Mais espaços vetoriais e álgebra linear

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1. Mais espaços vetoriais e álgebra linear Prof. Paulo R. G. Bordoni LNCC UFRJ
2. Agora vamos apresentar um dos conceitos mais importantes da matemática. O de espaço vetorial. Surfista, dada a importância do tema, vá vestir um smoking.
3. Você ficou um gatinho! Um espaço vetorial (, ℝ, +,∙ ) sobre os reais é uma estrutura algébrica constituída por um conjunto V e duas operações. Os elementos de V são chamados vetores.
4. Para , , : 1. Comutatividade: + = + 1. Associatividade: + + = + ( + w) 3. O vetor nulo, 0, é o elemento neutro para a adição de vetores: 0 + = 4. Cada vetor tem seu oposto: + (−) = 0 Uma das operações é a adição de vetores + ∶ × → , que deve satisfazer as propriedades:
5. Para , ∈ ℝ, , : 1. 1ª distributividade : ∙ + = ∙ + ∙ 2. 2ª distributividade: (α + ) ∙ = ∙ + ∙ 3. 3ª distributividade: () ∙ = ∙ ( ∙ ) 4. O 1 é o elemento neutro multiplicativo: 1 ∙ = A outra operação é a multiplicação de um vetor por um fator de escala ∙ ∶ ℝ × → , que deve satisfazer as propriedades:
6. Uma matriz de ordem × é uma tabela de com m linhas e n colunas. Como abaixo. Para resumir tudo isso, escrevemos = [ ]. Cada é um número real, posicionado no cruzamento da linha i com a coluna j. Anotaremos por ℳ× o conjunto de todas as matrizes de ordem × . = 11 12 21 22 ⋯ 1 2 ⋮ ⋱ ⋮ 1 2 ⋯ m linhas n colunas ??
7. Mestres, qual a conexão entre matrizes e vetores? Se elas são vetores, onde escondem suas flechas? Pois é, Loirinha. Matrizes também são vetores! Esqueça as flechas!
8. Vetores são apenas entidades abstratas (objetos, coisas, ...) que podem ser somados e escalados. E precisam cumprir as oito propriedades listadas na definição. Sim, temos que saber somar matrizes e multiplicá-las por números reais. E verificar que elas satisfazem as oito propriedades.
9. Por exemplo: 2.0 3.0 1.0 −1.0 0. 2.5 + 0.5 −0.5 2.0 1.0 1.0 −1.0 = 2.5 2.5 3.0 0. 1.0 1.5 A soma entre entre uma matriz = [ ] e uma matriz = [ ], ambas de ℳ× , é a matriz de ℳ× dada por + = [ + ].
10. O produto por fator de escala entre um número real e uma matriz = [ ] de ℳ× é a matriz de ℳ× definida por = [ ]. Para = 2. e = 1.1 0.7 −1.4 2.3 temos = 2.∗ 1.1 2.∗ 0.7 2 ∗ (−1.4) 2 ∗ 2.3 = 2.2 1.4 −2.8 4.6 .
11. É um trabalho de rotina conferir que as operações com matrizes de ℳ× e números reais satisfazem as oito regras da definição de espaço vetorial. Surfista, confira o que o Sherlock falou.
12. O conjunto ℳ× das matrizes de ordem × com as operações de adição e multiplicação por fator de escala constituem um espaço vetorial. So, never forget:
13. Também olharemos para uma matriz ∈ ℳ× como um vetor linha formado por n vetores coluna de ordem m = 1 2 ⋯ = 11 21 ⋮ 1 12 22 ⋮ 2 ⋯ 1 2 ⋮
14. Ou ainda como um vetor coluna formado por m vetores linha de ordem n = 1 2 ⋮ = 11 12 ⋯ 1 21 22 ⋯ 2 ⋮ 1 2 ⋯
15. Em FORTRAN, as matrizes são armazenadas na memória dos computadores como um grande vetor, coluna após coluna. Já em C, C++ e Java, elas são armazenadas linha após linha. Em C, C++ e Java: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟼ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Em FORTRAN: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟼ 1 4 7 2 5 8 3 6 9
16. • As matrizes quadradas de ordem n. Matrizes × , com = , o mesmo número de linhas e colunas. • Os vetores coluna de ordem m. Matrizes × 1, isto é, matrizes coluna de ordem m. • Os vetores linha de ordem n. Matrizes 1 × , isto é, matrizes linha de ordem n. Três tipos particulares de matrizes merecem destaque, relativamente à sua ordem × : Os ingredientes fundamentais da Álgebra linear computacional residem em ℳ× .
