Mais raízes de equações

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1. LNCC LNCC UFRJ Mais raízes de equações Prof. Paulo R. G. Bordoni
2. Sir Isaac Newton 25/12/1642 – 20/03/1727 “Se enxerguei mais longe, é porque estava nos ombros de gigantes”.
3. Ele foi um dos maiores presentes de “Papai Noel” para a humanidade!
4. Sempre que falam do Newton, lembro da derivada e da reta tangente. Sim Loirinha, ela “cola” na função perto do ponto de tangência! E o valor numérico da derivada é o coeficiente angular da reta tangente.
5. O método de Newton –Rhapson usa essa propriedade da reta tangente para gerar uma sequência 0 , 1 , 2 , … , , … de aproximações para a raiz.
6. ( ) f r +1 raiz Veja como na figura, Loirinha. E, dado , como eu calculo +1 , Mestre?
7. Confira, Surfista, que equação da reta tangente por ( , ) é = ′( )( − ) + ( ) . ( ) f r
8. O processo iterativo é o seguinte: 1. Como antes, 0 é um “chute inicial”, próximo da raiz; 2. Dado definimos +1 como o ponto onde a reta tangente por ( , ) corta o eixo-x; 3. Paramos quando a precisão for satisfatória.
9. ( ) f r +1 raiz Assim, fazendo = +1 na expressão da reta tangente, obtemos 0 = ′( )(+1 − ) + ( ). Então é só isolar +1 : +1 = − ( )/′( ), se ′( ) ≠ 0
10. Portanto, o método de Newton-Raphson é definido por: +1 = − ′ , = 0,1, ⋯ 0 dado No caso de 2, temos = 2 − 2 e o processo iterativo fica: +1 = − ( 2−2)/2 , = 0,1, ⋯ 0 = 2
11. Eis um programinha para calcular a raiz quadrada de um número pelo método de Newton.
12. O resultado.
13. Outro exemplo. Observe que a quantidade de iterações depende de x.
14. Vamos mostrar uma aplicação do Método de Newton-Raphson envolvendo as raízes sextuplas da unidade no plano complexo. Não lembro mais o que é uma raiz sextupla da unidade, Mestre.
15. ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3 4 5 Elas são as raízes (complexas) da equação 6 = 1. São os números complexos dados por = 2 /6, para = 0,1, ⋯ , 5.
16. Cacilda! Quando eu crescer quero ser como você, Mestre. Lembre-se, Surfista, que = cos + sen(). Então, para = 2 /, com > 0 e = 0,1, ⋯ , − 1, ambos inteiros, temos: ( 2 / ) = 2 = = cos 2 + sen 2 = 1.
17. Este programa mostra as propriedades das raízes da unidade.
18. Confira: ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3
19. Novamente: ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3 4 5
20. Vamos construir uma linda fractal pintando o quadrado [0,1]x[0,1] do plano complexo com 6 cores. Uma cor para cada raiz da unidade. Agora, vamos à aplicação prometida.
21. Usaremos estas cores.
22. Cada um deles receberá a cor corresponde à raiz para qual o método convergir, graduada pelo número de iterações em tons de cinza. Limitaremos a 40 o número de iterações. Dividiremos o quadrado complexo em 500x500 pixeis. Cada pixel será um chute inicial para o método de Newton-Raphson, assim teremos 250.000 chutes iniciais.
23. O código do programa é o seguinte:
24. Continuação do código: Na última linha estamos medindo o tempo de execução do código.
25. A fractal das raízes triplas da unidade.
26. A fractal das raízes quádruplas da unidade.
27. A fractal das raízes quíntuplas da unidade.
28. A fractal das raízes sextuplas da unidade.
29. Este exemplo mostra, de forma artística e fantástica a instabilidade do método de Newton-Rhapson com relação ao “chute inicial”. Lembrem-se marcamos um ponto com vermelho quando, a partir dele, o método de Newton-Rhapson converge para a “raiz vermelha”. Definam agora, na figura, o conjunto constituído pelas regiões pintadas de vermelho ...
30. Claro, Loirinha! ... , pois de | +1 − 2 | < 1/2 garantimos que lim →∞ | +1 − 2 | < lim →∞ 1/2 = 0 Surfista, você se lembra como o Mestre provou a convergência método da bisseção?
31. Sim Loirinha, é a teoria de convergência de sequências, que você já viu em Cálculo. Vamos fazer um resumo. E então, Mestres, existe uma teoria geral sobre convergência dos métodos iterativos ?
