Método de Newton-Rhapson e fractais

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1. UFRJ Método de Newton e fractais Prof. Paulo R. G. Bordoni
2. Começaremos com o famoso Método de Newton-Raphson e seus associados.
3. Sir Isaac Newton 25/12/1642 – 20/03/1727 “Se enxerguei mais longe, é porque estava nos ombros de gigantes”.
4. Ele foi um dos maiores presentes de “Papai Noel” para a humanidade!
5. Sempre que falam do Newton, lembro da derivada e da reta tangente. Sim Loirinha, ela “cola” na função perto do ponto de tangência! E o valor numérico da derivada é o coeficiente angular da reta tangente.
6. O método de Newton –Rhapson usa essa propriedade da reta tangente para gerar uma sequência 0 , 1 , 2 , … , , … de aproximações para a raiz.
7. ( ) f r raiz Veja como na figura, Loirinha. E, dado , como eu calculo +1 , Mestre? +1
8. ( ) f r Confira, Surfista, que equação da reta tangente por ( , ) é = ′( )( − ) + ( ) . E, como a Mestra mostrou, +1 = 0. +1
9. ( ) f r raiz Assim, fazendo = +1 na expressão da reta tangente, obtemos 0 = ′( )(+1 − ) + ( ). Então é só isolar +1 : +1 = − ( )/′( ), se ′( ) ≠ 0 +1
10. O processo iterativo é o seguinte: 1. Escolhemos o 1º valor 0 . É o “chute inicial”. Deve estar próximo da raiz; 2. Dado definimos +1 como o ponto onde a reta tangente por ( , ) corta o eixo-x; 3. Paramos quando a precisão for satisfatória; senão voltamos ao passo 2.
11. Portanto, o método de Newton-Raphson é definido por: ቐ +1 = − ′ , = 0,1, ⋯ 0 dado No caso de , temos = 2 − e o processo iterativo fica: ቊ +1 = − ( 2−)/2 , = 0,1, ⋯ 0 =
12. Meu programa para calcular para um número real dado a, pelo método de Newton-Raphson.
13. A continuação dele.
14. Os resultados para = 7 e = 785.4.
15. Recordarei a definição de convergência de sequências. Precisaremos trabalhar com “épsilons e deltas”.
16. Lembre-se, quando uma sequência ( ) de números reais converge para um número real r, escrevemos → ou lim →∞ = . Sim Mestre, inclusive vimos exemplos gráficos de sequências convergentes.
17. Lembre-se Surfista: Dada uma sequência ( ) de números reais e dado ∈ ℝ, podemos afirmar que ( ) converge para , quando e apenas quando: ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ tal que: > ⟹ − < .
18. − < 10−7 Sim Mestre, e vimos o exemplo no qual − < 0.2 (os entram na faixa amarela) para todo > 4.
19. Vimos também este outro exemplo, com a sequência = (1 + 1/). Neste caso → e a precisão (largura da faixa) é = 0.1. Podemos conferir que − < para > 12.
20. Na determinação de raízes de uma equação através de métodos iterativos temos seis entidades envolvidas: 1. O método utilizado, 2. A equação, dada por () = 0, 3. A função : , → ℝ, 4. A que estamos procurando, 5. A sequência gerada pelo método que estamos usando, tal que → , 6. A sequência auxiliar definida pelos valores = ( ).
21. Por exemplo: • Bisseção, • Newton-Raphson, • Secante Métodos 2 − 2 = 0 Equação ↦ 2 − 2 Função 2, − 2 Raízes | Sequência | = ( ) Sequência
22. Em todos os métodos, a função f é contínua e funções contínuas “empurram a convergência” no sentido que → ⟹ → (). Todos os métodos iterativos para determinação de uma de uma equação () = 0 envolvem a geração de uma sequência ( ) tal que → .