17. • A adição de matrizes de mesma ordem. • A multiplicação de um número por uma matriz. • A multiplicação direta entre duas matrizes de mesma ordem. São muitas as operações possíveis entre matrizes. Já vimos duas. Uma terceira fornece o produto direto.
18. O produto direto entre uma matriz = [ ] e uma matriz = [ ], ambas de ℳ× , é a matriz de ℳ× dada por = [ ∗ ]. Para = 1. 2. 3. 4. 5. 6. e = 2. −1. 1. 0.5 2. 3. temos = 2. −2. 3. 2. 10. 18.
19. É possível definir uma multiplicação entre uma matriz ∈ ℳ× e um vetor coluna de ordem n. O produto é um vetor coluna de ordem m. Nesse caso, é mais conveniente tratar a matriz A como um vetor coluna com m linhas, = 1 2 ⋮ . O vetor coluna resultante, y, possuirá m linhas e será definido por = = 1 2 ⋮
20. Para = 1. 2. 3. 4. 5. 6. e = −1. 0. 2. temos = 1.∗ −1. + 2.∗ 0. +3.∗ 2. 4.∗ −1. + 5.∗ 0. +6.∗ 2 = 5.0 8.0 Atenção com a condição de compatibilidade: o número de colunas de A e o de linhas em x precisam ser iguais.
21. Usando essa multiplicação de matriz por vetor coluna, podemos definir uma multiplicação entre matrizes A e B. É claro que temos que respeitar a condição de compatibilidade. Em outras palavras, o produto só estará definido quando ∈ ℳ× e ∈ ℳ× . O produto AB será uma matriz de ℳ×
22. Considerando as linhas de A e as colunas de B, = 1 2 ⋮ e = 1 2 ⋯ , a matriz produto será uma matriz de ℳ× dada por ∙ = [ ], confira: = 1 1 1 2 2 1 2 2 ⋯ 1 2 ⋮ ⋱ ⋮ 1 2 ⋯ m linhas n colunas
23. Para = 1. 3. 0.5 2. 2.1 2.2 3.1 4.3 3.3 e = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. temos: = = 16.5 21.0 25.5 25.4 32.1 38.4 40.4 Por exemplo: 12 = 1. 3. 0.5 2. 5. 8. = 1.∗ 2. +3.∗ 5. +0.5 ∗ 8. = 21. 23 = 2. 2.1 2.2 3. 6. 9. = 2.∗ 3. +2.1 ∗ 6. +2.2 ∗ 9. = 38.4. Calculem vocês os valores de x e y.
24. O conceito abstrato de espaço vetorial admite uma grande variedade de instâncias. Sim, já vimos os vetores no plano e espaço euclidianos. Generalizamos para ℝ e ℂ, com vetores linhas e coluna. Vimos também o espaço das matrizes ℳ×.
25. 1800 1820 1840 1860 1900 1920 1880 Poncelet Chasles Bolzano Möebius Grassmann Hilbert Peano Banach Schmidt Bellavitis Argand Cayley Laguerre Hamilton MacTutor History of Mathematics Article by: J J O'Connor and E F Robertson http://www-history.mcs.st- andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_linear_spaces.html A evolução do conceito de espaço vetorial aconteceu ao longo do século XIX. Veja abaixo quem contribuiu, e quando. Na página seguinte, como.