32. Em todos os métodos, a função f é contínua e funções contínuas “empurram a convergência” no sentido que → ⟹ → (). Todos os métodos iterativos para determinação de uma raiz r de uma equação () = 0 envolvem a geração de uma sequência ( ) tal que → .
33. Já presenciamos esse fato no método da bisseção. Como = 0, segue que: se → então ( ) → 0. Portanto uma forma de conferir a convergência de qualquer método iterativo é testar se < , para cada valor escolhido de .
34. Isto ficou claro. O que não entendi, é a outra condição de parada. Não temos que testar se | − | < , conforme fizemos no caso de = 2, | − 2 | < ? Pois é, minha filha, esse exemplo foi didático. Já sabíamos que = 2 é a raiz. No caso geral não – a raiz é o que buscamos!
35. E como procedemos? Como não sabemos quem é r, não temos como testar a proximidade, | − | < , Bem Loirinha, a explicação é um pouco mais longa
36. Uma sequência ( ) é de Cauchy quando, e apenas quando, satisfaz a propriedade ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ tal que , > ⟹ | – | < . Não estou vendo conexão entre esse novo simbolês e nosso problema!
37. r ( ) 0 1 2 A sequência todinha, exceto alguns termos, está aqui! Bem Surfista, é só trocar esta fala, já dita pelo Filósofo, pela do Sherlock, na próxima transparência.
38. ( ) 0 1 2 A sequência todinha, exceto alguns termos, entra numa caixinha de largura ε . E, obviamente, a raiz r também estará nessa caixinha, talvez grudada na parede dela!
39. Pois é Surfista, mas a sua conclusão só vale naqueles mundos que os matemáticos chamam de completos. Mas tranquilize-se, meu jovem, os espaços euclidianos (classe da qual o mundo em que vivemos faz parte) são completos.
40. Aristóteles 384-322 410 390 370 350 310 290 430 330 Platão 428-347 Euclides 360-295 O nome espaço euclidiano homenageia Euclides, grande matemático contemporâneo de Platão e Aristóteles.
41. • Constituiu o texto fundamental de matemática por cerca de 20 séculos. • Dizem que é o livro mais editado do mundo, ultrapassado apenas pela Bíblia (e Harry Potter...). • O tratado possui uma importância excepcional na história e ensino das matemáticas. • Euclides foi o primeiro a utilizar o método axiomático. • Os Elementos constituiu um exemplo fundamental de sistema lógico, um paradigma perseguido por outras ciências. • ⋯ Os Elementos, de Euclides, é um tratado de matemática, em 13 volumes. Compilei algumas frases relevantes sobre o autor e sua obra:
42. Neles, podemos conferir a convergência comparando a proximidade de dois termos quaisquer, isto é, testando se | – | < , para cada valor escolhido de . Nos espaços completos, em particular nos euclidianos, toda sequência de Cauchy é convergente e vice-versa.
43. Em particular, testar se +1 – < é uma forma de garantir a proximidade de +1 com a raiz. Juro que não entendi! Ah Colega, é só fazer = + 1 e m = .
44. Aristóteles 384-322 410 390 370 350 310 290 1915 430 330 1910 1890 1930 1950 Einstein 1879-1955 Platão 428-347 Euclides 360-295 ±300 Muito bem lembrado, Filósofo. Mas até ele publicar sua da Teoria da Relatividade Geral (1915 dC), todos acreditavam nisso. Mestra, não posso deixar de lembrar que Einstein provou que o espaço em que vivemos não é euclidiano.
45. Não existe uma prova única de convergência, válida para todos os métodos iterativos. É necessário efetuar uma prova específica para cada método. Em particular, a prova de convergência do método de Newton-Rhapson pode ser encontrada em diversos livros de Cálculo/Análise Numérica.
46. Logicamente NÃO, Loirinha. A convergência só é garantida quando você consegue exibir um valor de N tal que , > ⇒ – < , para cada valor escolhido da precisão . Não apenas para = 0.5 × 10−7. Mas Mestre, quando obtenho numericamente, que | +1 − | < 0.5 × 10−7, para algum valor de k, já não garanti a convergência?
47. Para cada caixinha que a Mestra escolher, por minúscula que seja, você sempre conseguirá guardar dentro dela a sequência todinha, exceto alguns termos. Parafraseie o Mestre de forma mais saborosa, Sherlock.
48. 1. Ao perceber um comportamento indicativo de convergência, acreditamos que a sequência é convergente (logo é Cauchy). 2. Para cada valor de n calculamos a diferença |+1 − |. 3. Paramos quando conseguimos +1 − < e | +1 | < para algum valor escolhido da precisão . 4. Assumimos +1 como aproximação ∗ para r. Na realidade, na prática, fazemos o seguinte: O passo 1 da lista não é matemática, apenas intuição. O passo 3 é passível de contra-exemplos ...
