Números

 Números

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Paulo Bordoni

August 21, 2014
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  1. Números Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ

  2. Iniciamos nosso estudo de Cálculo Numérico explorando a definição de

    Trefethen de Análise Numérica
  3. É a proposta dele para substituir a definição clássica abaixo:

  4. Um pouco depois

  5. O Mestre colocou o texto de Trefethen, e vários outros,

    listados abaixo. Não deixe de lê-los Surfista. 1. A definição de análise numérica – N. L. Trefethen 2. Armadilhas em computação – G. Forsythe 3. A arte de resolver problemas (resumo) – G. Polya 4. Quem te deu o épsilon? – J. V. Grabiner
  6. Veja a seguir a posição de um grande mestre brasileiro

    sobre ensino e conhecimento. Também penso assim!
  7. Ariano Suassuna, Nasceu: 16/06/1927, João Pessoa Morreu: - 23/07/2014, Recife

    Á pg.14 de sua Iniciação à estética, Ed. José Olympio, 11ª Ed., 1972, Ariano Suassuna disse:
  8. “Causarum Cognitio”, ou “A Escola de Atenas”

  9. Rafael di Sanzio (1483-1520) pintou o “Causarum Cognitio”. Rafael foi

    um artista renascentista italiano contemporâneo de Leonardo da Vinci, Michelangelo e Fra Bartolommeo. No afresco Escola de Atenas, pintado a pedido do Papa Júlio II, no salão de sua biblioteca particular, no Vaticano, Rafael dispôs figuras de sábios de diferentes épocas como se fossem colegas de uma mesma academia.
  10. Os dois personagens centrais são Platão e Aristóteles. Platão segura

    sua obra Timaeus e aponta o mundo das ideias como a realidade. Aristóteles porta sua Ética e indica a natureza como origem de todas as coisas. Eu sou eles!
  11. Segundo Platão os pintores e escultores “fazem cópia da cópia

    da realidade”, posto que ela é “o mundo das ideias”. No quadro, Rafael pintou Platão com a cara de Leonardo da Vinci. Comparem com um auto retrato de da Vinci. Uma vingança, porque Platão desprezava pintores e escultores.
  12. No canto esquerdo inferior da “Causarum” vemos Pitágoras, de Samos,

    (570-500 a.C. aprox.) explicando sua teoria musical. No detalhe, uma tábua com alguns símbolos musicais e o número triangular 1+2+3+4, a tetractys sagrada para os pitagóricos.
  13. Algumas vezes citaremos trechos do livro História da Matemática –

    Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas, da Prof. Tatiana Roque, do IM da UFRJ, (2012), Ed. Zahar.
  14. A concepção dos pitagóricos sobre a natureza parte da ideia

    que há uma explicação global que permite simbolizar a totalidade do cosmos, e essa explicação é dada pelos números. O mundo é determinado, antes de tudo, por um arranjo bem ordenado e tal ordem se baseia no fato de que as coisas são delimitadas e podem ser distinguidas umas das outras. Quando se diz que podem ser distinguidas não significa que elas não possam ser diferentes, e sim separadas umas das outras, logo, as coisas do mundo podem ser contadas. À pg. 104 do livro da Prof. T. Roque encontramos:
  15. ... Diferentemente de Platão, os pitagóricos não admitiam nenhuma separação

    entre números e corporeidade, entre seres corpóreos e incorpóreos. Logo, não é lícito dizer que o conceito pitagórico de número fosse abstrato. De certo ponto de vista, dado seu caráter espacial e concreto, poderíamos afirmar que os números pitagóricos não eram os objetos matemáticos que conhecemos hoje, isto é, entes abstratos. Os números figurados dos pitagóricos eram constituídos de uma multiplicidade de pontos que não eram matemáticos e que remetiam a elementos discretos: pedrinhas organizadas segundo uma determinada configuração. Para esclarecer ainda mais, na mesma página:
  16. Nasceu em 325 a.C., na Síria Morreu em 265 a.C.,

    na Grécia Este é Euclides (canto inferior direito do “Causarum Cognitio”). A sua obra “Os Elementos“ é gigantesca (13 volumes). Constituiu o texto fundamental de matemática por cerca de 20 séculos.
  17. Aproveitando a presença de Euclides e da geometria euclideana: Mostre,