26. Ano Matem. Contribuição Comentário 1804 Bolzano Axiomatização da geometria Bases para o conceito de espaço vetorial 1814 Argand Os complexos como pontos no plano Pares ordenados de números reais 1822 Poncelet Geometria projetiva Abstração 1827 Möebius Coordenadas e cálculo baricêntrico 1832 Bellavitis Segm. orient. , soma, escala, equipolência Fundamental p/ o conceito de vetor livre 1834 1843 Hamilton Complexos como vetores no plano. Quaternions 1837 Chasles Geometria projetiva 1857 Cayley Álgebras matriciais 1844 Grassmann Álgebras abstratas (de Grassmann) Dependência e indep. linear, dim. 1867 Laguerre Matriz de sist.linear, adição, escala, mult. Matrizes como espaço vetorial 1888 Peano Formalização completa do conceito de espaço vetorial Um homem muito adiante do seu tempo 1890 Pincherle Operadores lineares em esp. dim. infinita 1904 Hilbert A teoria do espaços de dim. infinita O maior matemático de seu tempo 1908 Schmidt Linguagem geométrica p/ esp. de Hilbert Orientado de Hilbert 1920 Banach Axiomatização completa de esp. vetorial Tese de doutorado – marco inicial da Análise Funcional
27. Os exemplos mais belos de espaços vetoriais serão apresentados pela Mestra, a seguir. Vista-se apropriadamente para apresentá-lo, Mestra. Se tudo sobre espaços vetoriais se resumisse aos ℝ, ℂ e ℳ×, o mundo seria pobre.
28. Arrasou Mestra! São os espaços de funções : → ℝ, cujo domínio é um conjunto X e a valores reais, anotado ℱ(, ℝ).
29. Algumas funções do conjunto ℱ(, ℝ), quando = [−1,1].
30. O programa que mostra alguns vetores de ℱ([−1, 1], ℝ).
31. Vetores?! Sim, minha filha. Podemos somar funções e também multiplicá-las por números.
32. A soma é definida ponto-a-ponto. Para , ∈ ℱ , ℝ , a soma + é a nova função definida por + = + (), para cada ∈ Repetindo: podemos somar funções de ℱ(, ℝ).
33. Mestre, escolha = [, ] e mostre a soma e o fator de escala para funções, graficamente. Seu pedido é uma ordem! Mostrarei primeiro a soma, com expressões genéricas para e . Depois ∗ ().
34. Observem que para cada ponto x em [0 ,1], a coordenada y em vermelho é a soma das coordenadas y em azul (tracejada e contínua).
35. Aqui estamos pedindo o intervalo [a, b] e gerando o código para e .
36. Aqui o resto do código. Esta parte é a que permite exibir graficamente as 3 funções.
37. Sim, as imagens mostram instantâneos de + desenhada, em vermelho, nos intervalos [0, ] para, = −0.71, −0.15, 0.12. Os valores de , e ( + )() estão bem assinalados.
38. Nas figuras, vemos claramente que + é uma soma de segmentos orientados: : ( + )() = : () + : ().
39. O programa que gera o gráfico da soma, ponto-a-aponto, com o “slider”.
40. Sim, se ∈ ℱ(, ℝ) e ∈ ℝ o produto ∙ é a nova função de ℱ(, ℝ) definida para cada ∈ por ∙ = ∙ Também podemos escalar uma função ∈ ℱ(, ℝ).
41. Observem que para cada ponto x em [-1 ,1], a coordenada y em azul é a coordenada y em vermelho escalada de = 2. = np. sin(np. pi ∗ ) 2.∗ ()
42. Aqui estamos pedindo o intervalo [a, b], gerando o código para e pedindo o fator de escala L.
43. Aqui o resto do código. É a parte que permite exibir graficamente a função f e sua escalada L*f . Na próxima transparência os gráficos.