49. Essa receita do Mestre não é respeitável. Quem diria! Mas é o que há, meu jovem. A própria Ciência não se garante com o Princípio da Indução. Procure descobrir o que falaram sobre o tema filósofos como David Hume, Thomas Kuhn, Karl Popper e outros.
50. Na SciPy, temos diversos métodos desenvolvidos para achar raízes de equações. Essa é orientação que adotamos para nosso curso, Professora. Trabalhar com “softwares” desenvolvidos por especialistas.
51. Vamos à documentação da SciPy. No Tutorial:
52. Lá embaixo da Optimization ainda noTutorial, encontramos:
53. E na Reference da SciPy:
54. Vejam a lista dos métodos:
55. O método da bisseção já conhecemos. Agora, passema usar esta implementação.
56. O restante dos parâmetros e o retorno.
57. O de Newton também!
58. O resto das informações!
59. Fiz um programa para usar o método newton( ) do pacote scipy.optimize para achar uma raiz da equação − cos = 0. Também vamos usá-lo para calcular 3.
60. Estamos usando a função newton( ) do pacote scipy.optimize, para a eq. − cos() = 0
61. Por definição 3 é o número ∈ ℝ para o qual 2 = 3. Portanto temos que resolver a equação 2 − 3 = 0. Então Mestra usei o programa com = 2 − 3, 0 = 3 e, naturalmente, = 2.
62. A associação entre reta tangente e reta secante se dá através do quociente de Newton. E o quociente de Newton fornece o coeficiente angular da reta secante, uma aproximação para o valor do coeficiente angular da reta tangente. Sherlock, detalhe por que o método da secante está junto com o de Newton- Rhapson.
63. Loirinha e Surfista, procurem examinar também os outros métodos desta lista. Por ex. os métodos de Brent e Ridder.
64. Newton nos ensinou que para enxergar mais longe precisamos subir nos ombros de gigantes. Vejamos o que alguns deles já nos apontaram sobre o conceito de ponto- fixo.
65. Para , , ∈ : 1. , ≥ 0 – não-negatividade 2. , = 0 ↔ = 3. , = , – simetria 4. , ≤ , + , − desigualdade triangular Um espaço métrico é uma entidade matemática constituída por um conjunto M e uma função : × → ℝ, chamada métrica do espaço, que satisfaz as propriedades:
66. Todo espaço vetorial normado é um espaço métrico. Basta definir a métrica por , = − . O exemplo que mais utilizaremos é ℝ com , = − . Em seguida vem os ℝ com a distância definida através das normas que já vimos.
67. Seja : → uma função definida num espaço métrico M . Um ponto ∈ é um ponto-fixo de quando, e só quando, () = .
68. A função : ℝ → ℝ, é definida por = 3 possui três pontos-fixo. É verdade Mestra. Os pontos = 1, = 0 e = −1 são pontos-fixo. Todos satisfazem = .
69. Fazendo as contas está claro, mas são só esses três? Ah, Loirinha, o gráfico de () só corta a reta = nesses três pontos. Atenção para a escala!
70. O programinha do Surfista, que permite achar pontos-fixo por inspeção visual.
71. Uma função : → , um espaço métrico é uma contração quando, e apenas quando, existe uma constante ∈ [0,1) tal que , ≤ , , ∀, ∈ . f () y f () − − () = − com ∈ [0,1) : ℝ → ℝ
72. Um dos resultados mais importantes de análise é o Teorema do ponto-fixo de Banach: Num espaço métrico completo toda contração : → admite um único ponto-fixo ∈ , (isto é = ).
73. Além disso, Mestra, ele é um resultado construtivo. Podemos determinar o ponto-fixo p de f iterativamente, construindo uma sequência 0 , 1 , … , , … tal que lim →∞ = . Basta definir +1 = ( ), com 0 ∈ .