    Surfista, como cortar um barbante em três partes iguais! Professor, em duas ou em quatro é só dobrar e cortar, mas em três não sei como!
  18. Surfista, Surfista! Nas próximas transparências vou recordar como podemos dividir

    um segmento em partes iguais. Crie vergonha, meu filho, isso é ensinado em Desenho Geométrico, lá no 1º grau.
  19. A B Vamos dividir um segmento AB em 3 partes

    iguais. Primeiro traçamos uma reta inclinada passando pelo ponto A
  20. A B Em seguida, com um compasso, marcamos 3 pontos

    igualmente espaçados, na reta inclinada, a partir de A
  21. A B Depois, ligamos o último ponto marcado ao ponto

    B, criando um triângulo.
  22. A B Em seguida, traçamos duas paralelas à ela pelos

    outros dois pontos.
  23. A B Por semelhança de triângulos, os 3 segmentos entre

    A e B são iguais.
  24. A B Com essa construção, podemos pensar em dividir um

    intervalo AB na metade. Cada metade na metade. E assim por diante! Um processo repetitivo! Mais alguns passos e os pontos vão cobrir todo o segmento AB
  25. Professor, a Loirinha está coberta de razão. Como sou prático,

    já imaginei logo uma resma com 500 folhas de papel A4. 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1.024 220 = 1.048.576 230 = 1.073.741.824 240 = 1.099.511.627.776 ... Todas elas são frações da forma /2 e 2 cresce muito, mas muito, rápido. Vejam na tabela em frente:
  26. 5 cm Explique-se melhor, Surfista! Pense comigo, Loirinha, concretamente: Uma

    resma de papel A4 com 500 folhas tem uns 5 cm de espessura. Então, num segmento de 5 cm teríamos 29 = 512 ≈ 500 pontos, cada um com tamanho da espessura de uma folha de papel.
  27. Brilhante, Surfista com 240 = 1.099.511.627.776 pontos (mais de um

    trilhão) não sobrará espaço vazio, por minúsculo que seja, nesse segmento. Imagine 250, 2100 ou mais pontos. É, jovens um raciocínio concreto demais. Essa analogia conduz a um erro fulgurante!
  28. A resposta a essa sua pergunta Loirinha é um sonoro

    NÃO! Ela vale muito mais que um milhão de dólares! Pois é Surfista e Loirinha, a ideia intuitiva que ponto tem tamanho conduz a uma pista errada!
  29. Professora, você está afirmando que eu não consigo preencher um

    intervalo da reta com frações! SIM, minha filha, com todas as letras – em maiúsculas !
  30. Professor, discorra sobre um problema importante, impossível de resolver usando

    apenas frações. Q Dado um quadrado Q, construir outro quadrado Q* cuja área é o dobro da área de Q. Em seguida calcular a medida do seu lado. O problema enunciado abaixo é famoso:
  31. Ah Professor, não acredito na impossibilidade! Confira, na figura abaixo,

    como construir um novo quadrado com o dobro da área do Q, só com régua e compasso. Eu estudei muito geometria! Q
  32. Perfeito Loirinha, você agiu geometricamente. Agora, calcule a medida do

    lado desse quadrado. Surfista, ajude a Loirinha! Surfista, para simplificar, assuma que o lado do quadrado menor Q mede 1 unidade.
  33. Ah Mestra, aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 2 =

    12 + 12 = 2 . D 1 1 Como minha construção foi com régua e compasso, na pura geometria elementar, o lado D certamente será uma fração!
  34. Negativo Loirinha, de 2 = 2 segue = 2, que

    é irracional. É mesmo Surfista, distração minha! Mas como se prova que 2 não é um número racional? D 1 1
  35. Muitos relatos que caíram no senso comum, reproduzindo anedotas sobre

    a vida de matemáticos, além de mitos e lendas, vêm sendo desmentidos, descontruídos ou problematizados por diversos historiadores nas últimas décadas. Basta um exemplo da matemática grega: o “horror” que os gregos supostamente teriam pelo infinito, demonstrado pelo escândalo que a descoberta dos números irracionais teria gerado no seio dos pitagóricos, levando um de seus integrantes a ser perseguido e assassinado. Um livro popular no Brasil, Introdução à história da matemática, de Howard Eves, endossa a lenda: “A descoberta da irracionalidade de 2 provocou alguma consternação nos pitagóricos ... . Tão grande foi o ‘escândalo lógico’ que por algum tempo se fizeram esforços para manter a questão em sigilo.” 1 Tal mito, apesar de desmentido, ainda é amplamente reproduzido, entre outras razões, pela escassez de bibliografia no Brasil que leve em conta os trabalhos recentes sobre história da matemática grega,2 que analisam de perto o pensamento dos pitagóricos e sua suposta relação com a matemática. À pg. 17 do livro da Prof. T. Roque encontramos:
  36. Ok Loirinha, vamos assumir que D é uma fração, isto