44. As imagens mostram instantâneos de . desenhada, em vermelho, nos intervalos [0, ] para, = −0.86, 0.47, 0.72. Os valores de e ( )() estão bem assinalados. Nas imagens é substituído por A.
45. Agora, vemos claramente que ∙ é um múltiplo do segmento orientado: : ( ∙ )() = ∙ : () Nas imagens é substituído por A.
46. O programa que gera o gráfico da multiplicação por fator de escala, ponto-a- ponto, com o slider:
47. Numericamente, podemos ver a soma e a multiplicação por fator de escala através de tabelas, para uns poucos valores de . É, mas com números preciso olhar linha por linha!
48. Sim! E em cada linha da tabela, vemos que: ( + )() = () + () e ( ∙ ) = ∙ ().
49. Ao final destas transparências, falarei mais sobre abstração em matemática. Em particular sobre estruturas algébricas e o grupo Bourbaki.
50. Surfista, você tem ideia do que é uma álgebra? E de uma álgebra linear? A abstração matemática nos leva além do conceito de espaço vetorial - ao conceito de álgebra linear.
51. Uma álgebra linear é um espaço vetorial V no qual está definida uma multiplicação ∙ ∶ × → que satisfaz as propriedades: Para , ∈ , ∈ ℝ: • Distributividade pela esquerda: + ∙ = ∙ + ∙ • Distributividade pela direita: ∙ + = ∙ + ∙ • Compatibilidade com fator de escala: () ∙ = ()( ∙ )
52. Na Wikipedia:
53. Um exemplo da Wikipedia. Esta é comutativa.
54. O espaço vetorial ℳ , das matrizes quadradas de ordem n constitui uma álgebra linear com a operação de multiplicação de matrizes. Ela não é comutativa, veja um contra-exemplo na próxima transparência.
55. Confiram que ∗ ≠ ∗ .
56. • O espaço ℙ das funções polinomiais torna-se uma álgebra linear com multiplicação herdada de ℱ(, ℝ); • O mesmo vale para , . É muito fácil conferir que ℱ(, ℝ) torna-se uma álgebra linear com a multiplicação assim definida. Dadas duas funções , ∈ ℱ(, ℝ) o produto ∙ ∈ ℱ(, ℝ) é a função definida para cada ∈ por ∙ = () ∙ ()
57. Mas, como se diz por aí, “vamos em frente que atrás vem gente”.
58. A forma de definir o conceito de tamanho, de norma de um vetor, em espaços vetoriais abstratos é exigir o cumprimento de três condições satisfeitas pelas normas no plano e no espaço euclidianos. A 1ª é muito natural e intuitiva: o tamanho de um vetor não pode ser negativo; mais que isso, se o tamanho de um vetor é zero ele tem que ser o vetor nulo. Não importa que coisa é esse vetor. As outras duas envolvem as operações de espaços vetoriais: a escala e a soma. Confiram na próxima transparência.
59. Uma função ∙ ∶ ⟶ ℝ definida num espaço vetorial V é uma norma quando satisfaz: I. ≥ 0 e = 0 ⇒ = 0. II. = - a escala III. + ≤ + - a desigualdade triangular para , ∈ e α ∈ ℝ. Aqueles espaços vetoriais em que é possível definir uma norma são chamados espaços normados. Os espaços euclidianos são espaços normados (prove isto, Loirinha).
60. Espaços normados completos são chamados de espaços de Banach. Um espaço normado é completo quando toda sequência de Cauchy é convergente para um vetor do próprio espaço.
61. Os espaços euclideanos são espaços de Banach. O espaço [, ] das funções contínuas num intervalo fechado [, ], com a norma ∞ = max ∈[,] () é um espaço de Banach.
62. Nossa, já estamos medindo tamanho de funções! É, qual será o tamanho de = 2cos( ) ?
63. Imaginando que ela está definida no intervalo 0,2 , é só calcular o valor máximo de () em [0, 2]. Veja graficamente:
64. Atenção para o detalhe neste outro exemplo, Surfista.
65. Loirinha, esse é o programa. Ele permite que você escolha o domínio e a expressão da função.
66. Mas como faremos para medir ângulos entre esses vetores abstratos? A Loirinha está impossível, hoje! Again, with abstraction my dear Blonde, with abstraction!