74. Uma das propriedade importantes é que (, ) ≤ 1 − (1 , 0 ) Que permite estimar a velocidade de convergência.
75. As informações sobre ponto-fixo na scipy.optimize.
76. O gráfico, mostrado lá atrás pelo Sherlock, foi obtido com este programa, que usa a função fixed_point( ) da scipy.
77. Este programa mostra, e desenha, algumas iterações ao ponto-fixo de uma função : [, ] → ℝ
78. Observem a convergência das iterações ao ponto-fixo = 0.5 de = ()/2. Claramente, 0.5 = 0.5.
79. Neste caso, também temos a convergência das iterações ao ponto-fixo de = 3−.
80. Observando o gráfico abaixo, podemos afirmar que − () ≤ 0.85 − , ∀ ∈ [0,1], i. é, que f é uma contração nessa grande vizinhança do ponto-fixo = 0.5478 … − () + ()
81. Por quê, Mestre? Simplesmente porque o gráfico de f fica inteiramente contido no cone de convergência. Acompanhe meu raciocínio:
82. Considere um ponto ∈ 0,1 , > . Observe na figura que − < < + (), i. é, − − + < < − + . Portanto − − < − < ( − ) ou, − () < ( − ), já que = (). Claro que o mesmo vale para ∈ 0,1 , < . E em p temos a igualdade, assim − () ≤ − , ∀ ∈ [0,1].
83. A convergência ao ponto fixo de = 0.6[1 + 2 cos()].
84. Claramente, há uma vizinhança do ponto-fixo = 0.562 … para a qual o gráfico de () fica inteiramente dentro do cone de convergência, i. é, − () ≤ − . = 0.9
85. A condição de convergência do teorema de Banach é ∈ 0,1 . Mestre escolheu = 0.9 no seu exemplo para ficar visualmente evidente no gráfico. Bastava eu ter escolhido > () = 0.7177 … Por exemplo = 0.72, que já teria sido suficiente.
86. Este é o programa do cone de convergência.
87. Por inspeção visual, podemos afirmar que = 0, = 1, = 2 e = 3 são pontos fixos de = + 1 2 (), cujo gráfico desenhamos abaixo.
88. Entretanto, mesmo escolhendo 0 = 1.95, muito mais próximo do ponto- fixo = 2, a convergência “vai para” o ponto-fixo = 1 Confira!
89. Mestre, tentei com 0 = 2.05, e também não convergiu para o ponto-fixo = 2. Mas convergiu para o ponto-fixo = 3.
90. O túnel é iluminado do início ao fim pelo teorema do ponto-fixo de Banach. A condição para convergência é que f seja uma contração local entorno de p, i. é: para algum ∈ [0,1), − () ≤ − , para todo nas proximidades do ponto-fixo p. Mestres, há alguma luz no fim do túnel?
91. Se: 1. ∈ [, ], 2. , ⊆ [, ], 3. f é derivável em (a, b) 4. ∃ ∈ 0, 1 tal que ′() ≤ , ∀ ∈ (, ) então, definindo uma sequência 0 , 1 , … , , … por +1 = ( ), com 0 ∈ [, ] poderemos afirmar que: a. lim →∞ = e p é o único ponto fixo de f em [, ] b. − ≤ 0 − , − 0 c. − ≤ [ (1 − )] 1 − 0 , ∀ > 1. Às páginas 58,59 do Análise Numérica de Burden & Faires, 8ª ed. encontramos uma demonstração do Teorema:
92. Esses dois gráficos esclarecem a situação. Essa função f é uma contração local entorno de = 1, mas para num entorno de = 2 temos − () ≳ ′() − e ′ > 1. As retas tangentes em p evidenciam essas afirmações.
93. Mudando de assunto, é imediato que: “p é um ponto-fixo de uma função () se, e somente se, p é raiz de () = − () Confira a afirmação da Mestra, Surfista. Confira também que: “r é raiz de uma função () se, e somente se, r é ponto-fixo de () = − ()”.
94. Com efeito, Mestra: = ⟹ = − = 0 e também = 0 ⟹ 0 = − ⟹ = Deixe a fala do Sherlock por minha conta, Surfista!
95. Vejam no programa a seguir. Obteremos o ponto-fixo de uma função = () usando o método oferecido pela SciPy. Automaticamente teremos a raiz da equação − = 0. Portanto, poderemos usar o método do ponto-fixo para achar raízes de equações.
96. Este programa mostra, numérica e visualmente, que: se () = − então = ⟺ = 0.
97. É mesmo, não vou esquecer jamais!
98. Na realidade, para resolver uma equação () = 0, usando o método do ponto-fixo, tudo que precisamos é escrever = () onde é alguma função construída manipulando algebricamente (). Complicou tudo, Filósofo.
99. Ficou com medo da liberdade, Surfista? Por exemplo, para a equação 3 + 42 − 10 = 0, poderemos buscar pontos fixos de: a. = 3 + 42 + − 10 b. = 1 2 10 − 3 c. = − ′ - o método de Newton-Raphson
100. Tchau, até a próxima aula!