    é, D = p/q, com p e q inteiros positivos. Mais que isso, vamos assumir que a fração p/q, já está simplificada. Pois senão é só simplificá-la. D 1 1
  37. Portanto p e q não tem fatores comuns! Continuando, temos

    que (p/q)2 = D2 = 2 e, consequentemente, que p2 = 2 q2
  38. Como p2 = 2.q2, segue que p2 é par e

    portanto que p é par. Mas por quê p é par? (2m+1)2 = 2k + 1, com k = 2m2 + 2m Ora filha, porque o quadrado de um número ímpar é ímpar:
  39. Ora Loirinha, segue daí que 2q2 = p2 = (2r)2

    = 4r2, isto é, q2 = 2r2. Claro, Surfista. E daí ? Mas se p é par, então p =2r, com r inteiro positivo.
  40. Consequentemente q é par. Ah Professor, se tanto p como

    q são pares eles tem 2 como fator comum. Então algo está errado: a Mestra já tinha simplificado a fração D no início.
  41. Sim Loirinha. O erro está em assumir que a diagonal

    D do quadrado menor é uma fração! Em outras palavras, acabamos de provar que não existe nenhuma fração D tal que D2 = 2. Portanto, que 2 é irracional D 1 1
  42. Não deixem de ler o diálogo entre Sócrates e seu

    escravo Mênon, escrito por Platão, sobre esse problema de construir um novo quadrado com o dobro da área de um quadrado dado. A Prof. T. Roque, o reproduz em seu livro - pgs. 140 à 147
  43. No livro à frente, de Ian Stewart, você pode se

    divertir com uma história da matemática contada de forma muito interessante. Veja a evolução dos numerais da base 10, à pg. 60.
  44. Leonardo Fibonacci Nasc. 1170, Pisa Morreu c1250, Pisa Na mesma

    página, logo em seguida descobrimos uma contribuição importantíssima de Leonardo de Pisa à Matemática.
  45. Georg Cantor, 1845-1918 Vamos ver o que G. Cantor ensinou

    ao mundo sobre conjuntos infinitos.
  46. Ele começou com a definição de conjunto infinito: Um conjunto

    é infinito quando existe uma função biunívoca : → de X num subconjunto próprio Y de X.
  47. O conjunto ℕ dos números naturais é infinito. A aplicação

    = 2 dos naturais nos números pares é biunívoca! Acompanhe na tabela, Surfista. 0 ↔ 0 1 ↔ 2 2 ↔ 4 3 ↔ 6 4 ↔ 8 ... ... ...
  48. Os elementos dos conjuntos enumeráveis podem ser imaginados como as

    gotas d’água d’uma torneira. Um número (gota) após o outro, sem parar... Conjuntos que podem ser colocados em correspondência bijetora com os naturais ℕ são conjuntos contáveis ou enumeráveis.
  49. O conjunto dos números inteiros ℤ é enumerável. Uma enumeração

    de ℤ é dada por = − 2 , para par + 1 2 , para ímpar 0 3 -1 2 -3 -2 1
  50. O conjunto ℚ dos números racionais, ℚ = , ∈

    ℤ, ∈ ℕ∗ também é enumerável. Ah, mas não é mesmo, Mestra!
  51. Muito simples, Loirinha! Uma fração f 2 não pode ser

    a seguinte de uma f 1 porque sempre posso colocar a média das duas entre elas: 3 = ( 1 + 2 )/2 Não vejo porquê Surfista, eles só envolvem inteiros e naturais! Explique sua ideia. f 1 f 2 f 3
  52. Jovens, vou contar a ideia que o George Cantor teve

    para responder a pergunta. De tão bela, lembra “Jesus alegria dos homens” de J. S. Bach, de tão bela! Mestre, outro dia ví o nome dele num livro de meu pai: Gödel, Escher, Bach – Um entrelaçamento de Gênios Brilhantes. Meu pai gostou muito. O autor é famoso: Douglas R. Hofstadter.
  53. 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3

    5 4 (0,1), (1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), ... (0,2), (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), ... (0,3), (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), ... (0,4), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), ... (0,5), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), ... O conjunto dos pares ordenados de naturais versus naturais positivos no plano.
  54. 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3

