P4 de Cálculo Numérico - Eng. Elétrica

As questões da 3ª prova "online".

Transcript

1. LNCC UFRJ P4 de Cálculo Numérico Prof. Paulo Bordoni
2. Nesta P4 vocês deverão resolver apenas duas questões. As orientações são as mesmas da duas provas “online” anteriores e deverão apresentar as respostas até as 12:00 horas desta 6ª feira.
3. A primeira questão é uma aplicação do que foi ensinado sobre aproximação de Fourier e espectro na aula correspondente ao conjunto de transparências acima.
4. Surfistas, naquela apresentação, explicamos que o espectro 0 , 1 2 , … , 1 , 2 , … de uma função : −, → ℝ é calculado como abaixo: 0 = 1 න − , = 1 න − cos , = 1 න − , para = 1,2, …
5. Na mesma aula vimos que podemos aproximar a função : −, → ℝ a partir de uma parte finita 0 , 1 2 , … , , 1 , 2 , … , do seu espectro. Sim, através da aproximação de Fourier: ≅ 0 2 + ෍ =1 cos + .
6. Vocês resolverão o problema da corda vibrante, constituído pela equação da onda 2(, ) 2 = 2 2(, ) 2 , ∈ ℝ ⇒ 2 > 0 . Mais condições iniciais, no instante = 0 e de contorno em = 0 e = , as extremidades da corda.
7. O problema da corda vibrante, simula uma corda de violão (ou violoncelo, viola) presa nas sua extremidades. A solução = (, ) descreve o deslocamento da corda do violão na posição ∈ [0, ] e no instante ≥ 0. Na figura muito exagerado! L = (, )
8. Para todo ≥ 0: ቊ 0, = 0 , = 0 = = 0 A forma de exprimir esse fato é impor condições de contorno homogêneas de Dirichlet: A corda permanece o tempo todo presa nas suas extremidades.
9. No instante inicial, = 0, o músico: a) Prende a corda com um dedo, da mão esquerda, junto braço do violão b) E puxa a corda com outro dedo, da mão direita e solta. Como no desenho (muito exagerado!): a b
10. • O formato (deslocamento) inicial da corda do violão: , 0 = (), ∈ [0, ]. • A velocidade inicial da corda do violão: , 0 = (), ∈ 0, , definida através da tensão na corda. A forma de exprimir esse fato é definir as seguintes condições inicias:
11. Resumindo, o problema da corda vibrante é descrito pelo seguinte problema de valor inicial e de contorno: 2(, ) 2 = 2 2(, ) 2 , , ∈ 0. , 0, = 0, ≥ 0 , = 0, ≥ 0 , 0 = , ∈ [0, ] (, 0) = , ∈ [0,]
12. A solução desse problema é dada por , = ෍ =0 ∞ (, ) , Onde , = +
13. Nela, os são os coeficientes de Fourier de relativos ao seno: = 2 න 0 E os os coeficientes de Fourier de relativos ao seno, corrigidos por uma constante: = 2 න 0
14. A 1º questão a ser resolvida por vocês, Surfistas, é exibir uma animação do problema da corda vibrante onde: A posição inicial é uma função : [0, ] → ℝ com um gráfico como o acima e a velocidade inicial deve ser escolhida por você Surfista. 0 L f
15. A 2º questão a ser resolvida por vocês, Surfistas, será aproximar as integrais de seno e cosseno de Fresnel: = ׬ 0 cos 2 2 e = ׬ 0 sen 2 2 com 9 casas decimas de precisão.
16. Surfistas, vocês deverão calcular essas aproximações usando: a) A regra de Simpson composta, b) A scipy.integrate.quadrature(), c) A scipy.integrate.quad().
17. É só isto ...
18. Para quem se interessar, apresentamos a seguir a dedução da solução da equação da onda. Para iniciar, assumimos que , = ().
19. Levando , = () na equação da onda obtemos: ′′ = 2(, ) 2 = 2 2(, ) 2 = 2 ′′ .
20. Repetindo, ′′ = 2 ′′ . Então, assumindo () ≠ 0, e dividindo por ∙ obtemos: ′′ = 2 ′′ , x, t ∈ 0, × 0, +∞ .
21. É de fundamental importância observar que o quociente do lado esquerdo da igualdade ′′ = 2 ′′ , , t ∈ 0, × 0, +∞ , é função apenas de e o quociente do lado direito é função apenas de . A única possibilidade dessa igualdade ser verdadeira é que cada quociente seja igual à uma mesma constante real, que denominaremos 2 (caso positiva ou nula) ou −2 (caso negativa). Assim: ൝ ′′ − 2 = ∈ (, ) ′′ − 22 = 0, > 0
22. ൝ ′′ − 2 = 0, ∈ , ′′ − ()2 = 0, > 0, No caso da constante 2 ser positiva ou nula as duas equações ficam: Cujas soluções gerais são: ൝ = 0 + 1 − = 0 + 1 −
23. Das duas obtemos 0 = 1 = 0. E portanto ≡ 0. Assim , = ≡ 0. Das condições de contorno homogêneas de Dirichlet teremos: ൝ 0 = 0 ⇒ 0 + 1 = 0 = 0 ⇒ 0 + 1 − = 0
24. Assim, para escapar da solução identicamente nula, (, ) ≡ 0, a única possibilidade é 2 < 0. Então teremos: ቊ = 0 cos + 1 ( ) = 0 cos + 1 ( )
25. Com as condições homogêneas de Dirichlet teremos: ቊ 0 = 0 ⇒ 0 = 0 = 0 ⇒ 1 = 0 Ora, = 0 só para = , ou λ = Τ , = 0, ±1, ±2, …
26. Assim, = , = 0, 1, 2, … são soluções do problema ′′ − 2 = 0, ∈ , , 0 = 0, = 0 Com esses valores de temos = 0 + 1 .
27. Portanto, para cada = 0, 1, 2 … , , = + satisfaz o problema de valor de contorno: 2 (, ) 2 = 2 2 (, ) 2 , , ∈ 0. , 0, = 0, ≥ 0 , = 0, ≥ 0
28. Portanto a série ෍ =0 ∞ (, ) = lim →∞ ෍ =0 (, ) também satisfará. Por linearidade para cada ∈ ℕ teremos que , = ෍ =0 (, ) também satisfará esse problema de valor de contorno.
29. Para que , = σ=0 ∞ (, ) , com , = + , seja solução do problema de valor inicial e de contorno original: Só falta exigir que ela satisfaça as condições iniciais: ൞ , 0 = , ∈ [0, ] (, 0) = , ∈ [0, ]
30. Calculando cada em = 0, obtemos , 0 = Assim , 0 = ෍ =1 ∞ , 0 = ෍ =1 ∞
31. Assim a condição inicial , 0 = fornece = ෍ =1 ∞ . Cacilda! Então os são os coeficientes de Fourier da .
32. Derivando com relação a cada obtemos (, ) = = − + Então (, 0) = .
33. Assim a outra condição inicial (, 0) = fornece = ෍ =1 ∞ . Então os valores correspondem aos coeficientes de Fourier da .
34. Isto encerra tudo. Desejo uma boa prova a todos.