23. Como = 0 temos: → ⇒ = ( ) → 0 | = ( ) | → = ( ) → 0
24. Por garantia, conferimos também se = − 0 < | = ( ) Portanto, além de testarmos se − < |
25. Isto ficou claro. O que não entendi, é a outra condição de parada. Não temos que testar se | − | < , conforme fizemos no caso de = 2, | − 2 | < ? Pois é, minha filha, esse exemplo foi didático. Já sabíamos que = 2 é a raiz. No caso geral não – a raiz é o que buscamos!
26. E como procedemos? Como não sabemos quem é r, não temos como testar a proximidade, | − | < , Bem Loirinha, a explicação já foi dada pelo Cauchy.
27. Uma sequência ( ) é de Cauchy quando, e apenas quando, satisfaz a propriedade: Não estou vendo conexão entre esse novo simbolês e nosso problema! ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ tal que , ≥ ⟹ | – | < .
28. r ( ) 0 1 2 Bem Surfista, é só trocar esta fala, já dita pelo Filósofo, pela do Sherlock, na próxima transparência. Repetindo: A sequência todinha, exceto alguns termos, está aqui!
29. ( ) 0 1 2 A sequência todinha, exceto uma quantidade finita de termos, entra numa caixinha de largura ε . E não sai mais! Claro! Então a raiz r também estará nessa caixinha!
30. Pois é Surfista, mas a sua conclusão só vale naqueles mundos que os matemáticos chamam de completos. Mas tranquilize-se, meu jovem, os espaços euclidianos (classe da qual o mundo em que vivemos faz parte) são completos.
31. Neles, podemos conferir a convergência comparando a proximidade de dois termos quaisquer, isto é, testando se | – | < , para cada valor escolhido de . Nos espaços completos, em particular nos euclidianos, toda sequência de Cauchy é convergente e vice-versa.
32. Em particular, testar se +1 – < é uma forma de garantir a proximidade de +1 com a raiz. Juro que não entendi! Ah Colega, é só fazer = + 1 e = .
33. Aristóteles 384-322 410 390 370 350 310 290 1915 430 330 1910 1890 1930 1950 Einstein 1879-1955 Platão 428-347 Euclides 360-295 ±300 Muito bem lembrado, Filósofo. Mas até ele publicar sua da Teoria da Relatividade Geral (1915 dC), todos acreditavam nisso. Mestra, não posso deixar de lembrar que Einstein provou que o espaço em que vivemos não é euclidiano.
34. Não existe uma prova única de convergência, válida para todos os métodos iterativos. É necessário efetuar uma prova específica para cada método. Em particular, a prova de convergência do método de Newton-Rhapson pode ser encontrada em diversos livros de Cálculo/Análise Numérica.
35. Logicamente NÃO, Loirinha. A convergência só é garantida quando você consegue exibir um valor de N tal que , > ⇒ – < , para cada valor escolhido da precisão . Não apenas para = 0.5 × 10−7. Mas Mestre, quando obtenho numericamente, que | +1 − | < 0.5 × 10−7, para algum valor de k, já não garanti a convergência?
36. Para cada caixinha que a Mestra escolher, por minúscula que seja, você sempre conseguirá guardar dentro dela a sequência todinha, exceto alguns termos. Repita a frase do Mestre de forma mais saborosa, Sherlock.
37. 1. Ao perceber um comportamento indicativo de convergência, acreditamos que a sequência é convergente (logo é Cauchy). 2. Para cada valor de n calculamos a diferença |+1 − |. 3. Paramos quando conseguimos +1 − < e | +1 | < para algum valor escolhido da precisão . 4. Assumimos +1 como aproximação ∗ para r. Na realidade, na prática, fazemos o seguinte: O passo 1 da lista não é matemática, apenas intuição. O passo 3 é passível de contra-exemplos ...
38. Essa receita do Mestre não é respeitável. Quem diria! Mas é o que há, meu jovem. A própria Ciência não se garante com o Princípio da Indução. Procure descobrir o que falaram sobre o tema filósofos como David Hume, Thomas Kuhn, Karl Popper e outros.