    5 4 0/1, 1/1, 2/1, 3/1, 4/1, 5/1, ... 0/2, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ... 0/3, 1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3, ... 0/4, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 5/4, ... 0/5, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 5/5 ... O conjunto dos racionais positivos visualizado como pontos do plano.
  55. Aí estão representadas todas as frações positivas possíveis! Não acredito

    mesmo, Mestra. Preciso de uma prova. Aliás, exijo uma demonstração disso!
  56. Ora, poderosa Loirinha, essa é apenas uma representação gráfica do

    conjunto { p/q | p ∊ ℕ e q ∊ ℕ* }, que inclui todos os racionais positivos É só você observar que a associação (p, q) ⟼ p/q, definida em { (p, q) | p ∊ ℕ e q ∊ ℕ* } é biunívoca
  57. 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3

    5 4 Agora podemos mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável. Vejam a enumeração dos racionais não- negativos apresentada pelo Cantor. Ideia simples, mas genial !
  58. 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3

    5 4 É só passear pelo caminho em zigue-zague etiquetando: ponto 0, ponto 1, ponto 2, ponto 3, etc...
  59. 0 ⟶ 0/1 = 0, 1 ⟶ 1/1 = 1,

    2 ⟶ 0/2 = 0, 3 ⟶ 0/3 = 0, 4 ⟶ 1/2, 5 ⟶ 2/1 = 2, 6 ⟶ 3/1 = 3, 7 ⟶ 2/2 = 1, 8 ⟶ 1/3, 9 ⟶ 0/4 = 0, 10 ⟶ 0/5 = 0. 11 ⟶ 1/4, 12 ⟶ 2/3, 13 ⟶ 3/2, 14 ⟶ 4/1 = 4, Mas essa tabela não define uma correspondência biunívoca Mestra. Na 2ª coluna muitas frações simplificam para o mesmo número! Não é uma enumeração! Sim Mestra, então construímos a tabela:
  60. Claro. Mas vocês não aprenderam a brincar de pular-carniça ?

    Cada vez que um racional se repetir, depois de simplificar, pule para a seguinte! 0 ↔ 0/1 = 0, 1 ↔ 1/1 = 1, 2 ↔ 1/2 , 3 ↔ 2/1 = 2, 4 ↔ 3/1 = 3, 5 ↔ 1/3, 6 ↔ 1/4, 7 ↔ 2/3, 8 ↔ 3/2, 9 ↔ 4/1 = 4, . . . . . . . . . . . . . . .
  61. Exatamente Professor, acabamos de provar que os números racionais formam

    um conjunto enumerável. As características do infinito são estranhas para nós que somos finitos! Dizendo de outra forma Professora: A quantidade de números racionais e de números inteiros é a mesma!
  62. Usando frações decimais,podemos estender a notação posicional dos inteiros para

    os racionais. É Loirinha – aqueles frações do tipo: 7/10, 3/100, 41/1.000, ... Frações decimais ?
  63. 0,23 = 0,2 + 0,03 = 2/10 + 3/100 =

    2*10-1 + 3*10-2 0,861 = 0,8 + 0,06 + 0,001 = 8/10 + 6/100+1/1000 = 8*10-1 + 6*10-2 + 1*10-3 Sim, pois: 7/10 = 0,7, 3/100 = 0,03, 41/1.000 = 0,041. Observem que:
  64. De forma geral: 0, d 1 d 2 d 3

    ... d N = d 1 *10-1 + d 2 *10-2 + d 3 *10-3 + ... + d N *10-N com d k ∊ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
  65. Voltemos para 1585, quando Simon Stevin divulgou, em seu livro

    “De theinde”, (em alemão) o sistema de numeração decimal. Simon Stevin 1548 - 1620 Ele foi tutor do conde Maurício de Nassau!
  66. À página 62 do Livro de Yan Stewart, encontramos:

  67. Como a soma de racionais é um racional, podemos afirmar

    que: Toda representação decimal como essa corresponde a um número racional. Mas todo número racional tem uma representação como essa?
  68. Muito boa pergunta, minha filha! Nem todos – lembre-se das

    dízimas periódicas! Para elas precisamos incluir na representação repetições infindáveis de grupos de dígitos após a vírgula. 2/11 = 0,181818 ... = 0,18 9/37 = 0,243243243 ... = 0,243 141/1111 = 0,126912691269 ... = 0,1269 1/3 = 0,333 ... = 0,3
  69. Números com infinitas casas decimais depois da vírgula ... irado!

    O infinito me assusta – o que é o infinito?
  70. Sir Isaac Newton 1642 - 1726 Gottfried Wilhelm Leibnitz 1646

    - 1716 Os criadores do Cálculo Diferencial e Integral
  71. Nas 1as linhas do Prefácio deste livro encontramos:

  72. Processos limite e convergência Integrais Na modelagem científica dos fenômenos

    físicos, são essenciais conceitos do cálculo diferencial e integral (a Matemática do contínuo) como:
  73. O conjunto dos números reais é um contínuo! Eles preenchem

    um intervalo como um líquido preenche continuamente um copo graduado Na base de tudo isso está conceito de número real.
  74. Os irracionais completam os buracos deixados na reta pelos racionais.

