonais e ortonormais! Eu também Surfista e a Mestra mostrou, a pouco, que as funções 0 = 1 = , = 1,2, … = , = 1,2, … são todas ortogonais!
68. 1 2 Outra ideia a ser copiada é a de base canônica de ℝ2. O par de vetores 1 = 1 0 , 2 = 0 1 é ortonormal. Sim, e eu mostrei que as funções 0 = 1 2 = 1 , = 1,2, … = 1 , = 1,2, … constituem conjunto ortonormal de ℒ2 , .
69. Na verdade dizemos que = 0 , , , = 1,2, … é um conjunto ortonormal completo em ℒ2 , . Esta é a extensão da ideia de base em ℝ para ℒ2 , . Aliás esta é uma afirmação bem mais forte e difícil de provar.
70. Trocando em miúdos, Mestres, posso entender que o conjunto de funções = 0 , , , = 1,2, … é a base canônica de ℒ2 , ? Pode sim, Surfista. Para efeitos operacionais a ideia de base está presente em , apesar de envolver conceitos de convergência.
71. Uma outra ideia a copiar dos espaços euclidianos ℝ para ℒ2 , , que envolve o produto interno, é a de projeção ortogonal de um vetor u em um vetor unitário e.
72. A projeção de u em e é o vetor p dado por = , . Note Surfista, que = | , |. • Quando o ângulo entre u e e é agudo (0 < α < /2) o sinal de , é positivo. • Quando esse ângulo e é obtuso ( 2 < α < ), o sinal de , é negativo.
73. Físicos e engenheiros costumam dizer que, quando e é um vetor unitário, o produto interno , quantifica a dose de e que o vetor v possui.
74. Muito bem pensado, Surfista, mas bebidas alcoólicas estão proibidas no curso! Em outras palavras, ∙ , é um aparelho medidor de doses de e – um dosador de e.
75. Portanto, para descobrir a dose de oscilação, na frequência 3, de uma ∈ ℒ2(−, ), basta calcular , 3 = 1 − 3 .
76. Jean-Baptiste Joseph Fourier Nasceu: 21/03/1768 Morreu: 16/05/1830 Dada ∈ ℒ2(−, ), os números 0 , , , = 1, … , , obtidos das integrais 0 = , 1 2 , = , , = , , são chamados de coeficientes de Fourier da f. E o conjunto 0 , , , = 1,2, … é o espectro da f.
77. Surfista, bebidas alcoólicas continuam proibidas no curso! Se eu pensar numa função ∈ ℒ2(−, ) como um cocktail, o espectro de f é a medida dos componentes do cocktail.
78. Um 1º exemplo, o espectro de = ( − )( + )/2.
79. O espectro de f mostra que ela é constituída por uma dose positiva grande da função constante 1 2 e doses alternadas de 1 cos() que diminuem rapidamente com a frequência k.
80. Duas observações são pertinentes: • A dose constante é dada pelo o valor médio, 0 = 1 2 − , da função f em −, , multiplicado por 2; • O espectro é constituído apenas por doses de cos porque f é uma função par.
81. Um 2º exemplo, o espectro de = /.
82. O espectro de f mostra que ela é constituída apenas por doses alternadas de 1 sen() que decaem mais lentamente com a frequência k.
83. De novo, duas observações são pertinentes: • O espectro é constituído apenas por doses de sen porque f é uma função ímpar. • A dose constante ainda é dada pelo o valor médio, da função f em −, , multiplicado por 2, pois 1 2 − = 0.
84. Um 3º exemplo, o espectro de = | − 2 |/(3 2 ).
85. Neste 3º caso: • O espectro é constituído por doses de sen e cos porque f não é par nem ímpar; • A dose constante também é dada pelo o valor médio, da função f em −, , multiplicado por 2.
86. Um 4º exemplo, o espectro de = ( 2 − )2/32 − ≤ < 2 / 2 ≤ ≤
87. Este é o programa que calcula o espectro da função f, os seus coeficientes de Fourier e seu gráfico. Ele permite escolher uma função definida por expressões diferentes em [−, ) e ( , ].
88. Nesta parte o cálculo dos coeficientes de Fourier e o gráfico do espectro da f .
89. E aqui o gráfico da f .
90. 1 2 = [1 , 2 ] Em ℒ2(, ) o subespaço gerado gerado pelos vetores ortonormais 0 , , , = 1,2, … , tem dimensão 2 + 1. Também usamos a notação = [ 0 , , , k = 1, … N ]. Em ℝ3, o subespaço gerado por dois vetores 1 , 2 é um plano passando pela origem. Ele é indicado por = [1 , 2 ]. Vamos assumir que eles são ortonormais.
91. Combinações lineares como 1 1 + 2 2 sempre estarão no subespaço gerado por 1 , 2 , = [1 , 2 ] Analogamente, combinações lineares do tipo 0 0 + =1 [ + () ] sempre estarão no subespaço = [ 0 , , , k = 1, … N ].
92. u v Da mesma forma, dada uma função ∈ ℒ2(, ) quando, na combinação linear = 0 0 + =1 [ + () ] os números 0 , , são os coeficientes de Fourier 0 , , da f, temos que = (). Dado um vetor ∉ , quando na combinação linear = 1 1 + 2 2 temos 1 = , 1 e 2 = , 2 temos que = .
93. É que no espaço euclidiano ℝ3, o vetor de um plano mais próximo de um vetor ∉ é a sua projeção ortogonal em , . v = (v) Mas que vantagem Loirinha leva, nessa ideia?
94. = (f) f Da mesma forma, = = 0 0 + =1 [ + ] é a melhor aproximação para uma função ∈ ℒ2(, ) em = [ 0 , , , k = 1, … N ]. Lembrem-se: 0 = , 0 , = , e = ,
95. Agora vou mostrar os gráficos da f e de sua aproximação de Fourier para os mesmos quatro exemplos. Lembrem-se, a f é uma função periódica, de período = 2.
96. O primeiro exemplo.
97. O segundo exemplo.
98. O terceiro exemplo.
99. O quarto exemplo.
100. O programa que mostra o gráfico de uma função f e da sua aproximação de Fourier.
101. Nesta parte são calculados os coeficientes de Fourier da f.
102. Aqui geramos os gráficos de f e de sua aproximação de Fourier.
103. Tchau! Até a próxima aula.
104. Informações adicionais sobre a “quad” na scipy.integrate.
105. O que há na SciPy quadratura Gaussiana.
111. Surfista, não deixe de ver estas duas que marquei
112. E ainda tem métodos para integrais duplas e triplas.
113. Informações teóricas sobre quadratura gaussiana.
118. Teorema 4.7
124. Tchau! mesmo!.