67. I. , = , II. , + = , + , III. , = , = , IV. , > 0, se ≠ 0 e , = 0, se = 0. Os espaços vetoriais para os quais é possível definir uma tal função são denominados espaços com produto interno. Um produto interno num espaço vetorial V é uma função, ∙ , ∙ ∶ × → ℝ, satisfazendo as propriedades:
68. Todo espaço vetorial V com um produto interno ∙ , ∙ é, automaticamente, um espaço normado. Claro, basta definir a norma de V por = , , ∀ ∈
69. Torno a repetir minha pergunta! Como faremos para medir ângulos entre esses vetores abstratos? Essa é fácil, através da fórmula = cos , se ≠ 0 e ≠ 0, como antes.
70. Certo Surfista, mas antes você tem que garantir a validade da desigualdade de Cauchy- Schwartz. Sim, é preciso garantir que , ≤ , para então poder calcular θ = arc cos( , )
71. Mestra eu queria mesmo saber é como calcular o ângulo entre duas funções! Te prometo alguns exemplos nas próximas aulas.
72. Diremos que dois vetores abstratos u e v são ortogonais quando , = 0. O caso trivial é o vetor nulo, 0, ortogonal a todos os outros. E a projeção ortogonal de um vetor abstrato u sobre um vetor abstrato v é o vetor dado por = ,
73. Ora, Surfista, é só substituir cos por , na fórmula antiga. Faça as contas! Não entendi, Mestra.
74. Os espaços de Hilbert são os espaços vetoriais abstratos onde nossa intuição euclidiana é preservada ao máximo. Espaços de Hilbert são espaços com produto interno onde toda sequência de Cauchy é convergente. É a preservação de outra característica fundamental do plano e espaço euclidianos.
75. • O espaço ℒ2 , das funções de quadrado integrável. • Os espaços de Sobolev 1, 0 1 , 2, etc, ambientes naturais para soluções de EDPs. Além dos espaços euclidianos de dimensão finita, é claro! Alguns exemplos importantíssimos de espaços de Hilbert (instâncias), são os seguintes:
76. Você não viu isto em Cálculo, Surfista? Vou tornar a explicar mais adiante no curso. Mestra, faltou explicar o que é uma sequência de Cauchy!.
77. Tchau, até a próxima aula!
78. Abstração em matemática; em particular estruturas algébricas!
79. Essa evolução das entidades matemáticas em direção à abstração culmina com o conceito de estruturas algébricas, baseado essencialmente na teoria dos conjuntos. O representante, por excelência, desse modo de pensar abstrato é o grupo de matemáticos, na maioria franceses, conhecido sob o pseudônimo de Bourbaki.
80. Outros livros dos “Elementos” de Bourbaki (não os de Euclides) são: Álgebra, Topologia, Funções de uma variável real, Espaços vetoriais topológicos, Integração, Àlgebra comutativa e Teoria espectral. As publicações do grupo talvez sejam o último trabalho com pretensões enciclopédicas na matemática... Elas iniciaram os “Elementos de Matemática” com ”Teoria dos Conjuntos”
81. Rafael pintou Platão, em “Escola de Atenas” com o rosto de Leonardo da Vinci, em vingança ao fato dele desprezar os artistas. Segundo Platão artistas fazem cópias da cópia da realidade, que é o “mundo das ideias”. Tão platônicos quanto o próprio Platão.
82. Críticas severas ao grupo
83. Repetindo, os Bourbaki tem interesses mínimos por: • Algoritmos • Resolução de problemas • Heurística • Lógica • Aplicações Mestre, temos então um conflito enorme de interesses. Já vimos que esses conceitos são fundamentais para nosso curso!