39. r ( ) 0 1 2 A forma que eu tenho para visualizar que → é: Para cada precisão escolhida > 0, a sequência toda, exceto um pedacinho (os anteriores a N) fica dentro de uma “bola de raio entorno de r”.
40. r ( ) 0 1 2 Repetindo a fala do Sherlock: A sequência todinha, exceto alguns termos está ali, a menos de de r.
41. Seu enfoque é incrível Sherlock! Para cada precisão > 0 escolhida, você quebra a sequência em dois grupos, um com infinitos termos e outro finito. E, a garantia de convergência, consiste em: enfiar o grupo infinito, todinho, na caixinha minúscula, de largura envolta de r.
42. É, eu não me distraio com detalhes! Descubro tudo mantendo o foco no conceito. 0 1 2 r , >
43. Augustin-Louis Cauchy 21/08/1789 23/05/1857 Bem, eu aprendi tudo isto lendo o “Cours d’analyse”, de Cauchy, publicado em 1821...
44. A partir de agora usem o método de Newton da SciPy.
45. O resto das informações!
46. Fiz um programa para usar o método de Newton da Scipy. Vou usá-lo para achar uma raiz da equação − cos = 0. Loirinha, use-o para calcular 3.
47. Marquei a chamada do newton(...)
48. Loirinha, 3 é o número ∈ ℝ para o qual 2 = 3. Portanto você tem que resolver a equação 2 − 3 = 0. Então Mestra usei o programa com = 2 − 3, 0 = 3 e, naturalmente, = 2.
49. A associação entre reta tangente e reta secante se dá através do quociente de Newton. E o quociente de Newton fornece o coeficiente angular da reta secante, uma aproximação para o valor do coeficiente angular da reta tangente. Sherlock, detalhe por que o método da secante está junto com o de Newton-Rhapson.
50. Você já ouviu falar em fractais? Vamos te mostrar uma!
51. Vamos construir fractais usando o Método de Newton-Raphson e raízes (complexas) da unidade. Não lembro mais o que são raizes da unidade, Mestre.
52. ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3 4 5 Elas são as raízes (complexas) da equação 6 = 1. São os números complexos dados por = 2 /6, para = 0,1, ⋯ , 5.
53. Cacilda! Quando eu crescer quero ser como você, Mestre. Lembre-se, Surfista, que = cos + sen(). Então, para = 2 /, com > 0 e = 0,1, ⋯ , − 1, ambos inteiros, temos: ( 2 / ) = 2 = = cos 2 + sen 2 = 1.
54. Este programa mostra as propriedades das raízes da unidade.
55. Confira: ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3
56. Novamente: ℐ ℛ 0 = 1 1 2 3 4 5
57. Vamos construir uma linda fractal pintando o quadrado [0,1]x[0,1] do plano complexo com 6 cores. Uma cor para cada raiz da unidade. Agora, vamos à aplicação prometida.
58. Usaremos estas cores.
59. Cada um deles receberá a cor corresponde à raiz para qual o método convergir, graduada pelo número de iterações em tons de cinza. Limitaremos a 40 o número de iterações. Dividiremos o quadrado complexo em 500x500 pixeis. Cada pixel será um chute inicial para o método de Newton-Raphson, assim teremos 250.000 chutes iniciais.
60. O código do programa é o seguinte:
61. Continuação do código: Na última linha estamos medindo o tempo de execução do código.
62. A fractal das raízes triplas da unidade.
63. A fractal das raízes quádruplas da unidade.
64. A fractal das raízes quíntuplas da unidade.
65. A fractal das raízes sextuplas da unidade.
66. Este exemplo mostra, de forma artística e fantástica a instabilidade do método de Newton-Rhapson com relação ao “chute inicial”. Lembrem-se marcamos um ponto com vermelho quando, a partir dele, o método de Newton-Rhapson converge para a “raiz vermelha”. Definam agora, na figura, o conjunto constituído pelas regiões pintadas de vermelho ...
67. Loirinha e Surfista, procurem examinar também os outros métodos desta lista. Por ex. os métodos de Brent e Ridder.
68. Tchau, até a próxima aula!