    Como o mel preenche os buracos no pão!
  75. Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 – 1916) Os números reais,

    a reta e os “cortes” de Dedekind.
  76. Cortando a reta?

  77. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass 1815 – 1897 O número 2

    é a sequência ( 1., 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,... )
  78. Augustin-Louis Cauchy 1789 – 1857 O conceito de limite com

    épisolons e deltas
  79. O que significa ser contínuo? Professora ... A água parece

    ser contínua, mas é formada de moléculas de H 2 O – dois átomos de hidrogênio mais um de oxigênio, numa ligação ...
  80. Pois é, Surfista, por trás de sua fala está a

    ideia que os reais são enumeráveis. Você acertou num ponto - os reais constituem um conjunto infinito, já que todo racional também é real. Entretanto, nem mesmo com microscópios eletrônicos, conseguimos separar um número real de outro.
  81. É o que os Mestres estão afirmando Surfista. O infinito

    contínuo é maior que o infinito enumerável. Se os reais são infinitos e não conseguimos enumerá-los então só pode ser um novo infinito, maior que enumerável, já que todo racional é um real.
  82. Essa ideia estava subjacente, implícita, latente, nas construções de Descartes,

    Newton e Leibnitz. Sem ela as construções desses gênios seriam abortos – mortas antes de nascer! A continuidade dos reais é a abstração maior da Matemática.
  83. Veremos agora mais uma contribuição do gênio da teoria dos

    conjuntos: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845 - 1918
  84. Professor, vamos assumir que, de fato, podemos enumerar os reais.

    Veremos que essa hipótese é tão absurda que conduz a uma contradição. E, portanto, só pode estar errada. Pois é, meus jovens, provaremos a seguir que é impossível contar os números reais.
  85. Só p’rá confirmar: se é uma enumeração, nenhum número real

    entre e 0 e 1 fica fora dessa lista! 0 ↔ x 0 1 ↔ x 1 2 ↔ x 2 3 ↔ x 3 . . . . . . . Ok Professora. Seja então a lista abaixo dos meus pés uma enumeração de todos os números reais entre 0 e 1. Inteiros Reais
  86. X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ...

    X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ Sim Professora, como estamos assumindo que os reais em (0,1) são enumeráveis, minha lista contém todos eles! Veja a expressão decimal dos números reais da minha lista:
  87. Surfista, são números entre 0 e 1. Pense em 3

    ou 2 2. De qualquer forma, como a lista do Professor é infinita, em alguma posição eles vão aparecer! Ah, eu escreveria a lista de uma forma diferente. Além disso, não vi alguns números famosos como o π e o 2.
  88. X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ...

    X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ Cantor marcou, como nós (em vermelho), os dígitos da diagonal.
  89. X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ...

    X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ Em seguida afirmou: Seja x D número construído a partir da sequência diagonal, com as trocas: Em x 0  0 por 1 Em x 1  3 por 4 Em x 2  1 por 2 Em x 3  9 por 8 (?) Em x 4  3 por 4 Em x 5  2 por 3 Em x 6  4 por 5 E assim por diante ...
  90. Em x 0 : 0 por 1  x D

    ≠ x 0 Em x 1 : 3 por 4  x D ≠ x 1 Em x 2 : 1 por 2  x D ≠ x 2 Em x 3 : 9 por 8  x D ≠ x 3 Em x 4 : 3 por 4  x D ≠ x 4 Em x 5 : 2 por 3  x D ≠ x 5 Em x 6 : 4 por 5  x D ≠ x 6 E assim por diante ... É verdade Mestre. Sacada genial essa do Cantor! Portanto esse número, X D = 0, 1 4 2 8 3 5 ..., é diferente de todos os que estão na lista.
  91. Em outras palavras, o número, X D = 0, 1

    4 2 8 3 5 ... não está na lista. Mas se a lista tinha todos, temos aí uma contradição!
  92. Assim, temos uma nova categoria de infinitude: a continuidade, maior

    que a enumerabilidade. Pois é, meus jovens, acabamos de ver a prova, feita pelo Cantor de que, é impossível contar os números reais. Ela é conhecida como argumento diagonal de Cantor.
  93. Dois mil anos foi o tempo necessário para a humanidade

    amarrar, matematicamente, a reta com os números. A reta real.
  94. Tchau! Até a próxima.