84. Exato Loirinha, mas não se trata de certo ou errado. Apenas interesses distintos. Não entre na polêmica Matemática x Matemática aplicada É a velha disputa Platão x Aristóteles
85. Entretanto as estruturas algébricas são fundamentais às matemáticas. Como o esqueleto, que nos sustenta. Estruturas algébricas são entidades abstratas constituídas por um conjunto (ou mais), operações sobre seus elementos e regras para operar.
86. A estrutura de grupo envolve apenas um conjunto e uma operação. As estruturas de anel e corpo, envolvem um conjunto com duas operações. Já a estrutura de álgebra linear um conjunto e três operações. Vamos entender primeiro a estrutura de grupo.
87. 1. A operação ⋆ é associativa, isto é, vale a regra ⋆ ⋆ = ⋆ ⋆ , ∀ , , ∈ . 2. Existe um elemento privilegiado, ∈ , tal que ⋆ = , ∀ ∈ . 3. A cada elemento ∈ corresponde um elemento ∈ que satisfaz ⋆ = . O grupo G é comutativo ou abeliano quando: 4. Para , ∈ vale ⋆ = ⋆ . Um grupo ,⋆ é uma estrutura formada por um conjunto G e uma operação ⋆ ∶ × → , tais que:
88. Por tradição, quando ⋆ ∶ × → for uma operação do tipo: • Adição (+), o elemento privilegiado receberá o nome de elemento neutro será representado pelo zero (0), e será o oposto, −. • Multiplicação ( ∙ ), o elemento privilegiado receberá o nome de unidade ou identidade e será representado por (1, ), e será o inverso, −1. Nos exemplos ⋆ geralmente representará uma operação tipo adição ou multiplicação, para conjuntos G com os mais variados tipos de elementos.
89. P/ex. o oposto de 9 é 3, já que 3 + 9 = 12. Assim −3 = 9. Da mesma forma, − 5 = 7, pois 5 + 7 = 12. Este é um exemplo de grupo finito. O conjunto das horas = 1, 2, 3, ⋯ , 11,12 do relógio ao lado com a operação de adição de horas, (, +), formam um grupo abeliano: • O elemento neutro é o 12 (o zero!) já que para toda hora ℎ ∈ temos + 12 = . • Cada hora ℎ ∈ possui sua oposta −ℎ, que satisfaz ℎ + −ℎ = 12.
90. Loirinha, mostre que ℕ, + e ℤ , ∙ não são grupos. Confira que ℚ, + também é um grupo. ℤ, + é um grupo abeliano. • O elemento neutro é o 0 já que para todo ∈ ℤ temos + 0 = . • Cada ∈ ℤ possui seu oposto −, que satisfaz + − = 0.
91. Tanto ℝ, + como ℝ∗ , ∙ possuem estrutura de grupo abeliano. Idem para ℂ, + e ℂ∗ , ∙ . Lembrem-se ℚ∗ = ℚ\{0} ℚ∗, ∙ também é um grupo abeliano. • O elemento privilegiado é o 1 (elemento identidade), pois para todo ∈ ℚ∗ temos ∙ 1 = . • Cada ∈ ℚ∗ possui seu inverso −1, que satisfaz ∙ −1 = 1.
92. Pois é Surfista, volte lá e confira! Na definição abstrata de espaço vetorial, V, exige-se que a adição + ∶ × → seja um grupo abeliano.
93. Um corpo , +,∙ é uma estrutura algébrica formada por um conjunto K e duas operações: + ∶ × → e ∙ ∶ ∗ × ∗ → ∗ que tornam K e ∗ = {0} grupos abelianos para a adição e multiplicação (respectivamente) e, além disso, satisfazem: A distributividade da multiplicação sobre a adição: ∙ + = ∙ + ∙ , ∀, , ∈
94. Os conjuntos ℚ , ℝ e ℂ dos números racionais, reais e complexos são exemplos de corpos com as operações de adição e multiplicação.
95. Tchau mesmo, até a próxima aula!